1.3 勾股定理的应用（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

八年级北师大版数学上册 第一章 丰富的图形世界 1.3 勾股定理的应用 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离．（重点） 2.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题.(重点,难点) 前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？ 欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要多长的梯子？ 情景导入 A B 1.立体图形中两点之间的最短距离 新知探究 在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 问题1 5 同学们自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条线路？ A B B A d A B A' A B B A O 想一想： 蚂蚁走哪一条路线最近？ A' 蚂蚁A→B的路线 7 我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形，如下图： B A 3 O 12 侧面展开图 12 3π A B 【方法归纳】立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. A' A' 若已知圆柱体高为12 cm，底面周长为18 cm，则: AB2=122+(18÷2)2 所以AB=15. 例1.有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3） A B A B A' B' 解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离. ∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5, ∴AB'=13. 即梯子最短需13米. 典例剖析 概念归纳 数学思想： 立体图形 平面图形 转化 展开 变式1：若当小蚂蚁爬到距离上底3cm的点E时，小明同学拿饮料瓶的手一抖，那滴甜甜的饮料就顺着瓶子外壁滑到了距离下底3cm的点F处，小蚂蚁到达点F处的最短路程是多少？（π取3） E F E F E F E F 解：如图，可知△ECF为直角三角形， 由勾股定理,得 EF2=EC2+CF2=82+(12-3-3)2=100， ∴EF=10(cm). B 牛奶盒 A 变式2：看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？ 6cm 8cm 10cm B B1 8 A B2 6 10 B3 AB12 =102 +（6+8）2 =296 AB22= 82 +（10+6）2 =320 AB32= 62 +（10+8）2 =360 李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺. （1）你能替他想办法完成任务吗？ 解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可. AB2+BC2=AC2 △ABC为直角三角形 2.勾股定理的实际应用 问题2 新知探究 16 （2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？ 解:AD2+AB2=302+402=502=BD2， 得∠DAB=90°，AD边垂直于AB边. （3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？ 解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N使AN=12,测量MN是否是15，是，就是垂直；不是，就是不垂直. 概念归纳 数学思想： 实际问题 数学问题 转化 建模 例5.如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长. 故滑道AC的长度为5 m. 解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长也为x m，AE的长度为（x-1）m. 在Rt△ACE中，∠AEC=90°， 由勾股定理得AE2+CE2=AC2， 即（x-1）2+32=x2， 解得x=5. A E B C D 课本例题 例2.一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么? 2m 1m A B D C 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2=AB2+BC2=12+22=5 因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过. 分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC的长大于木板的宽就能通过. 典例剖析 A B D C O 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得 OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1， ∴OB=1. 在Rt△COD中，根据勾股定理得 OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15, ∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m. 例3.如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗? 典例剖析 例4.在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？ 8 米 6米 典例剖析 8 米 6米 A C B 解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图. 在Rt△ABC中， AC=6米，BC=8米， 由勾股定理得 ∴这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）. 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 构建 利用 解决 概念归纳 B 1.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （　　） D A. B. C. D. 练一练 2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300 m，公园到医院的距离为400 m，若公园到超市的距离为500 m，则公园在医院的 ( ) A.北偏东75°的方向上 B.北偏东65°的方向上 C.北偏东55°的方向上 D.无法确定 B 练一练 3.如图，在一次夏令营中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.求A、C两点之间的距离． 解：如图，过点B作BE∥AD. ∴∠DAB＝∠ABE＝53°. ∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°， ∴∠CBA＝90°， ∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002， ∴AC＝500m， 即A、C两点间的距离为500m. E 练一练 随堂练习 甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险。某日早晨8:00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走。1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北进行，行驶至10:00，甲、乙两人相距多远？ 分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型 随堂练习 解：根据题意，可知A是甲、乙的出发点， 10:00时甲到达B点，则AB=2×6=12（千米）； 乙到达C点，则AC=1×5=5（千米）. 在Rt△ABC中， BC2=AC2+AB2=52+122=169=132， 所以BC=13千米. 即甲、乙两人相距13千米. 解：由勾股定理易得阴影长方形的长为17cm，所以阴影长方形面积为17×3=51（cm²）. 1.如图，阴影长方形的面积是多少？ 习题1.4 知识技能 解：图(2)正确. 2.五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图中哪个图形是正确的？ 知识技能 解：设这个梯子能够到达的墙的最大高度是h m， 根据勾股定理得h2＝152-92＝144. 所以h=12＞11.7. 所以15 m长的云梯能达到墙的顶端. 3.如图，一座城墙高11.7 m，墙外有一个宽为9 m的护城河，那么一个长为15 m的云梯能否到达墙的顶端？ 问题解决 4.一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm， 8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ 问题解决 如图①，AB²=8²+20²=464.如图②，AB²=16²+12²=400.因为464＞400，所以蚂蚁沿图②爬行的路线最短.所以AB=20cm.即最短路程为20cm. 解：把长方体盒子的侧面展开，连接AB，有两种情况，如图所示. 5.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 问题解决 解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺. 由题意，得（x+1）²=x²+25. 解得x=12.则x+1=13. 故这个水池水的深度为12尺，芦苇 长为13尺. C 分层练习-基础 5cm 分层练习-基础 C C 分层练习-基础 B 60米 分层练习-基础 12 分层练习-基础 A 分层练习-巩固 D 5m 19.6 分层练习-巩固 1000 25 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 20cm 课堂反馈 课堂小结 勾股定理及逆定理的应用 应用 最短路径问题 方法 认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题 解决不规则图形面积问题 测量问题 知识点一：最短路径 1．如图，一圆柱高8cm，底面半径为eq \f(6,π)cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，则它要爬行的最短路程是(　　) A．6cm　　　 B．8cm　　　 C．10cm　　　 D．12cm 2．如图，长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，把一根绳子从点A开始，沿长方体表面绕到点C处，则绳子的最短长度是 . 知识点二：勾股定理及逆定理的实际应用 3．小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米，宽为46厘米，则这台电视机的尺寸(实际测量的误差不计)是(　　) A．9英寸(23厘米) B．21英寸(54厘米) C．29英寸(74厘米) D．34英寸(87厘米) 4．如图所示是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为(　　) A．60mm　　　 B．80mm　　　 C．100mm　　　 D．140mm 5．如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 6．如图所示，一条船自A处出发，欲向正北方向行至对岸B处，但由于水流的影响，实际到岸地点C与点B距离是80米，如果船在水中行了100米，则该河宽为 . 7．如图，旗杆AB高17m，在离旗杆顶端B处1m的地方系一条绳索，绳索长20m.将绳索拉直，绳索的另一端恰好到地面上的C处，则A、C之间的距离是　　m. 8．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口B处，准备去书店E处，按图中的街道行走，最近的路程是(　　) A．500m　 B．600m　 C．700m　 D．800m 9．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动(　　) A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米 10．如图所示，水上乐园有一滑梯，AD＝AB.若高BC＝4m，CD＝2m，则滑道AD的长是　　. 11．某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯，已知台阶宽2.8m，其剖面图如图所示，需要购买 平方米的地毯才能铺满所有台阶． 12．如图是一个棱长为10的正方体盒子，现需从底部A点处起，沿盒子的三个表面到顶部的B点处张贴一条彩色纸带(纸带的宽度忽略不计)，则所需纸带的最短长度的平方为 . 13．我国古代有这样一道数学问题：枯木一根直立地上高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是　　尺． 14．为了推广城市绿色出行，南沙区交委准备在AB路段建设一个共享单车停放点．该路段附近有两个广场C和D，如图所示，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AB＝3km，CA＝2km，DB＝1.6km，试问这个单车停放点E应建在距点A多远处，才能使它到两广场的距离相等． 解：设AE为xkm，因为C、D两广场到E停放点的距离相等，所以根据题意CA2＋AE2＝BD2＋EB2.即22＋x2＝1.62＋(3－x)2，解得x＝1.26.∴E站应建在距离A点1.26km处． 15．暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝．他们到岛登陆点后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅1km就找到宝藏．问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？ 解：如图所示，过点F作FH⊥AB于点H，则ED＝FG＝6km，EF＝DG＝1km.BC＝GH＝2km，CG＝BH＝2km.在Rt△AFH中，AH＝6，FH＝8km，根据勾股定理，FA2＝AH2＋FH2＝62＋82＝100，∴FA＝10km，即登陆点到埋宝藏点的直线距离是10km. 16．如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm、10cm、6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？ 解：如图所示，将这个台阶展成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段AB的长．在Rt△ABC中，BC＝55cm，AC＝48cm.由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2＝5329.所以AB＝73cm.因此，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是73cm. 会用勾股定理求最短距离． 【例1】如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 　　　cm(杯壁厚度不计)． 【思路分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知，A′B的长度即为所求． 【规范解答】如图， 会用勾股定理解决实际问题． 【例2】小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端处的绳子垂到地面后还多1米．当他把绳子拉直后并使下端刚好接触地面，发现绳子下端离旗杆下端3米．请你帮小刚把旗杆的高度求出来． 【思路分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为(x＋1)米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【规范解答】设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为(x＋1)米，根据勾股定理可得：x2＋32＝(x＋1)2，解得：x＝4.答：旗杆的高度为4米． $$