第三部分综合检测-2024年高一数学暑假作业(湘教版)

第三部分 综合检测 (满分:150分,时间:120分钟) 一、选择题:本 题 共8小 题,每 小 题5分, 共40分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知z(1-i)=-4i,i为虚数单位,则复数 z在复平面内对应的点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.sin12°cos18°+cos12°sin18°的值等于( ) A.12 B. 2 3 C.33 D.1 3.已知向量a=(-3,2),b=(4,-2λ),若 (a+2b)∥(a-b),则实数λ的值为( ) A.23 B. 4 3 C.74 D. 7 5 4.在△ABC中,已知a=3,b=4,sinB=23 , 则sinA= ( ) A.34 B. 1 6 C.12 D.1 5.如图,若OA → =a,OB → =b, OC → =c,点 B 是线段AC 上一点,且AB → =35AC → .若 b=λa+μc,则 ( ) A.λ=15 ,μ= 4 5 B.λ= 2 5 ,μ= 3 5 C.λ=35 ,μ= 2 5 D.λ= 4 5 ,μ= 1 5 6.已知a,b,c分别为△ABC 三个内角 A, B,C 的 对 边,且 acosC=b+23c ,则 △ABC是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 7.如图,在正三棱柱ABC A1B1C1 中,2BB1 =3AB,D 是棱BC 的中点,E 在棱CC1 上,且CC1=3CE,则异面直线A1D 与B1E 所成角的余弦值是 ( ) A.66 B. 6 4 C.- 64 D. 6 2 8.某学生为测量平凉大明宝塔的高度,如图, 选取了与平凉大明宝塔底部 D 在同一水 平面上的A,B 两点,测得AB=30 7m, 在A,B 两点观察塔顶C 点,仰角分别为 45°和30°,∠ADB=150°,则平凉大明宝塔 的高度CD 是 ( ) A.25m B.25 7m C.30m D.30 7m 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —83— 高一数学(配XJ版) 二、选择题:本 题 共3小 题,每 小 题6分, 共18分.在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的 得部分分,有选错的得0分. 9.下列化简正确的是 ( ) A.sin45°cos45°=1 B.cos2π12-sin 2 π 12= 3 2 C.12sin40°+ 3 2cos40°=sin80° D. tan22.5° 1-tan222.5° =12 10.设△ABC 的内角A,B,C 所对的边长分 别为a,b,c,S和R 分别为△ABC的面积 和外接圆半径.若b=2,c=3,则下列选 项能使△ABC有两解的是 ( ) A.B=30° B.C=30° C.S=3 D.R=2 11.在平行四边形 ABCD 中,E 是BC 上一 点,BE=2EC,F 是CD 的中点,且AE= 2,AF=3,∠EAF=60°,则下列说法正确 的是 ( ) A.AE →·AF → =3 32 B.AF → 在AE → 上的投影向量是3 4AE → C.AC → =34AE → +12AF → D.AC → = 7 三、填空题:本 题 共3小 题,每 小 题5分, 共15分. 12.已知复数z=m-1+(3-m)i(m∈R)对 应的点在x 轴上方,则 m 的取值范围是 . 13.已 知 向 量 a= -2,3-λ ,b= 1,λ , 若a∥b,则 b = . 14.已知底面边长为a的正三棱柱ABC A1B1C1 的六个顶点在球O1 上,又球O2 与此正 三棱柱的5个面都相切,则球 O1 与球 O2 的半径之比为 ,表面积之比 为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在△ABC中,a=7,b=8,cosB= -17. (1)求边长c与A; (2)求△ABC的面积. 16.(15分)已知角α满足-π<α<0,tanα=12. (1)求sinα和sin2α的值; (2)求sin2α+π6 +cosπ3-2α 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —93— 17.(15分)如图,在底面ABCD 是矩形的四 棱锥P ABCD 中,平面 PCD⊥平 面 ABCD,PC=PD,且CD= 2PD,M,N 分别是PA,BD 的中点. (1)证明:MN∥平面PBC. (2)证明:PC⊥平面PAD. 18.(17分)某社区为了丰富居民的业余生 活,举办了知识竞赛,比赛共分为两轮.在 第一轮比赛中,每一位选手均需要参加两 关比赛,若在两关比赛均达标,则进入第 二轮比赛.已知在第一轮比赛中,选手A, B 第一关达标的概率分别为45 ,2 3 ;第二 关达标的概率分别是3 4 ,3 5 ,A,B 在第一 轮的每关比赛中是否达标互不影响. (1)分别求出A,B 两人进入第二轮比赛 的概率; (2)若A,B 两人均参加第一轮比赛,求两 人中至少有一人进入第二轮比赛的概率. 19.(17分)如图,在直三棱柱ABC A1B1C1 中,∠ACB=90°,且AC=BC=CC1=2, 点P 为线段B1C上的动点. (1)当P 为线段B1C 的中点时,求证:平 面ABP⊥平面AB1C; (2)当直线AP 与平面BCC1B1 所成角的 正切值为3 2 2 时,求二面角P AB C 的 余弦值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —04— 【易误警示】 [示例] A 由题 意 可 知,甲 队 在 第 一 场 比 赛 输 了,若 甲 队在0∶1落 后 的 情 况 下 最 后 获 胜,分 以 下 几 种 情 况 讨论: ①甲队在第二、三、四场比赛都获胜,概率为 P1=0.4× 0.52=0.1; ②甲队在第二场比赛输了,在第三、四、五场比赛获胜,概 率为P2=0.6×0.52×0.4=0.06; ③甲队在第二、四、五场比赛获胜,在第三场比赛输了,概 率为P3=0.4×0.52×0.4=0.04; ④甲队在第二、三、五场比赛获胜,在第四场比赛输了,概 率为P4=0.4×0.52×0.4=0.04. 综上所述,所求概率为0.1+0.06+0.04×2=0.24. 第二部分 新知预习 作业(十六) 数列的概念 知识点1 【即学即练】 1.D 由数列的定义可知,数列中可以重复出现同一个数,如 1,1,1,1,故A、C不正确;B中两数列首项不相同,因此不 是同一数列,故B不正确;由数列的定义可知,D正确. 2.ABC 对于选项A:数列1,13 ,1 32 ,1 33 ,…是无穷数列,故 选项A正确; 对于选项B:数列sin π13 ,sin2π13 ,sin3π13 ,sin4π13 ,…是无穷 数列,故选项B正确; 对于选项C:数列-1,-12 ,-13 ,-14 ,…是无穷数列, 故选项C正确; 对于选项D:数列1,2,3,4,…,30不是无穷数列,故选项D 不正确. 知识点2 【即学即练】 1.D 法一 将n=1,2,3,4代入各选项验证易得答案. 法二 将数列13 ,-12 ,3 5 ,-23 ,…变为1 3 ,-24 ,3 5 , -46 ,…,从而可知分子的规律为n,分母的规律为n+2, 再结 合 正 负 的 调 节,可 知 其 通 项 公 式 可 以 为 an = (-1)n-1 nn+2. 2.解析 a3+a6=(3+2)+(6-3)=5+3=8. 答案 8 知识点3 【即学即练】 1.C a1=1,a2= 1 2a1+ 1 2=1 ,a3= 1 2a2+ 1 2×2= 3 4. 2.D ∵a1=1,a2=2,an+an+1+an+2=1, ∴a3=1-a1-a2=1-1-2=-2, a4=1-a3-a2=1-(-2)-2=1, a5=1-a4-a3=1-1-(-2)=2, … 由此推理可得数列{an}是一个周期为3的周期数列, ∴a2024=a2=2. 知识点4 【即学即练】 1.C 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1, 当n=5时,a5=24=16. 2.解析 当n=1时,a1=S1=4; 当n≥2 时,an =Sn -Sn-1 =3n2 +n-3 n-1 2 - n-1 =6n-2; 显然n=1时也符合上式,所以an=6n-2. 答案 6n-2 知识点5 【即学即练】 1.A 因为an=-(n-2)2+6,n∈N+,所以当n=2时,an 取得最大值. 2.解析 因为an+1-an=2n-7,所以当an+1-an>0时,n> 7 2 ,又n∈N+,故数列{an}从第4项开始递增. an=n(n-8)-20=(n-4)2-36,根据二次函数的性质 知,当n=4时,an 取得最小值-36,即这个数列有最小值, 最小值为-36. 答案 4 -36 第三部分 综合检测 1.D z=-4i1-i= -4i(1+i) 2 =2-2i ,对应的复平面的坐标为 (2,-2),在第四象限.故选D. 2.A sin12°cos18°+cos12°sin18°=sin(12°+18°)= sin30°=12. 3.B 由已知得a+2b=(5,2-4λ),a-b=(-7,2+2λ), ∵(a+2b)∥(a-b), ∴5×(2+2λ)-(-7)×(2-4λ)=0, 解得λ=43. 4.C 由正弦定理 asinA= b sinB 可得sinA=asinBb = 3×23 4 =12. 5.B 因 为 OB→ =OA→ +AB→ =OA→ + 35 AC → =OA→ + 3 5 OC →-OA→ =25OA →+35OC →. 所以b=25a+ 3 5c ,即λ=25 ,μ= 3 5. 6.D 因为acosC=b+ 23c ,由 正 弦 定 理 得sinAcosC= sinB+23sinC ,又 因 为 A+C=π-B,可 得sinB= sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 所以cosAsinC+23sinC=0 , 因为C∈(0,π),可得sinC>0, 所以cosA=-23 , 又因为A∈(0,π),所以π2<A<π , 所以△ABC为钝角三角形. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —06— 高一数学(配XJ版) 7.B 取棱BB1 靠近点B 的三等分点F,取棱B1C1 的中点 H,取B1F 的中点G,连接A1H,DH,A1F,DF. 由已知CE=13CC1= 1 3BB1=B1G ,又CE∥B1G,所 以 CEB1G是平行四边形,所以B1E∥CG,同时可得F 是BG 中点,而D 是BC 中点,所以DF∥CG. 所以DF∥B1E,则∠A1DF 是异面直线A1D 与B1E 所成 的角(或补角). 又DH∥CC1,CC1⊥平面A1B1C1,则DH⊥平面A1B1C1, A1H⊂平面A1B1C1,则DH⊥A1H, 设AB=4,则BB1=6,从而A1H=2 3,DH=6,BD=2, BF=2,B1F=A1B1=4, 故A1F=4 2,A1D=4 3,DF=2 2. 在△A1DF 中, 由余弦定理可得cos∠A1DF= A1D2+DF2-A1F2 2A1D·DF = 64. 所以异面直线A1D 与B1E 所成的角的余弦值为 6 4. 8.C 在Rt△ADC中,∠CAD=45°,AD=CD, 在Rt△CDB 中,∠CBD=30°,DB= 3CD, 在△ADB 中,由余弦定理得 AB2=AD2+DB2-2AD× DBcos∠ADB, 即6300=CD2+3CD2+2 3CD2× 32 , 解得CD=30m. 9.BCD 因为sin45°cos45°=12sin2×45° = 1 2sin90°= 1 2 ,故A不正确;因为cos2 π12-sin 2 π 12=cos2× π 12 = cosπ6= 3 2 ,故 B正 确;因 为 12sin40°+ 3 2cos40°= cos60°sin40°+sin60°cos40°=sin(60°+40°)=sin(180°- 80°)=sin80°,故C正确;因为 tan22.5° 1-tan222.5° =12tan (2×22.5°) =12tan45°= 1 2 ,故D正确,故选BCD. 10.AD 对于A,由b=2,c=3,B=30°,由于csinB=3×12 =32 ,且csinB<b<c,因此有两个解; 对于B,由b=2,c=3,C=30°,则由正弦定理得sinB= bsinC c = 1 3< 1 2 ,且b<c,因此B 只能是锐角,故只有一 组解; 对于C,由b=2,c=3,S=3得S=12bcsinA⇒sinA= 2S bc =1⇒A=π2 ,故只有一解; 对于D,由R=2得sinB=b2R= 1 2 ,所以B=π6 或B= 5π 6 ,由于b=2,c=3⇒B<C,所以B=π6 ,由选项 A可知 有两解. 11.BC 对于A选项,由平面向量数量积的定义可得AE→· AF→= AE→ · AF→ cos60°=2×3×12=3,A错误; 对于 B选 项,AF→在AE→上 的 投 影 向 量 AF→ cos60°· AE→ AE→ =3×12× 1 2AE →=34AE →,B正确; 对于C选项,因为BE→=2EC→,即AE→-AB→=2AC→-2AE→, 可得3AE→=AB→+2AC→,① 又因为CF→=FD→,即AF→-AC→=AD→-AF→, 可 得2AF→=AC→+AD→=AC→+ AC→-AB→ =2AC→- AB→,② 有①②可得4AC→=3AE→+2AF→, 故AC→=34AE →+12AF →,C正确; 对于D选 项,由4AC→=3AE→+2AF→可 得16 AC→ 2= 3AE→+2AF→ 2=9AE→2+4AF→2+12AE→·AF→ =9×22+4×32+12×3=108,故 AC→ =3 32 ,D错误. 12.解析 复数z=m-1+(3-m)i(m∈R)在复平面上对应 的点的坐标为(m-1,3-m),如果该点落在x轴上方,则 有3-m>0,解得m<3. 答案 (-∞,3) 13.解析 a= -2,3-λ ,b= 1,λ ,且a∥b, ∴-2λ- 3-λ =0,解得λ=-3, ∴b= 1,-3 ,可得 b = 12+ -3 2= 10. 答案 10 14.解析 设 球 O1,球 O2 的 半 径 分 别为R,r,因为正三棱柱的六个顶 点都在球O1 上,球O2 与此正三 棱柱的5个面都相切,所 以 球 心 O1,O2 在 上、下 底 面 中 心 的 连 线 的中点上.如图,AB=a,OA=R,OE=r,在△OEA 中, AE=23× 3 2a= 3 3a ,OE=r=13× 3 2a= 3 6a. 因为OA2 =OE2+AE2,所以R2=512a 2,r2=112a 2,则球O1 与球O2 的半径比为 5∶1,球O1 与球O2 的表面积之比为5∶1. 答案 5∶1 5∶1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —16— 15.解析 (1)因为a=7,b=8,cosB=-17 , 由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB, 即82=72+c2-2×7c× -17 , 解得c=3或c=-5(舍去), 又B∈ π2 ,π ,所以sinB= 1-cos2B=4 37 , 利用正弦定理得 a sinA= b sinB ,即 7 sinA= 8 4 3 7 , 解得sinA= 32 , 又A∈ 0,π2 ,所以A=π3. (2)由a=7,c=3,sinB=4 37 , 得S△ABC= 1 2acsinB=6 3. 16.解析 (1)因为-π<α<0且tanα=12 , 所以-π<α<-π2 ,且 tanα=sinαcosα= 1 2 , sin2α+cos2α=1, 解得 sinα= 55 , cosα=2 55 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (舍去)或 sinα=- 55 , cosα=-2 55 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以sin2α=2sinαcosα=2× - 55 × -2 55 =45. (2)因为sinα=- 55 ,所以cos2α=1-2sin2α=1-2× - 55 2 = 35 ,所 以 sin 2α+π6 +cos π3-2α = sin2α+π6 +cos π2- π6+2α =2sin2α+π6 = 2 sin2αcosπ6+cos2αsin π 6 =2 45× 32+35×12 =4 3+35 . 17.证明 (1)连接AC,如图所示, 因为ABCD 是矩形,N 是BD 的中点, 所以 N 是AC 的中点 因为 M 是PA 的中点, 所以 MN∥PC,又 MN⊄平面PBC,PC⊂平面PBC, 所以 MN∥平面PBC. (2)因 为 PC=PD,且 CD= 2PD,所 以 PC2+PD2= CD2,所以PC⊥PD, 因为平面PCD⊥平面ABCD,且平面PCD∩平面ABCD =DC, AD⊥DC,AD⊂平面ABCD,所以AD⊥平面PCD, 因为PC⊂平面PCD,所以AD⊥PC, 又AD∩PD=D,且 AD⊂平面 PAD,PD⊂平面 PAD, 所以 PC⊥平面PAD. 18.解析 (1)记“A,B 进入第二轮比赛”分别为事件 M1 和 事件 M2, 由选手A,B 第一关达标的概率分别为45 ,2 3 ;第二关达 标的概率分别是3 4 ,3 5 , 则P M1 = 4 5× 3 4= 3 5 ,P M2 = 2 3× 3 5= 2 5. 所以A,B 两人进入第二轮比赛的概率分别为35 和2 5. (2)记“两人中至少有一人进入第二轮比赛”为事件 M3, 则P M3 =1- 1- 3 5 × 1-25 =1925. 所以两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率为19 25. 19.(1)证明 由题意,AC⊥CC1,AC⊥BC,BC∩CC1=C, BC,CC1⊂平面BCC1B1,故AC⊥平面BCC1B1, ∵BP⊂平面BCC1B1,∴AC⊥BP, ∵P 为B1C 的中点,∴B1C⊥BP,且 AC∩B1C=C,AC, B1C⊂平面AB1C, ∴BP⊥平面AB1C, 又∵BP⊂平面ABP, ∴平面ABP⊥平面AB1C. (2)解析 由(1)得AC⊥平面BCC1B1,所以直线AP 与 平面BCC1B1 所成的角即为∠APC, 故tan∠APC=ACPC= 3 2 2 ,解得PC=2 23 . 作PM⊥BC,MN⊥AB,连接PN,如图. 则PM⊥平面ABC,又AB⊂平面ABC,故PM⊥AB. 又PM∩MN=M,PM,MN⊂平面 PMN,故 AB⊥平面 PMN,故∠PNM 为二面角P AB C 的平面角, 又PM=MC=PC 2 =23 ,BM=BC-MC=43 , 故 MN=BM 2 =2 23 , 故cos∠PNM=MNPN = MN MN2+PM2 = 2 2 3 8 9+ 4 9 = 63 , 即二面角P AB C 的余弦值为 63. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —26—