期末提分专项训练（一）课件 2024-2025学年华东师大版数学七年级上册

期末提分专项训练（一） 有理数 1.[2022黔东南州中考]下列说法中，正确的是( ) C A.2与互为倒数 B.2与 互为相反数 C.0的相反数是0 D.2的绝对值是 【解析】 2与互为相反数，2与 互为倒数，2的绝对值是2． 2 2.[2024长春南关区期末]手机移动支付给生活带来便捷.如图是小颖某天微 信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当 天微信收支的最终结果是( ) B A.收入18元 B.收入6元 C.支出6元 D.支出12元 【解析】 由题意可得 （元），即小颖当天微信收支的 最终结果是收入6元． 3 3.[2023河北中考]光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年 内走过的路程，约等于 ，下列正确的是( ) D A. B. C.是一个12位数 D. 是一个13位数 4 4.[2024西安碑林区期末]点，，， 在数轴上的位置如图所示，其中 点，到原点的距离相等，点，之间的距离为2.若点表示的数为 ， 则点 所表示的数为( ) C A. B. C. D. 【解析】 因为点C表示的数为 ，点A,C之间的距离是2，所以点A表示的 数为，又因为点A，B到原点 的距离相等，所以点B与点A表示的数 互为相反数，所以点B表示的数为 . 5 5.[2023重庆期中]测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量 两个相邻可视观测点的相对高度，如“”表示“观测点 比观测 点高 ”，再用这些相对高度计算出山的总高度.下表是某次测量数据 的部分记录，根据这次测量的数据，可得 ( ) C A. B. C. D. 6 【解析】 根据题意可得， ． 7 6.[2024盘锦双台子区段考]若，则 的值可 表示为( ) B A. B. C. D. 【解析】 因为 ，所以 （点拨：分配律） . 8 7.一题多解若，则，， 的大小关系是( ) C A. B. C. D. 【解析】 解法一因为，所以可取，所以， , ,所以 . 解法二因为,所以,,,所以 . 9 8.[2024青岛黄岛区期末]“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现 将1，2，3，4，5，7，8，9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每 个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和 相等.现有如图2所示的“幻方”，则 的值是( ) A A. B. C.8 D.16 10 【解析】 根据题意，可得， ，所以 ，，所以 （点拨：整体 代入法）. 11 9.已知，是最小的自然数，且，则____， ___. 0 【解析】 因为，所以，因为是最小的自然数，所以 ， 又因为，所以 . 12 10.[2024周口期末]若与互为相反数，则 的值为___. 3 【解析】 因为与互为相反数，所以 ， 又因为， （点拨：绝对值的非负性），所以 ，，解得，， ． 13 11.[2024张家口宣化区期末]如图1，在一条可以折叠的数轴上，点， 表 示的数分别是，9，以点为折点，将此数轴向右对折.如图2，若点 在点的右边，且，则点 表示的数是____. 【解析】 因为点，表示的数分别为 ，9，所以折叠前 .因为折叠后，所以 . 因为点在点的左侧，所以点表示的数为 . 14 12.小明同学在自学了简单的电脑编程后,设计了如图所示的程序. （1）若输入的数是 ,则执行程序后,输出的数是_______； 【解析】 把输入,得 ,因为 ,所以输出的数是 . 15 （2）若输入的数是2,则执行程序后,输出的数是_______. 【解析】 把2输入,得,因为,所以 不输 出,代入得,因为 ,所以输出的数是 . 16 13.[2024西安长安区一模]琪琪准备完成题目：计算： . 发现题中有一个数“ ”被墨水污染了. （1）琪琪猜测被污染的数“ ”是，请计算 ； 解： . 17 （2）琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于 ，请通过计算求出被污 染的数“ ”. , 所以被污染的数“ ”为 . 18 14.[2024南阳期中]2023年国庆节，全国从9月29日到10月6日放假8天，高 速公路免费通行，各地景区游人如织.其中某著名景点，在9月29日的游客 人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化（单位：万人） 如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）. 日期 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 人数变 化 （1）10月2日的人数为____万人. 5.2 【解析】 10月2日的人数为 （万人）. 19 （2）8天假期里，游客人数最多的是10月___日，达到 _____万人.游客人 数最少的是10月___日，达到_____万人. 1 5.78 6 0.65 【解析】 9月30日人数为 （万人）；10月1日人数为 （万人）；10月2日人数为 （万人）；10月 3日人数为（万人）；10月4日人数为 （万人）； 10月5日人数为（万人）；10月6日人数为 （万人）.所以10月1日，人数最多为5.78万人，10月6日，人数最少为0.65万人. 20 （3）此景点在这八天内一共接待了多少名游客？ 解： （万人）, 所以此景点在这八天内一共接待了26.13万名游客. （4）如果你也打算在下一个国庆节出游此景点，对出行的日期有何打算？ 由（2）可知，国庆节假期出游的人数从2日开始逐步减少，所以最好在国 庆节后几天出行．（答案不唯一，合理即可） 21 15.在研究和解决数学问题时，若问题所给对象不能进行统一研究，则需 要根据数学对象本质的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐 类进行研究，最后综合各类结果使整个问题得到解决，这一思想方法称为 “分类讨论思想”.例如：在讨论的值时，会对进行分类讨论.当 时，；当时， ．请你利用这一思想解决下列问题： 22 （1）____，_______； 或0 【解析】 当时，，当时，.当， 时， ；当，时，；当 0，时，；当， 时， ． 23 （2）若，则 的值为_______； 或0 【解析】 当，， 时， ；当，， 时， ；当，， 中有两个正数， 一个负数时，；当，， 中 有两个负数，一个正数时， . 24 （3）比较与 的大小． 解：当时，；当时， ； 当时，；当时， ； 当时，；当时， ． 25 $$期末提分专项训练（三） 图形的初步认识 1.如图中的三视图对应的正三棱柱是( ) B A. B. C. D. 2 2.[2023海口龙华区期末]，， 三个地方在地图 上的位置如图所示，地在 地的东南方向.若 ，则地在 地的( ) A A.南偏西 方向 B.南偏西 方向 C.南偏西 方向 D.西南方向 【解析】 如图，因为C地在A地的东南方向， 所以 ，因为 ，所 以 ， 所以B地在A地的南偏西 方向. 3 3.新考法[2023烟台中考]如图，对正方体进行两次切割，得到如图5所示的 几何体，则图5几何体的俯视图为( ) A A. B. C. D. 4 【解析】 如图1，根据题意可得，俯视该几何体，棱的正投影为点 ， 棱的正投影为线段，棱的正投影为线段，棱 的正投影为正 方形的对角线 ，所以该几何体的俯视图为图2. 5 4.[2023梅州期末]下列展开图中，不是正方体展开图的是( ) D A. B. C. D. 6 5.[2024山西大学附中月考]甲和乙两个几何体都是由大小相同的小正方体 搭成的，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小正方体个 数，则下列说法中正确的是( ) D A.甲和乙左视图相同，主视图相同 B.甲和乙左视图不相同，主视图不相同 C.甲和乙左视图相同，主视图不相同 D.甲和乙左视图不相同，主视图相同 7 【解析】 由题意,得甲和乙的主视图均为三列,小正方形的个数从左到右分 别是1,2,1,所以主视图相同.甲的左视图有两列,小正方形的个数从左到右分 别是2,1,乙的左视图也是两列,但小正方形的个数从左到右分别为1,2.故甲 和乙的主视图相同、左视图不相同. 8 6.[2024丹东期末]把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是 ________. 三棱柱 第6题图 9 7.一题多解钟表盘上的时间是11时20分，此刻时针与分针之间的夹角为 ______，该夹角的补角为_____. 解法一 11时20分时,分针指向4,时针指到11和12之间的某个位置,时针从11 到这个位置经过了20分钟,转过的度数为 ,指针从11到4转 过的度数为 ,所以此刻时针与分针之间的夹角为 ,该夹角的补角为 . 解法二 因为11时20分时,分针指向4,时针指向11和12之间,靠近11的 处,所 以此刻时针与分针之间的夹角为 ,该夹角的补角 为 . 10 第8题图 8.[2023武汉硚口区期末]如图，点在直线 上， 射线，分别在两侧， ， ，分别平分和 ，给出下列四个结 论： ； 为定值； ； .其中正确的是_________. （填序号） ①②③④ 11 【解析】 设 ，则 .因为 ，所以 ，所以 . 因为，分别平分和，所以 ， ，所以 ，故 ①正确. ，是定值，故②正确.因为 ， 12 ，所以 ，故③正确. ， ， ，故④正确．综上， 正确的是①②③④. 9.画出如图所示的立体图形的三视图. 解：画图如下： 14 10.[2024沈阳期中]如图，已知线段，和 ，请用尺规作三角形 ， 使，， .（不写作法，保留作图痕迹） 解：如图，三角形 即所求． 15 11.教材P167复习题T10变式如图，某观测塔底座部分是长方体，现在从下 底面点修建钢筋扶梯，经过点，到点 ，再进入顶部的观测室，请 在线段和上找到使扶梯的总长度最短的点， ,并简单说明操作方 法和理由. 16 解：如图，将长方体的侧面展开，连 接，分别与，交于点 ， ，根据两点之间线段最短可知，点 ， 即所求. 17 12.如图是一个立体图形的表面展开图,请根据图中所标数据（单位： ） 回答下面的问题. （1）写出这个立体图形的名称; 解：这个立体图形是长方体. 18 （2）求长方形 的长和宽; 根据题意得,长方形与长方形 是相对的面,它们的形状、大小完全相同,所 以长方形的长是、宽是 . （3）求这个立体图形的体积. 根据题图中所标数据, 可得这个立体图形的体积是 . 19 13.如图，点，在数轴上对应的数分别为和14，点，在线段 上， 且，，分别是线段， 的中点. 20 （1）若，求线段 的长. 解：因为点，在数轴上对应的数分别为 和14， 所以 . 因为， ， 所以 . 因为，分别是， 的中点， 所以， ， 所以 . 21 （2）当线段在线段上运动时，线段 的长度是否发生变化.若变化， 请说明理由；若不变，请求出 的长. 不变. 因为， ， 所以 . 因为，分别是， 的中点， 所以， ， 所以 ， 所以 ． 22 14.将直角三角板和直角三角板 按图1所示的方式放置，两个顶点 重合于点，且 ， ， ， 平分，平分．将三角板绕点 逆时针旋转一周的过程中 （旋转中和均是指小于 的角），探究 的度数． 23 （1）当三角板绕点旋转至图2的位置时，与 重合，则 _____ ，____ ． 150 75 【解析】 因为平分,平分, , ,所 以 , , ,所以 . 24 （2）当三角板绕点旋转至图3的位置时，此时，， 三点在同一 直线上，求 的度数． 解：因为,, 三点在同一条直线上, 所以 , , 所以 , . 因为平分,平分 , 所以 , , 所以 . 25 （3）三角板绕点旋转过程中， 的度数还有其他可能吗？若有， 请直接写出 的度数；若没有，请说明理由． . 如图,设 ,则 . 因为平分 ,所以 , 所以 26 . 因为 , 所以 . 因为平分 , 所以 , 所以 . 追问： 当的度数为 时，其他条件不变，在旋转过 程中，请直接写出的度数．（用含 的代数式表示） 或 . 【解析】 解法提示：由（2）知 ；由（3）知 . 28 $$期末提分专项训练（二） 整式及其加减 1.[2024惠州惠城区期末]下列单项式，系数最小的是( ) B A.1 B. C. D. 【解析】 1的系数是1，的系数是，的系数是 ， 的系数是，易知 . 2 2.[2024自贡期末]下列单项式中，次数与其他3个单项式不同的是( ) B A. B. C. D. 3 3.下列说法不正确的是( ) B A.与的差的平方是 B.与的和除以的商是 C.减去的2倍所得的差是 D.与和的平方的2倍是 【解析】 与的和除以的商是 ,故B项错误. 4 “除”和“除以”的意义不同，“除”为,“除以”为 . 5 4.[2024沈阳期末]若，则单项式 的同类项 为( ) D A. B. C. D. 【解析】 因为，且， ，所 以，，所以，，所以单项式 为 ，所以它的同类项为 . 6 5.教材P120复习题T17变式[2024来宾兴宾区期末]设，， 均为多项式， 小方同学在计算“”时，误将符号抄错而计算成了“ ”，得到结果 是，其中，，那么 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 根据题意,得 . 7 6.[2024乌鲁木齐段考]下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规 律组成的，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个 黑色正方形，图4中有11个黑色正方形， ，依此规律，图10中黑色正方 形的个数是( ) B A.32 B.29 C.28 D.26 8 【解析】 观察图形发现：图1中有2个黑色正方形，图2中有 （个）黑色正方形，图3中有 （个） 黑色正方形，图4中有 （个）黑色正方形……所以图n 中有（个）黑色正方形.当 时， ，即图10中黑色正方形的个数是29. 9 7.[2024盐城大丰区期末]对于任意的有理数，，如果满足 ， 那么我们称这一对数，为“相随数对”，记为.若 是“相随数 对”，则 ( ) A A. B. C.2 D.3 【解析】 因为是“相随数对”,所以,所以 ,所 以 ,所以 . 10 8.[2023重庆沙坪坝区期末]多项式按 的升幂排列 是_______________________. 11 9.[2023承德期中]已知一列数，，，，， ， ，按照这个规律写下去，第9个数是___________. 【解析】 根据题意知，从第3个数开始，每个数均为前2个数的和，故第7 个数是，第8个数是,第9个数是 . 12 10.[2022六盘水中考]已知 ，则 的值是____. 16 【解析】 当 时， ． 13 11.新考法[2022重庆中考B卷]对多项式 任意加括号后仍 然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”.例如： ， ， . 给出下列说法： ①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使结果与原多项式之和为0； ③所有的“加算操作”共有8种不同的结果.以上说法中正确的为________. （填序号） ①②③ 14 【解析】 如 ， ，故①符合题意. 的相反数为 ，不论怎么加括号都得 不到这个代数式，故②符合题意.第1种：结果与原多项式相等.第2种： .第3种： .第4种： .第5种： .第6种： .第7种： 15 .第8种： .故③符合题意． 12.[2024沈阳于洪区期中]如图，上方相邻两个整式之和等于这两个整式下 方箭头共同指向的整式. （1）求整式 ； 解： （两个多项式相减时，减数要先用括 号括起来） . 17 （2）先求整式，再选一个自己喜欢的值代入求出 的值. , 所以 . 当时,原式 . 18 13.某单位在8月份准备组织部分员工旅游，现联系了甲、乙两家旅行社， 两家旅行社报价均为2 000元 /人，两家旅行社同时都对10人以上的团体 推出了优惠措施：甲旅行社对每位员工8.5折优惠；而乙旅行社是免去一 位带队管理员工的费用，其余员工9折优惠. （1）若设参加旅游的员工共有 人，则选择甲旅行社的费用为 ________元，选择乙旅行社的费用为_____________元. 【解析】 由题意,得选择甲旅行社的费用为 （元）；选择乙旅行社的费用为 （元）. 19 （2）假如这个单位现组织包括管理员工在内的共20名员工旅游，该单位 选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由. 解：该单位选择甲旅行社比较优惠.理由如下： 因为当时,选择甲旅行社的费用为 （元）, 选择乙旅行社的费用为 （元）, 而 ,所以选择甲旅行社比较优惠. 20 14.做大、小两个长方体纸盒，长、宽、高的尺寸如图所示单位： . （1）求小纸盒的表面积. 解：小纸盒的表面积是 . 21 （2）做这两个纸盒共用多少平方厘米材料？ 大纸盒的表面积是 ,所以做 这两个纸盒共用材料 . （3）当时，用含有 的代数式表示做大纸盒比做小纸盒多用多少平 方厘米材料. , 当时, . 答：做大纸盒比做小纸盒多用 材料. 23 15.[2024泰州期中]类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相 同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”.例如： 与 是“强同类项”. （1）给出下列四个单项式：，， ， .其中与 是“强同类项”的是________（填写序号）. ②③④ 【解析】 因为，所以与 不是“强同类项”；因为 ，，所以与 是“强同类项”；因为 ，，所以与 是“强同类项”；因为 ，，所以与 是“强同类项”. 24 （2）若与是“强同类项”，求 的值. 解：因为与 是“强同类项”， 所以或或 ， 所以 的值为7或8或9. 25 （3）若为关于，的多项式，，当 的任意两项都是“强同类项”时，求 的值. 由题意可知，与 一定是“强同类项”. 分情况讨论如下： 当和是强同类项时， ,6,7； 当和是强同类项时, ,5,6. 综上，可知或 . 26 （4）已知，均为关于，的单项式，其中 ， ，如果,是“强同类项”，那么 的最大值是___，最小值 是 ____. 【解析】 因为,是“强同类项”，所以,4,5， ,2,3.因为 ，所以,1,.因为，所以 ，所以当 取最大值，取最小值时，能取得最大值，此时 有最大值和最小 值，即当，时，，所以 ， 解得或，所以的最大值为，的最小值为 ． 27 $$期末提分专项训练（五） 数学文化 1.[2024南阳期末]《九章算术》中记载一问题：今有共买物，人出八，盈 三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？意思是：今有人合伙购物， 每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱.问人数、物价各是多少？设 人数为 ，则物价（单位：钱）为( ) A A. B. C. D. 【解析】 根据题意得,物价（单位：钱）为或 . 2 2.[2024河南一模]如图1，用一个平面截长方体，得到如图2的几何体，它 在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图2“堑堵”的俯视图 是( ) C A. B. C. D. 3 3.[2024揭阳期末]相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮 “洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，遂划天下为九州，图1是我国古 代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将 已知的9个数填入 的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线 上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图2的数字之和的这个规 律，则 的值为( ) 4 A.2 B. C.4 D.6 √ 5 【解析】 由题意,得 ， ，解得， ，所以 . 6 4.[2024商洛模拟]如图，第十四届国际数学教育大 会 会徽的主题图案有着丰富的数学元 素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的 “卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数 1 043 【解析】 由题意，得八进制数 ． 3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有 共8个基本数 字．八进制数3745换算成十进制数是 ，表示 的举办年份， 则八进制数2 023换算成十进制数是_______． 7 5.[2024六安段考]《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意 思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根 长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天 再截取剩余部分的一半…… 8 （1）前4天共截取木棍的长度为___ ； 【解析】 第1天截取木棍的长度为 ，第2天截取木棍的长度 为，第3天截取木棍的长度为 ，第4天截取木棍 的长度为 ，所以前4天共截取木棍的长度为 . 9 （2）第8天截取后剩余部分的长度为___ ． 【解析】 第1天截取后剩下的长度为 ，第2天截取后剩下的 长度为 ，第3天截取后剩下的长度为 所以第 天截取后剩下的长度为 ，所以第8天截取后剩余部分的长度为 . 10 6.[2024眉山期末]我国古代数学家杨辉发现了 如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”， 它具有一定的规律性，从图中取一列数：1， 3，6，10， ，分别记为， ， ，, ，那么 的值是____． （提示： ） 11 【解析】 由题意可知， ， ， ， ， ， ． 12 $$期末提分专项训练（四） 相交线和平行线 1.[2024邢台期中]如图，当剪刀口增加 时， 的度数( ) B A.减少 B.增加 C.不变 D.增加 【解析】 因为与是对顶角,所以,故当 增 加 时,也增加 . 2 2.教材P181习题T5变式[2024郑州段考]如图，下列叙述不正确的是( ) C A.和是内错角 B.和 是同位角 C.和是同旁内角 D.和 是邻补角 3 3.[2023锦州中考]如图，将一个含 角的直角三角 板按如图所示的位置摆放在直尺上.若 ， 则 的度数为( ) C A. B. C. D. 【解析】 如图， ， ， 直尺上下两边平行， ． 4 4.[2023金华中考]如图，已知 ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 5 【解析】 如图，， （平行线的判定）， （平行线的性质）， ， . 6 5.[2024松原期末]如图,快艇从处向正北航行到 处时,向左 转 航行到处,再向右转 继续航行,此时的航行方向 为( ) A A.北偏东 B.北偏东 C.北偏西 D.北偏西 【解析】 如图,, , , 此时的航行方向为北偏东 . 7 6.如图，将三角形沿直线折叠，使点落在 边上 的点处，，若 ，则 的度数为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 ， ， .由折叠的性质， 得 ， . 8 7.[2024西安长安区期中]在同一平面内有2 024条直线，， ， ， 如果，，，， ，依此类推，那么 与 的位置关系是( ) B A.垂直 B.平行 C.垂直或平行 D.重合 【解析】 ，，；， ； ，；，；….以此类推可知，从 开 始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为 ， ，//，//. ， . 9 8.如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，得到 .理由是 __________________________________________________. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 10 9.跨学科·物理[2023威海中考]某些灯具的设计原 理与抛物线有关.如图，从点 照射到抛物线上的 光线，等反射后都沿着与 平行的方向 射出.若 ， ，则 ____ . 60 【解析】 ， ， ， . 11 10.[2023重庆江津中学月考]如图，， ， ，，分别平分和，则， 满 足的数量关系为_______________________． 12 【解析】 如图，过点作，过点 作 .， ， ， ， ， ， , ， ， 13 ， ，分别平分和， ， ， ， ， ， ． 11.[2024苏州姑苏区校级期末]如图，平原上有， ， ， 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修 建一个蓄水池. （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 点的位置，使它到四个村 庄距离之和最小； 解：点 即为所求. （2）计划把河水引入蓄水池 中，怎样开渠最短?画图并说明根据. 如图，过点作，垂足为， 即开渠路径. 这样 开渠的依据是“垂线段最短”. 15 12.[2024抚顺期末]如图，直线，相交于点 ， 已知 ，将 分成两个角，且 . （1）求 的度数； 解： , 可设,, . , , 解得 , . 16 （2）若平分，则是 的平分线吗？请说明理由. 是 的平分线.理由如下： , . 平分, . , , 是 的平分线. 17 13.如图，已知点,在直线上，点在线段上，与交于点 ， ， . 18 （1）试说明 ； 解：, . （2）试判断与 之间的数量关系，并说明理由； .理由如下： , . 又, , , . 19 （3）若 ， ，求 的度数. , . , . 20 14.[2023德州期末]如图1，蜿蜒曲折的盘山公路仿佛一条长龙，在郁郁葱 葱的山间起舞.数学活动课上，老师把盘山公路抽象成图2所示的样子. 21 （1）如图2，， ， ，求 的度数. 解：如图1，过点作 ． ， . ， ． ， ， . 22 （2）聪明的小明在图2的基础上，将图2变为图3，其中 ， ， ， ，求 的度数. 23 如图2，过点作，过点作 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 24 $$