2.2.2 函数的表示法-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (北师大版)

数学 必修第一册 BS 1 §2 §2 函数 2 §2 2.2 函数的表示法 刷基础 3 高中必刷题 主讲老师 1.一个面积为的等腰梯形，上底长为，下底长为上底长的3倍，则把它的高 （单位：）表示成 的函数为( ) C A. B. C. D. 题型1 函数的三种表示法 5 解析 由，得， . 题型1 函数的三种表示法 6 高中必刷题 主讲老师 2.[河南新乡一中2024月考] 已知点为某封闭图形边界上一定点，动点从点 出 发，沿其边界顺时针匀速运动一周.设点运动的时间为，线段的长度为 ，表 示与 的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是( ) B A. B. C. D. 题型1 函数的三种表示法 8 解析 根据函数图象可知,函数图象具有对称性,故C错误； 对于A,由等边三角形可知,线段 的长度先增大再减小,再增大,后减小,故A错误； 对于D,由圆可知,线段 的长度不会是线性变化,故D错误； 对于B,由正方形可知,线段 的长度先增大再减小,且一开始线性增大,符合题意,故B正确.故选B. 题型1 函数的三种表示法 9 高中必刷题 主讲老师 3.[广西南宁2024高一联考] 已知函数的对应关系如表所示，函数 的图象是如图 所示的曲线，则 的值为( ) 1 2 3 2 3 0 A A.3 B.0 C.1 D.2 题型1 函数的三种表示法 11 解析 根据题意，由题中函数的图象，可得，则 ，故选A. 题型1 函数的三种表示法 高中必刷题 主讲老师 4.[广东佛山2023高一大测] 设为一次函数，且.若 ， 则 的解析式为( ) B A.或 B. C. D. 题型2 函数解析式的求法 14 解析 设，其中，则 ，所 以解得或当时，，此时 ，符合 题意；当时，，此时，不符合题意.综上所述， .故选B. 题型2 函数解析式的求法 15 高中必刷题 主讲老师 5.[安徽阜阳二中2024高一月考] 已知函数，则函数 的解析式是( ) B A.， B.， C.， D.， 题型2 函数解析式的求法 17 解析 ,且 ,所以 , .故选B. 题型2 函数解析式的求法 18 多种解法（换元法）令,,则, , ,即, . 题型2 函数解析式的求法 19 高中必刷题 主讲老师 6.[江苏苏州大学附中2024高一期中] 设是定义在上的函数，已知 满足 ，则 的解析式为______________. 题型2 函数解析式的求法 21 解析 由 ①, 用代替可得 ②, 由可得 . 题型2 函数解析式的求法 22 归纳总结 求函数解析式的方法 （1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出 ，再利用题目中给出的已 知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定系数. （2）换元法：主要用于解决已知复合函数的表达式求的解析式的问题，令 ， 解出，然后代入中即可求得，从而求得 ，要注意新元的取值范围. （3）配凑法：配凑法是将右端的代数式配凑成关于的形式，进而求出 的解析式. （4）构造方程组法（消元法） 主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根 据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解. 题型2 函数解析式的求法 23 高中必刷题 主讲老师 7.设是定义在上的函数,满足,并且对任意的实数, 都有 ,求 的解析式. 【解】因为,且,所以令 ,则 ,所以 . 题型2 函数解析式的求法 25 多种解法 令，得,即,将用 代换得 . 题型2 函数解析式的求法 26 规律方法 在求函数解析式的问题中,通过给自变量赋予特殊值，展现内在联系或是减少变量个数， 从而解决问题,这种方法叫做赋值法.赋值法常用于求解抽象函数的解析式. 题型2 函数解析式的求法 高中必刷题 主讲老师 8.（多选）下列关于分段函数的说法正确的是( ) BC A.分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数 B.若则 C. 是分段函数 D.分段函数的定义域都是 题型3 分段函数 29 解析 分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，但这几段组合在一起是一个函数，故A错误； 由函数的解析式可知B正确； 是一个分段函数，故C正确；分段函数的定义域不都是 ，故D错 误.故选 . 题型3 分段函数 30 特别注意 对分段函数概念的理解 （1）分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 题型3 分段函数 31 高中必刷题 主讲老师 9.[江西部分学校2024高一期中联考] 已知定义在上的函数 则“ ”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型3 分段函数 33 思路导引 探究“”是“ ”的什么条件,需要从函数值研究自变量,还需要从 自变量研究函数值. 题型3 分段函数 34 解析 若,则,所以 . 若,则,所以 . 所以“”是“ ”的必要不充分条件. 故选B. 题型3 分段函数 35 高中必刷题 主讲老师 10.[河北邯郸八校2024高一期中] 已知函数若，则 ( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 题型3 分段函数 37 解析 , , 解得 .故选B. 题型3 分段函数 38 归纳总结 求分段函数的函数值的方法 （1）求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析 式求值； （2）当出现 的形式时,应从内到外依次求值； （3）当自变量所在区间不确定时,要分类讨论,分类标准应参照分段函数不同段的端点. 题型3 分段函数 39 高中必刷题 主讲老师 11.函数 的图象如图所示，则它的解析式为_ _____________________. 题型3 分段函数 41 解析 当时，设函数解析式为,由图象知,所以;当 时，;当时, . 题型3 分段函数 42 高中必刷题 主讲老师 12.[重庆万州二中2023高一质量检测] 函数则关于的不等式 的解集为________. 题型3 分段函数 44 解析 当时，，则，解得，故 ； 当时，，则，解得，故 . 综上，不等式的解集为 . 题型3 分段函数 45 高中必刷题 主讲老师 13.（多选）[河南洛阳一高2024高一期中] 某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆 典大会上发给各位嘉宾.现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固 定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的费用 （千元），乙厂的费用（千元）与礼品数量 （千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示， 则( ) ABC A.甲厂的费用与礼品数量之间的函数关系式为 B.当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元 C.当礼品数量超过2千个时，乙厂的费用与礼品数量 之间的函数关系式 为 D.若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用 题型4 函数的实际应用 47 解析 根据图象,甲厂的费用与礼品数量满足的函数为一次函数，且图象过， 两点， 所以甲厂的费用与礼品数量满足的函数关系式为 ，故A正确；当礼品数量不超过2 千个时，乙厂的费用与礼品数量之间的函数关系式为 ，所以乙厂的加工费平均每个为 元，故B正确；易知当时，与 之间的函数关系为一次函数关系，且图象过点 ，，所以函数关系式为，故C正确；当时， ， ，因为 ，所以定制礼品数量为6千个时，选择甲厂更节省费用，故D不正确. 题型4 函数的实际应用 48 高中必刷题 主讲老师 14.某地煤气公司规定，居民每个月使用的煤气费由基本月租费、保险费和超额费组成.每个月的 保险费为3元，当每个月的煤气使用量不超过时，基本月租费缴纳 元；如果超过这个使用量， 超出的部分按元/ 计费. （1）请写出每个月的煤气费（元）关于该月的煤气使用量 的函数解析式； 【解】当时， ； 当时， . 所以每个月的煤气费（元）关于该月的煤气使用量 的函数解析式为 题型4 函数的实际应用 50 （2）如果某户居民月煤气使用量与收费情况如下表，求出,, ，并画出函数图象. （其中仅7月煤气使用量未超过 ） 月份 煤气使用量/ 煤气费/元 7 4 4 8 25 14 9 35 19 题型4 函数的实际应用 51 [答案] 因为仅7月煤气使用量未超过，所以，解得 . 因为仅7月煤气使用量未超过，所以8月、9月煤气使用量超过 ， 因此有解得 所以,, ， 因此 函数图象如图所示. 题型4 函数的实际应用 52 易错点1 忽略函数的定义域而致错 主讲老师 15.[浙江杭州九校2024高一期中联考] 已知函数，则 的解析式为( ) B A. B. C. D. 易错点1 忽略函数的定义域而致错 54 解析 令,,则 , 所以 , 所以 . 故选B. 易错点1 忽略函数的定义域而致错 55 易错警示 已知函数的解析式,求函数的解析式时,若函数 的值域不是 全体实数,则所求得的函数的解析式必须带有定义域（即函数 的值域）. 易错点1 忽略函数的定义域而致错 56 易错点2 不能正确理解分段函数而致错 主讲老师 16.[湖北黄冈2023高一期中联考] 设函数则方程 的解为( ) A A. B. C. D. 易错点2 不能正确理解分段函数而致错 58 解析 因为 由知，或或 解得 .故选A． 易错点2 不能正确理解分段函数而致错 59 易错警示 求分段函数的函数值，一定要根据自变量的范围找到对应的函数解析式求值，特别是 当自变量的范围不确定时一定要分类讨论. 易错点2 不能正确理解分段函数而致错 60 §2 2.2 函数的表示法 刷提升 61 高中必刷题 主讲老师 1.以下形式中，不能表示是 的函数的是( ) D A. 1 2 3 4 4 3 2 1 B. C. D. 63 解析 选项D中可化为或 ，根据函数的定义及表示方法可知，不符合函数的定义，故选D. 高中必刷题 主讲老师 2.[北京大兴2024高一期中] 已知函数则图象与 轴交点的个数是 ( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 66 解析 令,当时,由，得,显然无实数解；当时,由 ，得 ,解得或 （舍去）. 综上所述,图象与 轴的交点有1个.故选B. 67 名师点拨 函数图象与轴交点的个数等价于方程 的解的个数. 高中必刷题 主讲老师 3.[北京第一五六中学2023高一期中] 已知对于任意两个实数,，都有 成 立.若，则 ( ) C A.3 B.6 C.10 D.9 70 解析 因为 ， 所以令，则 ； 令,，则 ； 令，则 ； 令,，则，得 ； 令,，则 . 故选C. 71 高中必刷题 主讲老师 4.定义运算则函数 的部分图象大致是( ) B A. B. C. D. 73 解析 其图象如图所示. 故选B. 74 高中必刷题 主讲老师 5.（多选）[河南省实验中学2024高一期中] 给出以下四个判断，其中正确的是( ) ABC A.函数的值域为 B.若函数的定义域为，则函数的定义域为 C.函数的定义域，值域，则满足条件的 有3个 D.若函数，且，则实数的值为 76 解析 对于A选项,,当时,,则 , ,所以 , 所以函数的值域为 ,A正确； 对于B选项,对于函数 , ,则 , 所以函数的定义域为 , 则对于函数,解得 , 所以函数的定义域为 ,B正确； 77 对于C选项,由,可得 , 所以函数的定义域A可以是或或, , 故满足条件的 有3个,C正确； 对于D选项, , 当时,,当且仅当,即当 时,等号成立, 当时, , 当且仅当,即当 时,等号成立, 所以,其中或 , 由可得 ,D错误. 故选 . 高中必刷题 主讲老师 6.（多选）[吉林长春外国语2024高一期中] 已知函数 的图象由如图所示的 两段线段组成，则下列说法正确的为( ) BCD A. B.函数在区间 上的最大值为2 C.的解析式可表示为 D.，不等式的解集为 80 解析 依题意，当时，令，则解得, , ， 当时，令，则解得,, , 因此 对于A， ，A不正确； 对于B，函数在上随着的增大而减小，在上随着的增大而增大，而 , ，因此函数在区间上的最大值为2，B正确；对于C，因为当 时， ，当时， ，所以 81 ,C正确；对于D，因为, ，观察图象知，当 时，不等式的解集为 ，D正确. 故选 . 高中必刷题 主讲老师 7.[浙江衢州2023高一联考] 已知函数，且 的解集为 . （1）求， 的值； 【解】由题意知，，是关于的方程的两个不同实数根，且 ， 则，,解得， . 84 （2）用表示，中的较大者，记为,，请画出 的图象， 并求 的最小值. [答案] 由题可知， 联立解得或（舍去），所以当时， 和 图象的交点坐标为 ， 联立 解得或（舍去），所以当时，和 图象的交点坐标为 ， 85 则 的图象如图. 所以，当时，取得最小值 . 86 $$