专题02 有理数的运算技巧（6大技巧）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（湘教版2024）

专题02 有理数的运算技巧 题型一：归类法 题型二：对消法 题型三：拆项法 题型四：倒序相加法 题型五：分解法 题型六：倒数法 题型一：归类法 计算：； 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加减运算，按照同分母的结合法则，运用加法的交换律和结合律计算是解本题的关键． 【详解】解： ． 一．解答题（共3小题） 1．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法交换律和结合律，熟练掌握有理数的加减混合运算及有理数的加法的运算律是解题的关键．根据有理数加法的运算律，将能凑整的数先凑整，得到，再进一步计算，即得答案． 【详解】解：原式． ． 2．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键． 首先运用加法交换律将原式整理为，然后进行有理数加法运算即可； 【详解】解： ； 3.计算： (1) (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减运算、有理数加减运算中的简便运算、化简绝对值等知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． （1）根据有理数加减运算法则求解即可； （2）根据加法运算律将原式整理为，然后求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型二：对消法 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，利用加法交换律和结合律计算即可求解，掌握有理数的运算律和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ． 一．解答题（共2小题） 1.计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】 解： ； 2．用适当方法计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键． 首先运用加法交换律将原式整理为，然后进行有理数加法运算即可． 【详解】解： ． 题型三：拆项法 阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】 本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． 一．解答题（共3小题） 1．折项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，首先将带分数拆分，再按照有理数加法交换律和结合律进行简便计算即可． 【详解】解：原式 ． 2．拆项法计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，将带分数拆分，再利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键． 【详解】解：原式， ， ， ． 3．拆项法．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 题型四：倒序相加法 计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查的是有理数的加法，掌握高斯求和公式是解题的关键．原式可化为，再推理计算即可． 【详解】原式 ． 一．解答题（共2小题） 1．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，有理数乘法运算律，分数四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． ，从第二个分数开始，每个分数的分母可以拆分成2个数相乘，而分子是这2个数的和，据此将分数变为，然后将括号去掉进行简算即可． 【详解】 ． 2．阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． （1）设，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案； （2）设，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据材料，设①， 将等式两边同时乘以3，则②， 由，得：， ， ； （2）根据材料，设③， 将等式两边同时乘以④， 由，得：， , ． 题型五：分解法 巧算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算以及乘法运算律： （1）采用乘法分配律计算，原式可变形为； （2）采用乘法分配律计算，原式可变形为． 【详解】（1） （2） 一．解答题（共2小题） 1．计算． (1) (2) 【答案】(1)1 (2)9 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，有理数乘法运算律，分数四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1），先把把带分数化成假分数，用算式表示分子和分母，即，之后把假分数的分子用乘法分配律，变为，然后计算出括号里面的加法；再根据计算分数除法的计算方法，除以一个数相当于乘这个数的倒数，将算式变为，然后将2020和分母的2020用约分消去，最后算加法即可； （2），把4．44化成分数，带分数化假分数，再根据分数除法的计算方法，除以一个数相当于乘这个数的倒数，即原式变为，之后再根据乘法分配律即可简便运算； ，从第二个分数开始，每个分数的分母可以拆分成2个数相乘，而分子是这2个数的和，据此将分数变为，然后将括号去掉进行简算即可． 【详解】（1） ； （2） ； 2.计算． (1) (2) 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号搬家和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可． （2）合理分组：每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （2） 每两个数为一组，结果是3； 则 即一共有337组； 原式． 题型六：倒数法 阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算： 【答案】(1)没有除法分配律，故解法一错误； (2)过程见解析，． 【分析】本题考查了有理数的除法乘法分配律； （1）根据有理数的运算法则进行判断，可得答案； （2）根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，和按照先计算括号内的，最后计算除法，两种方法求解，即可得出答案． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； （2）解法一：原式的倒数为： ， ； 所以原式； 解法二：原式 ． 一．解答题（共4小题） 1．用常规方法计算时比较麻烦，小东想了一个办法：先将该式的被除数和除数交换位置，先算出后，再利用倒数意义求出算式你认为小东的方法正确吗？若正确，请用这种方法计算．若不正确，请说明理由． 【答案】正确， 【分析】依据题目中所给的方法进行计算即可得到答案． 【详解】解：正确， ， 与互为倒数， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法，倒数的定义，利用先求倒数的方法求解是解题的关键． 2．先计算，再阅读材料，解决问题： (1)计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算： 解：原式的倒数是： ． 故． 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）根据题目中的例子的解题方法，可以求出所求式子的值． 【详解】（1）原式 ； （2）原式的倒数是： ， 故原式． 【点睛】本题考查有理数的混合运算以及乘法运算律，解答本题的关键是明确有理数混合运算法则． 3．阅读列材料： 计算 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再求出原式的值． 解：因为 所以原式 请你根据材料提供的方法，完成计算： [温馨提示]你只能运用材料提供的方法计算，若用其他方法将不能得分． 【答案】 【分析】先计算，再把除法转化为乘法，再利用分配律进行简便运算，最后取结果的倒数即可得到答案． 【详解】解：∵ ． ∴． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，利用倒数的含义计算有理数的除法运算是解本题的关键． 4．数学老师布置了一道思考题“计算”．小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以． （1）请你通过计算验证小明的解法的正确性； （2）由此可以得到结论：一个非零数的倒数的倒数等于______； （3）请你运用小明的解法计算：． 【答案】（1）见解析；（2）这个数本身；（3）-3 【分析】（1）按小明的解法计算，检查结果是否正确即可； （2）根据题意得出结论即可； （3）仿照已知的方法计算即可． 【详解】（1） ∴小明的解法的正确 （2）一个非零数的倒数的倒数等于这个数本身 （3） ∴ 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数的运算技巧 题型一：归类法 题型二：对消法 题型三：拆项法 题型四：倒序相加法 题型五：分解法 题型六：倒数法 题型一：归类法 计算：； 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加减运算，按照同分母的结合法则，运用加法的交换律和结合律计算是解本题的关键． 【详解】解： ． 一．解答题（共3小题） 1．计算： 2．计算： 3.计算： (1) (2) 题型二：对消法 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，利用加法交换律和结合律计算即可求解，掌握有理数的运算律和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ． 一．解答题（共2小题） 1.计算： 2．用适当方法计算： 题型三：拆项法 阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】 本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． 一．解答题（共3小题） 1．折项法计算：． 2．拆项法计算： 3．拆项法．计算：． 题型四：倒序相加法 计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查的是有理数的加法，掌握高斯求和公式是解题的关键．原式可化为，再推理计算即可． 【详解】原式 ． 一．解答题（共2小题） 1．计算： 2．阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： (1) (2) 题型五：分解法 巧算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算以及乘法运算律： （1）采用乘法分配律计算，原式可变形为； （2）采用乘法分配律计算，原式可变形为． 【详解】（1） （2） 一．解答题（共2小题） 1．计算． (1) (2) 2.计算． (1) (2) 题型六：倒数法 阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算： 【答案】(1)没有除法分配律，故解法一错误； (2)过程见解析，． 【分析】本题考查了有理数的除法乘法分配律； （1）根据有理数的运算法则进行判断，可得答案； （2）根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，和按照先计算括号内的，最后计算除法，两种方法求解，即可得出答案． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； （2）解法一：原式的倒数为： ， ； 所以原式； 解法二：原式 ． 一．解答题（共4小题） 1．用常规方法计算时比较麻烦，小东想了一个办法：先将该式的被除数和除数交换位置，先算出后，再利用倒数意义求出算式你认为小东的方法正确吗？若正确，请用这种方法计算．若不正确，请说明理由． 2．先计算，再阅读材料，解决问题： (1)计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算： 解：原式的倒数是： ． 故． 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 3．阅读列材料： 计算 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再求出原式的值． 解：因为 所以原式 请你根据材料提供的方法，完成计算： [温馨提示]你只能运用材料提供的方法计算，若用其他方法将不能得分． 4．数学老师布置了一道思考题“计算”．小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以． （1）请你通过计算验证小明的解法的正确性； （2）由此可以得到结论：一个非零数的倒数的倒数等于______； （3）请你运用小明的解法计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$