21.5 反比例函数 课件 2023-2024学年沪科版数学九年级上册

21.5 反比例函数 第二十一章 二次函数与反比例函数 知识点 反比例函数的定义 知1-讲 1 1. 定义 一般地,表达式形如y=(k为常数,且k ≠ 0)的函数叫做反比例函数. 其中x是自变量,y是函数. 自变量x的取值范围是不等于0 的一切实数. 知1-讲 特别提醒 反比例函数的表达式y=中无论变量x,y怎样变化,k的值始终等于x与y的乘积,因此人们习惯上称k为比例系数. 感悟新知 2. 反比例函数的表达式的三种形式 ① y=; ② y=kx-1; ③ xy=k.(其中k为常数,且k ≠ 0) 知1-讲 知1-练 感悟新知 [ 月考 滁州琅琊区 ] 下列函数中,属于反比例函数的 是( ) A. y=-2x B. y=kx-1 C. y= D. y= 例1 知1-练 感悟新知 解:A. y=-2x是正比例函数,不符合题意; B.当 k=0 时, y=kx-1 不是反比例函数,不符合题意; C. y= 是反比例函数,符合题意; D. y= 不是反比例函数,不符合题意. 解题秘方:紧扣反比例函数的定义逐一判断即可. 答案:C 知1-练 感悟新知 1-1. [ 中考 乐山 ] 在下列函数表达式中, x均为自变量,哪些是反比例函数?并指出相应的 k 值. ①y= ;②y= - ;③ xy = 15; ④ y=x2 - 1; ⑤ y= - ;⑥ y=+ 3;⑦ y = x - 4. 知1-练 感悟新知 知1-练 感悟新知 [ 月考 亳州 ] 已知:( 4 - y) 与( x+1) 成反比例, 且当x=1 时, y=2. 求 y 与 x 之间的函数表达式. 例2 知1-练 感悟新知 解:由题意可设 4 - y=. ∵当 x=1 时, y=2,∴ 4 - 2=,解得 k=4. ∴ 4 - y=. ∴ y=4 - =. 解题秘方:紧扣反比例关系设表达式,用待定系数法求解. 知1-练 感悟新知 2-1. [ 中考 乐山 ] 已知 y=y1-y2,其中 y1 与x 成正比 例, y2 与 x 成反比例,且当 x=2 时,y=5;当 x=1 时, y=4. (1) 求函数 y=y1-y2的表达式; 知1-练 感悟新知 知1-练 感悟新知 (2)当 x=-时,求y 的值. 知1-练 感悟新知 [母题 教材 P43 问题 2 ] A, B 两地相距 400 km, 某人开车从A 地匀速行驶到 B 地, 设小汽车的行驶时间为 t h, 行驶速度为 vkm/h, 且全程限速, 速度不超过 100 km/h. (1) 写出 v 关于 t 的函数表达式. (2) 如果此人开车的速度不超过 80 km/h, 那么他从 A 地匀速行驶到 B 地至少要多长时间? 例3 知1-练 感悟新知 解:v 关于 t 的函数表达式为 v=. 解题秘方:根据路程、速度和时间三者间的关系列出函数表达式; (1) 写出 v 关于 t 的函数表达式. 知1-练 感悟新知 解:由题意得≤ 80,解得 t ≥ 5, ∴他从 A 地匀速行驶到 B 地至少要 5 h. 解题秘方:根据函数表达式,求出自变量的取值范围是解题的关键 . (2) 如果此人开车的速度不超过 80 km/h, 那么他从 A 地匀速行驶到 B 地至少要多长时间? 知1-练 感悟新知 3-1.某工人打算将一块不锈钢加工成一个面积为0.8 m2的矩形模具.设矩形模具的长与宽分别为 y m 与 x m. (1)请写出 y 与 x 之间的函数表达式,变量 y与 x 之间是什么函数? 知1-练 感悟新知 (2)若想使此矩形模具的长比宽多 1.6 m,求它的长和宽. 解:∵长比宽多1.6 m,∴y=x+1.6. 将其代入xy=0.8,得x(x+1.6)=0.8, 解得x1=-2(不符合题意,舍去),x2=0.4, ∴x=0.4.∴y=0.4+1.6=2. ∴它的长为2 m,宽为0.4 m. 知2-讲 知识点 反比例函数的图象 2 1. 图象的画法(描点法) (1)列表:选取一些自变量的值,在原点的两边取三对或三对以上互为相反数的值. (2)描点:根据表中提供的数据,即点的坐标,在平面直角坐标系中描出对应的点. (3)连线:用平滑的曲线顺次把这些点连接起来并延伸. 知2-讲 2. 图象的特点 (1)反比例函数y=(k为常数,且k ≠ 0)的图象是双曲线; (2)反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限; (3)双曲线的两支都无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交; . . . . . . . . . . . . . . . . . . 知2-讲 (4)双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点),又是轴对称图形(对称轴是直线y=x 和直线y=-x). 如图21.5-1. 无限接近,永不相交 知2-讲 特别提醒 由于反比例函数图象的两个分支关于原点对称,因此只要画出它在一个象限内的分支,就可以对称地画出另一个分支. 画实际问题中的反比例函数的图象时, 要考虑自变量取值范围的限制, 一般地,实际问题的图象是反比例函数图象在第一象限内的一支或其中一部分. 知2-练 [母题 教材 P45 例 2]在同一平面直角坐标系中画出反比例函数y=和y=-的图象. 解题秘方:紧扣画图象的“一列、二描、三连”的步骤画图. 例4 知2-练 解:列表如下: x … -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 … y= … -1 - - - -5 5 1 … y=- … 1 5 -5 - - - -1 … 知2-练 描点、连线得到如图21.5-2 所示的图象. 知2-练 感悟新知 4-1.已知函数 y=( m-2) xm -5是反比例函数. (1)求 m 的值 . 知2-练 感悟新知 (2)根据函数表达式完成下表 . x … -4 -2 -1 1 3 4 … y … -2 … 知2-练 感悟新知 (3)以表中各组对应值为点的坐标,在下面的平面直角坐标系中描点并画出函数图象 . 解:如图所示. 知3-讲 知识点 反比例函数的性质 3 反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况,如下表所示. 反比例函数 y= (k ≠ 0) k的符号 k>0 k<0 知3-讲 特别提醒 在描述反比例函数的增减性时,必须指明“在每一个象限内”. 因为当k>0(k<0)时, 整个函数不是y随x的增大而减小(增大),而是函数在每一个象限内,y随x的增大而减小(增大). 知3-讲 图象 图象位置 第一、第三象限 第二、第四象限 增减性 在每一个象限内,y随x的增大而减小 在每一个象限内,y随x的增大而增大 知3-练 感悟新知 若点(-1, y1),(2, y2),( 3, y3) 在反比例函数y= ( k<0)的图象上, 则 y1, y2, y3 的大小关系是( ) A. y1>y2>y3 B.y3>y2>y1 C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1 例5 知3-练 感悟新知 解题秘方:利用我们对物理学中力、热、声、光、 解:∵ k<0,∴函数图象位于第二、四象限 , 且在每个象限内, 函数 y 随 x 的增大而增大,∴当 x= - 1 时, y1>0. ∵ 0<2 <3,∴ 0>y3>y2,∴ y1>y3>y2. 答案:C 知3-练 感悟新知 5-1. [ 月考 皖东南 ] 若点 A( x1, y1), B( x2, y2), C(x3,y3) 都在反比例函数y=的图象上,且 x1<0<x2<x3, 则y1, y2, y3 的 大 小 关 系是( ) A. y1<y2<y3 B. y1<y3<y2 C. y2<y3<y1 D. y3<y1<y2 B 知3-练 感悟新知 已知反比例函数 y= ( m ≠ 0) 的图象过点 (- 3, - 12),且反比例函数 y= 的图象位于第二、 第四象限 . (1) 求 m 的值; (2) 对于 y= , 当 x>2 时, 求 y 的取值范围 . 例6 知3-练 感悟新知 解题秘方:紧扣“k 的符号、双曲线的位置、函数的增减性三者相互依存,知一推二”这一规律解题 . 知3-练 感悟新知 (1) 求 m 的值; 解:把点(- 3, - 12)的坐标代入 y= , 得 - 12= ,∴ m2=36. ∴ m= 6. ∵反比例函数 y= 的图象位于第二、第四象限, ∴ m<0. ∴ m= - 6. 知3-练 感悟新知 (2) 对于 y= , 当 x>2 时, 求 y 的取值范围 . 解:由 m=-6 知反比例函数 y= 的表达式为 y=-. ∴当 x=2 时, y= - = - 3. ∵在第四象限内, y 随 x 的增大而增大, ∴当 x>2 时, - 3<y<0. 知3-练 感悟新知 6-1. [ 月考 亳州 ] 若点 A( 1,y1), B(- 1,y2) 在 反比例函数y=的图象上,当y1<y2 时, m 的值可能是( ) A. 4 B. - 1 C.1 D.2 B 知3-练 感悟新知 6-2.已知反比例函数y=的图象位于第二、四象限,正比例函数 y = kx 的图象经过第一、三象限,求 k 的整数值. 知4-讲 知识点 求反比例函数的表达式 4 1. 确定反比例函数表达式的方法 由于在反比例函数 y=(k ≠ 0)中只有一个待定系数,因此只需要一对x,y的对应值或图象上一个点的坐标,用待定系数法即可求出k的值,从而确定其表达式. 知4-讲 2. 用待定系数法求反比例函数的表达式的一般步骤 一 般 步 骤 设—根据题意,设反比例函数的表达式为y=(k≠0) 代—把x,y的一对对应值代入y=中,得到关于k的方程 解—解方程,求出常数k 写—把k的值代入反比例函数的表达式中即可写出表达式 知4-讲 特别解读 1. 用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对应值,解一元一次方程. 2. 当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时,可直接设函数的表达式为y=(k为常数, 且k ≠ 0). 感悟新知 知4-练 已知反比例函数 y=的图象经过 A( 1, 2), B( 2, b)两点 . (1) 求反比例函数的表达式; (2) 当 1 < x < 2 时, 求函数值的取值范围. 例7 知4-练 感悟新知 解:∵ 反比例函数 y= 的图象经过点 A(1,2), ∴ 2= ,解得 k=2, ∴反比例函数的表达式为 y= . (1) 求反比例函数的表达式; 解题秘方:用待定系数法求出 k 的值; 知4-练 感悟新知 解:把点 B(2, b)的坐标代入反比例函数表达式得 b==1,∴ B(2,1) . 根据反比例函数的性质得当 1<x<2 时,函数值的取值范围为1<y<2. (2) 当 1 < x < 2 时, 求函数值的取值范围. 解题秘方:紧扣反比例函数的性质或根据图象求函数值的取值范围. 知4-练 感悟新知 7-1.已知反比例函数y= ( k ≠ 0)的图象的一支如图所示,它经过点( 3,-2) . (1)求此反比例函数的表达式,并补画该函数图象的另一支; 知4-练 感悟新知 知4-练 感悟新知 (2)求当 y ≤ 4, 且y ≠ 0 时自变量 x 的取值范围 . 知5-讲 知识点 建立反比例函数模型解实际问题 5 1. 在生活与生产中,如果某些问题的两个量成反比例关系,那么可以根据这种关系建立反比例函数模型,再利用反比例函数的有关知识解决实际问题. 知5-讲 2. 求反比例函数表达式常用的两种方法 (1)待定系数法:若题目提供的信息中明确此函数是反比例函数, 则设函数表达式为y= (k为常数, 且k ≠ 0),再求出k的值; (2)列方程法:若题目所给的信息中两个变量之间的函数关系不明确,通常列出关于两个变量的方程,通过变形得到反比例函数的表达式. 知5-讲 3. 用反比例函数解决实际问题的一般步骤 (1)审:审清题意,找出题目中的常量、变量; (2)设:根据常量、变量间的关系,设出函数表达式,待定的系数用字母表示; (3)列:由题目中的已知条件列出方程,求出待定系数; (4)写:写出函数表达式,并注意表达式中自变量的取值范围; (5)解:用函数的图象和性质去解决实际问题. 特别提醒 利用反比例函数解决实际问题时应注意: 分清自变量和因变量,以便写出正确的函数表达式,结合问题的实际意义,确定自变量的取值范围. 知5-讲 活学巧用 反比例函数应用广, 解决思路有两条,建立模型列方程; 求表达式两方法,待定系数与变形; 解决问题五步骤,审设列写后再解. 知5-讲 感悟新知 知5-练 实验数据显示, 一般情况下, 成人喝 0.25千克低度白酒后, 1.5 小时内其血液中酒精含量 y( 毫克 / 百毫升)与时间 x( 小时) 成正比例; 1.5 小时后(包括 1.5 小时) y 与 x 成反比例. 根据图 21.5-3 中提供的信息, 解答下列问题: 例8 知5-练 感悟新知 (1) 写出一般情况下, 成人喝 0.25 千克低度白酒后, y 与 x之间的函数表达式及自变量 x 的取值范围. 解题秘方:直接利用待定系数法分别求出反比例函数以及一次函数的表达式; 知5-练 感悟新知 解: 当 0 ≤ x < 1.5 时,设函数表达式为 y=kx, 则 150=1.5k,解得 k=100,故 y=100x(0 ≤ x<1.5); 当 x ≥ 1.5 时,设函数表达式为 y= , 则 150= ,解得 a=225,故 y= ( x ≥ 1.5). 综上所述, y 与 x 之间的函数表达式为 y= 知5-练 感悟新知 (2) 按国家规定, 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克 / 百毫升时属于“酒后驾驶”, 不能驾车上路. 参照上述数学模型, 假设某驾驶人员晚上 20: 00 在家喝完 0.25 千克低度白酒, 第二天早上 7: 00 能不能驾车去上班? 请说明理由 . 解题秘方:求出 x=11 时 y 的值,与 20 进行比较即可. 知5-练 感悟新知 解:第二天早上 7:00 不能驾车去上班. 理由如下: 晚上 8:00 到第二天早上 7:00 有 11 个小时, 当 x=11 时, y= >20, ∴第二天早上 7:00 不能驾车去上班. 知5-练 感悟新知 8-1.某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品,已于当年投入生产并进行销售,已知生产这种电子产品的成本为 4 元 / 件,在销售过程中发现:年销售量 y(万件)与销售价格 x(元 / 件)的关系如图,其中 AB 段为反比例函数 图象的一部分,设公司销售这种 电子产品的年利润为 w(万元). 知5-练 感悟新知 (1) 请求出 y(万件)与 x(元 / 件)之间的函数表达式; 知5-练 感悟新知 知5-练 感悟新知 (2) 求出这种电子产品的年利润w(万元)与 x(元 / 件)之间的函数表达式,并求出年利润最大为多少. 知5-练 感悟新知 感悟新知 知5-练 根据物理学相关知识,在简单电路中,闭合开关,当导体两端电压U(单位: V)一定时,通过导体的电流I(单 位: A) 与导体的电阻 R(单位: ) 满 足 关系式 R= ,其中 I 与 R 满足反比例函数关系, 它们的图象如图 21.5-4 所示.当 I=1 A 时, R=3 . 例9 知5-练 感悟新知 (1)求电流 I 关于电阻 R 的函数表达式; 解:设电流 I 关于电阻 R 的函数表达式为 I= , 根据图象可知,该函数图象过点(1,3), ∴ 3= ,∴ k=3. ∴电流 I 关于电阻 R 的函数表达式为 I= . 解题秘方:根据待定系数法求解; 知5-练 感悟新知 (2)若 1.5 A ≤ I ≤ 7.5 A,求电阻 R 的变化范围. 解:当 I=1.5 A 时, R=2 ;当 I=7.5 A 时, R=0.4 ,∴若 1.5 A ≤ I ≤ 7.5 A, 电阻 R 的变化范围为 0.4 ≤ R ≤ 2 . 解题秘方:根据反比例函数的性质求解 知5-练 感悟新知 9-1.当发动机输出功率一定时, 输出的扭矩 M(使物体发生转动的力矩, 单 位为 N m) 与 发动机的转速 n( 发 动 机 曲 轴的 转 动 速 度, 单位为kr /min)之间成反比例函数关系,某兴趣小组通过对固定输出功率的发动机进行实验,得到对应的扭矩 M 和转速 n 的数据如下表: n( kr/min) 1.5 2 2.5 3 4 M( N m) 400 300 240 200 150 知5-练 感悟新知 (1)求 M 关于 n 的函数表达式;(不必写出n 的取值范围) 知5-练 感悟新知 (2)某个使用场景需要此款发动机输出的扭矩不 低 于 240N m, 但不超过 500N m, 求此场景中该发动机转速n 的取值范围. 知6-讲 知识点 反比例函数y=(k ≠ 0)中k的几何性质 6 1. 矩形的面积 如图21.5-5,过双曲线y=上的任意一 点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线PM,PN, 所得的矩形PMON的面积S=PM PN=|y| |x|=|xy|. 因为y= ,所以xy=k. 所以S=|k|,即过双曲线上任意一点作x轴、 y轴的垂线,所得矩形的面积为| k |. 知6-讲 2. 三角形的面积 如图21.5-5,过双曲线y=上的任意一 点E作EF垂直于y轴,垂足为F,连接EO, 则S EOF=,即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点与原点,所得三角形的面积为. 特别提醒 1. 在利用反比例函数y=(k ≠ 0)中k的几何性质确定k的值时,不仅要注意矩形面积的大小, 还要注意函数图象的位置. 2. 因为y=(k ≠ 0)中k有正、负之分,所以在利用函数表达式求矩形或三角形面积时,都要加上绝对值符号. 知6-讲 感悟新知 知6-练 [ 中考 齐齐哈尔 ] 如图 21.5-6, 点 A 是反比例函数 y= (x<0) 图象上一点, 过点 A 作 AB ⊥ y 轴于点 B, 点 C, D 在 x 轴上,且 BC ∥ AD, 四边形 ABCD 的面积为 3, 则这个反比例函数的表达式为 _. 例10 y=- 知6-练 感悟新知 解题秘方:紧扣“k 的几何性质”,用“等面积法”将四边形的面积转化为符合 k 的几何性质的矩形面积来求解 . . . . . 知6-练 感悟新知 解:过点 A 向 x 轴作垂线,垂足为 E,如图 21.5-6. 易知四边形 ABCD 为平行四边形, 根据反比例函数中 k 的几何性质,得 |k|=S 四边形 AEOB=S 四边形 ABCD=3. ∵函数图象在第二象限, ∴ k=-3,即反比例函数的表达式为 y=-. 知6-练 感悟新知 10-1. [ 中考 安徽 ] 如图,平行四边形 OABC的顶点 O 是坐标原点,A在x轴的正半轴上, B,C 在第一 象限内, 反比例函数 y= 的图象经过点 C, y= ( k ≠ 0)的 图象经过点 B. 若 OC = AC , 则k= _. 3 感悟新知 知6-练 [ 中考 永州 ] 如图 21.5-7, 两个反比例函数 y= 和y= 在第一象限内的图象分别是 C1 和 C2, 设点 P 在 C1 上,PA ⊥ x 轴于点 A, 交 C2 于点 B, 则 POB 的面积为_ . 例11 1 知6-练 感悟新知 解题秘方:紧扣“k 的几何性质”,用“作差法”将 POB 的面积转化为符合 k 的几何性质的三角形面积的差来求解 . 解:根 据 反 比 例 函 数 中 比 例 系 数 k 的 几 何 性 质, 可得SRt POA= 4=2, SRt BOA= 2=1. 所以 S POB=SRt POA-SRt BOA=2-1=1. 知6-练 感悟新知 11-1. [ 中 考 • 郴 州 ] 如图,在函数 y= ( x >0)的图象上任取一点A,过点 A 作 y 轴的垂线交函数 y=- ( x < 0)的图象于点 B, 连接OA, OB, 则 AOB的面积是( ) A.3 B.5 C.6 D.10 B 反比例函数 反比例 函数 图象和性质 求反比例函 数的表达式 定义 应用 课堂小结 解:②y=-是反比例函数,k=-; ③xy=15可化为y=,是反比例函数,k=15; ⑤y=-是反比例函数,k=-. 解:由题意可设y1=kx,y2=,则y=y1-y2=kx-, 把x=2,y=5和x=1,y=4分别代入, 得解得 ∴y=2x+. 解:把x=-代入y=2x+,得y=-5. 解:∵xy=0.8,∴y=. y是x的反比例函数. 解:∵函数y=(m-2) xm -5是反比例函数, ∴解得m=-2. 解:当m=-2时,反比例函数的表达式为y=-.完成表格如下: x … -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 … y … 1 2 4 -4 -2 - -1 … 解:根据反比例函数的性质得2k-3<0,解得k<. 根据正比例函数的性质得k>0, ∴0<k<.∴k的整数值为1. 解:把点(3,-2)的坐标代入y=(k≠0), 得-2=,解得k=-6. ∴反比例函数的表达式为y=-. 补画该函数图象如图. 解:当y=4时,-=4,解得x=-, ∴由图象可得当y≤4,且y≠0时,x≤-或x>0. 解:当4≤x≤8时,设y=(k≠0), 将点A(4,40)的坐标代入,得k=4 40=160, ∴y=; 当8<x≤28时,设y=k′x+b(k′≠0), 分别将点B(8,20),C(28,0)的坐标代入, 得解得 ∴y=-x+28. 综上,y(万件)与x(元/件)之间的函数表达式为 y= 解:当4≤x≤8时,w=(x-4) =160-; 当8<x≤28时,w=(x-4)(-x+28)= -x2+32x-112=-(x-16)2+144. 当4≤x≤8时,∵-640<0, ∴w随x增大而增大. ∴当x=8时,w最大,最大为160-=80(万元). 当8<x≤28时,∵-1<0, ∴易得当x=16时,w最大,最大为144万元. ∵80<144,∴年利润最大为144万元. 解:设M关于n的函数表达式为M=(k≠0), 将n=2,M=300代入,得k=2 300=600, ∴M关于n的函数表达式为M=. 解:当M=240 N m时,n==2.5(kr/min); 当M=500 N m时,n==1.2(kr/min). ∵反比例函数M=(n>0)中,M随n的增大而减小, ∴此场景中该发动机转速n的取值范围为 1.2 kr/min≤n≤2.5 kr/min. $$