3.3二次函数与幂函数课件-2025届高三数学一轮复习

必备知识·逐点夯实 第三节　二次函数与幂函数 第三章　函数及其应用 核心考点·分类突破 【课标解读】 【课程标准】 1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数. 2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、最值、顶点等). 【核心素养】 数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象. 【命题说明】 考向考法 主要考查幂函数与二次函数的图象和性质,常与指数函数、对数函数、导数等知识交汇命题. 预测 预计2025年高考对于幂函数以幂函数的图象和性质应用为主.对于二次函数的考查一般与其他知识综合,题型一般为选择题、填空题. 必备知识·逐点夯实 知识梳理·归纳 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数_____叫做幂函数,其中x是自变量,α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象 y=xα (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②当α>0时,幂函数的图象都过点_____和______,且在(0,+∞)上单调递增; ③当α<0时,幂函数的图象都过点______,且在(0,+∞)上单调递减; ④当α为奇数时,y=xα为________;当α为偶数时,y=xα为________. 微点拨 幂函数的特征:(1)自变量x处在幂底数的位置,幂指数α为常数; (2)xα的系数为1; (3)只有一项. (1,1) (0,0) (1,1) 奇函数 偶函数 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)=______________. 顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为_______. 零点式(或两根式):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的______. ax2+bx+c(a≠0) (m,n) 零点 (2)二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 [,+∞) (-∞,] 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 对称轴 x=- 顶点坐标 (-,) 奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 单调性 在(-∞,-]上单调递____; 在[-,+∞)上单调递____ 在(-∞,-]上单调递____; 在[-,+∞)上单调递____ 减 增 增 减 微点拨 对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a≠0,当题目的条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况. 常用结论 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当时,恒有f(x)>0;当时,恒有f(x)<0. 3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限. (2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. (3)若幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增,则α>0;若在(0,+∞)上单调递减,则α<0. 基础诊断·自测 1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=2是幂函数.(　 　) (2)当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上是增函数.(　 　) (3)二次函数y=a(x-1)2+2的单调递增区间是[1,+∞).(　 　) (4)二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方,则a<0且Δ<0.(　 　) 类型 辨析 改编 易错 题号 1 2 3,4 × √ × √ 提示: (1) 幂函数的解析式为f(x)=xα,故y=2不是幂函数 × (3) 当a>0时,单调递增区间是[1,+∞) × 2.(人A必修第一册P91练习T1变条件、变设问)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点(,),则k+α=(　　) A. B.1 C. D.2 【解析】选C.由题意得k=1,又函数f(x)的图象过点(,), 所以=,解得α=,则k+α=. 3.(忽视幂函数的定义域)已知幂函数f(x)=,若f(a+1)<f(10-2a),则实数a的取值范围为　　　　　.  【解析】f(x)=的定义域为(0,+∞), 且在定义域内是减函数, 所以a+1>10-2a>0,解得3<a<5. (3,5) 4.(忽视区间限制)已知函数f(x)=x2-x+1在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　.  【解析】f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)=x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可. 因为g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减, 所以g(x)min=g(1)=-m-1.由-m-1>0,得m<-1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1). (-∞,-1) 核心考点·分类突破 考点一 幂函数的图象与性质 1.已知点(,)在幂函数f(x)的图象上,则f(x)是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数 【解析】选A.设f(x)=xα,由已知得()α=,解得α=-1,因此f(x)=x-1,易知该函数为奇函数. 2.若幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则m与n的取值情况为(　　) A.-1<m<0<n<1 B.-1<n<0<m< C.-1<m<0<n< D.-1<n<0<m<1 【解析】选D.幂函数y=xα,当α>0时,y=xα在(0,+∞)上单调递增,且0<α<1时,图象上凸,所以0<m<1.当α<0时,y=xα在(0,+∞)上单调递减.不妨令x=2,由图象得2-1<2n,则-1<n<0. 综上,-1<n<0<m<1. 3.已知幂函数f(x)=mxn的图象过点(,2),设a=f(m),b=f(n),c=f(ln 2),则(　　) A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.a<b<c 【解析】选B.因为f(x)=mxn为幂函数,故m=1.因为函数f(x)=mxn的图象过点(,2),所以=2,解得n=3.故函数f(x)=x3,且函数为增函数.因为n>m>ln 2,故c<a<b. 4.已知幂函数f(x)的图象过点(-8,-2),且f(a+1)≤-f(a-3),则实数a的取值范围是　　　　　　　.  【解析】设f(x)=xα,则(-8)α=-2,解得α=,所以f(x)=,则f(x)在R上单调递增,且为奇函数,所以f(a+1)≤-f(a-3)等价于f(a+1)≤f(3-a),则a+1≤3-a,解得a≤1. (-∞,1] 解题技法 (1)幂函数图象的特点:掌握幂函数图象,首先确定定义域,然后抓住三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分的区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定. (2)比较幂值大小的方法:在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较. 考点二 二次函数的解析式 [例1](1)已知二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴是直线x=1,并且图象过点 P(-1,7),则a,b的值分别是(　　) A.2,4 B.-2,4 C.2,-4 D.-2,-4 【解析】选C.因为y=ax2+bx+1的图象的对称轴是直线x=1,所以-=1①, 又图象过点P(-1,7),所以a-b+1=7,即a-b=6②, 联立①②解得a=2,b=-4. (2)(一题多法)已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则f(x)的 解析式为　　　　　　　　.  【解析】解法一(利用一般式):设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. f(x)=-4x2+4x+7 解法二(利用顶点式):设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). 因为f(2)=f(-1),所以抛物线的对称轴为直线x==.所以m=. 又根据题意函数有最大值8,所以n=8.所以f(x)=a(x-)2+8. 因为f(2)=-1,所以a(2-)2+8=-1,解得a=-4,所以f(x)=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7. 解法三(利用两根式):由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数f(x)有最大值8,即=8,解得a=-4或a=0(舍去). 所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. (3)设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1,被x轴截 得的线段长为2,则f(x)的解析式为　　　　　　　,f(2)=　　　　.  【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由f(x-2)=f(-x-2),得4a-b=0①. 设f(x)的图象与x轴交点的横坐标为x1,x2, 由|x1-x2|==2,所以b2-4ac=8a2②.由已知得c=1③. 由①②③解得b=2,a=,c=1,所以f(x)=x2+2x+1, 所以f(2)=×22+2×2+1=2+4+1=7. f(x)=x2+2x+1 7 解题技法 确定二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下: 对点训练 1.已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,则函数f(x)的解析式为 　　　　　　　　.  【解析】由题意,设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 因为f(0)=1,即c=1,所以f(x)=ax2+bx+1, 所以f(x+1)-f(x)=[a(x+1)2+b(x+1)+1]-(ax2+bx+1)=2ax+a+b=2x, 从而有解得 所以f(x)=x2-x+1. f(x)=x2-x+1 2.(2023·长沙雅礼中学模拟)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称, 且与直线y=x相切,则满足上述条件的函数f(x)=　　　 　.(写一个即可)  【解析】已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 因为f(x)的图象关于y轴对称,所以对称轴x=-=0, 所以b=0,所以f(x)=ax2+c,联立整理得ax2-x+c=0, 因为f(x)的图象与直线y=x相切, 所以Δ=1-4ac=0,所以ac=,当a=1时,c=. 所以满足条件的二次函数可以为f(x)=x2+. x2+(答案不唯一) 考点三 二次函数的图象与性质 考情提示 二次函数是高考必考的重要考点之一.主要考查二次函数的性质及应用,尤其是二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用,多以选择题、填空题的形式出现. 角度1　二次函数图象的识别 [例2]设abc>0,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是(　　) 【解析】选D.因为abc>0, 二次函数f(x)=ax2+bx+c,那么可知, 在A中,a<0,b<0,c<0,不符合题意; 在B中,a<0,b>0,c>0,不符合题意; 在C中,a>0,b>0,c<0,不符合题意; 在D中,a>0,b<0,c<0,符合题意. 解题技法 识别二次函数图象应学会“三看” 角度2　二次函数的单调性及最值 [例3](1)(2023·济南模拟)若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)满足f(1)=f(3),则下列不等式成立的是(　　) A.f(1)<f(4)<f(2) 　 B.f(4)<f(1)<f(2) C.f(4)<f(2)<f(1) 　 D.f(2)<f(4)<f(1) 【解析】选B.因为f(1)=f(3),所以二次函数f(x)=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2, 又因为a<0,所以f(4)<f(3)<f(2),又f(1)=f(3),所以f(4)<f(1)<f(2). (2)已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3,若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,则实数a的值 为　　　　　.  【解析】函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-. 当-≤1,即a≥-时,f(x)max=f(3)=6a+3, 所以6a+3=1,即a=-,满足题意; 当->1,即a<-时,f(x)max=f(-1)=-2a-1, 所以-2a-1=1,即a=-1,满足题意. 综上可知,a=-或-1. -或-1 (3)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值. 【解析】①当a=0时,f(x)=-2x在[0,1]上单调递减,所以f(x)min=f(1)=-2. ②当a>0时,f(x)=ax2-2x的图象开口向上,且对称轴为直线x=. 当<1,即a>1时,f(x)=ax2-2x图象的对称轴在[0,1]内,所以f(x)在[0,]上单调递减, 在[,1]上单调递增.所以f(x)min=f()=-=-. 当≥1,即0<a≤1时,f(x)在[0,1]上单调递减.所以f(x)min=f(1)=a-2. ③当a<0时,f(x)=ax2-2x的图象开口向下,且对称轴为直线x=<0,在[0,1]的左侧, 所以f(x)=ax2-2x在[0,1]上单调递减.所以f(x)min=f(1)=a-2.综上所述,f(x)min=. 解题技法 1.对于二次函数的单调性 关键是开口方向与对称轴的位置,若开口方向或对称轴的位置不确定,则需要分类讨论求解. 2.二次函数最值问题的类型及求解策略 (1)类型: ①对称轴、区间都是给定的; ②对称轴动、区间固定; ③对称轴定、区间变动. (2)求解策略:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. 角度3　与二次函数有关的恒成立问题 [例4]金榜原创·易错对对碰 已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k为实数. (1)对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x),则k的取值范围是　　　　　;  【解析】(1)设h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k, 问题转化为x∈[-3,3]时,h(x)≤0恒成立,故h(x)max≤0. 由二次函数的性质可知h(x)max=h(3)=86-k, 由86-k≤0,得k≥86,即k的取值范围为[86,+∞). [86,+∞) 已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k为实数. (2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,则k的取值范围是　　　　　;  【解析】(2)由题意,存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立, 即h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k≤0在x∈[-3,3]上有解,故h(x)min≤0. 由二次函数的性质可知h(x)min=h(-1)=-10-k,由-10-k≤0,得k≥-10, 即k的取值范围为[-10,+∞). [-10,+∞) 已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k为实数. (3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),则k的取值范围是　　　　　.  【解析】(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),所以f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3]. 由二次函数的性质可得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-1)=2. 故有120-k≤2,得k≥118,即k的取值范围为[118,+∞). [118,+∞) 解题技法 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是构造新函数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. 对点训练 1.(多选题)二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中正确的是(　　) A.b=-2a B.a+b+c<0 C.a-b+c>0 D.abc<0 【解析】选AD.由题图可知a<0,f(x)图象的对称轴为直线x=-=1,则b=-2a,则b>0,又f(0)=c>0,所以abc<0,由于f(-1)<0,则a-b+c<0,由于f(1)>0,则a+b+c>0. 2.(多选题)定义在R上的函数f(x)=-x3+m与函数g(x)=f(x)+x3+x2-kx在[-1,1]上具有相 同的单调性,则k的取值可以是(　　) A.1 B. C.2 D.3 【解析】选CD.易知f(x)=-x3+m在R上是减函数.依题设,函数g(x)=x2-kx+m在[-1,1]上单调递减,所以函数g(x)图象的对称轴为直线x=≥1,则k≥2.故k的取值可以是2,3. 3.(2023·石家庄模拟)已知函数f(x)=-2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为(-1,3).若对任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,则m的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.[4,+∞) C.[2,+∞) D.(-∞,4] 【解析】选B.因为f(x)>0的解集为(-1,3), 所以-2x2+bx+c=0的两个根为-1,3,所以即 令g(x)=f(x)+m,则g(x)=-2x2+4x+6+m=-2(x-1)2+8+m, 由x∈[-1,0]可得g(x)min=g(-1)=m,又g(x)≥4在[-1,0]上恒成立,故m≥4. 4.函数f(x)=x2-4x+2在区间[a,b]上的值域为[-2,2],则b-a的取值范 围是　　　　.  【解析】解方程f(x)=x2-4x+2=2,解得x=0或x=4, 解方程f(x)=x2-4x+2=-2,解得x=2, 由于函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[-2,2]. 若函数f(x)在区间[a,b]上单调, 则[a,b]=[0,2]或[a,b]=[2,4],此时b-a取得最小值2; 若函数f(x)在区间[a,b]上不单调, 且当b-a取最大值时,[a,b]=[0,4],所以b-a的最大值为4. 所以b-a的取值范围是[2,4]. [2,4] 谢谢观赏！！ $$