作业(十五)随机事件的独立性-2024年高一数学暑假作业(湘教版)

随机事件的独立性 1.相互独立事件的定义 在概 率 论 中,设 A,B 为 两 个 事 件,若 P(A∩B)=P(A)P(B),则称事件A,B 相 互独立,简称为独立. 2.相互独立事件的性质 若事件A,B 独立,则A 与B,A 与B,A 与 B 也独立. 1.袋中有黑、白两种颜色的球,从中进行有放回 地摸球,用A1 表示第一次摸得黑球,A2 表示 第二次摸得黑球,则A1 与􀭺A2 是 ( ) A.相互独立事件 B.不相互独立事件 C.互斥事件 D.对立事件 2.若P(AB)=19 ,P(􀭿A)=23 ,P(B)=13 , 则事件A 与B 的关系是 ( ) A.事件A 与B 互斥 B.事件A 与B 对立 C.事件A 与B 相互独立 D.事件A 与B 既互斥又相互独立 3.小红、小明、小芳参加技能展示比赛,他们 约定用“石头、剪子、布”的方式确定出场的 先后顺序.问在1个回合中3个人都出 “布”的概率是 ( ) A.19 B. 1 3 C. 1 6 D. 1 27 4.某校进行定点投篮训练,甲、乙、丙三个同 学在固定的位置投篮,投中的概率分别1 2 , 2 3 ,p,已知每个人投篮互不影响,若这三个 同学各投篮一次,至少有一人投中的概率 为7 8 ,则p= ( ) A.25 B. 1 3 C. 1 5 D. 1 4 1.(2023·邵阳高一期中)抛掷两枚质地均匀 的硬币,设事件 M=“第一枚硬币正面向 上”,N=“第二枚硬币反面向上”,则下列 结论正确的是 ( ) A.M 与N 是对立事件 B.M 与N 是互斥事件 C.M 与N 相互独立 D.M 与N 既不互斥也不独立 2.甲、乙两人独立完成某一任务的概率分别 为1 4 ,2 3 ,若甲、乙分别去完成这项任务且 相互之间不受影响,则甲完成此任务而乙 没有完成此任务的概率为 ( ) A.112 B. 1 6 C. 1 4 D. 2 3 3.一个电路如图所示,A,B,C 为3个开关, 其闭合的概率均为2 3 ,且是相互独立的, 则灯亮的概率是 ( ) A.1627 B. 8 27 C. 11 27 D. 19 27 4.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球. 甲先投且先投中者获胜,约定有人获胜或 每人都已投球2次时投篮结束.设甲每次 投篮投中的概率为1 3 ,乙每次投篮投中的 概率为1 2 ,且各次投篮互不影响.则投篮结 束时,乙只投了1个球的概率为 ( ) A.13 B. 4 9 C. 5 9 D. 2 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —43— 高一数学(配XJ版) 5.(多选)甲、乙两家公司独立研发疫苗A,甲成 功的概率为1 3 ,乙成功的概率为1 2 ,丙独立研 发疫苗B,研发成功的概率为35. 则 ( ) A.甲、乙都研发成功的概率为16 B.疫苗A 研发成功的概率为56 C.疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为25 D.仅有一款疫苗研发成功的概率为715 6.(2023·东营高一期中)设两个相互独立事 件A 与B,若事件A 发生的概率为p,B 发 生的概率为1-p,则A 与B 同时发生的 概率的最大值为 . 7.某农户要种植甲、乙两种蔬菜,需要先播种 培育成苗,然后再进行移栽.已知甲、乙两 种蔬菜培育成苗的概率分别为0.5,0.6, 移栽后成活的概率分别为0.6,0.8,则恰 好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概 率为 . 8.甲、乙两人进行体育比赛,比赛共设三个项 目,每个项目胜方得1分,负方得0分,没 有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的 人获得冠军.已知甲在三个项目中获胜的 概率分别为1 2 ,p,q(p<q),各项目的比赛 结果相互独立,甲得0分的概率是350 ,甲得 3分的概率是425. (1)求p,q的值; (2)甲、乙两人谁获得最终胜利的可能性 大? 并说明理由. 1.(2021·新高考全国卷Ⅰ)有6个相同的 球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放 回的随机取两次,每次取1个球,甲表示事 件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示 事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表 示事件“两次取出的球的数字之和是8”, 丁表示事件“两次取出的球的数字之和 是7”,则 ( ) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 2.(2020·天津卷)已知甲、乙两球落入盒子 的概率分别为1 2 和1 3. 假定两球是否落入 盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的 概率为 ;甲、乙两球至少有一个落 入盒子的概率为 . 易错 不能正确分解事件致错 [示例] 甲、乙两队进行篮球比赛,采取五场 三胜制(先胜三场者获胜,比赛结束),根据 前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为 “客客主主客”,设甲队主场取胜的概率为 0.5,客场取胜的概率为0.4,且各场比赛 相互独立,则甲队在0∶1落后的情况下最 后获胜的概率为 ( ) A.0.24 B.0.25 C.0.2 D.0.3 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解答较复杂的相互独立事件的概率问题,要首先 把事件分解为若干个互斥事件的和,然后分别利 用相互独立事件的概率公式计算其概率求和即 可.此类问题的易错之处为分解事件时遗漏部分 事件或分解得到的事件不是互斥的事件. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —53— 高一数学(配XJ版) 作业(十五) 随机事件的独立性 【基础演练】 1.A 由题意可得􀭿A2 表示第二次摸到的不是黑球, 即􀭿A2 表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球, 故每次是否摸到白球互不影响,故事件A1 与􀭿A2 是相互独 立事件,由于A1 与􀭿A2 可能同时发生,故不是互斥事件也 不是对立事件. 2.C ∵P(A)=1-P(􀭿A)=1-23= 1 3 , ∴P(AB)=P(A)P(B)=19≠0 , ∴事件A 与B 相互独立,事件A 与B 不互斥,故不对立. 3.D 由题,三个人各自出“布”的概率为13 ,所以1个回合 中3个人都出“布”的概率为 13 3 =127 ,故选D. 4.D 由题意可知1- 1-12 1-23 (1-p)=78,解得 p=14. 【综合演练】 1.C 由于事件 M 与事件N 能同时发生,所以不为互斥事 件,也不是对立事件,A、B错误; 两个事件可以同时发生,也可以都不发生,M 事件发生与 否对N 事件没有影响,是相互独立事件,C正确,D错误. 2.A 依题意,甲、乙分别去完成这项任务相互独立,则甲完 成此任务而乙没有完成此任务的概率为1 4× 1- 2 3 = 1 12 ,故选A. 3.A 因为A 开关闭合概率为23 ,B,C至少有一个闭合概率 为1- 1-23 × 1-23 =89,所以灯亮的概率是P= 2 3× 8 9= 16 27. 4.B 设 Ak,Bk 分 别 表 示 甲、乙 在 第k 次 投 篮 时 投 中,则 P Ak = 1 3 ,P Bk = 1 2 (k=1,2),记“投篮结束时,乙只 投了1个球”为事件D. 则P D =P 􀭿A1B1 +P 􀭿A1􀭺B1A2 =P 􀭿A1 P B1 + P 􀭿A1 P 􀭺B1 P A2 = 2 3× 1 2+ 2 3× 1 2× 1 3= 4 9. 5.ACD 用A,B,C 分别表示事件“甲成功”“乙成功”“丙成 功”,则: A.根据概率公式有P(AB)=P(A)P(B)=16 ; B.由概率的性质可得:疫苗 A 研发成功的概率P1=1- P(􀭿A􀭺B)=23 ; C.两疫苗的 研 发 相 互 独 立,所 以 所 求 概 率 为 P2=P1· P(C)=25 ; D.所求概率为P=((1-P1)P(C)+[1-P(C)]P1= 7 15. 故选ACD. 6.解析 因为事件 A 与B 同时发生的概率为p 1-p = p-p2=- p-12 2 +14 p∈ 0 ,1 , 所以当p=12 时,最大值为1 4. 答案 14 7.解析 记“甲种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件 A, “乙种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件B, 则P A =0.5×0.6=0.3,P B =0.6×0.8=0.48, P 􀭿A =0.7,P 􀭺B =0.52, 故恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为 P A􀭺B +P 􀭿AB =P A P 􀭺B +P 􀭿A P B =0.3× 0.52+0.7×0.48=0.492. 答案 0.492 8.解析 (1)因为 1 2 1-p 1-q = 3 50 , 1 2pq= 4 25 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 且p<q,解得 p=25 , q=45. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2)甲 得2分 的 概 率 P1= 1 2 × 2 5 × 1- 4 5 + 12 × 1-25 ×45+ 1-12 ×25×45=1125, 所以甲得2分或3分的概率P=1125+ 4 25= 3 5 , 那么乙得2分或3分的概率为25 , 所以甲获得最终胜利的可能性大. 【真题体验】 1.B P(甲)=16 ,P(乙)=16 , P(丙)=536 ,P(丁)=636= 1 6 , P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙), P(甲丁)=136=P (甲)P(丁), P(乙丙)=136≠P (乙)P(丙), P(丙丁)=0≠P(丁)P(丙),故选B. 2.解析 甲、乙两球落入盒子的概率分别为12 ,1 3 ,且两球 是否落入盒子互不影响, 所以甲、乙都落入盒子的概率为1 2× 1 3= 1 6 , 甲、乙 两 球 都 不 落 入 盒 子 的 概 率 为 1-12 × 1-13 =13, 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为2 3. 答案 16 2 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —95— 【易误警示】 [示例] A 由题 意 可 知,甲 队 在 第 一 场 比 赛 输 了,若 甲 队在0∶1落 后 的 情 况 下 最 后 获 胜,分 以 下 几 种 情 况 讨论: ①甲队在第二、三、四场比赛都获胜,概率为 P1=0.4× 0.52=0.1; ②甲队在第二场比赛输了,在第三、四、五场比赛获胜,概 率为P2=0.6×0.52×0.4=0.06; ③甲队在第二、四、五场比赛获胜,在第三场比赛输了,概 率为P3=0.4×0.52×0.4=0.04; ④甲队在第二、三、五场比赛获胜,在第四场比赛输了,概 率为P4=0.4×0.52×0.4=0.04. 综上所述,所求概率为0.1+0.06+0.04×2=0.24. 第二部分 新知预习 作业(十六) 数列的概念 知识点1 【即学即练】 1.D 由数列的定义可知,数列中可以重复出现同一个数,如 1,1,1,1,故A、C不正确;B中两数列首项不相同,因此不 是同一数列,故B不正确;由数列的定义可知,D正确. 2.ABC 对于选项A:数列1,13 ,1 32 ,1 33 ,…是无穷数列,故 选项A正确; 对于选项B:数列sin π13 ,sin2π13 ,sin3π13 ,sin4π13 ,…是无穷 数列,故选项B正确; 对于选项C:数列-1,-12 ,-13 ,-14 ,…是无穷数列, 故选项C正确; 对于选项D:数列1,2,3,4,…,30不是无穷数列,故选项D 不正确. 知识点2 【即学即练】 1.D 法一 将n=1,2,3,4代入各选项验证易得答案. 法二 将数列13 ,-12 ,3 5 ,-23 ,…变为1 3 ,-24 ,3 5 , -46 ,…,从而可知分子的规律为n,分母的规律为n+2, 再结 合 正 负 的 调 节,可 知 其 通 项 公 式 可 以 为 an = (-1)n-1 nn+2. 2.解析 a3+a6=(3+2)+(6-3)=5+3=8. 答案 8 知识点3 【即学即练】 1.C a1=1,a2= 1 2a1+ 1 2=1 ,a3= 1 2a2+ 1 2×2= 3 4. 2.D ∵a1=1,a2=2,an+an+1+an+2=1, ∴a3=1-a1-a2=1-1-2=-2, a4=1-a3-a2=1-(-2)-2=1, a5=1-a4-a3=1-1-(-2)=2, … 由此推理可得数列{an}是一个周期为3的周期数列, ∴a2024=a2=2. 知识点4 【即学即练】 1.C 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1, 当n=5时,a5=24=16. 2.解析 当n=1时,a1=S1=4; 当n≥2 时,an =Sn -Sn-1 =3n2 +n-3 n-1 2 - n-1 =6n-2; 显然n=1时也符合上式,所以an=6n-2. 答案 6n-2 知识点5 【即学即练】 1.A 因为an=-(n-2)2+6,n∈N+,所以当n=2时,an 取得最大值. 2.解析 因为an+1-an=2n-7,所以当an+1-an>0时,n> 7 2 ,又n∈N+,故数列{an}从第4项开始递增. an=n(n-8)-20=(n-4)2-36,根据二次函数的性质 知,当n=4时,an 取得最小值-36,即这个数列有最小值, 最小值为-36. 答案 4 -36 第三部分 综合检测 1.D z=-4i1-i= -4i(1+i) 2 =2-2i ,对应的复平面的坐标为 (2,-2),在第四象限.故选D. 2.A sin12°cos18°+cos12°sin18°=sin(12°+18°)= sin30°=12. 3.B 由已知得a+2b=(5,2-4λ),a-b=(-7,2+2λ), ∵(a+2b)∥(a-b), ∴5×(2+2λ)-(-7)×(2-4λ)=0, 解得λ=43. 4.C 由正弦定理 asinA= b sinB 可得sinA=asinBb = 3×23 4 =12. 5.B 因 为 OB→ =OA→ +AB→ =OA→ + 35 AC → =OA→ + 3 5 OC →-OA→ =25OA →+35OC →. 所以b=25a+ 3 5c ,即λ=25 ,μ= 3 5. 6.D 因为acosC=b+ 23c ,由 正 弦 定 理 得sinAcosC= sinB+23sinC ,又 因 为 A+C=π-B,可 得sinB= sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 所以cosAsinC+23sinC=0 , 因为C∈(0,π),可得sinC>0, 所以cosA=-23 , 又因为A∈(0,π),所以π2<A<π , 所以△ABC为钝角三角形. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —06—