1.3.3等比数列的前n项和（2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第一册）

1.3.3 等比数列的前n项和 课程标准 学习目标 （1）探索并掌握等比数列的前 项和公式; （2）理解等比数列的通项公式与前 项和公式的关系。 （1）掌握等比数列的前n项和的公式，并会求等比数列前n项和; （2）掌握等比数列前n项和的性质及其运用.（难点) 知识点01 等比数列前n项和 等比数列的首项为，公比为，则其前项和为 (1)证明 等比数列的首项为，公比为，则其前项和是 ， 两边乘以公比得 得， 当时，； 当时，, 故等比数列的前项和为. 以上的方法称之为错位相减法. (2)当公比时，，是的正比例函数; 当公比时，，它可变形为，设，上式可写成.由此可见，非常数列的等比数列的前项和是由关于的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数． 即若某数列的前项和公式为 (，且，)，则此数列一定是等比数列． 【即学即练1】 记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 【答案】C 【分析】利用基本量法可求首项和公式，再利用求和公式可求. 【详解】由条件可知，的公比， 由题意得，，解得，所以． 故选：C. 知识点02 等比数列前n项和的性质 (1)若,则成等比数列，且公比； (，是偶数时，) 证明 . (2)在等比数列中，当总项数为时，. 证明 . (3). 证明 . 【即学即练2】 已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则（    ） A．27 B．39 C．81 D．120 【答案】D 【分析】根据等比数列片段和的性质可求出结果. 【详解】由题知，，， 因为数列成等比数列， 所以， 所以. 故选：D. 【题型一：求等比数列的前n项和】 例1． 已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则（   ） A．35 B．33 C．31 D．30 【答案】D 【分析】设等比数列的公比为，运用等比数列的通项公式和等差中项的性质，解方程可得首项和公比，运用等比数列的求和公式即可. 【详解】设等比数列的公比为， ，， ，， 与的等差中项为， ，即， 解得， ， 由，可得， . 故选：D. 变式1-1．已知在等比数列中，，且，那么的值是（    ） A．15 B．31 C．63 D．64 【答案】B 【分析】利用等比数列的通项公式和求和公式求解. 【详解】设公比为，，且， ，，， 故选：B． 变式1-2．数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的关系可得是以1为首项，以为公比的等比数列，由等比数列的求和公式即可求解． 【详解】因为，所以，时，， 两式相减得，，即，， 因为，即， 所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列， 则． 故选：B． 变式1-3．已知数列满足，，是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可得数列是以2为公比的等比数列，从而可求出，进而可求出. 【详解】因为，所以， 由于，则，所以， 所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列， 所以， 所以， 所以 ， 故选：D 【方法技巧与总结】 求等比数列的前n项和，需要求出首项和公比. 【题型二：等比数列的前n项和的基本量计算】 例2．设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设公比，将等式运用公式化简求出，再代入通项公式即可求得. 【详解】设等比数列的公比为，由可知（否则不成立）， 则有，化简得，，解得，， 于是，. 故选：C. 变式2-1．设等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．或9 B．8或 C．8或9 D．或 【答案】B 【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比，进而可求解. 【详解】依题意，，因为，，所以， 故，即，即， 所以或或（舍去），所以或. 故选：B 变式2-2．已知等比数列的前项和为，则其公比（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用等比数列的通项公式及前项和公式，即可求出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，若，由，得到，不满足，所以， 由，得到①，由，得到②， 由①②得，整理得到，解得， 故选：C. 变式2-3．已知等比数列是其前项和，，则（    ） A． B．8 C．7 D．14 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，根据题意求得，结合等比数列前项和的定义即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，可得，即，所以， 所以. 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 求与前n项和有关的等比数列基本量，可采取等比数列的性质或列方程组的方法求解； 2 在利用前n项和公式时，要注意公比是否等于，不确定的话要分类讨论； 但也可以不使用前n项和公式，而采取，避开公比是否等于的讨论. 【题型三：等比数列片段和性质及应用】 例3．已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质可知片段和成等比数列，求出片段和等比数列公比即可得解. 【详解】因为，且， 所以，，故， 所以，即， 解得或（舍去）， 由等比数列性质可知，成等比数列，公比为 所以，解得， 故选：A 变式3-1．设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（    ） A．64 B．72 C．76 D．80 【答案】D 【分析】设是该等比数列的前项和，依题意可知成等比数列，由等比数列的性质求解即可. 【详解】设是该等比数列的前项和，依题意可知 则成等比数列，即成等比数列， 则解得 故选：D. 变式3-2．设等比数列的前项和为，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等比数列片段和性质计算作答. 【详解】等比数列的前项和为，则成等比数列， 设，则，，所以，所以， 所以，即. 故选：A. 变式3-3．若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】B 【分析】根据题意，利用等比数列的性质，得到，求得，结合基本不等式的公式，即可求解． 【详解】由题意，设等比数列的公比为， 因为成等比数列，可得， 又因为，即 所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 【方法技巧与总结】 1 若,则成等比数列，且公比；(，是偶数时，) 2 . 【题型四：等比数列奇、偶项和的性质与应用】 例4．已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 变式4-1．已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这个等比数列共有项，公比为，利用偶数项之和与奇数项之和的比值求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值，由此可得出该数列的项数. 【详解】设这个等比数列共有项，公比为， 则奇数项之和为， 偶数项之和为， ， 等比数列的所有项之和为，则， 解得，因此，这个等比数列的项数为. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的求和公式求项数，同时也涉及了等比数列奇数项和偶数项之和的性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 变式4-2．已知等比数列中，，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】本题首先可设公比为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 即， 因为，所以， 则， 即，解得， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题. 【方法技巧与总结】 在等比数列中，当总项数为时，. 【题型五：等比数列前n项和的简单应用】 例5．已知等边三角形的边长为4，连接其各边的一个三等分点得到等边三角形，再连接各边的一个三等分点得到等边三角形，继续依此方法，得到一系列等边三角形，记的面积为，若．恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理得出边长的关系，再由前三项的面积成等比数列，由此推断出数列是首项为，公比为的等比数列，进而由求和公式以及不等式的性质证明. 【详解】设，由余弦定理可得 ， 则， ， 由此可知，数列是首项为，公比为的等比数列. 则 因为．恒成立，所以. 即的最小值为.    故选：C 变式5-1．现有一根4米长的木头，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的，到第天时，共截掉了米，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由题意，归纳出截掉的长度和天数成等比数列，根据等比数列求解即可. 【详解】设第天截掉的木头长度为，则是首项为2，公比为的等比数列， 则该等比数列的前项和. 由，得，得. 故选：B. 变式5-2．在等腰直角三角形ABC中，，，以AB为斜边作等腰直角三角形，再以为斜边作等腰直角三角形，依次类推，记的面积为，依次所得三角形的面积分别为，……若，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用三角形边之间的关系得到面积之间的关系为，然后利用等比数列求和列出方程求解即可 【详解】由题知，，，…，， ∴， 又，∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴，∴， 故选：B． 变式5-3．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案.设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、②、③、④……中图形的周长依次记为，得到数列.设数列的前项和为，若时，则的最小值为（    ） （参考数据：，）    A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】观察图形可知周长形成的数列是首项，公比为的等比数列，即可求出与，从而得到关于的不等式，解得即可.. 【详解】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列， 从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的倍，边长是相邻前一个图形的， 因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有， 因此数列是首项，公比为的等比数列，， 数列的前项和为， 若，则，即， 所以， 所以，又为正整数，所以的最小值为. 故选：C 【方法技巧与总结】 在实际问题中，根据题意提取出有关“等比数列”的信息是关键，再把其自然语言化为等比数列的符号语言，明确首项和公差，问题转化为等差数列基本量的计算. 【题型六：等比数列的综合运用】 例6．已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)数列的通项，求的前项和； (3)在任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前项和，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，根据作差计算可得； （2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得； （3）根据已知确定前36项的元素构成，应用分组求和、等比数列前项和公式求. 【详解】（1）因为，所以，则， 当时，， 当时，， 当时也成立， 所以的通项公式为. （2）由（1）可知， 所以， 所以， 则 ， 所以； （3）由题意，数列元素依次为， 在到之间的个数为，故到处共有个元素， 所以前项中含及个， 故. 变式6-1．（多选）等比数列的前项和为，则下列一定成立的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】对于A：根据等比数列通项公式分析判断；对于C：分类讨论公比的取值范围，结合等比数列求和公式分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】设等比数列的公比为， 对于选项A：因为，且，所以，故A正确； 对于选项C：因为， 若，则； 若，则，即，， 所以； 若，则，即，， 所以； 若，则，即，， 所以； 综上所述：，故C正确； 对于选项BD：例如，则，符合题意， 但，故BD错误； 故选：AC. 变式6-2．设等比数列的前n项和为，下列说法中正确的有（    ） ①若，则； ②，，成等比数列； ③若，则； ④若有偶数项，，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则有10项． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据等比数列求和公式即可求解①，由即可求解②，根据即可求解③，根据奇数项与偶数项之比可得公比，即可利用等比求和公式即可求解④. 【详解】对于①，若公比为，由于，则，显然不满足， 故，由得， 故，所以，故，故①正确， 对于②，当时，，，，不能成等比数列，故②错误， 对于③，由，所以， 由于为等比数列，故，故，③错误， 对于④，若有偶数项，， 其奇数项之和为，偶数项之和为， 故，故， 所以，则有10项，④正确， 故选：B 变式6-3．数列的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，是数列的前项和，，，，，则（    ） A．，且 B．当，且时，数列是递减数列 C． D． 【答案】D 【分析】首先分别求奇数项和偶数项的通项公式，再根据通项公式，判断选项. 【详解】由，所以， 奇数项的首项为，公比，偶数项的首项，公比， 所以，， A. ，，即，当时，不成立，故A错误； B.，，，所以当，且时，数列不是递减数列，故B错误； C.，故C错误； D.， ，故D正确. 故选：D 变式6-4．已知等差数列满足（），数列是公比为3的等比数列，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列和中的项由小到大组成新的数列，记数列的前n项和为，求． 【答案】(1)， (2)4582 【分析】（1）根据题意，由等差数列的定义即可得到公差，代入计算即可得到数列的通项公式，再由等比数列的通项公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由分组求和代入计算，即可得到结果. 【详解】（1），①，（），②， 得：， ∵为等差数列，∴，， ，即， ∴， 因为数列是公比为3的等比数列，， 即，解得：， 所以； （2）由（1）可知，，， 且数列和中的项由小到大组成新的数列， 其中，，此时， 所以数列中数列有项，数列有项， ， ． 变式6-5．已知数列满足且. (1)求的通项公式. (2)设的前项和为，表示不大于的最大整数. ①求； ②证明：当时，为定值. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）构造数列，结合等差数列定义计算即可得； （2）①借助错位相减法计算即可得；②构造数列，结合数列单调性可得当时，，即可得为定值. 【详解】（1）由，则，即， 则数列是以为公差的等差数列，又， 故，即； （2）①由，则， ， 则 ， 故； ②令，则， 则， 故数列为单调递减数列，又， 故当时，，故， 即当时，恒成立，即为定值. 变式6-6．设有穷数列的项数为，若正整数满足： ，则称为数列的“点”． (1)若，求数列的“点”； (2)已知有穷等比数列的公比为，前项和为．若数列存在“点”，求正数的取值范围； (3)若，数列的“点”的个数为，证明：． 【答案】(1)3，5 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由通项公式写出数列的各项，根据数列的“点”定义确定结论； （2）利用等比数列求和公式求，由条件可得存在，使得，解不等式可得的范围，再对所得结果加以验证即可， （3）先证明若，则，结论成立，再证明若存在，使得，则数列存在“点”， 数列的 “点” 由小到大依次为，结合关系完成证明. 【详解】（1）因为 所以， 所以数列 的 “ 点” 为 3，5 ， （2）依题意，， 因为数列存在 “点”， 所以存在 ，使得 ， 所以， 即. 因为，所以，所以， 又随的增大而增大， 所以当时，取最大值， 所以，又，所以. 当时，有， 所以数列存在 “点”， 所以的取值范围为， （3）①若，则数列不存在 “点”，即. 由得，，所以， ②若存在，使得. 下证数列有 “点”. 证明: 若，则2是数列的 “点”; 若，因为存在，使得， 所以设数列中第1个小于的项为， 则，所以是数列的第1个 “点”. 综上，数列存在 “点”.               不妨设数列的 “点” 由小到大依次为， 则是中第1个小于的项， 故，因为 ， 所以，所以，所以 所以 所以. 综上，，得证. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 一、单选题 1．已知等比数列的前n项和为，，，则（    ） A．62 B．50 C．40 D．22 【答案】A 【分析】设数列的公比，由题意列出方程组，求得，由等比数列的求和公式计算即得. 【详解】设数列的公比为，由题意可得， 解得，，则. 故选：A. 2.设等比数列的前n项和为，若，，则等比数列的公比等于（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】A 【分析】根据等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】由，，得， 则， 所以，所以. 故选：A. 3.某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（   ）万元.（参考数据：，） A．5.3 B．4.1 C．7.8 D．6 【答案】A 【分析】首先设每年应该存入万元，写出每年存入前到2027年底的本利和，再利用等比数列求和公式，即可求解. 【详解】设每年应该存入万元， 则2021年初存入的钱到2027年底本利和为， 2022年初存入的钱到2027年底本利和为， ……， 2027年存入的钱到2027年底本利和为 则， 即，解得：. 故选：A 4.已知等比数列的前项和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等比数列的和为，，根据公式，求出，则也要满足通项公式，即可得到方程，解得即可； 【详解】等比数列的前项和为，， 当时，可得，可得， 当时，，则 因为为等比数列，所以，解得 故选：． 5.已知为等比数列的前项和，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列前n项和的性质，结合等比中项的应用计算即可求解. 【详解】由题意知，为等比数列的前n项和， 则成等比数列， 由等比中项，得， 即，解得或（舍去）. 故选：C 6. 设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．-340 B．-5440 C．-21706 D．-21845 【答案】D 【分析】设出公比，当时不合要求，故，由条件得到方程，求出公比，利用求和公式求出答案. 【详解】设等比数列的公比为，若，则，与题意不符， 所以.由，得， 整理可得，解得或（舍去）. 又， 所以. 故选：D. 7. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如.已知，，是数列的前项和，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】由欧拉函数的定义可求出，由错位相减法求出，可得，即，即可求出的最小值. 【详解】因为3为质数，在不超过的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为， ， 所以，则， 所以， ， ， 两式相减可得： ， 所以， 因为，所以在在单调递增， 所以恒成立，所以， 所以的最小值为. 故选：A. 8.已知数列的前项和为，且满足，，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．15 【答案】B 【分析】由与的关系，将式子化简，可得，当，即可得到是等差数列，排除D，当，即可得到是等比数列，排除A，然后由计算，即可排除C. 【详解】因为，且，则， 化简可得， 若，则，且， 则数列是以为首项，为公差的等差数列，则， 所以，则，排除D； 若，则，即，且， 则数列是以为首项，为公比的等比数列，则， 所以，则，排除A； 再由计算， ，即，解得或，取， ，即，解得或，取， ，即，解得或，取， ，即，解得或， 取，此时，排除C； 故选：B 二、多选题 9．等比数列的公比为，前项和为，为等差数列，则（    ） A． B． C．为等差数列 D．为等比数列 【答案】ABC 【分析】根据等差数列与等比数列的定义及公式可判断. 【详解】由已知为等差数列，则当时，为定值， 即为常数， 此时数列为常数列， 又数列为等比数列， 则，且，，A选项正确； 此时，B选项正确； ，，，，即为等差数列，C选项正确； ，，，不为定值，所以不为等比数列，D选项错误； 故选：ABC. 10.已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意求出公比，求出和代入选项验证即可. 【详解】由可知显然不合题意，故有，解得，故A错B对； ，， 代入C，D选项验证，C正确； D选项右边，D错误. 故选：BC 11.“调和数列”被称为“和谐的数列”，在数学中的地位非常重要，广泛应用于音乐创作和建筑设计中．若数列满足（为常数），则称数列为“调和数列”．已知为正项调和数列，是的前项和，则（    ） A．若，则的最大值为1 B．若，则 C．若，则 D．若，则中存在三项构成等比数列 【答案】AC 【分析】根据题意，可知是正项等差数列，根据等差数列的求和公式得，结合基本不等式可判断A；根据等差数列片段和性质，可判断B；借助，裂项相消法求和判断C；反证法判断D. 【详解】根据题意，为正项调和数列，则，可知是正项等差数列． 对于A，，即，则， 当且仅当时，取等号，故A正确； 对于B，设，，由等差数列前项和的性质可得， ，，所以，故B错误； 对于C，由，得．当时，； 当时，， 则 ， 综上，C正确． 对于D，由，得， 假设中存在三项构成等比数列， 不妨设，则，即， 化简得，则，即， 这与矛盾，故D错误． 故选：AC 三、填空题 12．已知等比数列的前项和为，则 . 【答案】 【分析】设公比，由条件列出方程，求出公比和首项，代入等比数列求和公式计算即得. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，所以， 又 ，故. 故答案为：. 13.已知数列满足 ，若 为数列 的前 项和，则 【答案】77 【分析】根据等差数列及等比数列求和公式分组求和计算即可. 【详解】因为当n为奇数时为等差数列，公差为1，, ; 当n为偶数时为等比数列，公比为2，, ; 所以. 故答案为：77. 14.设为数列的前项和，，，则 （1） ； （2） . 【答案】 / / 【分析】（1）令解方程即可求解；（2）分为奇数和偶数两种情况即可求解. 【详解】（1）令，所以， 所以，（2）因为， 所以， 当为偶数时，可得， 所以，当为奇数时，可得， 所以， 所以. 故答案为：；. 四、解答题 15．设数列是各项均为正实数的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解等比数列的公比，求得通项公式. （2）利用等比数列的前项和公式和等差数列的前项和公式求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 或. （2）， . 16.已知等比数列的前项和为. (1)求等比数列的通项公式； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出公比，得到方程，求出，得到通项公式； （2）在（1）基础上得到，得到是公比为的等比数列，利用等比数列求和公式得到答案. 【详解】（1）当时，不满足， 可知，因为，所以， 即，解得， 则有：； （2）由（1）知，则， 所以，且， 所以数列是以1为首项，公比为的等比数列， 所以 17. 已知数列满足，当时，. (1)求的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：.（参考结论：当时，.） 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）应用累加法求通项公式； （2）分和两种情况结合等比数列的前n项和公式证明不等式. 【详解】（1）当时， . 又，因此的通项公式为. （2）由（1）知，因此. 因为，所以当时，. 因为当时，，所以， 此时. 综上，. 18.已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由求出，利用又是和的等比中项、求出； （2）利用错位相减法求出； （3）利用放缩法求和可得答案. 【详解】（1）由题意， ， 又是和的等比中项，得， 又，解得， ； （2）， 设， 则， 将以上两式相减得 ， ； （3） ， ， . 结论得证. 19．设数列的前项和是，且满足，其中为实数，. (1)求证：是等比数列. (2)当，时，另一数列的通项公式是（其中常数是整数），对于任意，都有成立，求整数的最小值. (3)当，时，记集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列为一个新数列，求使成立的最小的的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)14 (3)36 【分析】（1）根据题意推得，进而变形利用等比数列的定义证明等比数列； （2）根据（1）和条件结合得到，通过判断单调性，从而得出整数的最小值； （3）根据条件得出中所有元素按从小到大的顺序排列为一个新数列，进而求前n项和，再利用求解最小的的值； 【详解】（1）证：时，，作差得 即，由题，，故（且） 而时，，即也成立 由易得，故，即是以为公比的等比数列. （2）由（1），是以1为首项，为公比的等比数列，所以， 由题意，，则， 所以时，，单调递增；时，，单调递减， 又，只需， 即，所以整数的最小值为14. （3）由（1），，，故. 对于数列的项，其前面的项1，3，5，…，，共有项，，共有项， 所以为数列的项， 且. 由（项），，， 因为，，所以，，. ， 因此所求的最小值为36. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3.3 等比数列的前n项和 课程标准 学习目标 （1）探索并掌握等比数列的前 项和公式; （2）理解等比数列的通项公式与前 项和公式的关系。 （1）掌握等比数列的前n项和的公式，并会求等比数列前n项和; （2）掌握等比数列前n项和的性质及其运用.（难点) 知识点01 等比数列前n项和 等比数列的首项为，公比为，则其前项和为 (1)证明 等比数列的首项为，公比为，则其前项和是 ， 两边乘以公比得 得， 当时，； 当时，, 故等比数列的前项和为. 以上的方法称之为错位相减法. (2)当公比时，，是的正比例函数; 当公比时，，它可变形为，设，上式可写成.由此可见，非常数列的等比数列的前项和是由关于的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数． 即若某数列的前项和公式为 (，且，)，则此数列一定是等比数列． 【即学即练1】 记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 知识点02 等比数列前n项和的性质 (1)若,则成等比数列，且公比； (，是偶数时，) 证明 . (2)在等比数列中，当总项数为时，. 证明 . (3). 证明 . 【即学即练2】 已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则（    ） A．27 B．39 C．81 D．120 【题型一：求等比数列的前n项和】 例1． 已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则（   ） A．35 B．33 C．31 D．30 变式1-1．已知在等比数列中，，且，那么的值是（    ） A．15 B．31 C．63 D．64 变式1-2．数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3．已知数列满足，，是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求等比数列的前n项和，需要求出首项和公比. 【题型二：等比数列的前n项和的基本量计算】 例2．设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．设等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．或9 B．8或 C．8或9 D．或 变式2-2．已知等比数列的前项和为，则其公比（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知等比数列是其前项和，，则（    ） A． B．8 C．7 D．14 【方法技巧与总结】 1 求与前n项和有关的等比数列基本量，可采取等比数列的性质或列方程组的方法求解； 2 在利用前n项和公式时，要注意公比是否等于，不确定的话要分类讨论； 但也可以不使用前n项和公式，而采取，避开公比是否等于的讨论. 【题型三：等比数列片段和性质及应用】 例3．已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 变式3-1．设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（    ） A．64 B．72 C．76 D．80 变式3-2．设等比数列的前项和为，若，则等于（     ） A． B． C． D． 变式3-3．若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【方法技巧与总结】 1 若,则成等比数列，且公比；(，是偶数时，) 2 . 【题型四：等比数列奇、偶项和的性质与应用】 例4．已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式4-1．已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．已知等比数列中，，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【方法技巧与总结】 在等比数列中，当总项数为时，. 【题型五：等比数列前n项和的简单应用】 例5．已知等边三角形的边长为4，连接其各边的一个三等分点得到等边三角形，再连接各边的一个三等分点得到等边三角形，继续依此方法，得到一系列等边三角形，记的面积为，若．恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．现有一根4米长的木头，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的，到第天时，共截掉了米，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式5-2．在等腰直角三角形ABC中，，，以AB为斜边作等腰直角三角形，再以为斜边作等腰直角三角形，依次类推，记的面积为，依次所得三角形的面积分别为，……若，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 变式5-3．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案.设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、②、③、④……中图形的周长依次记为，得到数列.设数列的前项和为，若时，则的最小值为（    ）（参考数据：，） A．5 B．8 C．10 D．12 【方法技巧与总结】 在实际问题中，根据题意提取出有关“等比数列”的信息是关键，再把其自然语言化为等比数列的符号语言，明确首项和公差，问题转化为等差数列基本量的计算. 【题型六：等比数列的综合运用】 例6．已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)数列的通项，求的前项和； (3)在任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前项和，求的值． 变式6-1．（多选）等比数列的前项和为，则下列一定成立的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式6-2．设等比数列的前n项和为，下列说法中正确的有（    ） ①若，则； ②，，成等比数列； ③若，则； ④若有偶数项，，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则有10项． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式6-3．数列的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，是数列的前项和，，，，，则（    ） A．，且 B．当，且时，数列是递减数列 C． D． 变式6-4．已知等差数列满足（），数列是公比为3的等比数列，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列和中的项由小到大组成新的数列，记数列的前n项和为，求． 变式6-5．已知数列满足且. (1)求的通项公式. (2)设的前项和为，表示不大于的最大整数. ①求；②证明：当时，为定值. 变式6-6．设有穷数列的项数为，若正整数满足： ，则称为数列的“点”． (1)若，求数列的“点”； (2)已知有穷等比数列的公比为，前项和为．若数列存在“点”，求正数的取值范围； (3)若，数列的“点”的个数为，证明：． 一、单选题 1.已知等比数列的前n项和为，，，则（    ） A．62 B．50 C．40 D．22 2.设等比数列的前n项和为，若，，则等比数列的公比等于（    ） A． B． C．2 D．5 3.某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（   ）万元.（参考数据：，） A．5.3 B．4.1 C．7.8 D．6 4.已知等比数列的前项和，则的值为（    ） A． B． C． D． 5.已知为等比数列的前项和，，，则（    ） A．3 B． C． D． 6. 设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．-340 B．-5440 C．-21706 D．-21845 7. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如.已知，，是数列的前项和，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 8.已知数列的前项和为，且满足，，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．15 二、多选题 9．等比数列的公比为，前项和为，为等差数列，则（    ） A． B． C．为等差数列 D．为等比数列 10.已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11.“调和数列”被称为“和谐的数列”，在数学中的地位非常重要，广泛应用于音乐创作和建筑设计中．若数列满足（为常数），则称数列为“调和数列”．已知为正项调和数列，是的前项和，则（    ） A．若，则的最大值为1 B．若，则 C．若，则 D．若，则中存在三项构成等比数列 三、填空题 12．已知等比数列的前项和为，则 . 13.已知数列满足 ，若 为数列 的前 项和，则 14.设为数列的前项和，，，则 （1） ；（2） . 四、解答题 15．设数列是各项均为正实数的等比数列，且. (1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和. 16.已知等比数列的前项和为. (1)求等比数列的通项公式；(2)求的值. 17. 已知数列满足，当时，. (1)求的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：.（参考结论：当时，.） 18.已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，求证：. 19．设数列的前项和是，且满足，其中为实数，. (1)求证：是等比数列. (2)当，时，另一数列的通项公式是（其中常数是整数），对于任意，都有成立，求整数的最小值. (3)当，时，记集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列为一个新数列，求使成立的最小的的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$