专题08 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（一）（6大题型）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题08 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（一） 目录 【题型一 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 1 【题型二 画y=ax²+bx+c的图像】 1 【题型三 y=ax²+bx+c的图像与性质】 3 【题型四 二次函数与各项符号的关系】 4 【题型五 一次函数与y=ax²+bx+c的图像共存问题】 5 【题型六 二次函数y=ax²+bx+c的最值】 6 【题型一 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 例题：（23-24八年级下·北京海淀·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·山西吕梁·模拟预测）用配方法将二次函数化为的形式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）把二次函数化为顶点式为 ． 【题型二 画y=ax²+bx+c的图像】 例题：（24-25九年级上·全国·假期作业）在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象： ①；②；③；④． 从图象对比，说出解析式中二次项系数对抛物线的形状有什么影响？ 【变式训练】 1.（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的顶点坐标和对称轴； (2)画出它的图象．并结合图象，当时，则y的取值范围是______． 2．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标，并在图中画出这个函数的图象； (2)根据图象，直接写出：当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是______． 【题型三 y=ax²+bx+c的图像与性质】 例题：（2024·云南楚雄·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．图象关于直线对称 B．函数的最小值是 C．和3是方程的两个根 D．当时，随的增大而减小 【变式训练】 1.（2024·陕西·模拟预测）已知二次函数，当时，总有，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为 【题型四 二次函数与各项符号的关系】 例题：（2024·内蒙古赤峰·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（2024·广西钦州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，以下结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若为任意实数，则 2．（23-24九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，己知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型五 一次函数与y=ax²+bx+c的图像共存问题】 例题：（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（    ）    A．    B．   C．   D．   【变式训练】 1．（23-24八年级下·北京海淀·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南周口·三模）直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型六 二次函数y=ax²+bx+c的最值】 例题：（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数（，为常数）的最小值为，则有（    ） A．最大值，最大值为 B．最小值，最小值为 C．最大值，最大值为 D．最小值，最小值为 【变式训练】 1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知实数a，b满足且，则代数式的最小值是（    ） A．7 B．4 C．6 D．3 2．（2024·山东泰安·二模）已知二次函数，当时，函数的最大值为 ． 一、单选题 1．（2024·广东东莞·模拟预测）已知是一元二次方程的一个根，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）二次函数（为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·云南·期末）若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·福建福州·期末）对于二次函数 的性质，下列描述正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．抛物线可由向右平移1个单位得到 5．（23-24八年级下·北京·期末）已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： … … … … 则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·辽宁大连·三模）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为、，点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为 ． 7．（2024·宁夏银川·二模）若二次函数的图象都在x轴下方，则m的取值范围是 ． 8．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）若抛物线经过点，则的值是 ． 9．（2024·广东东莞·三模）若点在抛物线上，则的大小关系为 （用“”连接）． 10．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，已知抛物线 ，则直线不经过的象限是 ． 三、解答题 11．（2024·湖南长沙·三模）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 12．（23-24八年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)直接写出抛物线的对称轴； (2)抛物线上两点，，且，． ①当时，直接写出，的大小关系； ②若对于，都有，直接写出的取值范围． 13．（23-24八年级下·云南·期末）如图，二次函数的图像与一次函数的图像交于两点． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)当时，自变量的取值范围是______； (3)点为抛物线上点和点之间的动点．当点到直线的距离最大时，求点的坐标． 14．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示∶ x … 0 1 … y … 0 0 … (1)这个二次函数的解析式是______________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，y的取值范围为______________． 15．（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为． (1)求，的值； (2)是抛物线与轴的交点的横坐标，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（一） 目录 【题型一 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 1 【题型二 画y=ax²+bx+c的图像】 2 【题型三 y=ax²+bx+c的图像与性质】 6 【题型四 二次函数与各项符号的关系】 9 【题型五 一次函数与y=ax²+bx+c的图像共存问题】 12 【题型六 二次函数y=ax²+bx+c的最值】 14 【题型一 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 例题：（23-24八年级下·北京海淀·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求抛物线的顶点坐标；把解析式配方即可． 【详解】解：， 即抛物线的顶点坐标为； 故选：D． 【变式训练】 1．（2024·山西吕梁·模拟预测）用配方法将二次函数化为的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的三种表达形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 运用配方法即可将其化为顶点式． 【详解】解： 故选：C． 2．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）把二次函数化为顶点式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：，，是常数，，该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与轴的交点坐标是； ②顶点式：，，是常数，，其中为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为； ③交点式：，，是常数，，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与轴的两个交点坐标，． 直接用配方法将二次函数解析式化成顶点式即可求解． 【详解】解：， 故答案是：． 【题型二 画y=ax²+bx+c的图像】 例题：（24-25九年级上·全国·假期作业）在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象： ①；②；③；④． 从图象对比，说出解析式中二次项系数对抛物线的形状有什么影响？ 【答案】作图见解析，的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；越大，开口越小 【分析】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，解题的关键是正确的作图．根据描点法，可得函数图象，观察图象即可得出二次项系数对抛物线的形状有什么影响． 【详解】解：列表如下： 0 1 2 4 1 0 1 4 8 2 0 2 8 0 0 描点：见表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出， 连线：用平滑的线连接，如图所示： 由图象可知：的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；越大，开口越小． 【变式训练】 1.（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的顶点坐标和对称轴； (2)画出它的图象．并结合图象，当时，则y的取值范围是______． 【答案】(1)图象的顶点坐标为，对称轴为直线 (2)图象见解析， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）解析式化成顶点式，即可得到结论； （2）画函数图象，应该明确抛物线的顶点坐标，对称轴，与x轴，y轴的交点，再根据图象求当时，y的取值范围． 【详解】（1）解：， 二次函数的图象的，对称轴为直线； （2）解：二次函数图象如下图： 当时，则y的取值范围是， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标，并在图中画出这个函数的图象； (2)根据图象，直接写出：当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是______． 【答案】(1)顶点坐标为，图象见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，灵活运用数形结合思想是解（2）题的关键． （1）把化为顶点式，根据五点作图法，先描点再连线，即可作答． （2）结合（1）的图，运用数形结合思想即可作答． 【详解】（1）解： ∴二次函数图象的顶点坐标为． 列表如下： 画出函数图象如图： （2）解：结合（1）图，当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是． 【题型三 y=ax²+bx+c的图像与性质】 例题：（2024·云南楚雄·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．图象关于直线对称 B．函数的最小值是 C．和3是方程的两个根 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，能利用数形结合得出抛物线的对称轴及其顶点坐标是解答此题的关键．直接根据二次函数的图象进行分析解答即可． 【详解】解：A．观察图象可知，抛物线的对称轴为直线，所以二次函数的图象关于直线对称，故A选项的说法正确； B．观察图象可知，抛物线顶点坐标为，又抛物线开口向上，则二次函数最小值为，故B选项的说法正确； C．由图像可知抛物线与轴的一个交点为，而抛物线的对称轴为直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即或3时，，故C选项的说法正确； D．由抛物线的对称轴为直线且开口向上，所以当时，随的增大而增大，故D选项的说法错误； 故选：D． 【变式训练】 1.（2024·陕西·模拟预测）已知二次函数，当时，总有，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据题意得二次函数必过点，即，，当时，，得，进行计算即可得；掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数，当时，总有，当时，有， ∴二次函数必过点， 即， ， ∵当时，， ∴， ， ， ， 故选：B． 2．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为 【答案】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，化为顶点式等，根据题意将二次函数化为顶点式，得出，顶点坐标为，最小值为，确定，再由，得出，然后求不等式解集即可，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【详解】解：∵ ， ∴对称轴为， ∵对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，开口向上， ∴，顶点坐标为，最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型四 二次函数与各项符号的关系】 例题：（2024·内蒙古赤峰·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由抛物线可知：， 对称轴， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 抛物线过点， ， ，故②正确； ③关于的对称点为， 时，，故③正确； ④抛物线与轴有两个交点， ， 即， ，故④正确； 故正确的有：①②③④． 故选：D． 【变式训练】 1．（2024·广西钦州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，以下结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若为任意实数，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象判断的符号，根据抛物线与轴的交点即可判断B,C选项，根据抛物线开口向上，对称轴为直线，得出最小值为，进而即可求解． 【详解】解：抛物线开口向上，则， 抛物线的对称轴为直线，则 ∴， 抛物线与轴交于负半轴，则 ∴，故A选项错误； ∵当时，， ∴ ∴，故B正确 ∵抛物线的对称轴为直线，和时， ∴，故C错误； ∵，对称轴为直线 ∴若为任意实数，则，即，故D错误， 故选：B． 2．（23-24九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，己知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数的对称轴为可判断③；由二次函数的性质可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线对称轴为直线时，， ∴时，， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴ ∴， ∴， 故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， 若且，则点到对称轴的距离小于到直线的距离， ∴，故④不正确． 故选：C． 【题型五 一次函数与y=ax²+bx+c的图像共存问题】 例题：（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（    ）    A．    B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定，的符号是解题关键．直接利用一次函数图象经过的象限得出，的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：一次函数的图象经过一、三、四象限， ，， ， 二次函数的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在轴右侧， 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·北京海淀·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题综合考查了一次函数图象与二次函数图象；根据两个函数图象的特征结合各项系数进行分析即可． 【详解】解：A、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，a、c的符号都一致，故符合题意； B、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，c的符号不一致，故不符合题意； C、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，c的符号不一致，故不符合题意； D、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，a、c的符号都不一致，故不符合题意； 故选：A． 2．（2024·河南周口·三模）直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，，而抛物线对称轴位于轴右侧，则，故选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，对称轴位于轴左侧，则，故选项符合题意； 故选：． 【题型六 二次函数y=ax²+bx+c的最值】 例题：（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数（，为常数）的最小值为，则有（    ） A．最大值，最大值为 B．最小值，最小值为 C．最大值，最大值为 D．最小值，最小值为 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象及性质，二次函数的最值，解题关键是熟练掌握二次函数最值的求法． 先根据二次函数有最小值推出、关系式，代入后再根据二次函数性质及最值求法即可得解． 【详解】解：中有最值， 则二次函数中有最小值， 即， ， ， 根据二次函数性质可得有最小值，且最小值为． 故选：． 【变式训练】 1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知实数a，b满足且，则代数式的最小值是（    ） A．7 B．4 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数求最值，根据题意用含的代数式表示，将代数式转化为只含的代数式，配方后，求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； ∵， ∴当时，的值最小为； 故选B． 2．（2024·山东泰安·二模）已知二次函数，当时，函数的最大值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的最值，能由二次函数的表达式得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键．根据二次函数的图象，结合当时函数图象的增减情况，即可解决问题． 【详解】解：由二次函数的表达式为可知， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数取得最小值，且， 则当时，， 当时，， ∴在中，函数的最大值为， 故答案为：． 一、单选题 1．（2024·广东东莞·模拟预测）已知是一元二次方程的一个根，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，二次函数的最值，先将代入一元二次方程，可得，则，根据二次函数的最值，求出结果即可． 【详解】解：将代入一元二次方程，得： ， ∴， 则， 设，则： ， 变形，得：． ∴当时，可以取得最小值， ∴的最小值为． 故选：D． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）二次函数（为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：开口向上；开口向下；抛物线的对称轴为直线；也考查了点在抛物线与轴的交点． 根据抛物线开口向上，得出，再根据对称轴可排除C、D选项，然后根据得出交轴的正半轴，排除B选项，即可得出答案． 【详解】A.抛物线开口向上，则，对称轴，交轴的正半轴，故此选项符合题意； B.抛物线开口向上，则，对称轴，，所以应该不交于轴的负半轴，故此选项不符合题意； C.抛物线开口向上，则，对称轴，而图中的对称轴，故此选项不符合题意； D.抛物线开口向上，则，对称轴，而图中的对称轴，故此选项不符合题意； 故选A． 3．（23-24八年级下·云南·期末）若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出各点到对称轴的距离是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及点到对称轴的距离解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且开口向上， ∵，，， ∴点距离对称轴最近，点距离对称轴最远， ∴， 故选：． 4．（23-24八年级下·福建福州·期末）对于二次函数 的性质，下列描述正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．抛物线可由向右平移1个单位得到 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象平移的规律．熟练掌握上述知识是解题关键． 根据二次函数的解析式可判断该二次函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，从而可判断A和B、C．再根据二次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”即可判断D． 【详解】∵二次函数的解析式为：， ∴， ∴该二次函数图象开口向上，故A错误，不符合题意； 由解析式可知该二次函数对称轴为直线，故B错误，不符合题意； 由解析式可知该二次函数顶点坐标为，故C错误，不符合题意； 将函数图象向右平移一个单位得到的新函数的解析式为，故D正确，符合题意； 故选D． 5．（23-24八年级下·北京·期末）已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： … … … … 则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据表可得二次函数的对称轴为直线，再根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由表可得，二次函数的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向上， ∴二次函数的最小值为， ∵对称轴为， ∴与的函数值相等， ∴， ∴当时，的取值范围为：， 故选：． 二、填空题 6．（2024·辽宁大连·三模）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为、，点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象对称轴的特点，此题难度一般．根据顶点在线段上移动，又知点、的坐标分别为、，分别求出对称轴过点和时的情况，即可判断出点坐标的最小值． 【详解】解：根据题意知，点的横坐标的最大值为3， 即可知当对称轴过点时，点的横坐标最大， 此时的点坐标为， 当可知当对称轴过点时，点的横坐标最小，此时的点坐标为， 此时点的坐标最小为， 故点的横坐标的最小值为， 故答案为：． 7．（2024·宁夏银川·二模）若二次函数的图象都在x轴下方，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．抛物线的解析式化为顶点式，由顶点在轴下方，可得顶点纵坐标小于0，即可求出答案． 【详解】解：抛物线， ∴抛物线的顶点为， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）若抛物线经过点，则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键在于熟练掌握计算法则．把代入即可解得的值． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， 故答案为：7． 9．（2024·广东东莞·三模）若点在抛物线上，则的大小关系为 （用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数比较函数值大小，涉及二次函数图象与性质，由二次函数图象与性质得到抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越大，求出到对称轴距离，比较距离大小即可得到函数值大小，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：由可知，抛物线的开口向上，且对称轴为直线， 抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越大， 点到对称轴的距离为；点到对称轴的距离为；且， ， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，已知抛物线 ，则直线不经过的象限是 ． 【答案】第二象限 【分析】此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 先由二次函数图象得到字母系数的正负，再根据一次函数的图象的象限进行判断． 【详解】解：由二次函数的图象可知，对称轴在轴的右侧，可知、异号，，由直线应经过一、三、四象限，故直线不经过第二象限． 故答案为：第二象限． 三、解答题 11．（2024·湖南长沙·三模）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）抛物线经过点，可得，求解即可得到答案； （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知当时，随的增大而减小，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线经过点，可得 ． 解得：． 所以，抛物线的解析式为． （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知 当时，随的增大而减小． 当时，． 当时，． 所以，当时， 的取值范围为． 12．（23-24八年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)直接写出抛物线的对称轴； (2)抛物线上两点，，且，． ①当时，直接写出，的大小关系； ②若对于，都有，直接写出的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)①；② 或 【分析】本题是二次函数的综合应用，考查了二次函数的性质与图象，二次函数与方程、不等式的关系掌握这些关系是解答关键． （1）求出抛物线与y轴的交点坐标，此点与点关于抛物线对称轴对称，则可求得对称轴； （2）①由可得的范围，则可得P、Q到对称轴的距离大小关系，结合即可判断； ②设点P关于直线的对称点为，由可得，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线中，令，则， 即抛物线与y轴的交点， 故点与点关于抛物线对称轴对称， 而，则抛物线对称轴为直线； （2）解：①当时，，， ； ， 即， ， ； ②设点P关于直线的对称点为， 则，即； ， ； 而， 则． ， ， 故当或时，， 解得：或． 13．（23-24八年级下·云南·期末）如图，二次函数的图像与一次函数的图像交于两点． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)当时，自变量的取值范围是______； (3)点为抛物线上点和点之间的动点．当点到直线的距离最大时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)和 (3) 【分析】（1）联列二次函数的图象与一次函数，根据图象即可得出，即可求出点和点的坐标． （2）根据函数图象直接可以得出，当时，自变量的取值范围． （3）作直线的平行线，两者斜率相等，与抛物线相切与点，此时点到直线的距离最大，设直线的解析式为，与二次函数联列，得，根据直线和抛物线相切于一点，即有两个相同的解，可得，代入数值可得，代入原式解得，，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与一次函数的图象交于两点， ∴联列两者可得， 解得，， 由图象可得点的坐标为，点的坐标为， 故答案为，． （2）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴根据图象可得当时，即一次函数图象在二次函数图象上方， ∴自变量的取值范围是和， 故答案为和． （3）如图，作直线的平行线，与抛物线相切与点，此时点到直线的距离最大， ∵直线一次函数为，， ∴设直线的解析式为， 联列直线和抛物线，即， 化简可得， ∵直线和抛物线相切于一点，即有两个相同的解， ∴，代入数值可得， 解得， 将代入中，得， 解得：， 将代入， 解得， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，根的判别式，函数图象与不等式，解二元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示∶ x … 0 1 … y … 0 0 … (1)这个二次函数的解析式是______________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，y的取值范围为______________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质： （1）设这个二次函数的解析式是，然后利用待定系数法解答即可； （2）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可； （3）根据当时，y取得最小值，最小值为，当时，，当时，，即可写出y的取值范围． 【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式是， 把点代入得： ，解得：， ∴这个二次函数的解析式是； （2）解：如图，画出这个二次函数的图象如下： （3）解：根据题意得：， ∴当时，y取得最小值，最小值为， 当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围为． 故答案为： 15．（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为． (1)求，的值； (2)是抛物线与轴的交点的横坐标，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数解析式，轴对称的性质，二次函数与坐标轴交点，分组因式分解，代数式求值，整体代入思想．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由抛物线与轴交于点，可得，把点代入，得，计算求解可得值； （2）由（1）得二次函数解析式为，由是抛物线与轴的交点的横坐标，可得，即，将，进行分组因式分解化成，将代入整理后再分组因式分解，再将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 把点代入，得， 解得：， ∴，． （2）解：由（1）得二次函数解析式为， ∵是抛物线与轴的交点的横坐标， ∴，即， ∴ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$