25.3解直角三角形（3大题型提分练）数学沪教版五四制九年级上册

25.3 解直角三角形 知识点一 解直角三角形 ★1. 解直角三角形的概念 一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. (1) 在直角三角形中,除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三) (2) 一个直角三角形可解，则其面积和周长可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长 ★2. 直角三角形中五个元素（除直角外的）之间的关系 如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°， （1） 三边之间的关系：.（勾股定理） （2） ∠A＋∠B＝90° （3） 边角之间的关系： ;;; ;;;. ★3. 解直角三角形的类型和解法 条件 解法步骤 图示 两 边 ①两直角边 由，求； ; ②斜边,一直角边（如） 由，求； ; 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 ③锐角,邻边 如（） ； ④锐角,对边 如（） ； ⑤斜边,锐角 如（） ； 提示 在直角三角形中,计算边时可用以下口诀: 有斜求对乘正弦,有斜求邻乘余弦,有邻求对乘正切 “有斜求对乘正弦”的意思是在直角三角形中,对一个锐角而言,如果已知斜边长，要求出该锐角的对边，那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他语句的意思可类推. ★4. 解非直角三角形 在非直角三角形中,往往通过作三角形的高,构造直角三角形来解决,而作高时,常从非特殊角的顶点作高，一般以不破坏 30°,45°60°角为原则. 对于复杂的图形,往往通过“补形”或“分割”的方法构造出直角二角形,使问题转化为解直角三角形 注意： 在选择作哪一条边上的高时，要尽量保留三角形中的特殊角，这样便于进一步计算. 题型一 解直角三角形的相关计算 解题技巧提炼 在解直角三角形的问题中，除直角外，还需知道两个条件，其中至少有一个条件是边，否则 无法解直角三角形. 1．（2024·上海·模拟预测）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是 ． 2．（2024·上海长宁·三模）如图，在中，，，点D 在边上，，连接，如果将沿直线翻折后，点 C的对应点为点E，那么点E到直线的距离为 ． 3．（2024·上海静安·三模）折纸能够制作广泛的几何图形，解决数学问题．下面是解决某个数学问题的折纸过程：（1）长方形纸片沿某直线折叠，使点与点重合，折痕交于点；（2）展开后，沿过点的直线折叠，使点落在边上点处．连结，用量角器测得，则长方形纸片中的值为 ． 4．（2024·上海·中考真题）同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为． (1)直接写出： 两个直角三角形的直角边（结果用表示）； 小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： 不与给定的图形状相同； 画出三角形的边． 5．（2024·上海·三模）已知：如图，在中，，，，以点C为旋转中心旋转，点A、B的对应点分别记为点、．当点落在的边上（不与点A重合），求线段的长．    题型二 解非直角三角形 解题技巧提炼 “化斜为直”--解非直角三角形的方法 一般情况下，直角三角形是求解或运用锐角三角函数的前提条件，当题目中所提供的是非直角三角形时，需先通过作辅助线，构造出直角三角形，再运用锐角三角函数解决问题.若条件中有线段的比或锐角三角函数值，则可以设一个辅助未知数，列方程求解. 6．（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 7．（21-22九年级下·上海静安·期中）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F．G分别在边AB．AD上，则sin∠EFG= ． 8．（21-22九年级上·上海金山·期中）在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ． 9．（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 解题技巧提炼 （1） 面积问题可以将不规则图形的面积转化为若干个直角三角形的面积的，利用三角形面积的和差关系求解. （2） 边长问题是一个综合性考点，较复杂知识点需结合其他几何知识点，比如勾股定理、相似全等、旋转等性质，条件抽象时还需与辅助线相结合. 10．（22-23八年级下·河南安阳·期末）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 11.（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 12．（2024·上海静安·二模）如图，矩形ABCD中，，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是 ． 13．（2024·湖北武汉·一模）【问题提出】在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交于点，连接，试探究点D到线段的距离． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2，当点E和A重合时，直接写出D到线段的距离（用含的式子表示）； （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中的结论仍然成立； 【问题拓展】如图3，在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交直线于点，连接．若，直接写出的值（用含的式子表示）． 14．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点坐标为 (1)求抛物线解析式； (2)点为抛物线上一点，连接交轴于点，设的横坐标为的长为，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)当时，过点作交抛物线于点，连接，点分别是的边上的动点，且，连接，设，求的最小值，并直接写出当有最小值时的正切值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 25.3 解直角三角形 知识点一 解直角三角形 ★1. 解直角三角形的概念 一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. (1) 在直角三角形中,除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三) (2) 一个直角三角形可解，则其面积和周长可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长 ★2. 直角三角形中五个元素（除直角外的）之间的关系 如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°， （1） 三边之间的关系：.（勾股定理） （2） ∠A＋∠B＝90° （3） 边角之间的关系： ;;; ;;;. ★3. 解直角三角形的类型和解法 条件 解法步骤 图示 两 边 ①两直角边 由，求； ; ②斜边,一直角边（如） 由，求； ; 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 ③锐角,邻边 如（） ； ④锐角,对边 如（） ； ⑤斜边,锐角 如（） ； 提示 在直角三角形中,计算边时可用以下口诀: 有斜求对乘正弦,有斜求邻乘余弦,有邻求对乘正切 “有斜求对乘正弦”的意思是在直角三角形中,对一个锐角而言,如果已知斜边长，要求出该锐角的对边，那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他语句的意思可类推. ★4. 解非直角三角形 在非直角三角形中,往往通过作三角形的高,构造直角三角形来解决,而作高时,常从非特殊角的顶点作高，一般以不破坏 30°,45°60°角为原则. 对于复杂的图形,往往通过“补形”或“分割”的方法构造出直角二角形,使问题转化为解直角三角形 注意： 在选择作哪一条边上的高时，要尽量保留三角形中的特殊角，这样便于进一步计算. 题型一 解直角三角形的相关计算 解题技巧提炼 在解直角三角形的问题中，除直角外，还需知道两个条件，其中至少有一个条件是边，否则 无法解直角三角形. 1．（2024·上海·模拟预测）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平移的性质、平行四边形的判定和性质以及解直角三角形，根据正切的定义求出，证明四边形为平行四边形，根据平移的性质求出，根据平行四边形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：在中，，，， 则 由平移的性质可知：， ∴四边形为平行四边形， ∵点A对应直尺的刻度为12，点对应直尺的刻度为0， ∴， ∴， 故答案为：. 2．（2024·上海长宁·三模）如图，在中，，，点D 在边上，，连接，如果将沿直线翻折后，点 C的对应点为点E，那么点E到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，折叠的性质，解直角三角形等等，过点E作于H，，证明是等边三角形，进而求得，再由折叠得到，进而求出，最后在中使用三角函数即可求出的长． 【详解】解：如图所示，过点E作于H， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴点E到直线的距离为， 故答案为：． 3．（2024·上海静安·三模）折纸能够制作广泛的几何图形，解决数学问题．下面是解决某个数学问题的折纸过程：（1）长方形纸片沿某直线折叠，使点与点重合，折痕交于点；（2）展开后，沿过点的直线折叠，使点落在边上点处．连结，用量角器测得，则长方形纸片中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，含角的直角三角形的三边关系，特殊角的三角函数，关键是理解折叠的性质． 如详解图，过点作于点，由平行可知，都是含角的直角三角形，利用边之间的关系即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得，是中点，， ，， 如图，过点作于点， 设，，则， ， 在中，， ， 在等腰三角形中，， ， ， ， ， 在中，， ， ，即， ． 故答案为：． 4．（2024·上海·中考真题）同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为． (1)直接写出： 两个直角三角形的直角边（结果用表示）； 小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： 不与给定的图形状相同； 画出三角形的边． 【答案】(1)等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和；底为，高为，面积为； (2)画图见解析． 【分析】（）①解直角三角形即可求解； 由题意可知四边形是矩形，利用线段的和差可求出矩形的边长，进而可求出面积； （）根据题意画出图形即可； 本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，图形设计，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：①如图，为等腰直角三角板，， 则； 如图，为含的直角三角形板，，，， 则，； 综上，等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和； 由题意可知， ∴四边形是矩形， 由图可得，，， ∴， 故小平行四边形的底为，高为，面积为； （2）解：如图，即为所作图形． 5．（2024·上海·三模）已知：如图，在中，，，，以点C为旋转中心旋转，点A、B的对应点分别记为点、．当点落在的边上（不与点A重合），求线段的长．    【答案】的长为或． 【分析】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 先求解，，如图，当落在上时，过作于，由旋转可得：，可得，当落在上时，如图，可得，再进一步求解可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， 如图，当落在上时，过作于， 由旋转可得：， ∴，    ∵， ∴， ∴， 当落在上时，如图，    ∴， ∴， 综上：的长为或． 题型二 解非直角三角形 解题技巧提炼 “化斜为直”--解非直角三角形的方法 一般情况下，直角三角形是求解或运用锐角三角函数的前提条件，当题目中所提供的是非直角三角形时，需先通过作辅助线，构造出直角三角形，再运用锐角三角函数解决问题.若条件中有线段的比或锐角三角函数值，则可以设一个辅助未知数，列方程求解. 6．（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点作于点，计算得出，再证明四边形是平行四边形，得，再在中求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（21-22九年级下·上海静安·期中）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F．G分别在边AB．AD上，则sin∠EFG= ． 【答案】 【分析】作于，作交AD延长线于，连接，．在，，，中，根据勾股定理可求，，，的长，即可求的长，即可得值． 【详解】解：如图：作于，作于，连接， 四边形是菱形， ， 是中点 ， ，且 ，， 折叠， ，， 在中，， ， ， 在中，，， ， ， ，， 是等边三角形， 点是中点， ，，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了折叠问题，解非直角三角形，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键． 8．（21-22九年级上·上海金山·期中）在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ． 【答案】 【分析】先画出图形（见解析），过点作于点，先利用正弦三角函数求出的长，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，即， 解得， 则的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦三角函数的定义是解题关键． 9．（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）过点作于点，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出； （2）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，在中， ． 【点睛】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键． 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 解题技巧提炼 （1） 面积问题可以将不规则图形的面积转化为若干个直角三角形的面积的，利用三角形面积的和差关系求解. （2） 边长问题是一个综合性考点，较复杂知识点需结合其他几何知识点，比如勾股定理、相似全等、旋转等性质，条件抽象时还需与辅助线相结合. 10．（22-23八年级下·河南安阳·期末）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理即可推得； （2）根据代入公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． （2）解：在中，， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 11.（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 12．（2024·上海静安·二模）如图，矩形ABCD中，，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了旋转的性质和解三角形，注意分类讨论，正确画出图形是解题关键． 根据旋转的性质可得，，再由解三角形求出，，进而在中求出线段的长度． 【详解】解：由旋转性质可知：，，当点D在线段上时，如图1， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， 当点D在线段延长线上时，如图2， 同理可得：， ∴， 故答案为：或． 13．（2024·湖北武汉·一模）【问题提出】在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交于点，连接，试探究点D到线段的距离． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2，当点E和A重合时，直接写出D到线段的距离（用含的式子表示）； （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中的结论仍然成立； 【问题拓展】如图3，在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交直线于点，连接．若，直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）证明见解析；【问题拓展】 【分析】（1）解：根据“三线合一”可得，，，，证明点D到线段的距离即为的长，根据正弦的定义即可求解； （2）作于于N，由（1）可得，证明，再证明，得到，即可求解； 问题拓展：连接，作于P，设，则，证明，得到，可表示出，由（2）得，得到，表示出，即可求解． 【详解】（1）解：∵为中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴D到线段的距离即为的长， ∵, ∴； （2）作于于N， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 问题拓展：， 连接，作于P，设， 则， ∵为中点， ∴，， ∵，是公共角， ∴， ， 由（2）得 ∴ 由（2）得 ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质等，解题的关键是由特殊到一般，从特殊的图形中发现规律，再将解题思路运用到一般图形中． 14．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点坐标为 (1)求抛物线解析式； (2)点为抛物线上一点，连接交轴于点，设的横坐标为的长为，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)当时，过点作交抛物线于点，连接，点分别是的边上的动点，且，连接，设，求的最小值，并直接写出当有最小值时的正切值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）将把点坐标代入解析式，求出的值，即可求出抛物线的解析式； （2）过作轴于，可求出的长为5，，，，有，即，化简即可求解； （3）作，取，先求出点、的坐标，再证明≌，可求得当、、三点共线时，最小，最后求解即可． 【详解】（1）解：将把点坐标代入解析式可得： ，解得， 故抛物线的解析式为：． （2）解：过作轴于， 另，可得， ∴，又∵， ∴， 点横坐标为，有， 有， 即， 有，化简得： ∴． （3）解：时，； 将代入函数解析式有：， ∴， 设直线的函数关系式为，有： ，解得， ∴直线的函数关系式为， ∵， ∴设直线的函数解析式为：， 将代入得：，解得， 则直线的函数关系式为：， 联立方程组得： ，解得：， ∴， 如图：作，取， 在和中， ∴≌ ∴， ，， 当、、三点共线时，最小，最小值为： ， 此时：． 【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建函数，利用方程组确定交点坐标是求解的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$