作业(十四)古典概型、概率的运算、用频率估计概率-2024年高一数学暑假作业(湘教版)

高一数学(配XJ版) 古典概型、概率的运算、用频率估计概率 1.古典概型的特征 (1)有 限 性:样 本 空 间 中 只 有 有 限 个 样 本点; (2)等可能性:每个样本点出现的可能性 相等. 2.古典概型的概率公式 对于古典概型,事件A 的概率计算公式为 P(A)=A 中的样本点个数 Ω 中的样本点个数. 3.概率的性质 (1)任何事件的概率在0~1之间,即0≤ P(A)≤1. (2)必然事件包含Ω 中所有样本点,因而 P(Ω)=1. (3)不可能事件不包含任何样本点,因而 P(⌀)=0. 4.概率的运算 (1)两个互斥事件的概率加法公式 如果Ω中的事件A,B互斥,则P(A∪B)= P(A)+P(B). 两个互斥事件的概率加法公式的推广:如 果事件A1,A2,A3,…,An 两两互斥,那么 事件A1∪A2∪A3∪…∪An 发生(是指 A1,A2,A3,…,An 中至少有一个发生)的 概率,等 于 这 n 个 事 件 的 概 率 的 和, 即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+ …+P(An). (2)对立事件的概率公式 如果A 是样本空间Ω 的事件,则P(A)= 1-P(A). (3)一般概率加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 1.某射手在一次射击中,射中10环,9环, 8环的概率分别是0.2,0.3,0.1,则该射手 在一次射击中不够8环的概率为 ( ) A.0.9 B.0.3 C.0.6 D.0.4 2.欧几里得大约生活在公元前330—前275年 之间,著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲线》 《曲面轨迹》等著作.若从上述4部书籍中 任意抽取2部,则抽到《几何原本》的概 率为 ( ) A.12 B. 1 3 C.14 D. 5 6 3.(2023·梅州高一期中)从数字1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字构成一个两位数, 则这个两位数大于40的概率为 ( ) A.15 B. 2 5 C.35 D. 4 5 4.抛掷一枚骰子,记A 为事件“出现点数是 奇数”,B 为事件“出现点数是3的倍数”, 则P(A∪B)= ,P(A∩B)= . 1.(多选)下列试验是古典概型的是 ( ) A.在适宜的条件下种一粒种子,发芽的 概率 B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个 球除颜色外完全相同,从中任取一球为 白球的概率 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —13— C.向一个圆面内部随机地投一个点,该点 落在圆心的概率 D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人 发言,甲被选中的概率 2.(2023·沈阳高一期中) 珠算是以算盘为工具进 行数字计算的一种方法,算盘的每个档(挂 珠的杆)上有7颗算珠,用梁隔开,梁上面 的两颗珠叫“上珠”,下面的5颗珠叫“下 珠”,从最右边两档的14颗算珠中任取1 颗,则这一颗是上珠的概率为 ( ) A.14 B. 2 5 C.27 D. 1 5 3.(2023·桂林高一期中)甲、乙、丙三人排 队,甲排在末位的概率为 ( ) A.14 B. 1 3 C.12 D. 2 3 4.不透明箱子中有形状、大小都相同的5个 球,其中2个白球,3个红球,现从箱子中 随机摸出2个球,则2个球颜色相同的概 率为 ( ) A.310 B. 2 5 C.35 D. 7 10 5.(2023·哈尔滨高一期中)据史料推测,算 筹最晚出现在春秋晚期战国初年,是充分 体现我国劳动人民智慧的一种计数方法. 在算筹计数法中,用一根根同样长短和粗 细的小棍子(用竹子,木头,兽骨,象牙,金 属等材料制成)以不同的排列方式来表示 数字,如果用五根小木棍随机摆成图中的 两个数(小木棍全部用完),那么这两个数 的和不小于9的概率为 . 6.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均 属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和 丙级品的概率分别是0.05和0.03,则抽 检一件是甲级品的概率为 . 7.一个袋中袋有5个形状大小完全相同的小 球,其中红球有2个,编号分别为1,2;黑 球有2个,编号分别为1,2;白球有一个, 编号为1,现从袋中一次随机抽取2个球. (1)求取出的2个球的颜色不相同的概率; (2)求取得的球中有1号球的概率. 1.(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4, 5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张, 则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍 数的概率为 ( ) A.15 B. 1 3 C.25 D. 2 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —23— 高一数学(配XJ版) 2.(2021·全国甲卷)将3个1和2个0随机排 成一行,则2个0不相邻的概率为 ( ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8 易错一 不能正确理解频率与概率的关系 致错 [示例1] 抛掷一枚质地均匀的硬币,如果 连续抛掷1000次,那么第999次出现正 面朝上的概率是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 随机事件的频率与概率的关系中,概率是客观存 在的,与试验次数无关,而频率是随机的,随着试 验次数的增多,频率越来越接近概率,频率在随机 试验前是不能确定的,而概率在随机试验前就能 确定的,因此本题求解的是概率和抛掷次数是无 关的. 易错 二 不 能 正 确 理 解 古 典 概 型 中 的 “放回”与“不放回”致错 [示例2] 小李在做一份调查问卷,共有5 道题,其中有两种题型,一种是选择题, 共3道,另一种是填空题,共2道.若小李 从中任选2道题解答,每一次选1题(不放 回),则所选的题不是同一种题型的概率为 ;若小李从中任选2道题解答, 每一次选1题(有放回),则所选的题不是 同一种题型的概率为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求解“放回”与“不放回”问题时应注意:(1)对于放 回抽样,应注意连续取两次的过程中,因先后顺序 不同,(4,5),(5,4)并不是同一个样本点.(2)对于 不放回抽样,计算样本点的个数时,既可以看作是 有顺序的,也可以看作是无顺序的,其最后结果是 一致的,但无论是选择哪一种方式,观察角度必须 一致. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —33— 高一数学(配XJ版) 因为m⊥α,n⊥β,所以m'⊥α,n'⊥β, 所以a⊥m',a⊥n',所以a⊥γ. 又因为l⊄α,l⊄β,所以l与a 不重合,所以l∥a. 作业(十三) 随机事件与概率的运算 【基础演练】 1.D “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”. 2.B 从5个小球中任取2个,其中数字之差的绝对值为2 或4的事件 包 含(1,3),(1,5),(2,4),(3,5),共4个 样 本点. 3.解析 抛掷一次硬币正面朝上的概率是0.5. 答案 0.5 4.解析 这个试验的样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1), (0,0)},共4个样本点. 答案 4 【综合演练】 1.C 不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,故 A错 误;频率是由试验的次数决定的,故B错误;概率是频率的 稳定值,故C正确,D错误. 2.C 由题意,可知A={1,2},B={2,3}, 则A∩B={2},A∪B={1,2,3},∴A∪B 表示向上的点数 为1或2或3. 3.ABD X=4表示两次抛掷所得总数之和为4,则随机试 验的样本点是“第一枚是3点,第二枚是1点”或“第一枚 是1点,第二枚是3点”或“两枚都是2点”. 4.BCD 对于 A,事件A 与B 互斥时,A∪B 不一定是必然 事件,故 A不正确;对于B,事件 E 与F 不会同时发生, 所以 E 与F 是互斥事件,但除了事件E 与F 之外还有“丙 取到红楼梦”“丁取到红楼梦”,所以E 与F 不是对立事件, 故E 与F 是互斥但不对立事件,B正确;对于C,事件A= {1,2,3,4,5},事件B={2,3,5},所以B 包含于A,C正确; 对于D,样本空间Ω={正品,次品},含有2个样本点,故D 正确. 5.解析 最少需要取3次,最多需要取7次,那么剩余鸡的 只数最多4只,最少0只,所以剩余动物的脚数可能是8, 6,4,2,0. 答案 {0,2,4,6,8} 6.解析 ∵第1,2,4组的频数分别为6,7,9, ∴第1,2,4组的频率分别为640=0.15 ,7 40=0.175 ,9 40= 0.225. ∵第3组的频率为0.25, ∴第5组的频率是1-0.25-0.15-0.175-0.225=0.2, ∴售出的这300双皮鞋中尺码为40~42的皮鞋约为0.2× 300=60(双). 答案 60 7.解析 (1)甲、乙、丙三个协会共有的运动员人数为27+ 9+18=54, 则应从甲协会抽取27×654=3 (人), 从乙协会抽取9×654=1 (人), 从丙协会抽取18×654=2 (人). 故从甲、乙、丙 三 个 协 会 中 抽 取 的 运 动 员 人 数 分 别 为3, 1,2. (2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有 样本点为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1, A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4), (A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共 15种. ②事件A 可用集合表示为{(A1,A5),(A1,A6),(A2,A5), (A2,A6),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6), (A5,A6)}. 【真题体验】 1.D 设高一2名学生为A1,A2,高二2名学生为B1,B2,从 中随机选2名的样本点有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2), (A2,B1),(A2,B2),(B1,B2)共6个,其中来自不同年级的 样本点有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2)共4个, 所以这2名学生来自不同年级的概率为46= 2 3. 故选D. 2.B 由 题 意 知 超 市 第 二 天 能 完 成1200份 订 单 的 配 货, 如果没有志愿者帮忙,则超市第二天共会积压超过500+ (1600-1200)=900(份)订单的概率为0.05,因此要使 第二天完 成 积 压 订 单 及 当 日 订 单 的 配 货 的 概 率 不 小 于 0.95,至少需要志愿者90050=18 (名).故选B. 【易误警示】 [示例1] BD 6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况 有:“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张 为红色,1张为绿色”“1张为红色,1张为蓝色”“1张为绿 色,1张为蓝色”,选项中给出的四个事件中与“2张都为红 色”互斥而非对立的有“2张恰有一张红色”“2张都为绿 色”,其中“2张 至 少 一 张 为 红 色”包 含 事 件“2张 都 为 红 色”,并非互斥,“2张不全为红色”是对立事件. [示例2] 解析 (1)由题意,停靠的站由南至北分别为S1, S2,…,S10站, 所以样本空间Ω 表示乘客所有可能到达的站,则 Ω= S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10 . (2)由题意,甲在S3 站买票,乙在S6 站买票, 则A= S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10 ,B= S7,S8,S9,S10 . (3)铁路局需要准备从S1 站发车的车票共计9种, 从S2 站发车的车票共计8种, … 从S9 站发车的车票1种, 共计9+8+…+2+1=45(种). 作业(十四) 古典概型、概率的运算、 用频率估计概率 【基础演练】 1.D 设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A,则P(A) =1-P(􀭿A)=1-0.6=0.4. 2.A 记4部书籍分别为a,b,c,d,则从4部书籍中任意抽取 2部的样本点为ab,ac,ad,bc,bd,cd共有6个,抽到《几何 原本》的样本点为ab,ac,ad 共有3个,所以抽到《几何原 本》的概率为P=36= 1 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —75— 3.B 从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两 位数,共有5×4=20种方法,这个两位数大于40的共有 41,42,43,45,51,52,53,54,共8种, 故这个两位数大于40的概率为820= 2 5 ,故选B. 4.解析 抛掷一枚骰子,样本空间出现的点数是{1,2,3,4, 5,6},共6个样本点. 事件A∪B 包括出现的点数是{1,3,5,6},共4个样本点, 故P(A∪B)=23 ; 事件A∩B 包括出现的点数是{3},共1个样本点, 故P(A∩B)=16. 答案 23 1 6 【综合演练】 1.BD A:在适宜的条件下种一粒种子,发芽的概率,不符合 等可能性; B:从中任取一球的事件有限,且任取一球为白球或黑球的 概率是等可能的; C:向一个圆面内部随机地投一个点,该点落在圆心的概 率,不符合有限性; D:老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限,甲、 乙、丙被选中的概率是等可能的.故选BD. 2.C 总共14颗算珠,其中上珠4颗,故从最右边两档的14 颗算珠中任取1颗,则这一颗是上珠的概率为414= 2 7. 3.B 甲、乙、丙 三 人 排 队,有{(甲,乙,丙)、(甲,丙,乙), (乙,丙,甲),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲)},共6 个样本点; 其中甲排在末位的有:{(乙,丙,甲),(丙,乙,甲)},共2个 样本点. ∴甲排在末位的概率P=26= 1 3. 4.B 由题设,若白球为1,2,红球为a,b,c, 则摸出两球的可能有(1,2),(1,a),(1,b),(1,c),(2,a), (2,b),(2,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10种;其中两个球同 色有(1,2),(a,b),(a,c),(b,c),共4种; 所以随机摸出2个球,则2个球颜色相同的概率为25. 5.解析 用五根小木棍摆成两个数,共有两种摆放方法. 第一种是用1根和4根小木棍 可 以 组 成1与4,1与8, 其和分别为5,9,共2种; 第二种是用2根和3根小木棍可以组成:2与3,2与7, 6与3,6与7,其和分别为5,9,9,13,共4种, 故用五根小木棍随机摆放成图中的两个数,有2+4=6种 不同的组合,其中两个数的和不小于9的有4种,∴这两 个数的和不小于9的概率为P=46= 2 3. 答案 23 6.解析 记抽捡的产品是甲级品为事件A,是乙级品为事件 B,是丙级品为事件C,这三个事件彼此互斥,且事件A 和 事件B∪C是对立事件,因而所求概率为P(A)=1-P(B)- P(C)=0.92. 答案 0.92 7.解析 (1)从袋中一次随机抽取2个球的样本点有(红1, 红2),(红1,黑1),(红1,黑2),(红1,白1),(红2,黑1), (红2,黑2),(红2,白1),(黑1,黑2),(黑1,白1),(黑2, 白1),共10种, 取出的2个 球 的 颜 色 不 相 同 的 样 本 点 有(红1,黑1), (红1,黑2),(红1,白1),(红2,黑1),(红2,黑2),(红2, 白1),(黑1,白1),(黑2,白1),共8种, 故取出的2个球的颜色不相同的概率为810= 4 5. (2)取得的球中有1号球的样本点有(红1,红2),(红1, 黑1),(红1,黑2),(红1,白1),(红2,黑1),(红2,白1), (黑1,黑2),(黑1,白1),(黑2,白1),共9种, 故取得的球中有1号球的概率910. 【真题体验】 1.C 无 放 回 随 机 抽 取2张 方 法 有(1,2),(1,3),(1,4), (1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5), (3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种,其中数字之积为4的 倍数的是(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)共6种, 故P=615= 2 5 ,故选C. 2.C 将3个1和2个0随 机 排 成 一 行,可 以 是00111, 01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010, 11100,共10种排法,其中2个0不相邻的排列方法为 01011,01101,01110,10101,10110,11010,共6种方法, 故2个0不相邻的概率为610=0.6 ,故选C. 【易误警示】 [示例1] 解析 抛掷一枚质地均匀的硬币,要么正面朝上, 要么反面朝上,因此第999次出现正面朝上的概率是12. 答案 12 [示例2] 解析 将3道选择题依次编号为1,2,3;2道填空 题依次编号为4,5. ①从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(不放回), 样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3), (2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2), (4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},共20个样本 点,这20个样本点发生的可能性是相等的.设事件 A 为 “所选的题不是同一种题型”,则事件 A 包含的样本点有 (1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2), (4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共12个,所以P(A)=1220=0.6. ②从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(有放回), 样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2), (5,3),(5,4),(5,5)},共25个样本点,这25个样本点发 生的可能性是相等的.设事件B 为“所选的题不是同一种 题型”,则 事 件 B 包 含 的 样 本 点 有(1,4),(1,5),(2,4), (2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2), (5,3),共12个,所以P(B)=1225=0.48. 答案 0.6 0.48 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —85—