作业(二)平面向量的基本定理及坐标表示-2024年高一数学暑假作业(湘教版)

高一数学(配XJ版) 平面向量的基本定理及坐标表示 1.平面向量基本定理 设e1,e2 是平面上两个不共线向量,则平 面上每个向量v都可以分解为e1,e2 的实 数倍之和,即v=xe1+ye2,其中x,y 是实 数.实数x,y 由v=xe1+ye2 唯一决定, 也就是:如果v=xe1+ye2=x'e1+y'e2,则 x=x',y=y'.我们称不共线向量e1,e2 组 成平面上的一组基{e1,e2}. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量, 叫作把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= (x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2), λa=(λx1,λy1),|a|= x21+y21. (2)向量坐标的求法 设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB → =(x2-x1, y2-y1),|AB → |= (x2-x1)2+(y2-y1)2. 4.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则 a∥b⇔x1y2-x2y1=0. 1.已知点A(1,2),B(-1,0),则AB → = ( ) A.(2,0) B.(2,2) C.(-2,-2) D.(0,2) 2.已知向量a= 9,3 ,b=(7,4),则-2a+ b= ( ) A.(-12,-2) B.(-12,2) C.(-11,-2) D.(-11,2) 3.(2024·通州高一月考)已知向量a=(1,2), b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b), 则λ= ( ) A.12 B.- 1 2 C.2 D.-2 4.(多选)如图所示,设O是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点,给出下列向量组, 其中可作为该平面内所有向量的基底的是 ( ) A.AD → 与BC → B.AC → 与BD → C.CA → 与DC → D.OD → 与OB → 1.已知向量a=(2,-1),b=(1,6),c= (7,3),则c可用a与b表示为 ( ) A.3a+b B.a+3b C.3a+2b D.3a-b 2.已 知 平 行 四 边 形 ABCD 的 三 个 顶 点 A(-2,1),B(3,4),C(-1,3),则第四个 顶点D 的坐标为 ( ) A.(2,2) B.(-6,0) C.(4,6) D.(-2,4) 3.向量PA → =(k,12),PB → =(4,5),PC → =(10,k), 若A,B,C三点共线,则k的值为 ( ) A.-2或11 B.2或11 C.-2或-11 D.2或-11 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —3— 4.(多选)设e1,e2 是平面内两个不共线的向 量,则以下a,b可作为该平面内一组基底 的是 ( ) A.a=e1+e2,b=e1 B.a=2e1+e2,b= 1 2e1+ 1 4e2 C.a=e1+e2,b=e1-e2 D.a=e1-2e2,b=-e1+4e2 5.如图,在△ABC 中,AN → =13NC →,P 是 BN 上的一点,若AP → =mAB → +211AC →, 则实数m 的值为 ( ) A.511 B. 1 4 C.311 D. 3 4 6.在平行四边形ABCD 中,E 是线段BD 的 中点,若AB → =mAD → +nEC →,则 m-n= . 7.(2023·马鞍山高一期中)设D,E 分别是 △ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB , BE=23BC ,若AB → =a,AC → =b,则DE → = .(用a,b表示) 1.(2023·天津卷节选)在三角形 ABC 中, ∠A=π3 ,|BC → |=1,D 为线段AB 的中点, E为线段CD 的中点,若设AB → =a,AC → =b, 则AE → 可用a,b表示为 . 2.(2021·全国乙卷)已知向量a=(2,5),b= (λ,4),若a∥b,则λ= . 易错一 转换向量关系致误 [示例1] 平面上有 A(2,-1),B(1,4), D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且AC → = 1 2BC →,连接DC 并延长至点E,使|CE → |= 1 4|ED → |,则点E 的坐标为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 在将模的关系转换为向量之间的关系时,需要从 方向角度加以分析,若不能确定,则需分类讨论. 易错二 忽视方程的思想在向量运算中的 应用 [示例2] 如图,在平行四边形 ABCD 中, AB → =2AE →,AF → =FD →,点G 为CE 与BF 的交点,则AG → = ( ) A.25AB → +15AC → B.15AB → +25AC → C.15AB → +415AC → D.310AB → +25AC → 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对于向量的分解问题,求解的一个重要方法是待 定系数法,然后利用向量相等求解参数.若不能正 确设出向量的分解式,则难以求解.如本例由P, G,B 三点共线知,存在m∈R,满足AG→=mAP→+ 1-m AB→=13mAC → + 1-m AB→. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —4— 高一数学(配XJ版) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案 第一部分 温故知新 作业(一) 向量的概念及线性运算 【基础演练】 1.ACD CD→和DC→长度相等,方向相反,故A正确;单位向量 的方向不确定,故起点相同时,终点不一定相同,故B错 误;向量的长度可以比较大小,即模长可以比较大小,故C 正确;向量只与长度和方向有关,与位置无关,故任一非零 向量都可以平行移动,故D正确. 2.D BA→+CD→+EF→=DE→+CD→+EF→=CE→+EF→=CF→. 3.D 3a+b +b-4a-b =3a+3b+b-4a+4b =-a+8b. 4.解析 AB→+PC→ + BA→-QC→ =AB→+PC→-AB→+CQ→ =PQ→. 答案 PQ→ 【综合演练】 1.C 对于A,若|a|=|b|,但两向量方向不确定,则a=b不 成立,故选项A错误;对于B,向量无法比较大小,故选项 B错误;对于C,若a=-b,则两向量反向,因此a∥b,故选 项C正确;对于D,若|a|=0,则a=0,故选项D错误. 2.D 由AB→=DC→知四边形ABCD 是平行四边形.由平行四 边形的性质知,|DO→|=|OB→|,且方向相同,所以DO→=OB→. 3.B ∵NP→=-2a+8b,PQ→=3(a-b), ∴NQ→=NP→+PQ→=-2a+8b+3(a-b)=a+5b, ∵MN→=a+5b,∴MN→=NQ→, ∴MN→与NQ→为共线向量, 又∵MN→与NQ→有公共点N, ∴M,N,Q 三点共线,故选B. 4.B 设 边 长 为2,如 图,设 AD,EC 交 于 点O,则 OD=1, AO=3,则OD→=13AO →,则CD→=CO→+OD→=12(CA →+AE→)+ 1 6 (AC→+AE→)=-13AC →+23AE →,故选B. 5.C 由已知得,AD→=AB→+BC→+CD→=a+2b-4a-b-5a- 3b=-8a-2b=2BC→, 故AD→∥BC→,由 AD→ ≠ BC→ , 所以四边形ABCD 是梯形. 6.D 因为AF→=2FC→,所以AF→=23AC →,所以DF→=DA→+AF→ =-AD→+ 23AC →= -AD→+ 23 AB →+AD→ = 23AB →- 1 3AD →. 7.解析 由题意知存在k∈R,使得a+λb=k[-(b-3a)], 所以 λ=-k, 1=3k, 解得 k=13 , λ=-13. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 答案 -13 8.解析 ∵ADAB= AE AC= 1 3 ,∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC. ∴DEBC= 1 3. 又DE→与BC→同向,∴DE→=13BC →. 答案 13 【真题体验】 1.B 由于D 是边AB 上的中点,则BD→=12BA →. CD→=CB→+BD→=-BC→+12BA →. 2.B 因 为CB→=CA→+AB→,AD→=CD→-CA→,又3AD→=AB→, 所以CB→=-2CA→+3CD→,即CB→=-2m+3n.故选B. 【易误警示】 [示例1] D 选项 A中,单位向量方向可以不同,故a=b 不一定成立 ;选项B中,A,B,C,D 四点可能共线,不能组 成平行四边形;选项C中,当b=0时,a,c为任意向量;选 项D正确,相反向量是一对平行向量.故选D. [示例2] CD 因为点P 为△ABC 所在平面内一点,E 为 AC 的中点,F 为BC 的中点,则PA→+PC→=2PE→,PB→+PC→ =2PF→,而PA→+2PB→+3PC→=0,即(PA→+PC→)+2(PB→+ PC→)=0,于是得2PE→+4PF→=0,即EP→=2PF→,所以点P 在线段EF 上,且PE∶PF=2∶1,即点P,A,C不共线,则 向量PA→与PC→不 可 能 平 行,A不 正 确,B不 正 确,C正 确, D正确.故选CD. 作业(二) 平面向量的基本定理及坐标表示 【基础演练】 1.C AB→=(-1,0)-(1,2)=(-2,-2). 2.C 由已知-2a+b=-2(9,3)+(7,4)=(-11,-2). 3.A 因为a=(1,2),b=(2,-2), 所以2a+b=(4,2),又因为c∥(2a+b), 所以1·2-4λ=0,所以λ=12 ,故选A. 4.BC A项中AD→与BC→共线,D项中OD→与OB→共线,B,C项中 两向量不共线,故选BC. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —14— 【综合演练】 1.A 设c=xa+yb,x,y∈R, 则(7,3)=(2x+y,-x+6y), 即 2x+y=7, -x+6y=3, 解得 x=3 , y=1, ∴c=3a+b. 2.B 设D(x,y),由平行四边形ABCD 可知AB→=DC→, 又A(-2,1),B(3,4),C(-1,3),AB→=(5,3),DC→= (-1-x,3-y), ∴ -1-x=5, 3-y=3, 解得 x=-6 , y=0, 即D 点的坐标为(-6,0). 3.A 由PA→=(k,12),PB→=(4,5),PC→=(10,k), 得AB→=PB→-PA→=(4-k,-7), AC→=PC→-PA→=(10-k,k-12), 又A,B,C三点共线,则AB→=λAC→, 即 4-k=λ(10-k), -7=λ(k-12), 解得 k=-2, λ=12 或 k=11,λ=7, 故选A. 4.ACD 对A,a不能用b表示,故a,b不共线,所以符合; 对B,b=14a ,所以a,b共线,故不符合; 对C,a不能用b表示,故a,b不共线,所以符合; 对D,a不能用b表示,故a,b不共线,所以符合. 5.C 因为AN→=13NC →,所以AC→=4AN→, 故AP→=mAB→+211AC →=mAB→+811AN →, 因为B,P,N 三点共线,故m+811=1 , 解得m=311. 6.解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形,E 为BD 的中点, ∴E 为AC 的中点, ∴AB→=AC→+CB→=2EC→-BC→=2EC→-AD→, ∴m=-1,n=2, ∴m-n=-1-2=-3. 答案 -3 7.解析 如图, 因为AD=12AB ,BE=23BC , 所以DE→=DB→+BE→=12AB →+23BC → =12AB →+23 AC →-AB→ =12AB →-23AB →+23AC → =-16AB →+23AC →=-16a+ 2 3b. 答案 -16a+ 2 3b 【真题体验】 1.解析 因为E 为CD 的中点,则ED→+EC→=0, 可得 AE→+ED→=AD→, AE→+EC→=AC→, 两式相加,可得到2AE→=AD→+AC→, 即2AE→=12a+b,则AE →=14a+ 1 2b. 答案 14a+ 1 2b 2.解析 由题意结合向量平行的充分必要条件可得 2×4-λ×5=0, 解方程可得λ=85. 故答案为8 5. 答案 85 【易误警示】 [示例1] 解析 设O 为坐标原点, ∵AC→=12BC →,∴OC→-OA→=12(OC →-OB→). ∴OC→=2OA→-OB→=(3,-6). ∴点C的坐标为(3,-6). 又∵|CE→|=14|ED →|,且E 在DC 的延长线上, ∴CE→=-14ED →. 设E(x,y),则(x-3,y+6)=-14 (4-x,-3-y), ∴ x-3=-14 (4-x), y+6=-14 (-3-y), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=83 , y=-7, ∴点E 的坐标为 83 ,-7 . 答案 83 ,-7 [示例2] A 由AB→=2AE→,AF→=FD→,知E,F 分别为AB, AD 的中点. 如图,设AC与BF 的交点为P,易得△APF∽△CPB, 所以AP CP= AF CB= AF AD= 1 2 ,所以AP→=13AC →. 因为点E 是AB 的中点,所以AE→=12AB →. 由P,G,B 三 点 共 线 知,存 在 m∈R,满 足AG→=mAP→+ 1-m AB→=13mAC →+ 1-m AB→. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —24— 高一数学(配XJ版) 由C,G,E 三 点 共 线 知,存 在n∈R,满 足AG→=nAE→+ 1-n AC→=12nAB →+ 1-n AC→. 所以1 3mAC →+ 1-m AB→=12nAB →+ 1-n AC→. 又因为AC→,AB→为不共线的非零向量, 所以 1-m=12n , 1 3m=1-n , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 m=35 , n=45 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以AG→=25AB →+15AC →. 作业(三) 向量的数量积 【基础演练】 1.A 因为a=(-2,1),b=(3,2),所以a·(a+b)=(-2, 1)·(1,3)=-2+3=1. 2.C 因为a=(2,1),b=(-1,1), 所以2a-b=(5,1), 所以|2a-b|= 52+12= 26,故选C. 3.C a=(2,4),b=(-1,m),则a-b=(3,4-m), ∴(a-b)·b=-3+m(4-m)=0,即-3+4m-m2=0, 解得m=1或m=3. 4.解析 由题意可得 a+b=(4,-1), 2a-b=(2,1), 两式相加可得3a= (6,0),即a=(2,0), 可得a-b=(2a-b)-a=(0,1), b=(a+b)-a=(2,-1), 所以cos<a-b,b>= a-b ·b |a-b|·|b|= -1 1× 5 =- 55. 答案 - 55 【综合演练】 1.B A(3,-2),B(-1,-5),C(1,2),则AB→=(-4,-3), AC→=(-2,4), cos∠BAC= AB→·AC→ |AB→|·|AC→| =8-12 5×2 5 =-2 525. 2.A 由于a∥c,b⊥c,所以 1×6=3m, 3n+12=0, 解得m=2,n=-4, 所以a+b=(1,2)+(-4,2)=(-3,4), 所以|a+b|= (-3)2+42=5. 3.A ∵|a|=4,∴4m=4,解得m=1,即b=(1,1), cos<a,b>= a ·b |a||b|= 4 4× 2 = 22 , 又<a,b>∈[0,π], ∴a和b的夹角大小为π4. 4.D 向量a,b都是单位向量,且|a-b|=1,则(a-b)2= a2+b2-2a·b=2-2a·b=1,解得2a·b=1, 所以|a+b|= (a+b)2= a2+b2+2a·b= 3. 5.A ∵AB→·AC→=2AB→·AD→, ∴AB→·AC→-AB→·AD→=AB→·DC→=AB→·AD→, ∵AB∥CD,CD=2,∠BAD=π4 , 所以2|AB→|=|AB→|·|AD→|cosπ4, 可得 AD→ =2 2, ∴AC→·AD→=(AD→+DC→)·AD→=AD→2+AD→·DC→=8+ 2 2×2×cosπ4=12. 6.BCD 由题意得AB→=(4,-2),故A错误; AD→=(1,2),因为AB→·AD→=4×1-2×2=0,所以AB→⊥ AD→,故B正确; DC→=(6,-3),所以AB→=23DC →,所以AB→∥DC→,且|AB→|≠ |DC→|,结合AB→⊥AD→,可得四边形 ABCD 为直角梯形,故 C、D正确. 【真题体验】 1.B 向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1), 所以|a|2-|b|2=(a+b)·(a-b)=2×(-2)+3×1= -1. 2.D 因 为 a= 1,1 ,b= 1,-1 ,所 以 a+λb = 1+λ,1-λ ,a+μb= 1+μ,1-μ , 由 a+λb ⊥ a+μb 可得,a+λb ·(a+μb)=0, 即 1+λ 1+μ + 1-λ 1-μ =0,整理得λμ=-1. 故选D. 【易误警示】 [示例1] B ∵a,b夹角为钝角, ∴cos<a,b>= a ·b a · b <0 且a,b不共线, 即a·b=4x+3<0且x 2x+3 ≠2, 解得x<-34 且x≠-2, ∴x的取值范围为 -∞,-2 ∪ -2,-34 . [示例2] B 因为向量AB→,BC→的夹角为2π3, 所以AB→·BC→=2×2×cos2π3=-2,故选B. 作业(四) 正弦定理和余弦定理 【基础演练】 1.A B=180°-45°-75°=60°,由 正 弦 定 理 得 ACsin60°= BC sin45° ,得AC=BC ·sin60° sin45° = 2× 32 2 2 = 3. 2.D 由正弦定理可得asinB=bsinA⇒ 2sinB= 3× 22⇒ sinB= 32 ,由 于 B∈(0,π),b>a,所 以 B= π3 或2π 3 , 故选D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —34—