列联表与独立性检验课件-2025届高三数学一轮复习

必备知识·逐点夯实 第四节　列联表与独立性检验 第十章　统计与成对数据的统计分析 核心考点·分类突破 【课标解读】 【课程标准】 1.通过实例,理解2×2列联表的统计意义. 2.通过实例,了解2×2列联表独立性检验及其应用. 【核心素养】 数学抽象、数据分析、数学运算. 【命题说明】 考向 考法 高考命题常以现实生活为载体,考查分类变量与列联表、独立性检验; 独立性检验是高考热点,常以解答题的形式出现. 预测 估计2025年高考仍会在独立检验上出题. 必备知识·逐点夯实 知识梳理·归纳 1.分类变量 为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质, 这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示. 2.列联表与独立性检验 (1)2×2列联表 ①2×2列联表给出了成对分类变量数据的__________________.  　交叉分类频数　 ②定义一对分类变量X和Y,我们整理数据如表所示: X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 像这种形式的数据统计表称为2×2列联表. (2)独立性检验 ①定义:利用χ2的取值推断分类变量X和Y______________的方法称为χ2独立性检 验,读作“卡方独立性检验”.简称独立性检验.  ②χ2=,其中n=a+b+c+d. (3)独立性检验解决实际问题的主要环节 ①提出零假设H0:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释. ②根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值,并与临界值xα比较. ③根据检验规则得出推断结论. ④在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响 规律. 　微思考 χ2值越大,说明分类变量x与y独立的可能性是大还是小? 提示:χ2值越大,说明分类变量x与y独立的可能性越大. 　是否独立　 √ × 基础诊断·自测 类型 辨析 改编 易错 题号 1 2,3 4 1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数.(　 　) 提示:(1)由2×2列联表可知,表中的数据是两个分类变量的频数,所以(1)正确. (2)事件A和B的独立性检验无关,即两个事件互不影响.(　 　) 提示: (2)由独立性检验可知:事件A和B的独立性检验无关,说明事件A和B关联性 不大,不一定互不影响,所以(2)错误. √ × (3)χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量.(　 　) (4)在2×2列联表中,若|ad-bc|越小,则说明两个分类变量之间关系越强.(　 　) 提示: (4)在2×2列联表中,若|ad-bc|越小,说明卡方值越小,即两个分类变量之间 关系不强,所以(4)错误. 2.(选修第三册P134练习4改编)某课外兴趣小组通过随机调查,利用2×2列联表和χ2统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关.计算得χ2=6.748,经查阅临界值表知P(χ2≥6.635)=0.010,则下列判断正确的是(　　) A.每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生 B.若某人数学成绩优秀,那么他为男生的概率是0.010 C.有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别无关” D.在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关” 【解析】选D.因为χ2=6.748≥6.635,所以有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”,即在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”.所以ABC错误. 3.(选修第三册P133例4改编)在研究吸烟是否对患肺癌有影响的案例中,通过对列联表的数据进行处理,计算得到随机变量χ2≈56.632.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,下面说法正确的是(　　) A.因为随机变量χ2>10.828=x0.001,所以“吸烟与患肺癌有关系”,并且这个结论犯错误的概率不超过0.001 B.因为随机变量χ2>10.828,所以“吸烟与患肺癌有关系”,并且这个结论犯错误的概率不低于0.001 C.因为随机变量χ2>10.828,所以“吸烟与患肺癌没有关系”,并且这个结论犯错误的概率不超过0.001 D.因为随机变量χ2>10.828,所以“吸烟与患肺癌没有关系”,并且这个结论犯错误的概率不低于0.001 【解析】选A.由题意知,通过对列联表的数据进行处理,计算得到随机变量χ2≈56.632>10.828=x0.001, 所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“吸烟与患肺癌有关系”. 4.(不理解独立性检验方法)已知P(χ2≥6.635)=0.01,P(χ2≥10.828)=0.001.在检验喜欢 某项体育运动与性别是否有关的过程中,某研究员搜集数据并计算得到χ2=7.235, 则根据小概率值α=　　　　的χ2独立性检验,分析喜欢该项体育运动与性别有 关.  【解析】因为6.635<7.235<10.828,所以根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,分 析喜欢该项体育运动与性别有关. 0.01 核心考点·分类突破 考点一分类变量与列联表 [例1](1)为考察某种药物对预防禽流感的效果,在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验,根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高堆积条形图,最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是(　　) 【解析】选D.在等高堆积条形图中,与相差很大时,我们认为两个分类变量有关系,在四个选项中(等高的条形图中),选项D中不服药样本中患病的频率与服药样本中患病的频率相差最大. (2)如表是2×2列联表,则表中a,b的值分别为(　　) 项目 y1 y2 合计 x1 a 8 35 x2 11 34 45 合计 b 42 80 A.27,38 B.28,38 C.27,37 D.28,37 【解析】选A.a=35-8=27,b=a+11=27+11=38. 解题技法 比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法 (1)通过计算χ2的大小判断:χ2越大,两变量有关联的可能性越大. (2)通过计算|ad-bc|的大小判断:|ad-bc|越大,两变量有关联的可能性越大. (3)通过计算与的大小判断:相差越大,两变量有关联的可能性越大. 对点训练 1.(2023·莆田模拟)为考察A,B两种药物对预防某疾病的效果,进行动物试验,分别得到如下等高堆积条形图,根据图中信息,在下列各项中,说法最佳的一项是(　　) A.药物B的预防效果优于药物A的预防效果 B.药物A的预防效果优于药物B的预防效果 C.药物A,B对该疾病均有显著的预防效果 D.药物A,B对该疾病均没有预防效果 【解析】选B.根据题干中两个等高堆积条形图知,药物A试验显示不服药与服药时患病差异较药物B试验显示明显大,所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果. 2.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班48人进行了问卷调查,得到了如下的2×2列联表: 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生   6   女生 10     合计     48 已知在全班48人中随机抽取1人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为.请将上面的2×2列联表补充完整. 【解析】在全班48人中随机抽取1人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为,故喜爱打篮球的学生共有48×=32(人),因为喜爱打篮球的女生有10人,故喜爱打篮球的男生有22人,结合题意可知不喜爱打篮球的女生有48-32-6=10(人).列联表补充如下: 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合计 32 16 48 考点二列联表与独立性检验 [例2](2022·全国甲卷改编)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表: 公司 准点情况 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 (1)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率; 【解析】(1)根据题中表格数据,A共有班次260次,准点班次有240次, 设A公司长途客车准点事件为M, 则P(M)==; B共有班次240次,准点班次有210次, 设B公司长途客车准点事件为N, 则P(N)==. 所以A公司长途客车准点的概率为, B公司长途客车准点的概率为. 考点二列联表与独立性检验 [例2](2022·全国甲卷改编)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表: 公司 准点情况 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 (2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关? 附:χ2=, α 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 【解析】(2)列联表 公司 准点情况 合计 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 260 B 210 30 240 合计 450 50 500 χ2==≈3.205>2.706, 根据临界值表可知,有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关. 解题技法 独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表. (2)根据公式χ2=计算χ2的值. (3)比较χ2与临界值xα的大小关系,作统计推断. 对点训练 为了减少自身消费的碳排放,“绿色消费”等绿色生活方式渐成风尚.为获得不同年龄段的人对“绿色消费”意义的认知情况,某地研究机构将“90后与00后”作为A组,将“70后与80后”作为B组,并从A,B两组中各随机选取了100人进行问卷调查,整理数据后获得如下列联表:(单位:人) 年龄段 认知情况 合计 知晓 不知晓 A组(90后与00后) 75 25 100 B组(70后与80后) 45 55 100 合计 120 80 200 (1)若从样本内知晓“绿色消费”意义的120人中用比例分配的分层随机抽样方法随机抽取16人,问:应在A组、B组中各抽取多少人? 【解析】(1)由题意知,在A组中抽取的人数为16×=10.在B组中抽取的人数为16×=6. 对点训练 为了减少自身消费的碳排放,“绿色消费”等绿色生活方式渐成风尚.为获得不同年龄段的人对“绿色消费”意义的认知情况,某地研究机构将“90后与00后”作为A组,将“70后与80后”作为B组,并从A,B两组中各随机选取了100人进行问卷调查,整理数据后获得如下列联表:(单位:人) 年龄段 认知情况 合计 知晓 不知晓 A组(90后与00后) 75 25 100 B组(70后与80后) 45 55 100 合计 120 80 200 (2)能否依据小概率值α=0.001的独立性检验,分析对“绿色消费”意义的认知情况与年龄有关? 【解析】(2)零假设为H0:对“绿色消费”意义的认知情况与年龄无关. 由题意,得χ2==18.75>10.828=x0.001,故依据小概率值α=0.001的独立性检验,推断H0不成立,即认为对“绿色消费”意义的认知情况与年龄有关. 考点三独立性检验的综合应用 [例3](2023·福州模拟)甲、乙两所学校高三年级分别有1 000人,1 100人,为了了解两所学校全体高三年级学生数学测试情况,采用分层随机抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩,并作出了如下的频数分布统计表,规定考试成绩在[120,150]内为优秀. 分组 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110) 甲校频数 1 2 9 8 乙校频数 2 3 10 15 1 分组 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150] 甲校频数 10 10 x 3 乙校频数 15 y 3 1 (1)计算x,y的值; 【解析】(1)由题可知,采用分层随机抽样共抽取105人,1 000∶1 100=10∶11,所以甲校抽取105×=50(人),乙校抽取105×=55(人), 故1+2+9+8+10+10+x+3=50,解得x=7, 2+3+10+15+15+y+3+1=55,解得y=6; 考点三独立性检验的综合应用 [例3](2023·福州模拟)甲、乙两所学校高三年级分别有1 000人,1 100人,为了了解两所学校全体高三年级学生数学测试情况,采用分层随机抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩,并作出了如下的频数分布统计表,规定考试成绩在[120,150]内为优秀. (2)由以上统计数据填写下面2×2列联表,依据小概率值α=0.025的独立性检验,能否认为两个学校的数学成绩有差异?(注:x0.025=5.024) 数学成绩 学校 合计 甲校 乙校 优秀       非优秀       合计       分组 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110) 甲校频数 1 2 9 8 乙校频数 2 3 10 15 1 分组 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150] 甲校频数 10 10 x 3 乙校频数 15 y 3 1 【解析】(2)由频数分布表可得2×2列联表为 零假设H0:两个学校的数学成绩无差异, 所以χ2=≈6.109>5.024=α0.025, 依据小概率值α=0.025的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为两个学校的数学成绩有差异. 数学成绩 学校 合计 甲校 乙校 优秀 20 10 30 非优秀 30 45 75 合计 50 55 105 解题技法 独立性检验解题策略 (1)分清分类变量是什么; (2)计算χ2时注意运算顺序、运算技巧的应用; (3)注意与其他统计知识的交汇运用. 对点训练 第五代移动通信技术简称5G或5G技术,是最新一代蜂窝移动通信技术,也是继4G系统之后的延伸.为了了解市民对A,B运营商的5G通信服务的评价,分别从A,B运营商的用户中随机抽取100名用户对其进行测评,已知测评得分在70分以上的为优秀,测评结果如下: A运营商的100名用户的测评得分 得分 [40,50] (50,60] (60,70] 频率 0.18 0.23 0.3 得分 (70,80] (80,90] (90,100] 频率 0.24 0.03 0.02 B运营商的100名用户的测评得分 (1)根据频率分布直方图,分别求出B运营商的100名用户的测评得分的中位数和均值(同一组中的数据以该组区间的中点值为代表); 【解析】(1)由题中频率分布直方图可知B运营商测评得分在区间[40,70]的频率为(0.008+0.016+0.026)×10=0.5, 故B运营商测评得分的中位数为70; 由题中频率分布直方图可知B运营商测评得分的均值为45×0.08+55×0.16+65× 0.26+75×0.3+85×0.16+95×0.04=69.2. (2)填写下面列联表,依据小概率值α=0.01的独立性检验,推断测评得分优秀是否与运营商有关.(x0.01=6.635) 运营商 测评得分 合计 优秀 非优秀 A       B       合计       【解析】(2)零假设H0:测评得分优秀与运营商无关. 由题中频率分布表可知A运营商测评得分优秀的有100×(0.24+0.03+0.02)=29(个), 非优秀的有100×(0.18+0.23+0.3)=71(个), 由题中频率分布直方图可知B运营商测评得分优秀的有(0.03+0.016+0.004)× 10×100=50(个),非优秀的有(0.008+0.016+0.026)×10×100=50(个), 则可得列联表如下: 运营商 测评得分 合计 优秀 非优秀 A 29 71 100 B 50 50 100 合计 79 121 200 则χ2=≈9.227, 因为9.227>6.635=x0.01,所以依据小概率值α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立, 即认为测评得分优秀与运营商有关. 谢谢观赏！！ $$