专题09 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（二）（7大题型）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题09 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（二） 目录 【题型一 二次函数图像的平移变换】 1 【题型二 根据二次函数的图像判断式子的符合】 2 【题型三 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 3 【题型四 根据二次函数的对称性求函数值】 3 【题型五 利用二次函数的对称性求最短路径】 4 【题型六 待定系数法求二次函数的解析式】 5 【题型七 二次函数综合】 6 【题型一 二次函数图像的平移变换】 例题：（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得到的抛物线解析式为（  ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）将 的图象先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，则最终所得图象的函数表达式为 ． 【题型二 根据二次函数的图像判断式子的符合】 例题：（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图为抛物线的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且，则下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图，二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②时，y随x的增大而增大；③；④不等式的解集是；其中正确的是 ．（填序号） 【题型三 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 例题：（2024·福建莆田·一模）坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图像相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式训练】 1．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）已知是二次函数图象上的两点，则当时，二次函数的值是 ． 2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线经过三点，若，则的取值范围是 ． 【题型四 根据二次函数的对称性求函数值】 例题：（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知二次函数的图象上有两点，则当时，二次函数的值为(     ) A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【变式训练】 1．（2024·浙江金华·二模）已知，是抛物线上的两点，则正数（    ） A．2 B．4 C．8 D． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）设函数（，m，n是实数），当时，，时，．则（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型五 利用二次函数的对称性求最短路径】 例题：（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 2．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为D，对称轴l与x轴交于点H．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求的最小值． 【题型六 待定系数法求二次函数的解析式】 例题：（2024九年级下·云南·专题练习）已知是的二次函数，与的对应值如下表： 则其表达式为 A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·广东江门·二模）若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式： ． 2．（2024·湖南长沙·三模）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【题型七 二次函数综合】 例题：（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，t是关于x的方程的根，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，以为边的正方形的顶点在抛物线上，则点的坐标是 ．    一、单选题 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，抛物线过点，与轴的交点在，之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线，有以下结论： ①； ②； ③抛物线顶点的纵坐标大于4小于； 其中正确结论的个数是（   ）    A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）设二次函数（，m，k是实数），则（    ） A．当时，函数y的最大值为 B．当时，函数y的最大值为 C．当时，函数y的最大值为 D．当时，函数y的最大值为 4．（2024·浙江·模拟预测）二次函数，若时，的取值范围为（为常数），则当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·河北邢台·三模）点，在函数的图像上，当时，函数的最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·内蒙古通辽·中考真题）关于抛物线（是常数），下列结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）． ①当时，抛物线的对称轴是轴； ②若此抛物线与轴只有一个公共点，则； ③若点，在抛物线上，则； ④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． 7．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）在二次函数中，当时，则的取值范围是 ． 8．（2024·浙江·模拟预测）关于的一元二次方程（，和为常数)的两个根分别为，则抛物线的对称轴为直线 . 9．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ． 10．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ． 三、解答题 11．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求出抛物线L的解析式和顶点坐标． (2)点P是抛物线L对称轴右侧图象上的一点，过点P作x的垂线交x轴于点Q，作抛物线L关于直线对称抛物线，则C关于直线的对称点为，若为等腰直角三角形，求出抛物线的解析式． 12．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 13．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，点，点都在该函数图象上． (1)若时，求该二次函数的顶点坐标． (2)若时，求a的值． (3)求的最小值． 14．（2023·广东佛山·三模）已知二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值是2．求二次函数的解析式． 15．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点． (1)求抛物线表示的函数解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（二） 目录 【题型一 二次函数图像的平移变换】 1 【题型二 根据二次函数的图像判断式子的符合】 2 【题型三 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 6 【题型四 根据二次函数的对称性求函数值】 8 【题型五 利用二次函数的对称性求最短路径】 10 【题型六 待定系数法求二次函数的解析式】 14 【题型七 二次函数综合】 17 【题型一 二次函数图像的平移变换】 例题：（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得到的抛物线解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像的平移规律即可解答． 掌握函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后， 得到的新的抛物线的解析式为：． 故选：B． 【变式训练】 1．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）将 的图象先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，则最终所得图象的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．根据平移规律，可得答案． 【详解】解∶ 将 的图象先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，则最终所得图象的函数表达式为， 故答案为∶ ． 【题型二 根据二次函数的图像判断式子的符合】 例题：（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图为抛物线的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且，则下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据以下知识点分析即可：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确二次函数各项的系数和图形的关系． 【详解】解：， ， 又时，， ， ， 选项C不正确； 抛物线开口向上， ； 又， ， 选项A不正确； ， ， 又， ， 选项D正确； ， 时，， ， 又， ， 选项B不正确． 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图，二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线与轴有2个交点， ∴，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为， ∴和对应的函数值相等， ∴时，，即，所以③错误； ∵， ∴，所以④正确； ∵顶点坐标纵坐标为， ∴， ∴，所以⑤正确． 故选：D． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②时，y随x的增大而增大；③；④不等式的解集是；其中正确的是 ．（填序号） 【答案】① 【分析】由抛物线图像开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点可确定a、b、c的符号，即可判断①；直接观察图像即可判断②；由图知时，，即可判断③；观察图像可得或时，即可判断④． 本题考查了二次函数图像与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图像与系数的关系． 【详解】解：①∵抛物线图像开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∴， 由图知， ∴， 故①正确； ②由图知，当时，y随x的增大先减小后增大， 故②错误； ③由图知时，， ∴， 故③错误； ④由图知或时， ∴不等式的解集是或， 故④错误． 故答案为：① 【题型三 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 例题：（2024·福建莆田·一模）坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图像相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由，，的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，和，和，和横坐标的差，从而推出和的横坐标之差，得到的长度． 【详解】由、、、四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同 ，，， ， 又 ． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）已知是二次函数图象上的两点，则当时，二次函数的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点一定满足该函数的解析式． 根据二次函数图象的对称性得出，然后将其代入函数关系式求得． 【详解】解：是二次函数图象上的两点， 关于对称轴对称， 即：， 将代入得： 即：， 故答案为：3 2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线经过三点，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】由抛物线，可知抛物线开口向上，与轴的交点为，由抛物线经过，，三点，得出对称轴为直线，然后根据点的坐标特征得出或，解不等式（组即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向上，与轴的交点为， 抛物线经过，，三点， 对称轴为直线， ， 或， 解得或． 故的取值范围是或． 故答案为：或． 【题型四 根据二次函数的对称性求函数值】 例题：（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知二次函数的图象上有两点，则当时，二次函数的值为(     ) A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质；关键在于能发现题干所给条件的特点，据A、B两点纵坐标一样，且都在函数图象上，得出抛物线的对称轴为直线，得到，代入解析式即可得解． 【详解】解：∵二次函数的图象上有两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴当时，有：， 故选B． 【变式训练】 1．（2024·浙江金华·二模）已知，是抛物线上的两点，则正数（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据函数图像上的点满足函数解析式列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵，是抛物线上的两点， ∴，， ∴，， ∴，， 即：或， 解得：或， ∵取正数， 故：， 故选：C． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）设函数（，m，n是实数），当时，，时，．则（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据m的取值及抛物线上两点的坐标分析出抛物线的开口方向是解题的关键．根据所给解析式得出抛物线的对称轴为直线，再根据选项中所给出的m的值都a的正负依次进行判断即可． 【详解】解：由所给函数解析式可知， 抛物线的对称轴为直线． 当时，抛物线的对称轴为直线， 因为和在抛物线上， 则点关于直线的对称点为， 因为，， 所以在对称轴的右侧y随x的增大而增大， 则抛物线的开口向上，即．故A不符合题意． 当时，抛物线的对称轴为直线， 所以点关于直线的对称点为， 因为， 所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小， 则抛物线的开口向下，即．故B选项不符合题意． 当时，抛物线的对称轴为直线， 所以点关于直线的对称点为， 因为， 所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小， 则抛物线的开口向下，即． 故C选项符合题意． 当时，抛物线的对称轴为直线， 因为， 所以顶点的纵坐标为抛物线上所有点纵坐标中最大的， 则抛物线的开口向下，即．故D选项不符合题意． 故选：C． 【题型五 利用二次函数的对称性求最短路径】 例题：（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 【变式训练】 2．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为D，对称轴l与x轴交于点H．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为 【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用轴对称性质求出最短路线的长． （1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可； （2）先求出对称轴，得出点、关于对称轴对称，连接交对称轴于点P，连接，此时的值最小，即为的长求出即可． 【详解】（1）解：将点、、代入，得： ，解得：， 抛物线的解析式为； （2）抛物线的对称轴为， 点、关于对称轴对称， 连接交对称轴于点P，连接，此时的值最小，    ， 的最小值是， 、， ， 的最小值为． 【题型六 待定系数法求二次函数的解析式】 例题：（2024九年级下·云南·专题练习）已知是的二次函数，与的对应值如下表： 则其表达式为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是根据二次函数的对称性找到顶点坐标，设，代入，求即可． 【详解】解：由表可知：关于对称轴的对称点是， 二次函数对称轴是直线， 二次函数顶点坐标是， 设二次函数解析式是， 把代入得： ， 解得：， 二次函数解析式是， 故选：B． 【变式训练】 1．（2024·广东江门·二模）若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为，结合抛物线经过点，得到，选择，得到解析式为． 本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，灵活选择数值计算即可． 【详解】∵二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴解析式为． 故答案为：． 2．（2024·湖南长沙·三模）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）抛物线经过点，可得，求解即可得到答案； （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知当时，随的增大而减小，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线经过点，可得 ． 解得：． 所以，抛物线的解析式为． （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知 当时，随的增大而减小． 当时，． 当时，． 所以，当时， 的取值范围为． 【题型七 二次函数综合】 例题：（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，t是关于x的方程的根，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的新定义问题，解题关键是理解题意，根据“滋生函数”的定义找出等量关系．根据“滋生函数”的定义可得，从而可得关于，的二元一次方程组，求出，的值，进而求解． 【详解】解：的“滋生函数”是， ，即， 解得， 是关于的方程的根， ，即， ． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，以为边的正方形的顶点在抛物线上，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据正方形的性质，求出，进而求出对称轴，根据对称性求出点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴关于对称轴对称， ∴对称轴为直线， ∵抛物线交轴于点， ∴； 故答案为：． 一、单选题 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键． 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，向上平移1个单位得到的抛物线解析式是：，即． 故选：C． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，抛物线过点，与轴的交点在，之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线，有以下结论： ①； ②； ③抛物线顶点的纵坐标大于4小于； 其中正确结论的个数是（   ）    A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】解：由所给二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∴． 又∵对称轴是直线， ∴． ∴，故①错误． 又抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴，即， ∴，故②正确． ∵抛物线对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 又，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴抛物线顶点的纵坐标大于4小于．故③正确． 故选：B． 3．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）设二次函数（，m，k是实数），则（    ） A．当时，函数y的最大值为 B．当时，函数y的最大值为 C．当时，函数y的最大值为 D．当时，函数y的最大值为 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的最值，求出二次函数与x轴的交点坐标是．得到二次函数的对称轴是直线．根据开口方向进一步求出最值即可． 【详解】解：由题意，令， ∴， ∴． ∴二次函数与x轴的交点坐标是． ∴二次函数的对称轴是：直线． ∵， ∴y有最大值． 当，y最大， 即 当时，函数y的最大值为； 当时，函数y的最大值为． 综上，C选项正确． 故选：C． 4．（2024·浙江·模拟预测）二次函数，若时，的取值范围为（为常数），则当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．根据题意可得对称轴为直线，推出，抛物线为，当时，，得到，进而得到二次函数为，又，结合函数的性质即可求解． 【详解】解：由题意，时，的取值范围为，且抛物线开口向下， 对称轴是直线， ， 抛物线为， 又当时，， ， 二次函数为， 抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． ，， 又， 当时，取最大值为； 当时，取最小值为． 当时，． 故选：B． 5．（2024·河北邢台·三模）点，在函数的图像上，当时，函数的最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线的对称轴及顶点坐标，然后分三种情况讨论：①点B与顶点重合时；②当点A，B对称时；③当点A，B不对称时；分别求出a的范围，最后可得a的取值范围． 本题主要考查了在一定范围内讨论二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图像的特征是解题的关键． 【详解】由，得抛物线的对称轴为，顶点坐标为． 由题意得A点在B点的左边． 如图3，当点B与顶点重合时，，解得； 当点A，B对称时，．此时若函数的最大值为4，最小值为； 当点A，B不对称时，A点离对称轴远，B点离对称轴近， ， 解得， ∴a的取值范围是． 故选D． 二、填空题 6．（2024·内蒙古通辽·中考真题）关于抛物线（是常数），下列结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）． ①当时，抛物线的对称轴是轴； ②若此抛物线与轴只有一个公共点，则； ③若点，在抛物线上，则； ④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．①把代入解析式，即可判断；②利用一元二次方程根的判别式，即可判断；③把抛物线解析式化为顶点式可得抛物线的对称轴为直线，再由二次函数的性质，即可判断；④根据题意可得抛物线的顶点坐标在直线上，即可判断． 【详解】解：当时，，此时抛物线的对称轴是轴，故①正确； ∵此抛物线与轴只有一个公共点， ∴方程的有两个相等的实数根， ∴， 解得：，故②错误； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴离对称轴距离越远的点的纵坐标越大， ∵点，在抛物线上，且， ∴，故③错误； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标在直线上， 如图，过点A作直线于点B，则点，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，即抛物线的顶点到直线的距离都等于，故④正确． 故答案为：①④ 7．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）在二次函数中，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当时y的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象开口向下，当有最大值4， ∴当时，，当时，， ∵， ∴y的取值范围为， 故答案为：． 8．（2024·浙江·模拟预测）关于的一元二次方程（，和为常数)的两个根分别为，则抛物线的对称轴为直线 . 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，二次函数的对称轴，由一元二次方程根和系数的关系可得，即可由二次函数对称轴方程求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根分别为， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：． 9．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可． 【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到， 把点代入得到，， 得到， ∴， 故答案为：2 10．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．沿直线方向平移个单位，相当于向上平移2个单位，再向左平移2个单位，或向下平移2个单位，再向右平移2个单位，然后根据平移规律得出答案． 【详解】解：对于，当时，，当时，， 即：直线经过，， 则， 由此可知抛物线沿直线方向平移个单位， 相当于抛物线向上平移2个单位，再向左平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 或抛物线向下平移2个单位，再向右平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 综上：或． 三、解答题 11．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求出抛物线L的解析式和顶点坐标． (2)点P是抛物线L对称轴右侧图象上的一点，过点P作x的垂线交x轴于点Q，作抛物线L关于直线对称抛物线，则C关于直线的对称点为，若为等腰直角三角形，求出抛物线的解析式． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，求二次函数的解析式： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）设交于点N，根据为等腰直角三角形，可得，设点，可得点P的横坐标为5，由（1）得：原抛物线的对称轴为直线，从而得到新抛物线的顶点坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为：； （2）解：如图，设交于点N， ∵为等腰直角三角形， ∴， 设点，则 ， 解得：（舍去）或5， 即点P的横坐标为5， 由（1）得：原抛物线的对称轴为直线， ∴新抛物线的对称轴为直线， ∴新抛物线的顶点坐标为：， ∴抛物线的解析式为：． 12．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式： （1）首先得点，，那么把A，B坐标代入，即可求得函数解析式； （2）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点B，连接交对称轴的一点就是M．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A， 令，则， ∴点A坐标为， ∵线段，直线与x轴交于B点， ， 把点坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 由（1）得：抛物线的对称轴为， 、关于对称， ， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当A，B，M在同一直线上时，的值最大． ∵，， 设直线的解析式为 ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 13．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，点，点都在该函数图象上． (1)若时，求该二次函数的顶点坐标． (2)若时，求a的值． (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，顶点坐标，最值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入，得，结合对称轴性质，把代入，即可作答． （2）分别得出，再代入，进行计算化简，即可作答． （3）因为，所以，根据二次函数的图象性质进行作答即可 【详解】（1）解：依题意，把代入 得出 则对称轴， 把代入， 得出， ∴该二次函数的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数，点，点都在该函数图象上 ∴， ， ∵， ∴， 则， 解得； （3）解：由（2）知， ∴， ∵， ∴该函数的开口向上， ∴该函数的对称轴为， 则把代入， 得出， ∴的最小值为． 14．（2023·广东佛山·三模）已知二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值是2．求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，根据题意可知二次函数的顶点坐标为，设二次函数的解析式为：，把代入解析式解出a的值即可求出答案． 【详解】解：∵当时，函数有最大值是2， ∴二次函数的顶点坐标为：， 设二次函数的解析式为：， ∵二次函数的图象经过点 ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． 15．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点． (1)求抛物线表示的函数解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，三角形的面积 （1）分别把，代入函数中，可求得点，，将点D坐标代入函数，求出k的值，即可解答； （2）由抛物线的函数解析式可得顶点P的坐标为，因此轴，，过点D作于点E，则，根据三角形的面积公式可求出；把代入函数中，求得，因此，再根据即可解答． 【详解】（1）解：把代入函数中，得， 解得， ∴， 把代入函数中，得， ∴， ∵抛物线为常数）经过点， ∴，解得， ∴抛物线表示的函数解析式为； （2）解：∵抛物线的函数解析式为， ∴顶点P的坐标为， ∵， ∴轴，， 过点D作于点E，则， ∴； 把代入函数中，得， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$