4.3 角-【胜在中考】2024年中考数学考点过课本（人教版）

初中数学芳点过课木R M为AB的中点，AM-BM-号AB或AB-2AM =2BM. 考点5 线段的中 A M N B M,N为AB的三等分点，AM=MN=BN=号AB或 线段的 点和等分点 AB=3AM=3MN=3BN. 中点及 AM N P B M,N,P为AB的四等分点，AM=MV=NP=BP= 倍、分 ABAB=4AM=AMN=4NP=4BP. ★★ 线段的倍、分的意义：如图，射线AE上有B,C,D三点，它们的长度关系是AB=BC= CD.则AC=C,AD=3AB.AB=AC.AB=号AD.AC-号AD, 考点6线段的基本事实 ★ 线段的基本事实 两点间的距离 举例 定义 性质 两点的所有连线中， 连接两点间的线 (1)存在性： 线段最短，简单说成： 段的长度，叫做 (2)最短性： 在所有连接A,B两点的线中，线段AB是最 两点之间，线段最短 这两点间的距离 (3)唯一性 短的，线段AB的长度就是点A与点B之间 的距离 答案 0大写字母召小写字母目交点 0端点 ⑥大写字母⑥小写字母0相等线段 4.3 角 考点1角的概念与表示方法 ★ 角的定义 角的概念 静态概念 动态概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转 文字描述 公共端点是角的① ,这两条射线是角的 而成的图形 两条边 终边 边B 图示 0 A -A 顶点 边 0 始边 如图，点O是角的顶点，OA,OB是角的两边 如图，图中的角可以看作射线OA绕着点 O旋转到OB而形成的 -18- 七年级·上册 日提醒：(1)构成角的两个要素是顶点和两边，且两边都是射线. (2)角的大小与南的两边的长短无关，只与角两边张开的幅度有关 平角与周角 如图，射线OA绕点O旋转，当终边位置② 和起始位置OA成一条直线时，所成的角叫 做平角；继续旋转，回到起始位置OA时，所成的角叫做周角 4(B B平角A δ周角 白提醒：平角和周角都是“角“，而不是“线“.不能说·一条直线就是平角“，也不能说“一条射线 就是周南“，而应该说“平角的两边成一直线”“周角的两边成一射线” 角的表示方法 角的几何符号为“∠”，有以下四种表示方法： 表示方法 图例 记法 说明 字母O表示顶点，要写在中间，A,B表示 三个大写 ∠AOB或∠BOA 角的两边上的点，该表示方法可以表示任 字母 意一个角 用字母 一个大写 当角的顶角处只有一个角时，可用这个顶 ∠O 表示 字母 点字母来表示 一个小写 ∠a 希腊字母 在靠近角的顶点处加上弧线，并标上小写 希腊字母或数字该表示方法形象直观 用数字 一个数字 ∠1 表示 61 日捉醒：(1)用阿拉伯裁字或小写希腊字母表示角时，一定要在图中标出该角的位置，画出小张线 (表示从哪边到哪边)并标上数字或小写希腊宇母，方可使用， (2)当以某一点为顶点的角有两个或两个以上时，其中任何一个角都不能只用一个顶点字母表示 角的度量及换算 角度制的概念：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 度：把一个周角③ 等分，每一等份就是1度的角，记作1° 度量 分：把1°的角60等分，每一等份就是1分的角，记作1 单位 秒：把1'的角60等分，每一等份就是1秒的角，记作1” 角的换算：1周角=360°，1平角=180°，1°=60'，1'=60”，1周角=2平角=4直角=0 ,1平 角=2直角=⑤ -19- 初中数学芳点过课木R 国拓展：对于角度的加、减、来、除运算，可按下列法则进行 (1)对于角与角的加法，以度、分、粉为三段分段计算，由低到高逐鲸60进位，即满60进1'，满60 进位1°： (2)对于角与数的减法，先观察是否要借位，借位后按度、分、秒同单位相成（这里借1当60）： (3)对于角与数的乘法，从依到高逐鲮计算 (4)对于角与数的徐法，从高单位除起，余数乘60后加到下一敏单位继续徐，以此类推，最后结果按 要求取会（如有的精确到1°，有的精确到1'等）， 定义：借助量角器先测量出角的度数，再比较角的大小. 对“中”● 角的顶点对准量角器的中心： 度量法 重合 角的一边与量角器的⑥ 重合： 角的 步骤 读数 读出角另一边所对的度数： 比较 比较大小根据度数的大小比较角的大小， 叠合法：把两个角的顶点和一条边分别重合，通过另一条边的位置来比较两个角的 大小 。方法技巧：(1)有一边重合且旋转方句相同的角，通过观察就可以比较大小：两边都不重 合，或有一边重合但旋转方向不同的角，可通过度量法比较大小 (2)根据叠合法原理，我们可以用一副三角板画出很多的角，如15°角，75°角，105°角等。 考点2 角的和差：如图所示，在∠AOB的内部作射线OC,那么，∠AOB, /B 角的 ∠AOC,∠COB有如下的关系：∠AOB=∠AOC+∠COB,∠AOC 比较 =∠AOB-∠COB,∠COB=∠AOB-O .这就是用两个O 与和差 角的和或差表示第三个角. ★ 拓展：理解角的和与差 (1)从园形方面：一个角是另外两个角的和或差，这个角是由另外两个角共同组成的： (2)从数量方面：如果一个角是另外两个角的和或差，那么这个角的度裁是易外两个角的 度数的和或差 定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的 B 角的射线，叫做这个角的平分线。 角的 平分线 几何方式表达：如图，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC= ∠C0A=20 ,∠BOA=2∠BOC=2∠COA. @拓展：(1)角平分线是射线： (2)把一个角分成三个相等角的两条射线，是这个角的三等分线 -20- 七年级，上册 考点3 余角和补角★★ 相关概念 名称 概念 数学语言 图示 如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个 ,∠1+∠2=⑨ 余角角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个 ∴.∠1与∠2互为余角 角的余角 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两 :∠3+∠4=180°， 补角 个角互为补角（简称互补），其中一个角是另 .∠3与∠4互为补角 个角的补角 白提醒：(1)一个角的余角（或补角)可以有多个，它们的度裁是相等的： (2)互余（或互补）都是指两个角的数量关系，与位置无关： (3)余角、补角是成对出现的，单独一个角不能说是互余或互补， 余角和补角的性质 内容 数学符号表示 同角的余角相等 因为∠A+∠B=90°，∠B+∠C=90°，所以∠A=∠C 余角的性质 等角的余角相等 因为∠A+∠B=90°，∠D十∠C=90°，且∠B=∠D.所以∠A=D 同角的补角相等 因为∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，所以∠A=∠C 补角的性质 等角的补角相等因为∠A十∠B=180°，∠D+∠C=180°，且∠B=∠D,所以∠A=∠C 白提醒：(1)“同角”是指同一个角，“等角”是指相等的角. (2)余角、补角的性质是说明角相等的重要依据 概念：以① 、正南方向为基准，描述物体运动方向的角. 示例：如图(1)所示，射线OA的方向表示为北偏东30°，射线OB的方向表示为南偏西45° 同理，图(2)中北偏东45°为东北方向，西北和东南方向即为北偏西45°和南偏东45°. 北 西北 北 东北 30 459 、考点4 西 东 方向角 45 75 ★ 东南 南 西南 南 (1) (2) 白提醒：(1)正东、正西、正南、正北四个方向不需要用角度来表示 (2)方向角通常以正北、正南方向为基准，“南偏西60°”通常不说“西编南30°”，但北偏 东45°，我们司惯说“东北方向”而不说北东方向. 答案 0顶点②OB93600360°6180°8刻度线0∠AOC©∠B0A090°垂∠CB正北 -21-