21.3 实际问题与一元二次方程 同步练习 四川省绵阳市东辰国际学校2024-2025学年 人教版九年级数学上册

2024-2025学年 四川绵阳市东辰国际学校章节测试试卷 九年级数学上册 21.3 实际问题与一元二次方程 一．选择题（每小题3分，共36分） 1．下列选项中，是一元二次方程的是（　　） A．x2＝1 B．xy＝2 C．x+y＝3 D．x+4＝5 2．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2 3．若关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 4．关于x的一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个根是1，则该方程的另一个根为（　　） A．x＝3 B．x＝1 C．x＝4 D．x＝1或x＝3 5．某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（　　） A．1+x2＝111 B．（1+x）2＝111 C．1+x+x2＝111 D．1+（1+x）+（1+x）2＝111 6．劳动教育已纳入国家人才培养全过程，某农村新型农场2022年油菜的亩产量为400千克，通过实验创新，2024年亩产量增加到484千克，设平均每年增产的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A．400（1+x）2＝484 B．400（1+x2）＝484 C．400（1+x）＝484 D．400（1+2x）＝484 7．某品牌新能源汽车经过连续两次降价后，每台售价从20万元降为18.2万元，假设平均每次降价百分率为x，则可列方程（　　） A．20（1﹣x）2＝18.2 B．20（1﹣2x）2＝18.2 C．20（1﹣x）＝18.2 D．20（1﹣2x）＝18.2 8．“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（　　） A．100（1+x）2＝121 B．100（1+x%）2＝121 C．100（1+2x）＝121 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝121 9．如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料成），则BC长为（　　） A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m 10．据统计，目前某市5G基站的数量约1.5万座，计划到2024年底，全市5G基站数是目前的4倍，到2026年底，全市5G基站数最终将达到17.34万座．则2024年底到2026年底，全市5G基站数量的年平均增长率为（　　） A．20% B．30% C．60% D．70% 11．如图所示，某公园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．则该矩形草坪AB边的长是（　　）米． A．6 B．8 C．10 D．6或10 12．古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+2x﹣35＝0，即x（x+2）＝35为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是（x+x+2）2，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，据此易得x＝5．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为（x+1）2，它又等于35+1，据此可得x＝5．上述求解过程中所用的数学思想方法是（　　） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．函数方程思想 D．转化思想 二、填空题（每小题4分，共24分） 13．若方程x2+3x+m＝0的一根为1，则m＝　 　． 14．若a是一元二次方程x2+2x﹣4＝0的一个根，则2a2+4a﹣4的值是 　 　． 15．若方程x2+mx+9＝0经配方法转化成（x﹣3）2＝0，则m的值是 　 　． 16．设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则＝　 　． 17．随着我国人口的负增长，新建住房数量不断增加，许多城市商品房的价格不断下降，某城市一楼盘商品房经过连续两次降价，销售单价由原来的3万元/m2降到现在的2.43万元/m2，设该楼盘商品房销售单价平均每次降价的百分率为x，则可列方程为 　 　． 18．国产动画电影《舒克贝塔•五角飞碟》于2024年元旦档上映，电影的点映及预售总票房突破400万元，若票房以后每天按相同的增长率m增长，则一天后票房总收入将达到 　 　万元．（用含m的代数式表示） 三、解答题（共40分） 19．(6分)已知关于x的一元二次方程（x+3）（x+2）＝m2． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是﹣1，求m的值及方程的另一个根． 20．(6分)解下列方程： （1）2x2﹣4x﹣1＝0． （2）4（x+2）2﹣9（x﹣3）2＝0 21．(6分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0． （1）若x＝1是方程的根，求m的值； （2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 22．(6分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B同时出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，P，Q两点间的距离是cm？ 23．(8分)端午节是中国的传统四大节日之一，在池州有赛龙舟、吃粽子、悬艾叶、吃绿豆糕等习俗．每年端午节前也是购物的高峰期，2024年端午节前期某超市购进A、B两种端午节礼盒，其中A种礼盒进货价为28元/盒，B种礼盒进货价为22元/盒．（注：利润＝销售价﹣进货价） （1）该超市第一次用7200元购进A、B两种礼盒共300盒，求两种礼盒分别购进的数量； （2）端午节临近时，该超市发现B种礼盒还有大量剩余，已知该礼盒售价为34元/盒，如果按照原价销售，平均每天可售10盒．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售5盒，为了尽快减少库存，将销售价定为每盒多少元时，才能使B种礼盒平均每天销售利润为240元？ 24．(8分)综合与实践： 主题：将一张长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为5cm，求该收纳盒的底面ABCD的边BC，AB的长； 任务二：若收纳盒的底面积为600cm2，求该收纳盒的高． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案 1-5 A A A A C 6-10 A A A C D 11-12 C B 13. -4 14. 8 15. -6 16. 11 17. 3×（1﹣x）2＝2.43 18. 400（1+m）． 19. （1）证明：原方程可变形为x2+5x+6﹣m2＝0， ∴Δ＝52﹣4×（6﹣m2）＝1+4m2≥1， ∵m2≥0，4m2≥0， ∴Δ＝1+4m2≥1， ∴方程总有两个不等的实数根； （2）解：∵方程的一个根是﹣1， ∴m2＝2， 解得， ∴原方程为：x2+5x+4＝（x+1）（x+4）＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝﹣4． 即m的值为，方程的另一个根是﹣4． 20. 解：（1）∵2x2﹣4x﹣1＝0， ∴2x2﹣4x＝1， 则x2﹣2x＝， ∴x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝，x2＝； （2）∵4（x+2）2﹣9（x﹣3）2＝0， ∴4（x+2）2＝9（x﹣3）2， 则2（x+2）＝3（x﹣3）或2（x+2）＝﹣3（x﹣3）， 解得x1＝13，x2＝1． 21. 解：（1）把x＝1代入关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0得： 1﹣4﹣2m+5＝0， ﹣2m+2＝0， ﹣2m＝﹣2， m＝1； （2）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， （﹣4）2﹣4（﹣2m+5）＞0， 16+8m﹣20＞0， 8m＞4， ． 22. 解：6÷1＝6（秒），8÷2＝4（秒）． 当运动时间为t（0≤t≤4）秒时，AP＝t cm，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm， 根据题意得：BP2+BQ2＝PQ2， 即（6﹣t）2+（2t）2＝（4）2， 整理得：5t2﹣12t+4＝0， 解得：t1＝，t2＝2． 答：经过秒或2秒后，P，Q两点间的距离是cm． 23. 解：（1）设A种礼盒购进x盒，则B种礼盒购进（300﹣x）盒， 根据题意得：28x+22（300﹣x）＝7200， 解得：x＝100， ∴300﹣x＝300﹣100＝200． 答：A种礼盒购进100盒，B种礼盒购进200盒； （2）设销售价定为每盒y元，则每盒的销售利润为（y﹣22）元，平均每天可售出10+5（34﹣y）＝（180﹣5y）盒， 根据题意得：（y﹣22）（180﹣5y）＝240， 整理得：y2﹣58y+840＝0， 解得：y1＝28，y2＝30， 又∵为了尽快减少库存， ∴y＝28． 答：将销售价定为每盒28元时，才能使B种礼盒平均每天销售利润为240元． 24. 解：任务一：∵长方形硬纸板的长为80cm，宽为40cm，制作的收纳盒的高为5cm， ∴BC＝40﹣5×2＝30（cm），AB＝＝35（cm）． 答：该收纳盒的底面ABCD的边BC的长为30cm，AB的长为35cm； 任务二：设该收纳盒的高为x cm，则BC＝（40﹣2x）cm，AB＝＝（40﹣x）cm， 根据题意得：（40﹣x）（40﹣2x）＝600， 整理得：x2﹣60x+500＝0， 解得：x1＝10，x2＝50（不符合题意，舍去）． 答：该收纳盒的高维10cm． 学科网（北京）股份有限公司 $$