作业(八)复数-2024年高一数学暑假作业(湘教版)

高一数学(配XJ版) 复 数 1.复数的有关概念 (1)复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数 称为复数,其中a称为复数a+bi的实部, b称为复数a+bi的虚部,i称为虚数单位. (2)复数的分类 复数z=a+bi(a,b∈R) 实数(b=0), 虚数(b≠0)(当a=0时为纯虚数). (3)复数相等 a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R). (4)共轭复数 a+bi与c+di互为共轭复数⇔a=c,b= -d(a,b,c,d∈R). (5)复数的模 向量OZ → 的模叫作复数z=a+bi的模或绝 对值,记作|a+bi|或|z|,即|z|=|a+bi|= a2+b2(a,b∈R). 2.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R) 一一对应 →← 复平 面内的点Z(a,b). (2)复数z=a+bi(a,b∈R) 一一对应 →← 平面 向量OZ → . 3.复数的四则运算 复数的加、减、乘、除运算法则: 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i; ③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= (ac-bd)+(bc+ad)i; ④除 法: z1 z2 =a+bic+di= (a+bi)(c-di) (c+di)(c-di)= ac+bd c2+d2 +bc-ad c2+d2 i(c+di≠0). 1.已知i为虚数单位,复数z=3-4i,则z的 虚部是 ( ) A.4 B.-4 C.4i D.-4i 2.复数z=m(m-1)+(m2-1)i为纯虚数, 则实数m 的值为 ( ) A.1 B.0 C.-1 D.0或1 3.(2023·镇江高一期中)已知复数z满足 z 1-2i=i (i为虚数单位),则z 的共轭复 数为 ( ) A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i 4.若(2-yi)i=6+xi,x,y∈R,则yx= ( ) A.-3 B.3 C.-13 D. 1 3 1.(2024·台州高一联考)已知复数z=i2+ (k+1)i+k是纯虚数,则实数k= ( ) A.0 B.2 C.-1 D.1 2.(2023·开封高一期中)已知复数z满足 z+iz=i,则|􀭵z|= ( ) A.12 B.1 C.22 D.2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —51— 3.复数z=1-4i 3 1-i 的实部与虚部之和为( ) A.-4 B.-1 C.1 D.4 4.已知复数1+i(i为虚数单位)为实系数方程 x2+px+q=0的一根,则p+q= ( ) A.4 B.2 C.0 D.-2 5.设z是复数,且|z-1+2i|=1,则|z|的最 小值为 ( ) A.1 B.3-1 C.5-1 D.5 6.(多选)(2023·徐州高一期中)已知复数 z=12+ 3 2i ,则下列结论正确的是 ( ) A.z􀭵z=1 B.复数z的虚部为 32i C.z2=􀭵z D.若复数z1 满足|z1-z|=1,则|z1|的最 大值为2 7.(2023·临沂高一期中)若i是虚数单位,复数 z满足z(1+i)=2i,则|z|= . 8.(2023·临沂高一期中)已知复数 iz2+i= -1+2i,则􀭵z的虚部为 . 1.(2023·全国乙卷)设z= 2+i 1+i2+i5 ,则􀭵z= ( ) A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i 2.(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=1-i2+2i ,则 z-z= ( ) A.-i B.i C.0 D.1 3.(2023·全国甲卷)若复数(a+i)(1-ai) =2,a∈R,则a= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 4.(2023·全国甲卷) 5 (1+i3) (2+i)(2-i)= ( ) A.-1 B.1 C.1-i D.1+i 易错一 忽视隐含条件致错 [示例1] 设复数z=lg(m2-2m-2)+ (m2+3m+2)i. (1)当实数m 为何值时,z是实数? (2)当实数m 为何值时,z是纯虚数? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用复数的分类求参数时,要先确定构成实部、虚 部的式子有意义的条件,再结合实部与虚部的取 值求解,否则容易产生增根.要特别注意,复数z= a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件为a=0且 b≠0. 易错二 误用判别式求一元二次方程的解 [示例2] 已知关于x的方程x2+(k+2i)x+ 2+ki=0有 实 数 根,则 实 数 k 的 值 为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 由于虚数单位的特殊性,故不能用判别式判断复 数范围内的一元二次方程有无实数根,解决复数 范围内的虚系数一元二次方程有实根求参数问 题,应设出实根代入方程,利用复数相等的充要条 件求解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —61— 高一数学(配XJ版) 所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= 2 5 5 × 3 10 10 - 5 5× 10 10 = 2 2 , 又因为0<α+β<π,所以α+β= π 4. 答案 π4 作业(八) 复 数 【基础演练】 1.B 复数z=3-4i,则z的虚部是-4. 2.B 因 为z 为 纯 虚 数,所 以 m(m-1)=0, m2-1≠0 ⇒m=0,故 选B. 3.C 因为 z1-2i=i ,得到z=2+i,所以􀭵z=2-i. 4.B 由 2-yi i=y+2i=6+xi,得x=2,y=6,则yx =3. 【综合演练】 1.D z=i2+(k+1)i+k=(k-1)+(k+1)i, 因为复数z是纯虚数,所以 k-1=0 k+1≠0, 解得k=1. 2.C 由 题 意,在z+iz=i中,1+i z=i,即z= i1+i= i1-i 1+i 1-i = 1 2+ 1 2i , ∴􀭵z=12- 1 2i ,􀭵z = 12 2 + -12 2 = 22. 3.C 因为z=1-4i 3 1-i= 1+4i 1-i= (1+4i)(1+i) (1-i)(1+i)= -3+5i 2 , 所以复数z的实部与虚部分别是-32 ,5 2 ,则复数z的实 部与虚部之和为-32+ 5 2=1. 4.C 因为1+i是方程x2+px+q=0的根,所以(1+i)2+ p(1+i)+q=0⇒p+q+(2+p)i=0, ∵p,q∈R,∴p+q=0且2+p=0,故选C. 5.C 根据复数模的几何意义可知,|z-1+2i|=1表示复平 面内以(1,-2)为圆心,1为半径的圆,而|z|表示复数z到 原点的距离, 由图可知,|z|min= 12+(-2)2-1= 5-1. 6.AD 因为z=12+ 3 2i ,所以􀭵z=12- 3 2i , 所以z􀭵z= 1 2+ 3 2i 12- 32i =14+34=1, 故A正确; 复数z的虚部为 32 ,故B错误; z2= 1 2+ 3 2i 2 =14- 3 4+ 3 2i=- 1 2+ 3 2i , 所以z2≠􀭵z,故C错误; 若复数z1 满足 z1-z =1,设z1=a+bi(a,b∈R), 则点 a,b 的轨迹是以 1 2 ,3 2 为圆心,半径为1的圆, 所以 z1 的最大值为 1 2 2 + 3 2 2 +1=2, 故D正确,故选AD. 7.解析 由 题 意,复 数 满 足(1+i)z=2i,则 z= 2i1+i= 2i·(1-i) (1+i)(1-i)= 2i+2 2 =1+i , 所以|z|= 12+12= 2. 答案 2 8.解析 由题意得z= (-1+2i)(2+i) i = (-4+3i)i i·i =3+4i , 则􀭵z=3-4i,所以􀭵z的虚部为-4. 答案 -4 【真题体验】 1.B 由题意可得z= 2+i 1+i2+i5 = 2+i1-1+i= i2+i i2 =2i-1-1 =1-2i,则􀭵z=1+2i.故选B. 2.A 因为z=1-i2+2i= 1-i 1-i 21+i 1-i = -2i 4 =- 1 2i , 所以z=12i ,即z-z=-i.故选A. 3.C 因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2, 所以 2a=2 1-a2=0 ,解得a=1.故选C. 4.C 5 (1+i3) (2+i)(2-i)= 5(1-i) 5 =1-i. 故选C. 【易误警示】 [示例1] 解析 (1)当m 满足m2+3m+2=0, 且m2-2m-2>0, 即m=-2或m=-1时,z是实数. (2)当m 满足m2+3m+2≠0且m2-2m-2=1, 即m=3时,z是纯虚数. [示例2] 解析 设x0 是方程的实数根,代入方程并整理得 (x20+kx0+2)+(2x0+k)i=0, ∴ x20+kx0+2=0, 2x0+k=0, 解得 x0= 2, k=-2 2 或 x0=- 2,k=2 2, ∴实数k的值为±2 2. 答案 ±2 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —94—