作业(十)空间点、直线、平面之间的位置关系-2024年高一数学暑假作业(湘教版)

空间点、直线、平面之间的位置关系 1.四个基本事实 基本事实1:如果一条直线上的两个点在 一个平面内,那么这条直线在这个平面内. 基本事实2:过不在一条直线上的三点,有 且只有一个平面. 基本事实3:如果两个不重合的平面有一 个公共点,那么它们有且只有一条过该点 的公共直线. 基本事实4:平行于同一条直线的两条直 线平行. 2.三个推论 推论1:一条直线和直线外一点确定一个 平面. 推论2:两条相交直线确定一个平面. 推论3:两条平行直线确定一个平面. 3.空间中直线与直线的位置关系 共面直线 相交直线:在同一个平面内,两条 直线有且只有一个公 共点 平行直线:在同一个平面内,两条 直线没有公共点 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 异面直线:两条直线不同在任何一个平 面内,没有公共点 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 类别 图形语言 符号语言 公共点 个数 直 线 与 平 面 相交 a∩α=A 1个 平行 a∥α 0个 在平 面内 a⊂α 无数个 续表 类别 图形语言 符号语言 公共点 个数 平 面 与 平 面 平行 α∥β 0个 相交 α∩β=l 无数个 5.等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平 行,那么这两个角相等或互补. 6.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线a,b,在空间 任取一点P,过P 分别作a 和b 的平行线 a'和b',我们把a'与b'所成的锐角或直角 叫作异面直线a 与b所成的角. (2)范围:0,π2 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 . 1.空间两条互相平行的直线指的是 ( ) A.在空间没有公共点的两条直线 B.分别在两个平面内的两条直线 C.在两个不同的平面内且没有公共点的 两条直线 D.在同一平面内且没有公共点的两条 直线 2.能确定一个平面的条件是 ( ) A.空间三个点 B.一个点和一条直线 C.无数个点 D.两条相交直线 3.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a, N∈b,M∈l,N∈l,则 ( ) A.l⊂α B.l⊄α C.l∩α=M D.l∩α=N 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —02— 高一数学(配XJ版) 4.在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1 中,直 线 A1B 与直线AC 的位置关系为 ( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定 1.在空间中,三条两两相交的直线最多可确 定的平面的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.无数 2.(多选)下列说法正确的是 ( ) A.三个平面最多可以把空间分成八部分 B.若直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,则 “a与b相交”与“α与β相交”等价 C.若α∩β=l,直线a⊂平面α,直线b⊂平 面β,且a∩b=P,则P∈l D.若n 条直线中任意两条共面,则它们 共面 3.两条直线a,b分别和异面直线c,d 都相 交,则直线a,b的位置关系是 ( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.可能是平行直线 D.可能是异面直线,也可能是相交直线 4.(2024·哈尔滨模拟)已 知 在 直 三 棱 柱 ABC A1B1C1 中,∠ABC=120°,AB=2, BC=CC1=1,则异面直线AB1 与BC1 的 夹角的余弦值为 . 5.如图所示,在棱长为2的 正方体ABCD A1B1C1D1 中,E,F 分别是AB,CC1 的中点. (1)求 异 面 直 线 A1E 与 D1F的夹角的余弦值; (2)求三棱锥A1 D1EF的体积. (2021·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,P 为B1D1 的中点,则直线PB 与AD1 所成的角为 ( ) A.π2 B. π 3 C.π4 D. π 6 易错一 对基本事实理解不透彻致错 [示例1] 下列说法正确的是 ( ) A.空间中不同的三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个 平面 C.空间中有三个角为直角的四边形一定 是平面图形 D.和同一条直线相交的三条平行直线一 定在同一个平面内 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 忽视基本事实1中的关键词“不在一条直线上”, 就会错选A;若对两两相交的三条直线的情况考 虑不全,就会错选B;空间想象能力不够,就会错 选C. 易错二 利用基本事实忽略前提条件致错 [示例2] 已知A,B,C,D,E 五点中,A,B, C,D 共面,B,C,D,E 共面,则A,B,C,D, E 五点的位置关系是 ( ) A.共面 B.不共面 C.共线 D.不确定 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解本题时易误认为因为A,B,C,D 共面,所以点A 在B,C,D 所确定的平面内.因为B,C,D,E 共面, 所以点E 也在B,C,D 所确定的平面内,所以点 A,E 都在B,C,D 所确定的平面内,即A,B,C,D, E 五点一定共面,以上错解忽略了“不在一条直线 上的三个点”这个重要条件,实际上B,C,D 三点 有可能共线. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —12— [示例2] 解析 如图,旋转之后形成的图形为圆台去掉一 个半球体. 则旋 转 一 周 所 形 成 的 几 何 体 的 体 积 为 1 3 ×4× 4π+25π+ 4π×25π -12× 4 3π×2 3=140π3 . 答案 140π3 作业(十) 空间点、直线、平面之间的位置关系 【基础演练】 1.D 因为两平行直线确定一个平面,且两平行直线没有公 共点,所以空间两条互相平行的直线指的是在同一平面内 且没有公共点的两条直线. 2.D A项,三个点可能共线;B项,点可能在直线上;C项, 无数个点也可能在同一条直线上. 3.A ∵M∈a,a⊂α,∴M∈α,又∵N∈b,b⊂α,∴N∈α,又 M,N∈l,∴l⊂α. 4.B ∵A1B∩平面ABCD=B,又AC⊂平面ABCD,B∈平 面ABCD,B∉AC, ∴A1B 与AC 为异面直线. 【综合演练】 1.C 在空间中,两两相交的三条直线最多可以确定3个平 面,如图所示. PA,PB,PC 相 交 于 一 点P,若 PA,PB,PC 不 共 面,则 PA,PB 确定一个平面PAB,PB,PC确定一个平面PBC, PA,PC确定一个平面PAC. 2.AC 对于A,正确;对于B,“α与β相交”推不出“a与b相交”, 也可能a∥b,故B错误;对于C,正确;对于D,正方体的侧 棱任意两条都共面,但这4条侧棱却不共面,故D错误. 3.D 已知直线c与d 是异面直线,设直线a与直线c 和直 线d 分别交于点A,B,直线b与直线c和直线d 分别交于 点C,D, 根据题意可得当点D 与点B 重合时,两条直线相交,当点 D 与点B 不重合时,两条直线异面,所以直线a,b的位置 关系是异面或相交. 4.解析 如图所示,补成直四棱柱ABCD A1B1C1D1, 则所求角为∠BC1D 或其补角, ∵BC1= 2,BD= 22+1-2×2×1×cos60°= 3, C1D=AB1= 5,易得C1D2=BD2+BC21, 即BC1⊥BD,因此cos∠BC1D= BC1 C1D = 2 5 = 105 . 答案 105 5.解析 (1)如图,设BB1 的中点为 H,连接 HF,EH,A1H, 因为F 是CC1 的中点, 所以A1D1∥CB∥HF,A1D1=CB=HF, 因此四边 形 A1D1FH 是 平 行 四 边 形,所 以 D1F∥A1H, D1F=A1H, 因此∠EA1H 是异面直线A1E 与D1F 的夹角或其补角, 因为正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为2,E是AB的中点, 所以A1E=A1H= 22+12= 5,EH= 12+12= 2, 由余弦 定 理 可 知,cos∠EA1H= A1E2+A1H2-EH2 2A1E·A1H = 5+5-2 2× 5× 5 =45 , 所以异面直线A1E 与D1F 的夹角的余弦值为 4 5. (2)因 为 A1D1 ∥HF,HF⊄ 平 面 A1D1E,A1D1 ⊂ 平 面A1D1E, 所以 HF∥平面A1D1E, 因此点 H,F 到平面A1D1E 的距离相等, 即VA1 D1EF=VFA1D1E=VH A1D1E=VD1 A1EH, VD1-A1EH = 1 3D1A1 ·S△A1EH =13×2× 2 2-12×2×1×2- 1 2×1×1 =1, 所以三棱锥A1 D1EF 的体积为1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —25— 高一数学(配XJ版) 【真题体验】 D 如图,∠PBC1 为直线PB 与AD1 所成的角. 易知△A1BC1 为 正 三 角 形,又 P 为 A1C1 中 点,所 以 ∠PBC1= π 6. 【易误警示】 [示例1] D 空间中共线的三点 不能确定一个平面,所以选项 A 错误;空间中两两相交的三条直 线交于同一点时,可能确定一个平面也可能确定三 个 平 面,所以选项B错误;空间中有三个角为直角的四边形可 能是空间图形,所以选项C错误;选项D正确,如图,因为 a∥b,所以直线a,b确定一个平面α.因为b∥c,所以直线 b,c确定一个平面β.因为l⊂α,l⊂β,由“经过两条相交直 线,有且 只 有 一 个 平 面”可 知α 与β 重 合,所 以a,b,c,l 共面. [示例2] D 分两类进行讨论.(1)若B,C,D 三点不共线, 则它们确定一个平面α.因为A,B,C,D 共面,所以点A 在 平面α内.因为B,C,D,E 共面,所以点E 在平面α内. 所以 点 A,E 都 在 平 面α 内,即 A,B,C,D,E 五 点 一 定 共面. (2)若B,C,D 三点共线于l,若A∈l,E∈l,则A,B,C,D, E 五点一定共面,但平面不唯一; 若A,E 中有且只有一个在l上,则A,B,C,D,E 五点一定 共面. 若A,E 都不在l上,则A,B,C,D,E 五点,可能共面,也可 能不共面. 综上,A,B,C,D,E 五点的位置关系无法确定. 作业(十一) 空间直线、平面的平行 【基础演练】 1.D 由a∥b,且a∥α,知b∥α或b⊂α. 2.C 因为平面α∥平面β,直线l∥α,所以直线l可能和平面 β平行,也可能在平面β内.故选C. 3.D A项还可能l⊂α,故A错误;B项还可能a与平面α相 交,故B错误;C项还可能a⊂α,故C错误;由直线与平面 平行的性质以及平行的传递性可知D正确. 4.D 对于A、B,直线l⊂平面α,直线 m⊂平面β,若l∥m, 则α与β相交或α∥β,故A、B错误; 对于C、D,若l∩m=P,则P∈l且P∈m,又直线l⊂平面 α,直线m⊂平面β, 所以P∈α且P∈β,则α与β相交,故C错误,D正确. 【综合演练】 1.D 当α∥m,β∥m 时,α,β可以相交,故选项A不正确; 当m∥α,n⊂α时,m,n 可以是异面直 线,因 此 选 项B不 正确; 当m∥n,n∥α时,存 在 m⊂α这 一 情 况,所 以 选 项 C不 正确; 根据面面平行的性质可知选项D正确,故选D. 2.D ∵a∥b,a⊄γ,b⊂γ,∴a∥γ, ∵a⊂α,γ∩α=c,∴a∥c, ∴b∥c,∴a∥b∥c,故选D. 3.D 如图所示, 作平面KSHG∥平面ABCD,C1F,D1E 交平面KSHG 于 点N,M,连接 MN, 由面面平行的性质得 MN∥平面ABCD,由于平面KSHG 有无数多个, 所以平行于平面ABCD 的MN 有无数多条,故选D. 4.BC 选项A,在△ABC中,因为E,F 分别是边AB,BC 的 中点,所以EF∥AC且EF=12AC , 当λ=μ= 1 2 时,H,G 分别为DA,DC中点,所以在△DAC 中可得HG∥AC且HG=12AC , 所以EF∥HG 且EF=HG, 所以四边形EFGH 是平行四边形, 又E,H 分别为AB,AD 的中点,所以EH∥BD, 又EF∥AC, 当BD⊥AC时有EH⊥EF,平行四边形EFGH 为矩形, 所以四边形EFGH 不一定是矩形,A错误; 选项B,当λ=μ= 2 3 时,DG DC= DH DA= 2 3 , 所以 HG=23AC ,且 HG∥AC, 则由A可知EF∥HG 且EF≠HG,所以四边形EFGH 是 梯形,B正确; 选项C,当λ≠μ时,EF 不平行于 HG,又因为 HG⊂平面 ADC,EF⊄平面ADC,所以 HG,EF 是异面直线,四边形 EFGH 是空间四边形,C正确; 选项D,不妨设直线EH,FG,BD 相交于一点O, 因为EF∥AC,AC⊂平面ADC,EF⊄平面ADC, 所以EF∥平面ADC, 又因为直线EH,FG 相交于点O,所以EF⊂平面EHGF, 因为平面EHGF∩平面ADC=HG,所以EF∥HG∥AC, 所以可得λ=μ,矛盾,D错误.故选BC. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —35—