精品解析：宁夏 中卫市第七中学2023-2024学年八年级下学期期末统考模拟数学试题（三）

2023－－2024学年中卫七中八年级数学期末统考模拟试题（三） 一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　） A. 三叶玫瑰线 B. 四叶玫瑰线 C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 王宏是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：勤，博，奋，学，自，主，现将因式分解，结果呈现的密码信息应是（ ） A. 勤奋博学 B. 博学自主 C. 自主勤奋 D. 勤奋自主 4. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 如图，已知的面积为48，，点D为边上一点，过点D分别作于E，于F，若，则长为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 如图，在中，，将绕着点逆时针旋转，得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知的对角线，交于点，，，，则的周长为（　　） A. 13 B. 11 C. 8 D. 5 8. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式：x3﹣4xy2=_____． 10. 当x_______时，分式的值为零． 11. 已知：（x、y、z均不为零），则＝_____． 12. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是____． 13. 已知关于x的分式方程的解为非正数，则k的取值范围是______． 14. 一个多边形的内角和为，那么从这个多边形的一个顶点出发共有__条对角线． 15. 如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为________． 16. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式组的解集为______． 三．解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 分解因式 （1） （2） 18. 解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 19. 解方程： 20. 先化简，再求值：，再从，，，四个数中选一个合适的数作为a的值代入求值． 21. 在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2； （3）在x轴上存在一点P，满足点P到点B1与点C1距离之和最小，请直接写出P B1+P C1的最小值为　 　． 22. 中卫市沙坡头西园区域曾是市里有名的积水点，为了降低该区域积水的风险，市政府计划对该区域一段长米的排水管道进行改造．实际施工时，每天的施工速度比原计划提高了，经计算，按现有速度施工，将会比原计划提前天完成任务．求实际每天改造排水管道的长度． 23. 如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F 为垂足，连接 EF 交 AD于G． （1）求证：AE＝AF． （2）试判断 AD 与 EF 的位置关系，并说明理由． 24. 如图，在中，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度在间往返运动，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）． （1）当四边形的面积为面积的一半时，则运动时间为多少秒； （2）几秒钟后，P、Q与平行四边形的两个顶点组成平行四边形？ 25. 如图，是角平分线，点E，F分别在，上，且，． （1）求证：四边形是平行四边形 （2）若，，求平行四边形面积． 26. 如图，的中线，相交于点G，点P，Q分别是，的中点．求证： （1）四边形是平行四边形； （2） ． 27. 初夏的青岛，迎来了“樱珠季”，某大型超市看好樱珠的市场价值．购进红灯和黄蜜两个品种的樱珠，已知用1000元购进红灯的数量和用1400元购进黄蜜的数量相同，且每千克红灯的进价比每千克黄蜜的进价少8元． （1）求红灯和黄蜜每千克的进价各是多少元？ （2）该超市总店决定每天购进红灯和黄蜜共1000千克进行销售，但投入资金不超过24000元，假定该超市将红灯和黄蜜的售价分别定为每千克26元和每千克38元，请问如何进货，该超市总店将获得最大利润？最大利润是多少？ 28. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，AB＝4，∠B＝45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿射线CD以每秒1个单位长度的速度运动．设运动的时间为t秒． （1）BC=____． （2）MC＝_____．（用t表示） （3）求t为何值时，四边形AMCD为平行四边形． （4）直接写出t为何值时，△AND为直角三角形． 29. （1）如图1，平行四边形，，，，、分别为、上点，且，四边形的面积与有关，当有最 值(填“大”、“小”)时，四边形的面积有最 值(填“大”、“小”)． （2）如图2，，且，连接，则的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形中，，对角线交于，已知，且，则与的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－－2024学年中卫七中八年级数学期末统考模拟试题（三） 一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　） A. 三叶玫瑰线 B. 四叶玫瑰线 C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键． 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变；由不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，，故原选项错误，不符合题意； B、，，故原选项错误，不符合题意； C、，，故原选项正确，符合题意； D、，，故原选项错误，不符合题意； 故选：C． 3. 王宏是一名密码翻译爱好者，在他密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：勤，博，奋，学，自，主，现将因式分解，结果呈现的密码信息应是（ ） A. 勤奋博学 B. 博学自主 C. 自主勤奋 D. 勤奋自主 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，先把代数式分解因式，再对照密码手册求解即可． 【详解】解： ， 根据题意可得对应的密码文字为：勤奋博学， 故选：A． 4. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】把分式方程的增根代入去分母后的整式方程即可． 【详解】解：， 去分母得：， 把增根代入可得： ， 解得：， 故选C． 【点睛】本题考查的是分式方程的增根问题，令分母为零可以得到增根，理解增根的产生原因是解本题的关键． 5. 如图，已知的面积为48，，点D为边上一点，过点D分别作于E，于F，若，则长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接，根据三角形面积公式得到，结合题意求出即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的面积计算，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键． 6. 如图，在中，，将绕着点逆时针旋转，得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形性质，以及三角形外角的性质，根据旋转得到，，利用等腰三角形性质求出、、根据题意算出，利用，即可解题． 【详解】解：由旋转的性质，可知，，， ． ， ， 故选：B． 7. 已知的对角线，交于点，，，，则的周长为（　　） A. 13 B. 11 C. 8 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的对角线互相平分得出是解题关键．利用平行四边形的性质，对角线互相平分得出，，进而得出的周长． 【详解】解：的对角线，交于点，，， ，， 的周长是：． 故选：C 8. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 【答案】A 【解析】 【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证； 乙方案：由，可得,即可得， 再利用对角线互相平分得证； 丙方案:方法同乙方案． 【详解】连接交于点 甲方案：四边形是平行四边形 四边形为平行四边形． 乙方案： 四边形是平行四边形 ，， 又 (AAS) 四边形为平行四边形． 丙方案: 四边形是平行四边形 ，，， 又分别平分 ， 即 （ASA） 四边形为平行四边形． 所以甲、乙、丙三种方案都可以． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式：x3﹣4xy2=_____． 【答案】x（x+2y）（x﹣2y） 【解析】 【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式=x（x2-4y2）=x（x+2y）（x-2y）， 故答案为x（x+2y）（x-2y） 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10. 当x_______时，分式的值为零． 【答案】= 3 【解析】 【分析】根据分母为0是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可． 【详解】解：根据题意， ∵分式的值为零， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式为0的条件、分式有意义的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键． 11. 已知：（x、y、z均不为零），则＝_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据已知条件可设，，，将其代入所求式子，计算即可． 【详解】解：（，，均不为零）， 设，则，， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式求值，解此类题可根据分式的基本性质先用未知数表示出，，，再代入计算． 12. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】先计算第一个不等式，得到，不等式组无解，即两个不等式没有公共解集，据此解题． 【详解】解：由不等式组可得， 因为不等式组无解，根据大大小小找不到的原则可知， 故答案为：． 【点睛】本题考查由一元一次不等式组的解集求参数，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 13. 已知关于x的分式方程的解为非正数，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】先将分式方程化成整式方程，求出方程的解为，再根据方程的解为非正数确定k的取值范围，要注意分式分母不为零的情况． 【详解】解：去分母得：， 整理得：， 解得：， 由分式方程的解为非正数，得到，且， 解得：且． 故答案为：且 【点睛】本题考查了分式方程的解的情况求解参数的取值范围，解题的关键是用含k的代数式将方程的解表示出来，注意分式方程有意义的条件． 14. 一个多边形的内角和为，那么从这个多边形的一个顶点出发共有__条对角线． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，过多边形的一个顶点的对角线的条数边数．根据边形的内角和是，可以先求出多边形的边数．再根据过多边形的一个顶点的对角线的条数与边数的关系，即可得到过这个多边形的一个顶点的对角线的条数． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 那么从这个多边形的一个顶点出发共有3条对角线． 故答案为：3． 15. 如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，根据题意，则，，；根据平行线的性质，则，，再根据角平分线的性质，等角对等边，则，；根据，，求出；最后根据，即可． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据交点在一次函数上，可以求出点的坐标，结合图象能算出不等式的解集，再算出的解集，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：将代入一次函数得， ，解得， ∴ ∴的解集为：， ∵， ∴ 所以不等式的解集为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了两条直线的交点问题，以及一次函数与一元一次方程组的关系问题，求出点的坐标是本题的关键． 三．解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 分解因式 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取3，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 18. 解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，整数解的和为14 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的整数解，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，确定不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解，再求和即可． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：； ∴整数解的和为：． 19. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】方程两边同时乘以去分母，解整式方程后检验即可． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 解得， 经检验，是原方程的根． 【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键． 20. 先化简，再求值：，再从，，，四个数中选一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先对括号内进行运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，排除使得分式无意义的值，然后代值计算，即可求解． 【详解】解：原式 ， 又、、， 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握分式化简的步骤，排除分式无意义的数值是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2； （3）在x轴上存在一点P，满足点P到点B1与点C1距离之和最小，请直接写出P B1+P C1最小值为　 　． 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据关于原点中心对称的点的坐标特征，分别描出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，即可得到△A1B1C1； （2）利用网格特点，根据旋转的性质画出点A、B旋转后的对应点A2、B2，即可得到△A2B2C； （3）作C1（或B1）点关于x轴的对称点，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）（2）如图所示 （3）如图， 作C1点关于x轴的对称点C4 在RtΔC4DB1中，C4B1= 故答案为：． 22. 中卫市沙坡头西园区域曾是市里有名的积水点，为了降低该区域积水的风险，市政府计划对该区域一段长米的排水管道进行改造．实际施工时，每天的施工速度比原计划提高了，经计算，按现有速度施工，将会比原计划提前天完成任务．求实际每天改造排水管道的长度． 【答案】实际每天改造排水管道96米 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用；设原计划每天改造排水管道米，则实际每天改造排水管道米，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前天完成任务，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可求出原计划每天改造排水管道的长度，再将其代入中，即可求出实际每天改造排水管道的长度； 【详解】解：设原计划每天改造排水管道米，则实际每天改造排水管道米， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：实际每天改造排水管道米； 23. 如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F 为垂足，连接 EF 交 AD于G． （1）求证：AE＝AF． （2）试判断 AD 与 EF 的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）AD垂直平分EF，理由见解析 【解析】 【分析】(1)根据角平分线的性质，可得DE=DF，利用HL证得Rt△ADF≌Rt△ADE，即可证得结论； (2)由线段垂直平分线的判定，可得AD垂直平分EF． 【小问1详解】 证明：∵△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF=DE， 在Rt△ADF和Rt△ADE中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADE， ∴AF=AE； 【小问2详解】 解：AD垂直平分EF； 理由如下： ∵DF=DE，AF=AE， ∴点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF． 【点睛】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定和性质，注意掌握数形结合思想的应用． 24. 如图，在中，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度在间往返运动，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）． （1）当四边形的面积为面积的一半时，则运动时间为多少秒； （2）几秒钟后，P、Q与平行四边形的两个顶点组成平行四边形？ 【答案】（1）4；（2）2秒或4秒或6秒 【解析】 【分析】（1）设运动时间为t秒，分0≤t≤3，3＜t≤6两种情况，四边形APQB和是同高，因此根据梯形面积和平行四边形面积公式列出方程，再解即可； （2）分四边形ABQP是平行四边形，四边形PQCD是平行四边形，四边形APCQ是平行四边形，四边形BPDQ是平行四边形，四种情况，分别列出方程，解之即可． 【详解】解：（1）设运动时间为t秒， ∵在中，AB=4cm，AD=6cm， ∴CD=4cm，BC=6cm， 设平行四边形ABCD中BC边上的高为h， 由题意可得：当点P到达点D时，点Q恰好回到点C， 当四边形的面积为面积的一半时， 若0≤t≤3， 有， 解得：t=0（舍去）； 若3＜t≤6， 有， 解得：t=4； ∴t的值为4； （2）若四边形ABQP是平行四边形， 则AP=BQ， 则或， 解得：t=2或t=6； 若四边形PQCD是平行四边形， 则PD=CQ， 则或， 解得：t=2或t=6， 若四边形APCQ是平行四边形， 则AP=CQ， 则或， 解得：t=0（舍）或t=4， 若四边形BPDQ平行四边形， 则PD=BQ， 则或， 解得：t=0（舍）或t=4， 综上：2秒或4秒或6秒后，P、Q与平行四边形的两个顶点组成平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，以及梯形的面积计算，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 25. 如图，是的角平分线，点E，F分别在，上，且，． （1）求证：四边形是平行四边形 （2）若，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，于是得到，由，，可证得四边形是平行四边形； （2）首先过点作于，过点作于，由，平分，可求，的长度，进而可得平行四边形的面积． 【小问1详解】 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴四边形为平行四边形． 【小问2详解】 过点作于，过点作于， ∵，平分，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查平行四边形的判定及计算平行四边形的面积，含的直角三角形，添加辅助线构造含的直角三角形是解决问题的关键． 26. 如图，的中线，相交于点G，点P，Q分别是，的中点．求证： （1）四边形是平行四边形； （2） ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线的性质可得且，且，即有且，问题得证； （2）根据平行四边形的性质即可证明． 【小问1详解】 ∵，是的中线， ∴是的中位线， ∴且． ∵点P，Q分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∴且． ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵P是中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，平行四边形的判定与性质等知识，掌握三角形的中位线的性质是解答本题的关键． 27. 初夏的青岛，迎来了“樱珠季”，某大型超市看好樱珠的市场价值．购进红灯和黄蜜两个品种的樱珠，已知用1000元购进红灯的数量和用1400元购进黄蜜的数量相同，且每千克红灯的进价比每千克黄蜜的进价少8元． （1）求红灯和黄蜜每千克的进价各是多少元？ （2）该超市总店决定每天购进红灯和黄蜜共1000千克进行销售，但投入资金不超过24000元，假定该超市将红灯和黄蜜的售价分别定为每千克26元和每千克38元，请问如何进货，该超市总店将获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）红灯每千克的进价是20元，黄蜜每千克的进价是28元 （2）每天购进红灯500千克，购进黄蜜500千克，该超市总店将获得最大利润8000元 【解析】 【分析】（1）设红灯每千克的进价是x元，则黄蜜每千克的进价是元，根据用1000元购进红灯的数量和用1400元购进黄蜜的数量相同得：，解方程并检验可得答案； （2）设每天购进红灯m千克，由投入资金不超过24000元，可得，设总店获得的利润为w元，有，根据一次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 设红灯每千克的进价是x元，则黄蜜每千克的进价是元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴红灯每千克的进价是20元，黄蜜每千克的进价是28元； 【小问2详解】 设每天购进红灯m千克，则每天购进黄蜜千克， ∵投入资金不超过24000元， ∴， 解得， 设总店获得的利润为w元， 根据题意得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴时，w取最大值，最大值为（元）， 此时， ∴每天购进红灯500千克，购进黄蜜500千克，该超市总店将获得最大利润8000元． 【点睛】本题考查分式方程的应用和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． 28. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，AB＝4，∠B＝45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿射线CD以每秒1个单位长度的速度运动．设运动的时间为t秒． （1）BC=____． （2）MC＝_____．（用t表示） （3）求t为何值时，四边形AMCD为平行四边形． （4）直接写出t为何值时，△AND为直角三角形． 【答案】（1）10；（2）10﹣2t；（3）即当t=时，四边形ADCM为平行四边形；（4）t= 或t=10时，△AND为直角三角形； 【解析】 【分析】（1）作AE⊥BC、DF⊥BC，可得四边形AEFD为矩形，据此知AD=EF=3，根据知AE=BE=DF=4，再由可得答案． （2）由BM=2t、BC=10知MC=10-2t； （3）由AD=MC即3=10-2t时，四边形ADCM为平行四边形，据此可得； （4）①当∠AND=90°时，根据 即 求得AN的长可得；②当∠NAD=90°时，由AD∥BC知△NAD∽△NEC，据此得，求得DN=5，据此可得答案． 【详解】（1）如图1，作AE⊥BC于点E、DF⊥BC于点F， 则∠AEF=∠DFC=90°， ∴AE∥DF， ∵AD∥BC， ∴四边形AEFD为矩形， 则AD=EF=3， ∵ ∴AE=BE=DF=4， 则FC= ∴BC=BE+EF+FC=4+3+3=10， 故答案为10； （2）∵BM=2t，BC=10， ∴MC=10﹣2t， 故答案为10﹣2t； （3）∵AD∥BC， ∴当AD=MC，即3=10﹣2t时，四边形ADCM为平行四边形， 解得， 即当时，四边形ADCM为平行四边形； （4）如图2，当∠AND=90°时， ∵即 ∴AN=， 由CN=CD+DN可得 如图3，当∠NAD=90°时， ∵∠AEF=90°，AD∥BC， ∴∠EAD=90°， ∴∠NAD+∠EAD=180°， ∴点N、A、E三点共线， ∵AD∥BC， ∴△NAD∽△NEC， ∴，即 解得：DN=5， ∴NC=10， ∴t=10． 综上或t=10时，△AND为直角三角形． 【点睛】考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，综合性比较强，对学生综合能力要求较高. 29. （1）如图1，平行四边形，，，，、分别为、上点，且，四边形的面积与有关，当有最 值(填“大”、“小”)时，四边形的面积有最 值(填“大”、“小”)． （2）如图2，，且，连接，则的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形中，，对角线交于，已知，且，则与的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 【答案】（1）小，大；（2）存在，；（3）不是，周长之和的最小值为15 【解析】 【分析】（1）先求出平行四边形的面积，利用面积和差关系可得四边形的面积，则当有最小值时，四边形的面积有最大值，即可求解； （2）在中，由勾股定理可求的长，由线段的和差关系可求解； （3）如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，可证四边形是平行四边形，可，，则与的周长之和为，由直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】解：（1）过点作，交延长线于，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， ， ，， ，， 四边形的面积， ， ， ∴ 四边形的面积 ， 四边形的面积， 则当有最小值时，四边形的面积有最大值， 故答案为：小，大； （2）存在， 设， ， ， ， 的周长， 当时，的周长的最小值为； （3）与的周长之和不是定值， 理由如下：如图3，过点作，交的延长线于，过点作于， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的周长之和不是定值， 当时，与的周长之和的最小值为15． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$