精品解析：吉林省白山市第七中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

白山市第七中学2023~2024学年度下学期期中考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第三册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设随机变量等可能取值为，如果，那么（ ） A. B. C. D. 2. 小亮的爸爸记录了小亮从4岁到10岁的身高，建立了小亮身高与年龄的回归模型，他用的这个模型预测小亮11岁时的身高，则下面的叙述正确的是（ ） A. 小亮11岁时的身高在149.75cm左右 B. 小亮11岁时的身高在149.75cm以下 C. 小亮11岁时的身高一定是149.75cm D. 小亮11岁时的身高在149.75cm以上 3. 已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 4. 一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（ ） A. 没有白球 B. 至多有2个黑球 C. 至少有2个白球 D. 至少有2个黑球 5. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A. 23.4 B. 23.6 C. 23.8 D. 24.0 6. 对任意实数，有，则的值为（ ） A. B. C. 22 D. 30 7. 如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列．已知数列的项数为4，其中，，2，3，4，记事件：集合；事件：为“局部等差”数列，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（ ） A. B. C. D. 或 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组的两个变量中呈正相关关系的是（ ） A. 学生的身高与学生的化学成绩 B. 汽车行驶的里程与它的耗油量 C. 人的年龄与年收入 D. 水果的重量与它的总价 10. 高二年级安排甲､乙､丙三位同学到六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ） A. 如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有88种 B. 如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有36种 C. 如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种 D. 如果甲､丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种 11. 甲袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个红球和1个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用，，分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是红球，则以下结论正确的是（ ） A. ，，两两互斥 B. C. D. 与B是相互独立事件 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为了比较E、F、G、H四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了E、F、G、H四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据. 13. 由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个． 14. 一批小麦种子的发芽率是0.7，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种．则每穴至少种______粒，才能保证每穴不需补种的概率大于97%．（lg3≈0.48） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知二项式的展开式中共有10项． （1）求展开式的第5项的二项式系数； （2）求展开式中含的项． 16. 某大型商品交易会展馆附近的一家特色餐厅为了研究参会人数与本店所需原材料数量的关系，在交易会前查阅了最近4次交易会的参会人数x（万人）与餐厅所用原材料数量y（袋），得到如下数据： 第一次 第二次 第三次 第四次 参会人数x（万人） 8 9 10 11 原材料y（袋） 20 23 25 28 （1）请根据所给四组数据，求出y关于x的线性回归方程； （2）若该店现有原材料20袋，据悉本次交易会大约有12万人参加，为了保证原材料能够满足需要，则该店应至少再补充原材料多少袋？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 17. 2023年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三12个班级每个班随机抽取10名同学进行问卷，统计数据如下表： 课余学习时间超过两小时 课余学习时间不超过两小时 200名以前 40 200名以后 40 （1）求x的值； （2）依据上表，判断是否有99.9%的把握认为，高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关； （3）学校在成绩200名以前的学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中课余学习时间超过两小时的学生人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：参考公式：，其中． a 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 某化学实验课老师在学期末要对所教学生进行一次化学实验考核，每个学生需要独立完成该实验考核．根据以往数据，在五名学生中，三人能独立完成实验的概率均为，两人能独立完成实验的概率均为． （1）若，求这五名学生中恰有四名学生通过实验考核的概率； （2）设这五名学生中通过实验考核的人数为随机变量，若的数学期望，求的取值范围． 19. 某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如下的频数分布表： 分组 频数 5 15 40 40 15 5 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率． （1）若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在中的个数，求X的分布列和数学期望； （2）若变量S满足，且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白山市第七中学2023~2024学年度下学期期中考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第三册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设随机变量等可能取值为，如果，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，结合计算可得. 【详解】依题意可得，， 所以， 解得. 故选：B. 2. 小亮的爸爸记录了小亮从4岁到10岁的身高，建立了小亮身高与年龄的回归模型，他用的这个模型预测小亮11岁时的身高，则下面的叙述正确的是（ ） A. 小亮11岁时的身高在149.75cm左右 B. 小亮11岁时的身高在149.75cm以下 C. 小亮11岁时的身高一定是149.75cm D. 小亮11岁时的身高在149.75cm以上 【答案】A 【解析】 【分析】根据回归直线的实际意义判断即可 【详解】代入可得，又利用回归直线方程我们可以对身高进行预测、估计，只能说身高在某一预测值附近的可能性比较大，故小亮11岁时的身高在149.75cm左右 故选：A 3. 已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点分布的期望即可求解. 【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为， ． 故选:D． 4. 一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（ ） A. 没有白球 B. 至多有2个黑球 C. 至少有2个白球 D. 至少有2个黑球 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的公式结合排列组合知识直接求解 【详解】表示任取5个球中，有2个黑球的概率， 表示任取5个球中，有1个黑球的概率 表示任取5个球中，没有黑球的概率 所以表示任取5个球中，至多有2个黑球的概率． 故选：B． 5. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A. 23.4 B. 23.6 C. 23.8 D. 24.0 【答案】A 【解析】 【分析】先由x、y的平均值和代入方程，求得，从而得到，再将代入并加上残差0.6即可得出答案. 【详解】由题意可知，，， 将代入，即，解得， 所以， 当时，， 则. 故选：A. 6. 对任意实数，有，则的值为（ ） A. B. C. 22 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】因为，所以， 故选：B． 7. 如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列．已知数列的项数为4，其中，，2，3，4，记事件：集合；事件：为“局部等差”数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出事件与事件的基本事件的个数，用=计算结果. 【详解】由题意知，事件共有个基本事件， 对于事件，其中含1，2，3的“局部等差”数列的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个，含3，2，1的“局部等差”数列的同理也有3个，共6个； 含3，4，5的和含5，4，3的与上述相同，也有6个； 含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2个；含4，3，2的同理也有2个； 含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个； 含5，3，1的同理也有4个， 所以事件共有24个基本事件， 所以． 故选：C 8. 甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由三局两胜的比赛制度可得随机变量可能的取值为2和3，分别求出概率，列出分布列，利用离散型随机变量的期望公式计算求得的值． 【详解】随机变量可能的取值为2，3． ， ， 故的分布列为： 2 3 故， 由，解得或． 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组的两个变量中呈正相关关系的是（ ） A. 学生的身高与学生的化学成绩 B. 汽车行驶的里程与它的耗油量 C. 人的年龄与年收入 D. 水果的重量与它的总价 【答案】BD 【解析】 【分析】根据相关关系的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，选项A，为非确定性关系， 选项B为相关关系，且为正相关关系． 选项C，为非确定性关系， 选项D，为相关关系，且为正相关关系． 故选：BD 10. 高二年级安排甲､乙､丙三位同学到六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ） A. 如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有88种 B. 如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有36种 C. 如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种 D. 如果甲､丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种 【答案】BD 【解析】 【分析】根据间接法即可判断A,根据分步乘法计数原理即可判断BCD. 【详解】安排甲､乙､丙三位同学到六个社区进行暑期社会实践活动， 对于A：如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有（种）．故A错误； 对于B：如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有（种）．故B正确； 对于C：如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种）．故C错误； 对于D：如果甲､丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有（种）．故D正确． 故选:． 11. 甲袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个红球和1个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用，，分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是红球，则以下结论正确的是（ ） A. ，，两两互斥 B. C. D. 与B是相互独立事件 【答案】AB 【解析】 【分析】A由互斥事件的定义判断；B根据题意判断；C应用全概率公式求，D判断是否相等即可. 【详解】由题意，{甲袋取出白球}，{甲袋取出红球}，{甲袋取出黑球}， 所以，，两两互斥，A正确； 而甲袋有3个白球，3个红球和2个黑球，则，， 先发生，此时乙袋有3个白球，2个红球和1个黑球，则， 先发生，此时乙袋有2个白球，3个红球和1个黑球，则， 先发生，此时乙袋有2个白球，2个红球和2个黑球，则， 所以，B正确，C错误； ，D错误. 故选：AB 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为了比较E、F、G、H四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了E、F、G、H四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据. 【答案】 【解析】 【分析】借助相关系数的性质计算即可得. 【详解】因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强， 且， 所以H组数据的线性相关性最强. 故答案为：. 13. 由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个． 【答案】90 【解析】 【分析】由题可知，偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，据此可得答案. 【详解】因偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，则 当0排在第6位时，共有（个）数； 当0排在第5位时，共有（个）数； 当0排在第4位时，共有（个）数， 故这样的七位数共有（个）． 故答案为： 14. 一批小麦种子的发芽率是0.7，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种．则每穴至少种______粒，才能保证每穴不需补种的概率大于97%．（lg3≈0.48） 【答案】3 【解析】 【分析】利用n次独立重复实验恰有k次发生的概率，列不等式即可求得每穴至少种的种子数n 【详解】记事件A为“种一粒种子，发芽”，则 设每穴种n粒，则相当于做了n次独立重复实验， 记事件B为“每穴至少有一粒发芽”， 则， 若保证每穴不需补种的概率大于97%，则 即，两边取常用对数得，，即 又lg3≈0.48，则， 又n为整数，则每穴至少种3粒，才能保证每穴不需补种的概率大于97%． 故答案为：3 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知二项式的展开式中共有10项． （1）求展开式的第5项的二项式系数； （2）求展开式中含的项． 【答案】（1）126 （2） 【解析】 【分析】（1）根据项数可求得，根据二项式系数与项数之间关系列出等式，解出即可； （2）由（1）中的，求出通项，使的幂次为4，求出含的项即可. 【小问1详解】 解：因为二项式的展开式中共有10项，所以， 所以第5项的二项式系数为； 【小问2详解】 由（1）知，记含的项为第项， 所以， 取，解得，所以， 故展开式中含的项为. 16. 某大型商品交易会展馆附近的一家特色餐厅为了研究参会人数与本店所需原材料数量的关系，在交易会前查阅了最近4次交易会的参会人数x（万人）与餐厅所用原材料数量y（袋），得到如下数据： 第一次 第二次 第三次 第四次 参会人数x（万人） 8 9 10 11 原材料y（袋） 20 23 25 28 （1）请根据所给四组数据，求出y关于x的线性回归方程； （2）若该店现有原材料20袋，据悉本次交易会大约有12万人参加，为了保证原材料能够满足需要，则该店应至少再补充原材料多少袋？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1） （2）11袋 【解析】 【分析】（1）根据数据求出得出回归直线即可； （2）应用回归直线估计判断即可. 【小问1详解】 由数据，得，， ， ， 由公式，求得，，y关于x的线性回归方程为． 【小问2详解】 由，得，而， 所以该店应至少再补充原材料11袋． 17. 2023年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三12个班级每个班随机抽取10名同学进行问卷，统计数据如下表： 课余学习时间超过两小时 课余学习时间不超过两小时 200名以前 40 200名以后 40 （1）求x的值； （2）依据上表，判断是否有99.9%的把握认为，高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关； （3）学校在成绩200名以前的学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中课余学习时间超过两小时的学生人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：参考公式：，其中． a 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）10 （2）有99.9%的把握认为，高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关； （3）分布列： X 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）利用样本容量求x的值； （2）利用列联表计算，与临界值比较后得结论； （3）由分层抽样，确定抽取的6人在两层中的人数，由X可能的取值，计算相应的概率，得分布列，利用公式计算数学期望. 【小问1详解】 由题意可得高三12个班级共抽取120名， 所以，解得； 【小问2详解】 零假设：高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩无关， 利用列联表可得， 则没有理由认为零假设成立， 所以有99.90/的把握认为高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关； 【小问3详解】 这6人中课余学习时间超过两小时的人数为，课余学习时间不超过两小时的人数为2， X可能的取值为1，2，3， 有；；． 故X的分布列为： X 1 2 3 P ． 18. 某化学实验课老师在学期末要对所教学生进行一次化学实验考核，每个学生需要独立完成该实验考核．根据以往数据，在五名学生中，三人能独立完成实验的概率均为，两人能独立完成实验的概率均为． （1）若，求这五名学生中恰有四名学生通过实验考核的概率； （2）设这五名学生中通过实验考核的人数为随机变量，若的数学期望，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率公式直接求解即可； （2）首先确定所有可能的取值，并求得每个取值对应的概率，由数学期望公式可求得，由可解不等式求得结果. 【小问1详解】 设“这五名学生中恰有四名学生通过实验考核”为事件， 则. 【小问2详解】 由题意知：的可能取值为， 则， ， ， ， ， ， ， 解得：，又，的取值范围为. 19. 某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如下的频数分布表： 分组 频数 5 15 40 40 15 5 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率． （1）若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在中的个数，求X的分布列和数学期望； （2）若变量S满足，且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 【答案】（1）X的分布列为 X 0 1 2 3 P （2）能 【解析】 【分析】（1）写出随机变量的可能取值，并求解每个值的概率，即可求解； （2）求出与的概率，即可求解. 【小问1详解】 从这批零件中随机选取1件，长度在的概率’ 随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以； 【小问2详解】 由题意知，， ， ， 因为，， 所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布， 所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $