2.2.1直线的点斜式方程（2知识点+4题型）-2024年新高二数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

2.2.1直线的点斜式方程 明确学习目标 课标要求 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程. 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程. 3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题． 重点难点 1掌握直线的点斜式方程与斜截式方程； 2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题。 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 直线的点斜式方程 1. 直线的点斜式方程的概念 我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式，如图所示． 2. 理解 (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此种形式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0. (3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 3. 两种特殊的直线： 倾斜角 图象特征 斜率 直线方程 0° ，即 ，即 90° 无意义， 即不存在 ，即 4. 求直线的点斜式方程的步骤 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 知识点2 直线的斜截式方程 1．截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．直线斜截式方程的概念 方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式，如图所示． 3.理解 (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 4. 斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 5. 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 6. 根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直 反思感悟　若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 2提升学科能力 题型一 点斜式方程 例1．经过点，且倾斜角为的点斜式直线方程为 . 跟踪训练1 1．已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ． 2．已知过定点的直线m的一个方向向量是，则直线m的点斜式方程为 . 3．写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为3； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点，倾斜角是． 题型二 斜截式方程 例2．已知直线l过点且方向向量为，则l在x轴上的截距为（ ） A． B． C． D． 跟踪训练2 1．已知直线l：，则（　　） A．直线l过点 B．直线l的斜率为 C．直线l的倾斜角为 D．直线l在轴上的截距为1 2．已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 3．在中，BC边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点B的坐标为（1，2）. (1)求点A和点C的坐标； (2)求AC边上的高所在的直线l的斜截式方程. 题型三 直线的图像辨析 例3．已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A．B． C． D． 跟踪训练3 1．直线可能是（    ） A． B．C． D． 2．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B．C． D． 3．方程表示的直线可能是 A．B． C． D． 题型四 直线点斜式方程的综合 例4．直线的方程为. (1)证明：直线恒经过第一象限； (2)若直线一定经过第二象限，求a的取值范围． 跟踪训练4 1．经过点，且与直线平行的直线的斜截式方程为 ；与直线垂直的直线的点斜式方程为 . 2．已知直线l的方程是. (1)求直线l的斜率和倾斜角； (2)求过点且与直线l平行的直线的方程. 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与直线交于点，点D的坐标为. （1）求直线的解析式； （2）直线与x轴交于点B，若点E是直线上一动点（不与点B重合），当时，求点E的坐标 3质量检测评价 一、单选题 1．过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．直线过点，，则直线在轴上的截距是（   ） A． B．3 C． D． 3．已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．，和围成的三角形内部和边上的整点有（    ）个. A．35 B．36 C．37 D．38 5．直线不经过的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知直线，，则它们的图象可能为（    ） A．B．C． D． 8．若直线，则（    ） A． B． C． D． 9．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是(　　) A．y=-x+5 B．y=x+5 C．y= D．y=- 三、填空题 10．直线过点，若的斜率为2，则在轴上的截距为 11．已知斜率为2的直线经过点，则直线的方程为 . 12．已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则值是 . 四、解答题 13．已知的顶点坐标为. (1)试判断的形状： (2)求边上的高所在直线的方程. 14．已知直线的倾斜角是直线l的倾斜角的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程. (1)过点， (2)在x轴上截距为； 15．已知的顶点为，，． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边所在直线的一个方向向量和一个法向量； (3)求过中点，且垂直于方向向量的直线方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.1直线的点斜式方程 明确学习目标 课标要求 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程. 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程. 3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题． 重点难点 1掌握直线的点斜式方程与斜截式方程； 2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题。 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 直线的点斜式方程 1. 直线的点斜式方程的概念 我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式，如图所示． 2. 理解 (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此种形式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0. (3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 3. 两种特殊的直线： 倾斜角 图象特征 斜率 直线方程 0° ，即 ，即 90° 无意义， 即不存在 ，即 4. 求直线的点斜式方程的步骤 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 知识点2 直线的斜截式方程 1．截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．直线斜截式方程的概念 方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式，如图所示． 3.理解 (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 4. 斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 5. 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 6. 根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直 反思感悟　若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 2提升学科能力 题型一 点斜式方程 例1．经过点，且倾斜角为的点斜式直线方程为 . 【答案】 【分析】求出直线斜率，根据直线的点斜式方程即可得答案. 【详解】倾斜角为的直线的斜率为， 又该直线经过点， 所以其点斜式方程为 故答案为： 跟踪训练1 1．已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ． 【答案】 【分析】求出中点坐标和斜率后，根据点斜式可得结果. 【详解】设的中点为，则， 又斜率， 所以直线的点斜式方程为． 故答案为： 2．已知过定点的直线m的一个方向向量是，则直线m的点斜式方程为 . 【答案】 【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，再根据点斜式方程即可求解. 【详解】因为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为， 又因为直线过点， 所以直线的点斜式方程为. 故答案为： 3．写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为3； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点，倾斜角是． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果； （2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可； （3）利用倾斜角是可得直线斜率为，代入点斜式方程求出结果； 【详解】（1）由题意可知，将和斜率3直接代入直线点斜式方程可得， 直线的点斜式方程为； （2）由倾斜角是可得直线斜率， 将代入点斜式方程即为 （3）由倾斜角是可得直线斜率， 将代入点斜式方程即为 题型二 斜截式方程 例2．已知直线l过点且方向向量为，则l在x轴上的截距为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件结合直线的点斜式即可求得直线的方程，再令，即可得到结果. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率， 又直线过点，所以直线方程为，即， 令，得，所以在x轴上的截距为. 故选：A 跟踪训练2 1．已知直线l：，则（　　） A．直线l过点 B．直线l的斜率为 C．直线l的倾斜角为 D．直线l在轴上的截距为1 【答案】BC 【分析】根据直线方程逐项判断. 【详解】对于A，将代入，可知不满足方程，故A不正确； 对于B，由，知直线l的斜率为，故B正确； 对于C，设直线l的倾斜角为α，则，可得，故C正确； 对于D，由，令，可得直线l在轴上的截距为－1，故D不正确． 故选：BC 2．已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【答案】 【分析】直接利用两点的坐标求出直线的方程，进一步转换为斜截式． 【详解】已知两点、，故直线的斜率， 则方程为：，整理得， 转化为直线的斜截式为． 故答案为：． 3．在中，BC边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点B的坐标为（1，2）. (1)求点A和点C的坐标； (2)求AC边上的高所在的直线l的斜截式方程. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出A的坐标，再求出AC所在直线方程和BC所在直线方程，最后联立方程求出C的坐标； （2）先求出直线l的斜率，再求出直线l的斜截式方程. 【详解】（1）由已知A是BC边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点， 由，得，故， 又因为,所以直线AB和直线AC的倾斜角互补，所以 又 所以AC所在直线方程为，BC所在直线方程为， 由，得， 所以点A和点C的坐标为，； （2）由（1）知AC所在直线方程为， 所以直线l的斜率为， 因为，所以直线l所在的方程为，即， 所以直线l的斜截式方程为. 题型三 直线的图像辨析 例3．已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解. 【详解】， 直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2， 故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确. 故选：B 跟踪训练3 1．直线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率的正负值与定点即可判断结果． 【详解】因为，所以A C错； 当时，，故B对； 故选：B 2．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的斜率和纵截距的正负进行判断． 【详解】对B，斜率为正，在轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错. 当时， 和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足. 故选：D 3．方程表示的直线可能是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分和两种情况讨论，即得答案. 【详解】由题意，排除. 当时，，此时直线与轴的交点在轴的负半轴上，排除. 当时，，此时直线与轴的交点在轴的正半轴上，排除，选. 故选：. 【点睛】本题考查由直线方程识别图象，考查分类讨论，属于基础题. 题型四 直线点斜式方程的综合 例4．直线的方程为. (1)证明：直线恒经过第一象限； (2)若直线一定经过第二象限，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）可利用直线经过的定点进行说明； （2）结合（1）的结论，只要直线的轴上的截距大于即可. 【详解】（1），即直线一定过定点，该点在第一象限，于是直线一定经过第一象限. （2）由于直线经过第一象限的定点，只要该直线在轴上的截距大于即可，而经过轴上的点，则，解得 跟踪训练4 1．经过点，且与直线平行的直线的斜截式方程为 ；与直线垂直的直线的点斜式方程为 . 【答案】 【分析】根据平行直线的斜率关系，找到斜率，经过点求出直线方程，改写成斜截式方程即可，根据垂直直线的斜率关系，求出斜率，写出对应的方程，改写成点斜式方程即可. 【详解】设直线的斜率为， 与直线平行的直线的斜率为， 与直线垂直的直线斜率为. 由得， 由两直线平行知. 所以所求直线方程为，即； 由两直线垂直知， 所以与直线垂直的直线的点斜式方程为. 故答案为：; 2．已知直线l的方程是. (1)求直线l的斜率和倾斜角； (2)求过点且与直线l平行的直线的方程. 【答案】(1)斜率为，倾斜角是60° (2) 【分析】（1）由直线方程直接求出斜率，进而得到倾斜角； （2）利用点斜式方程求出直线方程. 【详解】（1）已知直线l：， 所以直线l的斜率，倾斜角是. （2）过点且与直线l平行的直线的斜率是， 所求直线方程为：，即. 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与直线交于点，点D的坐标为. （1）求直线的解析式； （2）直线与x轴交于点B，若点E是直线上一动点（不与点B重合），当时，求点E的坐标 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设直线的解析式为，将点，代入直线中，解出，可得直线的解析式； （2）设点E的坐标为，求出的坐标，当时，过点C作交直线于E，利用求出，进而可得点E的坐标． 【详解】（1）设直线的解析式为，将点，代入直线中得： 解得： 直线的解析式为： （2）设点E的坐标为 令得，点B的坐标为 令得，点C的坐标为，，，， 当时，如图所示，过点C作交直线于E ，，，，解得 此时E点的坐标为 【点睛】本题考查待定系数法求直线的方程，考查相似三角形的应用，考查学生数形结合能力，属于中档题． 3质量检测评价 一、单选题 1．过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知直线斜率为1，根据点斜式即可写出直线方程化简即可得解. 【详解】过点，且倾斜角为的直线斜率为1，则，即． 故选：B． 2．直线过点，，则直线在轴上的截距是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的方程，令可解. 【详解】由题可得直线的斜率， 再由点斜式方程可得， 化简可得，令， 则直线在轴上的截距为． 故选：D． 3．已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点斜式方程求解即可. 【详解】直线在轴上的截距为，点在直线上， 又直线的斜率为,根据点斜式方程得即. 故选：B. 4．，和围成的三角形内部和边上的整点有（    ）个. A．35 B．36 C．37 D．38 【答案】C 【分析】做出直线的图像，依据图像进行求解. 【详解】 显然直线，上无整点， 当，，有1个点； 当，，有1个点； 当，，有2个点； 当，，有3个点； 当，，有3个点； 当，，有4个点； 当，，有5个点； 当，，有5个点； 当，，有6个点； 当，，有7个点； 得到37个整点. 故选：C. 【点睛】利用数形结合的方法进行求解. 5．直线不经过的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据直线图象即可判断． 【详解】画出直线方程得： 故直线不过第三象限， 故选：C    6．过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得所求直线的斜率，再根据点斜式求得正确答案. 【详解】直线的斜率为 由垂直关系可得垂线的斜率为， 又垂线过点， 垂线方程为 故选：D 二、多选题 7．已知直线，，则它们的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由两直线的解析式可得直线的斜率为a、纵截距为b，的斜率为，纵截距为a， 再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，，可能成立； 选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，，可能成立； 选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，，不成立； 选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，，不成立. 故选：AB. 8．若直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】找到斜率之间的关系,即可判断平行与垂直. 【详解】设的斜率分别为， 结合题意易得：， 因为，所以 因为且，所以. 故选：BD. 9．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是(　　) A．y=-x+5 B．y=x+5 C．y= D．y=- 【答案】AC 【分析】分两种情况求解，过原点时和不过原点时，结合所过点的坐标可求. 【详解】当直线过坐标原点时，直线过点,所以直线方程为y=; 当直线不过坐标原点时，设直线方程为=1，代入点，可得a=5， 即y=-x+5. 故选:AC. 三、填空题 10．直线过点，若的斜率为2，则在轴上的截距为 【答案】 【分析】由点斜式写出直线的方程，求出在轴上的截距即可. 【详解】由题意知：直线的方程为，即， 所以在轴上的截距为. 故答案为：. 11．已知斜率为2的直线经过点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据直线点斜式方程，直线斜率为且过点时，直线方程为，代入题中已知即可得出答案. 【详解】已知直线斜率为2且经过点， 由直线点斜式方程得直线的方程为：，即. 故答案为：. 12．已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则值是 . 【答案】 【分析】根据题意，分别求得直线在轴的截距，结合三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】对于直线，能与两坐标轴围成三角形，则， 令，得，所以直线与轴交点坐标为， 令，得，所以直线与轴交点坐标为， 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为， 解得. 故答案为： 四、解答题 13．已知的顶点坐标为. (1)试判断的形状： (2)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1)直角三角形 (2) 【分析】（1）求出，得到，故得到垂直关系，得到三角形形状； （2）由得到边上高线所在直线的斜率，进而由点斜式求出直线方程，得到答案. 【详解】（1），， ， ，又，， 为直角三角形 （2）因为， 所以边上高线所在直线的斜率为, 直线的方程是，即 14．已知直线的倾斜角是直线l的倾斜角的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程. (1)过点， (2)在x轴上截距为； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）求出直线的倾斜角及斜率，再利用直线的点斜式方程求解作答. 【详解】（1）直线的斜率为，其倾斜角为， 依题意，直线的倾斜角为，斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）由（1）知，直线的斜率，显然直线过点， 所以直线的方程为，即. 15．已知的顶点为，，． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边所在直线的一个方向向量和一个法向量； (3)求过中点，且垂直于方向向量的直线方程． 【答案】(1)； (2)方向向量，法向量为； (3). 【分析】（1）求出线段的中点，再求出直线的斜率，进而求出直线方程作答. （2）根据给定条件，求出直线的方向向量和法向量作答. （3）由（1）的信息，求出以直线的法向量为方向向量的直线方程作答. 【详解】（1）依题意，线段的中点，于是直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）依题意，直线的一个方向向量，显然满足， 所以的一个法向量为. （3）由（2）知，垂直于方向向量的直线的方向向量为，而边的中点， 所以过中点，且垂直于方向向量的直线方程为，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$