作业(十三)随机事件与概率的运算-2024年高一数学暑假作业(湘教版)

随机事件与概率的运算 1.样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点:对于一个随机试验,我们将该试 验的每个可能结果称为样本点,常用ω(或 带下标)表示. 将随机试验所有样本点构成的集合称为此 试验的样本空间,用Ω表示. ②有限样本空间:如果样本空间中样本点 的个数是有限的,则称该样本空间为有限 样本空间. (2)随机事件 一般地,当Ω 是试验的样本空间时,我们 称Ω的子集A 是Ω 的随机事件,简称为事 件,一般用大写字母A,B,C,…来表示.对 于样本空间Ω,A 是事件和A⊆Ω 等价.由 一个样本点组成的集合,称为基本事件. 2.两个事件的关系和运算 关系 含义 符号表示 包含关系 若A 发生,则B 一定发生 A⊆B 相等关系 B⊇A 且A⊇B A=B 并事件(和 事件) A 与B 至 少 有 一个发生 A∪B 或A+B 交事件(积 事件) A 与 B 同 时 发生 A∩B 或AB 互斥(互 不 相容) A 与B 不 能 同 时发生 A∩B=⌀ 互为对立 A 与B 有 且 仅 有一个发生 A∩B=⌀, 且A∪B=Ω 1.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有 一次中靶”的对立事件是 ( ) A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶 2.在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的 五个小球,这些小球除标注的数字外完全 相同,现从中随机取出2个小球,则取出小 球标注的数字之差的绝对值为2或4的事 件包含的样本点个数为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 3.把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1000 次,其中有496次正面朝上,504次反面朝 上,则抛掷一次硬币正面朝上的概率为 . 4.先后两次抛掷同一枚硬币,若正面向上记 为1;若反面向上,则记为0,则这个试验的 样本空间中有 个样本点. 1.下列说法正确的是 ( ) A.任何事件的概率总是在(0,1)之间 B.频率是客观存在的,与试验次数无关 C.随着试验次数的增加,事件发生的频率 一般会稳定于概率 D.概率是随机的,在试验前不能确定 2.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事 件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则 ( ) A.A⊆B B.A=B C.A∪B 表示向上的点数是1或2或3 D.AB 表示向上的点数是1或2或3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —82— 高一数学(配XJ版) 3.(多选)依次抛掷两枚骰子,所得点数之和 记为X,那么 X=4表示的随机试验的样 本点是 ( ) A.第一枚是3点,第二枚是1点 B.第一枚是1点,第二枚是3点 C.两枚都是4点 D.两枚都是2点 4.(多选)下列说法正确的是 ( ) A.若事件 A 与B 互斥,则 A∪B 是必 然事件 B.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼 梦》是我国四大名著.若在这四大名著 中,甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅 读,设事件E=“甲取到《红楼梦》”,事 件F=“乙取到《红楼梦》”,则E 与F 是 互斥但不对立事件 C.掷一枚骰子,记录其向上的点数,记事 件A=“向上的点数不大于5”,事件B= “向上的点数为质数”,则B⊆A D.10个产品中有2个次品,从中抽取一个 产品检查其质量,则样本空间含有2个 样本点 5.笼子中有4只鸡和3只兔,依次取出一只, 直到3只兔全部取出,记录剩下动物的脚 数.则该试验的样本空间Ω= . 6.商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双, 商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售 情况,以这周内某天售出的40双皮鞋的尺 码为一个样本,分为5组,已知第3组的频 率为0.25,第1,2,4组的频数分别为6,7,9. 若第5组表示的是尺码为40~42的皮鞋, 则售出的这300双皮鞋中尺码为40~42 的皮鞋约为 双. 7.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数 分别为27,9,18.现采用分层随机抽样的 方法从这三个协会中抽取6名运动员组队 参加比赛. (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动 员的人数; (2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分 别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运 动员中随机抽取2人参加双打比赛. ①用所给编号列出所有样本点; ②设A 为事件“编号为A5和A6的两名运 动员中至少有1人被抽到”,写出该事件的 集合表示. 1.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学 生,其中高一、高二年级各2名.从这4名 学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这 2名学生来自不同年级的概率为 ( ) A.16 B. 1 3 C.12 D. 2 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —92— 2.(2020·全国卷Ⅱ改编)某超市开通网上销 售业务,每天能完成1200份订单的配货, 由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解 决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工 作.已知该超市某日积压500份订单未配 货,预计第二天的新订单超过1600份的概 率为0.05,志愿者每人每天能完成50份 订单的配货,为使第二天完成积压订单及 当日订单的配货的概率不小于0.95,则至 少需要志愿者 ( ) A.10名 B.18名 C.24名 D.32名 易错一 不理解互斥事件、对立事件的概 念致错 [示例1] (多选)不透明的口袋内装有红 色、绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取出 2张卡片,则与事件“2张卡片都为红色” 互斥而不对立的事件有 ( ) A.2张卡片不全为红色 B.2张卡片恰有一张红色 C.2张卡片至少有一张红色 D.2张卡片都为绿色 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 在一次试验中,不可能同时发生的事件为互斥事 件,在互斥事件中必有一个发生的事件为对立事 件,理解二者的含义、区别和联系,有必要时可列 举出每个事件所包含的样本点来判断,才不至于 出错. 易错二 列举样本点时重复或遗漏致错 [示例2] 设有一列北上的火车,已知停靠 的站由南至北分别为S1,S2,…,S10站.若 甲在S3 站买票,乙在S6 站买票,设样本空 间Ω表示乘客所有可能到达的站,令A 表 示甲可能到达的站的集合,B 表示乙可能 到达的站的集合. (1)写出样本空间Ω; (2)分别写出事件A、事件B 所包含的样 本点; (3)铁路局需为该列车准备多少种北上的 车票? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 列举样本点的关键是理解事件的含义,按照一定 的顺序写,要保证所有的样本点不重不漏. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —03— 高一数学(配XJ版) 因为m⊥α,n⊥β,所以m'⊥α,n'⊥β, 所以a⊥m',a⊥n',所以a⊥γ. 又因为l⊄α,l⊄β,所以l与a 不重合,所以l∥a. 作业(十三) 随机事件与概率的运算 【基础演练】 1.D “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”. 2.B 从5个小球中任取2个,其中数字之差的绝对值为2 或4的事件 包 含(1,3),(1,5),(2,4),(3,5),共4个 样 本点. 3.解析 抛掷一次硬币正面朝上的概率是0.5. 答案 0.5 4.解析 这个试验的样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1), (0,0)},共4个样本点. 答案 4 【综合演练】 1.C 不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,故 A错 误;频率是由试验的次数决定的,故B错误;概率是频率的 稳定值,故C正确,D错误. 2.C 由题意,可知A={1,2},B={2,3}, 则A∩B={2},A∪B={1,2,3},∴A∪B 表示向上的点数 为1或2或3. 3.ABD X=4表示两次抛掷所得总数之和为4,则随机试 验的样本点是“第一枚是3点,第二枚是1点”或“第一枚 是1点,第二枚是3点”或“两枚都是2点”. 4.BCD 对于 A,事件A 与B 互斥时,A∪B 不一定是必然 事件,故 A不正确;对于B,事件 E 与F 不会同时发生, 所以 E 与F 是互斥事件,但除了事件E 与F 之外还有“丙 取到红楼梦”“丁取到红楼梦”,所以E 与F 不是对立事件, 故E 与F 是互斥但不对立事件,B正确;对于C,事件A= {1,2,3,4,5},事件B={2,3,5},所以B 包含于A,C正确; 对于D,样本空间Ω={正品,次品},含有2个样本点,故D 正确. 5.解析 最少需要取3次,最多需要取7次,那么剩余鸡的 只数最多4只,最少0只,所以剩余动物的脚数可能是8, 6,4,2,0. 答案 {0,2,4,6,8} 6.解析 ∵第1,2,4组的频数分别为6,7,9, ∴第1,2,4组的频率分别为640=0.15 ,7 40=0.175 ,9 40= 0.225. ∵第3组的频率为0.25, ∴第5组的频率是1-0.25-0.15-0.175-0.225=0.2, ∴售出的这300双皮鞋中尺码为40~42的皮鞋约为0.2× 300=60(双). 答案 60 7.解析 (1)甲、乙、丙三个协会共有的运动员人数为27+ 9+18=54, 则应从甲协会抽取27×654=3 (人), 从乙协会抽取9×654=1 (人), 从丙协会抽取18×654=2 (人). 故从甲、乙、丙 三 个 协 会 中 抽 取 的 运 动 员 人 数 分 别 为3, 1,2. (2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有 样本点为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1, A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4), (A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共 15种. ②事件A 可用集合表示为{(A1,A5),(A1,A6),(A2,A5), (A2,A6),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6), (A5,A6)}. 【真题体验】 1.D 设高一2名学生为A1,A2,高二2名学生为B1,B2,从 中随机选2名的样本点有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2), (A2,B1),(A2,B2),(B1,B2)共6个,其中来自不同年级的 样本点有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2)共4个, 所以这2名学生来自不同年级的概率为46= 2 3. 故选D. 2.B 由 题 意 知 超 市 第 二 天 能 完 成1200份 订 单 的 配 货, 如果没有志愿者帮忙,则超市第二天共会积压超过500+ (1600-1200)=900(份)订单的概率为0.05,因此要使 第二天完 成 积 压 订 单 及 当 日 订 单 的 配 货 的 概 率 不 小 于 0.95,至少需要志愿者90050=18 (名).故选B. 【易误警示】 [示例1] BD 6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况 有:“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张 为红色,1张为绿色”“1张为红色,1张为蓝色”“1张为绿 色,1张为蓝色”,选项中给出的四个事件中与“2张都为红 色”互斥而非对立的有“2张恰有一张红色”“2张都为绿 色”,其中“2张 至 少 一 张 为 红 色”包 含 事 件“2张 都 为 红 色”,并非互斥,“2张不全为红色”是对立事件. [示例2] 解析 (1)由题意,停靠的站由南至北分别为S1, S2,…,S10站, 所以样本空间Ω 表示乘客所有可能到达的站,则 Ω= S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10 . (2)由题意,甲在S3 站买票,乙在S6 站买票, 则A= S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10 ,B= S7,S8,S9,S10 . (3)铁路局需要准备从S1 站发车的车票共计9种, 从S2 站发车的车票共计8种, … 从S9 站发车的车票1种, 共计9+8+…+2+1=45(种). 作业(十四) 古典概型、概率的运算、 用频率估计概率 【基础演练】 1.D 设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A,则P(A) =1-P(􀭿A)=1-0.6=0.4. 2.A 记4部书籍分别为a,b,c,d,则从4部书籍中任意抽取 2部的样本点为ab,ac,ad,bc,bd,cd共有6个,抽到《几何 原本》的样本点为ab,ac,ad 共有3个,所以抽到《几何原 本》的概率为P=36= 1 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —75—