作业(九)空间几何体与几何体的表面积、体积-2024年高一数学暑假作业(湘教版)

高一数学(配XJ版) 空间几何体与几何体的表面积、体积 1.直观图 (1)画法:常用斜二测画法. (2)规则: ①原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直, 直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°或135°, z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直. ②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图 中仍分别平行于坐标轴,平行于x 轴和 z轴的线段在直观图中保持原长度不变, 平行于y轴的线段,长度在直观图中变为 原来的一半. 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积 公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面积 公式 S圆柱侧 =2πrl S圆锥侧 =πrl S圆台侧 = π(r1+r2)l 3.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 表面积 体积 柱体 S表 =S侧 +2S底 V=S底h 锥体 S表 =S侧 +S底 V=13S底h 台体 S表 =S侧 +S上 +S下 V=13 (S上 +S下 + S上 S下)h 球 S表 =4πR2 V=43πR 3 1.下列说法正确的是 ( ) A.棱台的侧棱长都相等 B.棱锥被平 面 截 成 的 两 部 分 是 棱 锥 和 棱台 C.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平 行四边形 D.棱台的两个底面相似 2.已知圆柱的轴截面为矩形,其底边长(圆柱 底面圆直径)是侧边长的2倍,若轴截面的 面积为S,则圆柱的表面积为 ( ) A.2πS B.2πS C.2 2πS D.4πS 3.(多选)如图,四边形ABCD 的斜二测直观 图为等腰梯形A'B'C'D',已知 A'B'= 2C'D'=4,则 ( ) A.A'D'= 2 B.BC=2 2 C.四边形ABCD 的周长为6+2 2+2 3 D.四边形ABCD 的面积为6 2 4.如图所示的△A'O'B'是用斜二测画法画 出的△AOB 的直观图(图中虚线分别与 x'轴,y'轴 平 行),则 △AOB 的 周 长 为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —71— 1.沿棱长为1的正方体的交于一点的三条棱 的中点作一个截面,截得一个三棱锥,那么 截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之 比是 ( ) A.1∶5 B.1∶23 C.1∶11 D.1∶47 2.(2023·榆林高一期中)某同 学有一个形如圆台的水杯如 图所示,已知圆台形水杯的母 线长为6cm,上、下底面圆的 半径分别为4cm和2cm.为了防烫和防 滑,水杯配有一个杯套,包裹水杯2 3 高度以 下的外壁和杯底,如图中阴影部分所示,则 杯套的表面积为(不考虑水杯材质和杯套 的厚度) ( ) A.683πcm 2 B.24πcm2 C.763πcm 2 D.25πcm2 3.(多选)在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, 2A1E → =ED1 →,C1F → =2FD1 →,过E,F 的平 面将正方体ABCD A1B1C1D1 截成两部 分,则所得几何体可能是 ( ) A.三棱锥 B.直三棱柱 C.三棱台 D.四棱柱 4.(多选)如图所示是斜二测画法画出的水平 放置的三角形的直观图,D'为B'C'的中 点,且A'D'∥y'轴,B'C'∥x'轴,那么在原 平面图形△ABC中 ( ) A.AB 与AC 相等 B.AD 的长度大于AC 的长度 C.AB 的长度大于AD 的长度 D.BC的长度大于AD 的长度 5.底面为正方形的直棱柱,它的底面对角线 长为 2,体对角线长为 6,则这个棱柱的 侧面积是 . 6.(2023·北京高一期中)已知一个正四棱锥 的底面边长为2,高为 3,则该正四棱锥的 表面积为 . 7.如图,已知正三棱锥S ABC 的底面边长 为2,正三棱锥的高SO=1. (1)求正三棱锥S ABC 的体积; (2)求正三棱锥S ABC 的表面积. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —81— 高一数学(配XJ版) 1.(2023·全国乙卷)已知圆锥PO 的底面半 径为 3,O 为底面圆心,PA,PB 为圆锥的 母线,∠AOB=2π3 ,若△PAB 的面积等于 9 3 4 ,则该圆锥的体积为 ( ) A.π B.6π C.3π D.3 6π 2.(2022·新高考全国卷Ⅰ)南水北调工程缓 解了北方一些地区水资源短缺问题,其中 一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为 海 拔 148.5 m 时,相 应 水 面 的 面 积 为 140.0km2;水位为海拔157.5m时,相应 水面的面积为180.0km2.将该水库在这 两个水位间的形状看作一个棱台,则该水 库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时,增加的水量约为(7≈2.65) ( ) A.1.0×109m3 B.1.2×109m3 C.1.4×109m3 D.1.6×109m3 易错一 将直观图还原成平面图形时出错 [示例1] △ABC 的直观图△A'B'C'如图 所示,其 中 A'B'∥x'轴,A'C'∥y'轴, 且A'B'=A'C'=1,则△ABC的面积为 ( ) A.2 2 B.1 C.8 D.24 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (1)“斜二测”画法的长度变化规则是:平行或与 x轴重合的线段的长度不变,平行或与y 轴重合 的线段的长度变为原来的二分之一. (2)解决此类问题时要注意角度的变化以及长度 的变化以及线与线之间的关系,直观图面积S'与 原图形面积S 满足S'= 24S. 易错二 求组合体的体积考虑不全面致错 [示例2] (2023·哈尔滨高一期中)如图所 示(单位:cm),直角梯形ABCD 挖去半径 为2的四分之一圆,则图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的体积为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求组合体的体积的关键是弄清组合体中各简单几 何体的结构特征及组合形式,将它们拆分成几个 简单的组合体,且注意重合部分或挖去部分的处 理方法. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —91— 作业(九) 空间几何体与几何体的表面积、体积 【基础演练】 1.D 由棱台的定义知棱台的侧棱长不一定都相等,而棱台 的两个底面相似,所以A不正确,D正确;若平面沿棱锥的 高去截,则棱锥被平面截成的两部分可能都是棱锥,B不 正确;棱柱的侧棱都相等且相互平行,且侧面是平行四边 形,但侧面并不一定全等,C不正确,故选D. 2.B 设圆柱的底面圆半径为r,则圆柱母线长l=r,由轴截 面的面积为S,得2r2=S, 所以圆柱的表面积为2πr2+2πrl=4πr2=2πS. 3.ACD 由已知等腰梯形中,∠D'A'B'=45°,A'B'=2C'D' =4,所以A'D'= 2, 由斜二测画法得,在原图直角梯形ABCD 中,AB=2CD=4, AD=2 2,∠BAD= π2 ,易 得 BC=2 3,所 以 四 边 形 ABCD 的周长为6+2 2+2 3,面积为2+42 ×2 2=6 2. 4.解析 根据题意,△AOB 的原图形如图, 根据 直 观 图 画 法 规 则 知,△AOB 的 底 边OB 的 长 为4, 高为4,OA=AB= 42 2 +42=2 5, 则△AOB 的周长为4+4 5. 答案 4+4 5 【综合演练】 1.D 正方体的体积为1,截得的三棱锥的体积为13× 1 2× 1 2× 1 2× 1 2= 1 48 , 所以剩下部分的体积为1-148= 47 48 , 所以截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是1 48∶ 47 48=1∶47. 2.C 根据题意,杯套的形状可看作一个圆台,且该圆台的母 线长是圆台形水杯的母线长的2 3 ,即4cm,下底面圆的半 径为圆台形水杯的下底面圆的半径,即2cm,上底面圆的 半径 是10 3 cm ,所 以 杯 套 的 表 面 积 S=π×22 +π× 2+103 ×4=763π(cm2). 3.ABC 如图1,连接 DE,DF,则平面 DEF 可截得三棱锥 D D1EF,故A正确; 图1 如图2,过E 作EG⊥AD,过F 作FH⊥CD,则过E,F 的 平面EFHG 可截得直三棱柱D1EF DGH,故B正确. 图2 如图3,延长D1D至点P,连接PE,PF,分别与AD,CD 交于 M,N 两点,则可得平面EFNM 截得三棱台DMN D1EF, 故C正确; 图3 因为EF 将四边形A1B1C1D1 分成一个三角形和一个五边 形,所以不可能得到四棱柱,故D错误.故选ABC. 4.AC 根 据 斜 二 测 画 法 规 则,AD=2A'D',BC=B'C', AD⊥BC,BD=CD, 由勾股定理得AB=AC,由直角三角形得AD<AC,AB> AD,BC与AD 的长度大小不确定. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —05— 高一数学(配XJ版) 5.解析 如图所示, BD= 2,∴AB=AD=1,又BD1= 6, ∴ 12+12+DD12= 6, 解得DD1=2, 所以棱柱的侧面积S=1×2×4=8. 答案 8 6.解析 如下图所示,在正四棱锥P ABCD 中,底面ABCD的 边长为2, 设点P 在底面ABCD 的射影为点O,则四棱锥P ABCD 的高PO= 3, 则O 为AC 的中点,且AO=12AC= 2 2AB= 2 ,PB=PA = PO2+AO2= 5, 取 AB 的 中 点 E,连 接 PE,则 PE⊥AB,且 PE = PA2-AE2=2, S△PAB= 1 2AB ·PE=2,故正四棱锥P ABCD 的表面积 为S=4×2+22=12. 答案 12 7.解析 (1)在 正 三 棱 锥S ABC 中,S△ABC = 1 2 ·AB· BC·sin60°= 34×2×2= 3 , 所以正三棱锥S ABC 的体积V=13S△ABC ·SO=13× 3×1= 33. (2)连接CO 延长交AB 于点E,连接SE,则E 为AB 的中 点,如图所示, 所以CE= 22-12= 3,OE=13CE= 3 3 , 在直角三角形SOE 中,SE= 3 3 2 +12=2 33 , 在△ABS中,SA=SB,所以SE⊥AB, 所以S△ABS= 1 2×2× 2 3 3 = 2 3 3 , 则正三棱锥S ABC 的表面积为3S△ABS +S△ABC =3× 2 3 3 + 3=3 3. 【真题体验】 1.B 在△AOB 中,∠AOB=2π3 ,而OA=OB= 3,取AB 中 点C,连接OC,PC,有OC⊥AB,PC⊥AB,如图所示, ∠ABO=π6 ,OC= 32 ,AB=2BC=3,由△PAB 的面积为 9 3 4 ,得1 2×3×PC= 9 3 4 ,解 得 PC=3 32 ,于 是 PO= PC2-OC2= 3 3 2 2 - 3 2 2 = 6,所以圆锥的体积 V=13π×OA 2×PO=13π× (3) 2 × 6= 6π. 故选B. 2.C 如图,由已知得该棱台的高为157.5-148.5=9(m), 所以该棱台的体积V=13×9× (140+ 140×180+180)× 106=60×(16+3 7)×106≈60×(16+3×2.65)×106= 1.437×109≈1.4×109(m3),故选C. 【易误警示】 [示例1] B 由题图可知,AB⊥AC, AB=A'B'=1,AC=2A'C'=2, 所以S△ABC= 1 2×1×2=1. 故选B. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —15— [示例2] 解析 如图,旋转之后形成的图形为圆台去掉一 个半球体. 则旋 转 一 周 所 形 成 的 几 何 体 的 体 积 为 1 3 ×4× 4π+25π+ 4π×25π -12× 4 3π×2 3=140π3 . 答案 140π3 作业(十) 空间点、直线、平面之间的位置关系 【基础演练】 1.D 因为两平行直线确定一个平面,且两平行直线没有公 共点,所以空间两条互相平行的直线指的是在同一平面内 且没有公共点的两条直线. 2.D A项,三个点可能共线;B项,点可能在直线上;C项, 无数个点也可能在同一条直线上. 3.A ∵M∈a,a⊂α,∴M∈α,又∵N∈b,b⊂α,∴N∈α,又 M,N∈l,∴l⊂α. 4.B ∵A1B∩平面ABCD=B,又AC⊂平面ABCD,B∈平 面ABCD,B∉AC, ∴A1B 与AC 为异面直线. 【综合演练】 1.C 在空间中,两两相交的三条直线最多可以确定3个平 面,如图所示. PA,PB,PC 相 交 于 一 点P,若 PA,PB,PC 不 共 面,则 PA,PB 确定一个平面PAB,PB,PC确定一个平面PBC, PA,PC确定一个平面PAC. 2.AC 对于A,正确;对于B,“α与β相交”推不出“a与b相交”, 也可能a∥b,故B错误;对于C,正确;对于D,正方体的侧 棱任意两条都共面,但这4条侧棱却不共面,故D错误. 3.D 已知直线c与d 是异面直线,设直线a与直线c 和直 线d 分别交于点A,B,直线b与直线c和直线d 分别交于 点C,D, 根据题意可得当点D 与点B 重合时,两条直线相交,当点 D 与点B 不重合时,两条直线异面,所以直线a,b的位置 关系是异面或相交. 4.解析 如图所示,补成直四棱柱ABCD A1B1C1D1, 则所求角为∠BC1D 或其补角, ∵BC1= 2,BD= 22+1-2×2×1×cos60°= 3, C1D=AB1= 5,易得C1D2=BD2+BC21, 即BC1⊥BD,因此cos∠BC1D= BC1 C1D = 2 5 = 105 . 答案 105 5.解析 (1)如图,设BB1 的中点为 H,连接 HF,EH,A1H, 因为F 是CC1 的中点, 所以A1D1∥CB∥HF,A1D1=CB=HF, 因此四边 形 A1D1FH 是 平 行 四 边 形,所 以 D1F∥A1H, D1F=A1H, 因此∠EA1H 是异面直线A1E 与D1F 的夹角或其补角, 因为正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为2,E是AB的中点, 所以A1E=A1H= 22+12= 5,EH= 12+12= 2, 由余弦 定 理 可 知,cos∠EA1H= A1E2+A1H2-EH2 2A1E·A1H = 5+5-2 2× 5× 5 =45 , 所以异面直线A1E 与D1F 的夹角的余弦值为 4 5. (2)因 为 A1D1 ∥HF,HF⊄ 平 面 A1D1E,A1D1 ⊂ 平 面A1D1E, 所以 HF∥平面A1D1E, 因此点 H,F 到平面A1D1E 的距离相等, 即VA1 D1EF=VFA1D1E=VH A1D1E=VD1 A1EH, VD1-A1EH = 1 3D1A1 ·S△A1EH =13×2× 2 2-12×2×1×2- 1 2×1×1 =1, 所以三棱锥A1 D1EF 的体积为1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —25—