1.2 空间向量基本定理（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2 空间向量基本定理 高二上学期 1 1、了解空间向量基本定理及其意义； 2、掌握空间向量的正交分解； 3、会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量； 4、会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角 5、通过本节学习，提升直观想象、数学运算、逻辑推理素养. 重点：空间向量基本定理 难点：选择恰当的基底表示向量 学习目标 回顾：平面向量基本定理的内容是什么？ 若是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使＝＋． 若, 不共线，则把{，}叫做表示这一平面内所有向量的基底． 思考：我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，类似地，空间中任意一个向量能否用两个不共线的向量来表示呢？ 追问：那么至少需要几个向量呢？这些向量间又有何关系呢？ 猜想：任意一个空间向量都可以由三个不共面的向量来表示. 新知探究 探究：设是空间中两两垂直的向量，表示它们的有向线段有公共点， 对于任意一个空间向量，可以通过平移使得， 设为在所确定的平面上的投影向量，则. 又共线，因此存在唯一的实数，使得，从而. 猜想：任意一个空间向量都可以由三个不共面的向量来表示. 而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知， 存在唯一的有序数对，使得. 从而. 学习目标 如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 我们称分别为向量在上的分向量. 思考1：你能证明唯一性吗？ 证明：如果存在另一组有序实数组，使得， 则，即， 不妨设，则，所以共面，这与已知矛盾， 则，因此，又不共线，则，. 新知探究 过点作，，，对于任一空间向量，作， 过点作直线交平面于点，则. 又共线，因此存在唯一的实数，使得， 从而， 由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序数对， 使得，从而， 思考2：在空间中，如果用任意三个不共面的向量代替两两垂直的向量，你能得出类似的结论吗？ 又由思考1的方法可证明唯一性 新知探究 一、空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得. ●叫做基向量； ●叫做空间向量的一个基底； ●如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示， ●把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 思考：零向量可以作为基向量吗？ × 隐函了它们为非零向量 思考：构成空间向量的基底唯一吗？ × 新知生成 1、已知{，，}是空间的一个基底，从中选哪一个向量，一定可以与向量=构成空间的另一个基底？ 教材P12 练习 解：已知{，，}是空间的一个基底，所以不共面， 由共面向量的充要条件可知，向量=均与共面， 所以应该选择. 2、已知，，，为空间的四个点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点，，，是否共面? 解：因为，，不构成空间的一个基底，所以，，共面， 又有公共点，所以点，，，共面. 1、如果，与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么间有何关系? 共线 2、若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( ) A.+，， B.，+， C.+，， D.+，++， 若三个向量中存在一个向量可用另外两个表示，则三向量共面，不能做基底. C 变式：若{，，}构成空间的一个基底，则，能否构成空间中的一个基底？ 解：假设这三个向量共面，则存在，使得， 整理得， 则，假设不成立，则不共面，可作为基底. 假设三向量共面，建立x,y的方程组，若有解，则不可作基底；若无解，则可作基底. 判断三个空间向量是否能构成一个基底：判断是否共面（若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底，） 方法:①如果向量中存在零向量，则不能作为基底； ②如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底； ③假设，运用空间向量基本定理，建立，的方程组， 若有解则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底； 归纳总结 例题：如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且用向量，，表示. 解： 用基底表示向量 3、如图，已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，点G是侧面BB′C′C 的中心， 且＝，＝，＝． (1)是否构成空间的一个基底？ (2)如果构成空间的一个基底， 那么用它表示下列向量：， ，，． 教材P12 练习 解：(2)； 是 应用1——求线段长度 例1：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA=2，且PA与AB，AD的夹角均为60°，点M是PC的中点，求BM的长. 解：设，易知构成空间的一个基底， 则 所以 所以的长度为. 例2：如图，在平行六面体中，, 分别为，的中点.求证. 应用2——证明垂直、平行 证明:设，易知构成空间的一个基底， 则， 所以 所以 例3：如图，正方体的棱长为1，分别为， 的中点. (1)求证：； (2)求与所成角的余弦值. 解：(1)证明：法一：几何法 法二：设 则构成空间的一个单位正交基底. 所以， 所以，且与无公共点，所以. 应用3——求余弦值 例3：如图，正方体的棱长为1，分别为， 的中点. (1)求证：； (2)求直线与所成角的余弦值. 解：(2)法一：几何法 法二：， ， 所以 所以直线与所成角的余弦值为. 应用3——求余弦值 注意：直线所成角范围与向量所成角范围 例3：如图，正方体的棱长为1，分别为， 的中点. (1)求证：； (2)求直线与所成角的余弦值. 解：(2)， 所以 所以直线与所成角的余弦值为. 应用3——求余弦值 解：由题意，，， 所以 教材P14 练习 1、已知四面体中，，，求证：. 解： 又因为，则，所以 9、如图，在四面体中，，，求证：. 另解： 8、已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体的相对的棱两两垂直。 已知：在四面体中，分别是棱 的中点，且，求证：，， 解：设则， ，， 因为，所以， 即 8、已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体的相对的棱两两垂直。 已知：在四面体中，分别是棱 的中点，且，求证：，， 解：所以 ，即， 所以()，即，所以. 同理可证：，. ②四面体中的3组对棱中有2组两两垂直，则另一组对棱也互相垂直. ③四面体中3组对棱的中点间的距离相等，则这3组对棱两两垂直. ①正四面体的3组对棱两两垂直. 教材P14 练习 2、如图，在平行六面体中，， ，求直线与所成角的余弦值. 解：设， 则，，，， 又 所以直线 6、如图，平行六面体的底面是菱形，且，求证：平面. 证明：由题意，，各棱长均相等 设，， 则，， 又 所以且，又， 所以 一、空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得. ●叫做基向量； ●叫做空间向量的一个基底； ●如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示， ●把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 零向量不可以作为基向量 构成空间向量的基底不唯一 课堂小结 判断三个空间向量是否能构成一个基底：判断是否共面（若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底，） 方法:①如果向量中存在零向量，则不能作为基底; ②如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底 ③假设，运用空间向量基本定理，建立，的方程组， 若有解则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底 基底的构建：常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并尽量选已知夹角和长度的向量． 基底的运用：用基底法解决立体几何中的垂直、共线、角度、模长等问题. 课堂小结 谢 谢 观 看 ！ 高二上学期 $$