作业(三)向量的数量积-2024年高一数学暑假作业(湘教版)

高一数学(配XJ版) 向量的数量积 1.向量的夹角 设a,b是两个非零向量,任选一点O,作 OA → =a,OB → =b,则射线OA,OB 所夹的最 小非负角∠AOB=α称为向量a,b 的夹 角,记作<a,b>,如图所示. 2.向量的数量积 设a,b是任意两个向量,<a,b>是它们的夹 角,则定义a·b=|a||b|cos<a,b>为a与 b的数量积. 3.向量数量积的几何意义 一般地,a与b 的数量积等于a 的长度|a| 与b在a方向上的投影|b|cosα的乘积, 或b 的长度|b|与a 在b 方向上的投影 |a|cosα的乘积. 4.向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a. (2)a·(λb)=λ(a·b). (3)a(b+c)=a·b+a·c. 5.向量数量积的有关结论 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b= |a||b|cosθ a·b= x1x2+y1y2 模 |a|= a·a |a|= x21+y21 夹角 cosθ= a ·b |a||b| cosθ= x1x2+y1y2 x21+y21 x22+y22 续表 几何表示 坐标表示 a⊥b的 充要 条件 a·b=0 x1x2+y1y2=0 |a·b|与 |a||b| 的关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b 时等号成立) |x1x2+y1y2|≤ (x21+y21)(x22+y22) 1.(2023·朝阳高一期中)已知a=(-2,1), b=(3,2),则a·(a+b)= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已 知 向 量a=(2,1),b=(-1,1),则 |2a-b|= ( ) A.5 B.4 C.26 D.6 3.已 知 向 量a=(2,4),b=(-1,m),若 (a-b)⊥b,则实数m 的值是 ( ) A.3或-1 B.-3或1 C.3或1 D.-3或-1 4.已知向量a,b满足a+b= 4,-1 ,2a-b =(2,1),则cos<a-b,b>= . 1.(2023·黄冈高一期中)已知 A(3,-2), B(-1,-5),C(1,2),则cos∠BAC= ( ) A.2 525 B.- 2 5 25 C.525 D.- 5 25 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —5— 2.(2023·孝感高一期中)已知平面向量a= (1,m),b=(n,2),c=(3,6),若a∥c,b⊥c, 则|a+b|= ( ) A.5 B.5 C.2 D.41 3.已知向量a,b满足a= 4,0 ,b= m,1 , 且 a =a·b,则a,b的夹角大小为( ) A.π4 B. π 3 C.π2 D. 3π 4 4.已知向量a,b都是单位向量,且 a-b =1, 则 a+b = ( ) A.1 B.2 C.2 D.3 5.在 梯 形 ABCD 中,AB∥CD,CD =2, ∠BAD=π4 ,若AB →·AC → =2AB →·AD →,则 AD →·AC → = ( ) A.12 B.16 C.20 D.4 10 6.(多选)已知点A(-3,2),B(1,0),C(4,1), D(-2,4),则 ( ) A.AB → =(-4,2) B.AB → ⊥AD → C.AB → ∥DC → D.四边形ABCD 为直角梯形 1.(2023·北京卷)已知向量a,b满足a+b= (2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2= ( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 2.(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a= 1,1 , b= 1,-1 ,若 a+λb ⊥ a+μb ,则 ( ) A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 易错一 认为a与b 的夹角为锐角(钝角) 等价于a·b>0(<0)致错 [示例1] 已知a= x,1 ,b= 2,2x+3 , 若a,b的夹角为钝角,则x的取值范围为 ( ) A.-34 ,+∞ B.-∞,-2 ∪ -2,-34 C.-∞,-34 D.-2,-34 ∪ -34,+∞ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 当a·b>0(<0)时,a与b 的夹角为锐角(钝角) 或0°(180°)角,所以a与b的夹角为锐角(钝角)等 价于a·b>0(<0)且a与b不共线. 易错二 向量夹角的概念不清致错 [示例2] 已知等边三角形ABC的边长为2, 则AB →·BC → = ( ) A.2 B.-2 C.- 3 D.3 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对于平面图形中向量的数量积计算问题,要根据 向量夹角的定义,作出图形,准确确定向量的夹 角,然后利用向量数量积的定义计算. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —6— 高一数学(配XJ版) 由C,G,E 三 点 共 线 知,存 在n∈R,满 足AG→=nAE→+ 1-n AC→=12nAB →+ 1-n AC→. 所以1 3mAC →+ 1-m AB→=12nAB →+ 1-n AC→. 又因为AC→,AB→为不共线的非零向量, 所以 1-m=12n , 1 3m=1-n , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 m=35 , n=45 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以AG→=25AB →+15AC →. 作业(三) 向量的数量积 【基础演练】 1.A 因为a=(-2,1),b=(3,2),所以a·(a+b)=(-2, 1)·(1,3)=-2+3=1. 2.C 因为a=(2,1),b=(-1,1), 所以2a-b=(5,1), 所以|2a-b|= 52+12= 26,故选C. 3.C a=(2,4),b=(-1,m),则a-b=(3,4-m), ∴(a-b)·b=-3+m(4-m)=0,即-3+4m-m2=0, 解得m=1或m=3. 4.解析 由题意可得 a+b=(4,-1), 2a-b=(2,1), 两式相加可得3a= (6,0),即a=(2,0), 可得a-b=(2a-b)-a=(0,1), b=(a+b)-a=(2,-1), 所以cos<a-b,b>= a-b ·b |a-b|·|b|= -1 1× 5 =- 55. 答案 - 55 【综合演练】 1.B A(3,-2),B(-1,-5),C(1,2),则AB→=(-4,-3), AC→=(-2,4), cos∠BAC= AB→·AC→ |AB→|·|AC→| =8-12 5×2 5 =-2 525. 2.A 由于a∥c,b⊥c,所以 1×6=3m, 3n+12=0, 解得m=2,n=-4, 所以a+b=(1,2)+(-4,2)=(-3,4), 所以|a+b|= (-3)2+42=5. 3.A ∵|a|=4,∴4m=4,解得m=1,即b=(1,1), cos<a,b>= a ·b |a||b|= 4 4× 2 = 22 , 又<a,b>∈[0,π], ∴a和b的夹角大小为π4. 4.D 向量a,b都是单位向量,且|a-b|=1,则(a-b)2= a2+b2-2a·b=2-2a·b=1,解得2a·b=1, 所以|a+b|= (a+b)2= a2+b2+2a·b= 3. 5.A ∵AB→·AC→=2AB→·AD→, ∴AB→·AC→-AB→·AD→=AB→·DC→=AB→·AD→, ∵AB∥CD,CD=2,∠BAD=π4 , 所以2|AB→|=|AB→|·|AD→|cosπ4, 可得 AD→ =2 2, ∴AC→·AD→=(AD→+DC→)·AD→=AD→2+AD→·DC→=8+ 2 2×2×cosπ4=12. 6.BCD 由题意得AB→=(4,-2),故A错误; AD→=(1,2),因为AB→·AD→=4×1-2×2=0,所以AB→⊥ AD→,故B正确; DC→=(6,-3),所以AB→=23DC →,所以AB→∥DC→,且|AB→|≠ |DC→|,结合AB→⊥AD→,可得四边形 ABCD 为直角梯形,故 C、D正确. 【真题体验】 1.B 向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1), 所以|a|2-|b|2=(a+b)·(a-b)=2×(-2)+3×1= -1. 2.D 因 为 a= 1,1 ,b= 1,-1 ,所 以 a+λb = 1+λ,1-λ ,a+μb= 1+μ,1-μ , 由 a+λb ⊥ a+μb 可得,a+λb ·(a+μb)=0, 即 1+λ 1+μ + 1-λ 1-μ =0,整理得λμ=-1. 故选D. 【易误警示】 [示例1] B ∵a,b夹角为钝角, ∴cos<a,b>= a ·b a · b <0 且a,b不共线, 即a·b=4x+3<0且x 2x+3 ≠2, 解得x<-34 且x≠-2, ∴x的取值范围为 -∞,-2 ∪ -2,-34 . [示例2] B 因为向量AB→,BC→的夹角为2π3, 所以AB→·BC→=2×2×cos2π3=-2,故选B. 作业(四) 正弦定理和余弦定理 【基础演练】 1.A B=180°-45°-75°=60°,由 正 弦 定 理 得 ACsin60°= BC sin45° ,得AC=BC ·sin60° sin45° = 2× 32 2 2 = 3. 2.D 由正弦定理可得asinB=bsinA⇒ 2sinB= 3× 22⇒ sinB= 32 ,由 于 B∈(0,π),b>a,所 以 B= π3 或2π 3 , 故选D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —34—