作业(十六)数列的概念-2024年高一数学暑假作业(湘教版)

第二部分 新知预习 数列的概念 知识点1 数列的概念与分类 1.数列:按照一定顺序排成的一列数叫作 数列. 2.数列的项:数列中的每一个数叫作这个数 列的项,排在第一位的数叫作数列的首项 或叫作数列的第1项,排在第二位的数叫 作数列的第2项,……,排在第n位的数叫 作数列的第n 项. 3.一般形式:数列的一般形式是a1,a2,…, an,…,简记为{an}. 4.数列按项的个数分类 (1)有穷数列:项数有限的数列称为有穷 数列. (2)无穷数列:项数无限的数列称为无穷 数列. 5.数列{an}可以看成以正整数集 N+(或它 的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的 函数an=f(n),当自变量按照从小到大 的顺序依次取值时所对应的一列函数值 f(1),f(2),f(3),….与函数的表示方 法一样,数列还可以用列表法和图象法 来表示. [注意] (1)如果组成两个数列的数相同,但顺序不 同,它们是不同的数列. (2)同一个数可以在数列中重复出现. (3){an}表示一个数列,an 表示数列中的 第n 项. [即学即练] 1.下列说法正确的是 ( ) A.数列中不能重复出现同一个数 B.1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列 C.1,1,1,1不是数列 D.若两个数列的每一项均相同,则这两个 数列相同 2.(多选)下列数列是无穷数列的是 ( ) A.1,13 ,1 32 ,1 33 ,… B.sinπ13 ,sin2π13 ,sin3π13 ,sin4π13 ,… C.-1,-12 ,-13 ,-14 ,… D.1,2,3,4,…,30 知识点2 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an 可以用关于n 的一个公式表示,那么这个公式就称为数列 {an}的通项公式. [注意] (1)并不是所有的数列都有通项公式. (2)有些数列的通项公式表达形式不唯一. [即学即练] 1.数列13 ,-12 ,3 5 ,-23 ,…的通项公式可 能是 ( ) A.an=(-1)n 1 4-n B.an=(-1)n-1 1 4-n 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —63— 高一数学(配XJ版) C.an=(-1)n n n+2 D.an=(-1)n-1 n n+2 2.数列{an}的通项公式为an= n+2,n是奇数, n-3,n是偶数, 则a3+a6= . 知识点3 数列的递推公式 如果数列{an}的任一项an+1与它的前一 项an 之间的关系可用一个公式来表示,即 an+1=f(an),n≥1,那么这个公式就叫作数 列{an}的递推公式;a1 称为数列{an}的初始 条件. [注意] (1)通项公式反映的是an 与n 之间的关系. (2)常见的递推关系一般是数列任意两个或 三个相邻项之间的推导关系,需要知道首项 或前几项,即可求数列中的每一项. [即学即练] 1.已知数列{an}的初始条件a1=1,且满足 an+1= 1 2an+ 1 2n ,则此数列的第3项是 ( ) A.1 B.12 C.34 D. 5 8 2.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+an+1+ an+2=1,n∈N+,则a2024= ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 知识点4 an 与Sn 的关系 1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项 之和称为数列{an}的前n项和,记作Sn, 即Sn=a1+a2+…+an. 2.an= S1,n=1, Sn-Sn-1,n≥2. [注意] (1)注意等式成立的条件. (2)一定要检验n=1时,S1 是否满足首项. (3)若Sn 与an 的关系式较复杂,可分别写出 Sn 与Sn-1(n≥2),然后作差求得. [即学即练] 1.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n-1 (n∈N+),则a5 等于 ( ) A.32 B.31 C.16 D.15 2.已知数列 an 的前n 项和为Sn=3n2+n, 则数列 an 的通项公式an= . 知识点5 数列的单调性及最大(小)项 数列按项的变化趋势分类 (1)递增数列:从第2项起,每一项都大于 它的前一项的数列; (2)递减数列:从第2项起,每一项都小于 它的前一项的数列; (3)常数列:各项都相等的数列; (4)摆动数列:从第2项起,有些项大于 它的前一项,有些项小于它的前一项的 数列. [即学即练] 1.已知数列an=-n2+4n+2,则该数列中最 大项的序号是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.在数列{an}中,an=n(n-8)-20,n∈N+, 则该数列从第 项开始递增,数列 的最小值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —73— 【易误警示】 [示例] A 由题 意 可 知,甲 队 在 第 一 场 比 赛 输 了,若 甲 队在0∶1落 后 的 情 况 下 最 后 获 胜,分 以 下 几 种 情 况 讨论: ①甲队在第二、三、四场比赛都获胜,概率为 P1=0.4× 0.52=0.1; ②甲队在第二场比赛输了,在第三、四、五场比赛获胜,概 率为P2=0.6×0.52×0.4=0.06; ③甲队在第二、四、五场比赛获胜,在第三场比赛输了,概 率为P3=0.4×0.52×0.4=0.04; ④甲队在第二、三、五场比赛获胜,在第四场比赛输了,概 率为P4=0.4×0.52×0.4=0.04. 综上所述,所求概率为0.1+0.06+0.04×2=0.24. 第二部分 新知预习 作业(十六) 数列的概念 知识点1 【即学即练】 1.D 由数列的定义可知,数列中可以重复出现同一个数,如 1,1,1,1,故A、C不正确;B中两数列首项不相同,因此不 是同一数列,故B不正确;由数列的定义可知,D正确. 2.ABC 对于选项A:数列1,13 ,1 32 ,1 33 ,…是无穷数列,故 选项A正确; 对于选项B:数列sin π13 ,sin2π13 ,sin3π13 ,sin4π13 ,…是无穷 数列,故选项B正确; 对于选项C:数列-1,-12 ,-13 ,-14 ,…是无穷数列, 故选项C正确; 对于选项D:数列1,2,3,4,…,30不是无穷数列,故选项D 不正确. 知识点2 【即学即练】 1.D 法一 将n=1,2,3,4代入各选项验证易得答案. 法二 将数列13 ,-12 ,3 5 ,-23 ,…变为1 3 ,-24 ,3 5 , -46 ,…,从而可知分子的规律为n,分母的规律为n+2, 再结 合 正 负 的 调 节,可 知 其 通 项 公 式 可 以 为 an = (-1)n-1 nn+2. 2.解析 a3+a6=(3+2)+(6-3)=5+3=8. 答案 8 知识点3 【即学即练】 1.C a1=1,a2= 1 2a1+ 1 2=1 ,a3= 1 2a2+ 1 2×2= 3 4. 2.D ∵a1=1,a2=2,an+an+1+an+2=1, ∴a3=1-a1-a2=1-1-2=-2, a4=1-a3-a2=1-(-2)-2=1, a5=1-a4-a3=1-1-(-2)=2, … 由此推理可得数列{an}是一个周期为3的周期数列, ∴a2024=a2=2. 知识点4 【即学即练】 1.C 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1, 当n=5时,a5=24=16. 2.解析 当n=1时,a1=S1=4; 当n≥2 时,an =Sn -Sn-1 =3n2 +n-3 n-1 2 - n-1 =6n-2; 显然n=1时也符合上式,所以an=6n-2. 答案 6n-2 知识点5 【即学即练】 1.A 因为an=-(n-2)2+6,n∈N+,所以当n=2时,an 取得最大值. 2.解析 因为an+1-an=2n-7,所以当an+1-an>0时,n> 7 2 ,又n∈N+,故数列{an}从第4项开始递增. an=n(n-8)-20=(n-4)2-36,根据二次函数的性质 知,当n=4时,an 取得最小值-36,即这个数列有最小值, 最小值为-36. 答案 4 -36 第三部分 综合检测 1.D z=-4i1-i= -4i(1+i) 2 =2-2i ,对应的复平面的坐标为 (2,-2),在第四象限.故选D. 2.A sin12°cos18°+cos12°sin18°=sin(12°+18°)= sin30°=12. 3.B 由已知得a+2b=(5,2-4λ),a-b=(-7,2+2λ), ∵(a+2b)∥(a-b), ∴5×(2+2λ)-(-7)×(2-4λ)=0, 解得λ=43. 4.C 由正弦定理 asinA= b sinB 可得sinA=asinBb = 3×23 4 =12. 5.B 因 为 OB→ =OA→ +AB→ =OA→ + 35 AC → =OA→ + 3 5 OC →-OA→ =25OA →+35OC →. 所以b=25a+ 3 5c ,即λ=25 ,μ= 3 5. 6.D 因为acosC=b+ 23c ,由 正 弦 定 理 得sinAcosC= sinB+23sinC ,又 因 为 A+C=π-B,可 得sinB= sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 所以cosAsinC+23sinC=0 , 因为C∈(0,π),可得sinC>0, 所以cosA=-23 , 又因为A∈(0,π),所以π2<A<π , 所以△ABC为钝角三角形. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —06—