作业(六)两角和与差的正弦、余弦和正切-2024年高一数学暑假作业(湘教版)

高一数学(配XJ版) 两角和与差的正弦、余弦和正切 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α-β):cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ; (2)公式C(α+β):cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ; (3)公式S(α-β):sin(α-β)=sinαcosβ- cosαsinβ; (4)公式S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβ; (5)公式T(α-β):tan(α-β)= tanα-tanβ 1+tanαtanβ ; (6)公式T(α+β):tan(α+β)= tanα+tanβ 1-tanαtanβ . 2.二倍角公式 (1)公式S(2α):sin2α=2sinαcosα. (2)公 式 C(2α):cos2α=cos2α-sin2α= 2cos2α-1=1-2sin2α. (3)公式T(2α):tan2α= 2tanα 1-tan2α . 1.计算:1-2sin222.5°= ( ) A.- 22 B. 2 2 C.- 32 D. 3 2 2.sin17°cos43°+cos17°sin43°= ( ) A.12 B. 2 2 C.32 D. 2+ 6 4 3.若tanα+π4 =17,则tanα= ( ) A.34 B. 4 3 C.-34 D.- 4 3 4.已知α是锐角,sinα=35 ,则cosπ4+α = ( ) A.- 210 B. 2 10 C.- 25 D. 2 5 1.(2023·济宁高一期中)若sinα= 32 , 则cos2α的值为 ( ) A.12 B.- 1 2 C.1 D.3 2.sinα=35 ,α∈ π2 ,π ,则cos π4-α 的 值为 ( ) A.- 25 B.- 2 10 C.-7 210 D.- 7 2 5 3.已知1-tanA1+tanA=5 ,则tanπ4+A = ( ) A.- 5 B.5 C.- 55 D. 5 5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —11— 4.已 知sinβ= 1 3 ,cos(α+β)= -1,则 sin(α+2β)的值为 ( ) A.1 B.-1 C.13 D.- 1 3 5.方程cos2x-sinx=0在区间 0,2π 上的 所有解的和为 . 6.已知 A,B 均为锐角,tanA=3,sinB= 2 5 5 ,那么A+B= . 7.求下列各式的值. (1) 2cos 2α-1 2tan π4-α sin2 π4+α ; (2)2 3tan15°+tan215°; (3)sin10°sin30°sin50°sin70°. 1.(2021·全国乙卷)cos2π12-cos 25π 12= ( ) A.12 B. 3 3 C.22 D. 3 2 2.(2020·全国卷Ⅲ)已知sinθ+sinθ+π3 =1, 则sinθ+π6 = ( ) A.12 B. 3 3 C.23 D. 2 2 易错一 不能发现角的关系致错 [示例1] 已知θ为锐角,cos(θ+15°)=35 , 则cos(2θ-15°)= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 不能转化“2θ-15°”为特殊角及已知角的和、差,导 致无法求解或错解. 易错二 忽视角的范围致错 [示例2] 已知sin(π-α)=4 37 ,cos(α-β) =1314 ,0<β<α< π 2 ,则 角β 的 大 小 是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 本题容易忽视角的限制条件0<β<α< π 2 ,导致函 数值的符号错误. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —21— 4.解析 (1)由题意可得 sin2A-sin2B= 3sinAsinC-sin2C, 根据正弦定理可得a2-b2= 3ac-c2, 所以c 2+a2-b2 ac = 3 , 又根据余弦定理可得cosB=c 2+a2-b2 2ac = 3 2 , 因为B∈ 0,π ,所以B=π6. (2)因为S△ABC= 1 2a (b-2c)=12acsinB , 即b=52c ,由正弦定理可得sinB=52sinC , 所以sinC=25sinB= 1 5. 【真题体验】 1.C 由题意结合正弦定理可得 sinAcosB-sinBcosA=sinC, 即sinAcosB-sinBcosA=sin A+B =sinAcosB+sinBcosA, 整理可得sinBcosA=0,由于B∈ 0,π , 故sinB>0,据此可得cosA=0,A=π2 , 则B=π-A-C=π-π2- π 5= 3π 10. 故选C. 2.解析 (1)∵A+B=3C, ∴π-C=3C,即C=π4 , 又2sin(A-C)=sinB=sin(A+C), ∴2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC, ∴sinAcosC=3cosAsinC, ∴sinA=3cosA, 即tanA=3,所以0<A<π2 , ∴sinA= 3 10 =3 1010 . (2)由(1)知,cosA= 1 10 = 1010 , 由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC = 22 3 10 10 + 10 10 =2 55 , 由正弦定理 c sinC= b sinB , 可得b= 5×2 55 2 2 =2 10, 设AB 边上的高为h, ∴12AB ·h=12AB ·AC·sinA, ∴h=b·sinA=2 10×3 1010 =6. 即AB 边上的高为6. 【易误警示】 [示例1] D 设建筑物的高度为hm,由题图知, PA=2hm,PB= 2hm,PC=2 33hm , 在△PBA 和△PBC中,分别由余弦定理的推论,得 cos∠PBA=60 2+2h2-4h2 2×60× 2h ,① cos∠PBC= 602+2h2-43h 2 2×60× 2h ,② 因为∠PBA+∠PBC=180°, 所以cos∠PBA+cos∠PBC=0,③ 由①②③,解得h=30 6或h=-30 6(舍去), 即建筑物的高度为30 6m. [示例2] B 因为a= 2,b= 3,B=π6 ,由正弦定理 a sinA = bsinB 可得, 2 sinA= 3 1 2 ,解得sinA= 66 ,因为a<b,所以 A<B,故 A∈ 0,π6 ,又y=sinx 在 0,π2 上 单 调 递 增,故A 只有一解,故选B. 作业(六) 两角和与差的正弦、余弦和正切 【基础演练】 1.B 由余弦的二倍角公式得1-2sin222.5°=cos45°= 22. 2.C sin17°cos43°+cos17°sin43°=sin(17°+43°)=sin60° = 32 ,故选C. 3.C tanα=tan α+π4 -π4 = tanα+π4 -tanπ4 1+tanα+π4 tanπ4 = 1 7-1 1+17×1 =-34. 4.B 因为α是锐角,sinα=35 ,所以cosα=45 , 所以cos π4+α = 22×45- 22×35= 210. 【综合演练】 1.B 因 为sinα= 32 ,所 以cos2α=1-2sin2α=1-2× 3 2 2 =1-2×34=- 1 2. 2.B ∵sinα=35 且α∈ π2 ,π ,∴cosα=-45, ∴cos π4-α =cosπ4cosα+sinπ4sinα=- 210. 3.D 因为1+tanA1-tanA= 5 5 ,所以 tanπ4+tanA 1-tanπ4tanA = 55 , 即tan π4+A = tanπ4+tanA 1-tanπ4tanA = 55 ,故选D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —64— 高一数学(配XJ版) 4.D 由cos(α+β)=-1,得sin(α+β)=0,又sinβ= 1 3 , 所以sin(α+2β)=sin(α+β+β)=sin(α+β)·cosβ+ cos(α+β)·sinβ=- 1 3. 5.解析 由cos2x-sinx=0,即1-2sin2x-sinx=0,解得 sinx=-1或sinx=12. 在 0,2π 上,当sinx=-1时, x=3π2 ;当sinx=12 时,x=π6 或x=5π6 ,所以所有解的和 为3π 2+ π 6+ 5π 6= 5π 2. 答案 5π2 6.解 析 因 为 B 为 锐 角,sinB=2 55 ,所 以 cosB= 1-sin2B= 55 ,tanB=sinBcosB=2 ,故tan A+B = tanA+tanB 1-tanAtanB= 3+2 1-3×2=-1 ,因为A,B 均为锐角,所以 A+B∈ 0,π ,故A+B=3π4. 答案 3π4 7.解析 (1) 2cos 2α-1 2tan π4-α sin2 π4+α = cos2α 2tan π4-α cos2 π2- π4+α = cos2α 2tan π4-α cos2 π4-α = cos2α 2sin π4-α cos π4-α = cos2α sin2× π4-α = cos2α sin π2-2α =cos2αcos2α=1. (2)2 3tan15°+tan215°= 3tan30° 1-tan215° + tan215°= 3× 33× 1-tan 215° +tan215°=1-tan215°+ tan215°=1. (3)sin10°sin30°sin50°sin70°=12cos20°cos40°cos80°= 2sin20°cos20°cos40°cos80° 4sin20° = sin40°cos40°cos80° 4sin20° = 2sin40°cos40°cos80° 8sin20° = 2sin80°cos80° 16sin20° = sin160° 16sin20°= sin20° 16sin20°= 1 16. 【真题体验】 1.D 由题意,cos2 π12-cos 25π 12=cos 2 π 12-cos 2 π 2- π 12 = cos2 π12-sin 2 π 12=cos π 6= 3 2. 故选D. 2.B 由题意可得sinθ+12sinθ+ 3 2cosθ=1 ,则3 2sinθ+ 3 2cosθ=1 ,3 2sinθ+ 1 2cosθ= 3 3 ,从而有sinθcosπ6+ cosθsinπ6= 3 3 ,即sinθ+π6 = 33. 【易误警示】 [示例1] 解析 ∵θ为锐角,cos(θ+15°)=35 , ∴sin(θ+15°)=45. ∴sin(2θ+30°)=2sin(θ+15°)cos(θ+15°)=2425 , cos(2θ+30°)=2cos2(θ+15°)-1=2×925-1=- 7 25. ∴cos(2θ-15°)=cos(2θ+30°-45°) =cos(2θ+30°)·cos45°+sin(2θ+30°)sin45° =-725× 2 2+ 24 25× 2 2= 17 2 50 . 答案 17 250 [示例2] 解析 因为sin(π-α)=4 37 ,所以sinα=4 37 . 因为0<α<π2 ,所以cosα= 1-sin2α=17. 因为cos(α-β)= 13 14 ,且0<β<α< π 2 , 所以0<α-β< π 2 , 所以sin(α-β)= 1-cos2(α-β)= 3 3 14. 所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) =17× 13 14+ 4 3 7 × 3 3 14= 1 2. 因为0<β< π 2 ,所以β= π 3. 答案 π3 作业(七) 三角恒等变换的应用 【基础演练】 1.C 由题α∈(0,π),则α2∈ 0 ,π 2 , ∴cosα2>0 ,cosα2= 1+cosα 2 = 30 6 . 2.C sin37.5°cos7.5°= 12 [sin(37.5°+7.5°)+ sin(37.5°-7.5°)]=12 (sin45°+sin30°)= 2+14 . 3.A 因为a=cos212°-sin212°=cos24°,b= 2tan12° 1-tan212° = tan24°<tan30°= 33 < 3 2 =cos30°<cos24°=a ,c= 1-cos48° 2 =sin24°< sin24° cos24°=tan24°=b ,所以c<b<a, 故选A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —74—