1.4.2 一元二次不等式及其解法-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (北师大版)

数学 必修第一册 BS 1 4 4 一元二次函数与一元二次不等式 2 4 4.2 一元二次不等式及其解法 刷基础 3 1.不等式 的解集为( ) C A. B. C.或 D.或 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 4 解析 由可得 ， 所以或 ， 故不等式的解集为或 ，故选C. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 5 归纳总结 解一元二次不等式的一般步骤 ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应一元二次方程的判别式； ③求出相应的方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据对应二次函数图象与 轴的位置关系写出不等式的解集． 特别注意 解集是解的集合,故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 6 2.[湖南长沙2023高一月考] 已知集合， ，则 ( ) A A. B. C. D. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 7 解析 由题得，解得，所以 ， 所以 ，故选A. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 8 3.[陕西咸阳实验中学2023高一月考] 关于的不等式的解集是 的子集，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 9 解析 当时，的解集为 ， ，符合条件； 当时，，不等式的解集为 ， 所以，所以得 ; 当时，，不等式的解集为 ， 所以，所以得 . 综上， .故选D. 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 10 4. [广东深圳外国语学校2023高一月考] 解下列关于的不等式： . 【解】原不等式化简为 . 当时，，解得，故不等式的解集为 ； 当时，，解原不等式可得，此时原不等式的解集为 ； 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 11 当时，，解原不等式可得或 ，此时，原不等式的解集为 或 ； 当时，原不等式即为，解得 ，此时，原不等式的解集为 ； 当时，，解原不等式可得或，此时，原不等式的解集为 或 . 综上所述，当时，原不等式的解集为；当 时，原不等式的解集 为；当时，原不等式的解集为或；当 时，原不等式 的解集为；当时，原不等式的解集为 . 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 12 链接教材 本题是教材第38页例4的同类试题，考查解含参数的一元二次型不等式.解含参数的一 元二次型不等式时要注意: （1）若二次项系数含有参数，则应对二次项系数大于0、小于0和等于0三种情况进行讨论.特别 地，如果不等式说明是一元二次不等式，则二次项系数应分大于0、小于0两种情况讨论. （2）若求对应一元二次方程的根需用求根公式，则应对判别式 进行讨论. （3）若求出的两根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 13 5.（多选）[湖北鄂东南省级示范校2024高一联考] 已知关于的不等式 的解集 为 ，则( ) ABD A.函数 有最大值 B. C. D.的解集为或 题型3 三个“二次”关系的应用 14 解析 因为不等式的解集为 ,所以 , , 函数 的图象开口向下,有最大值,A正确； 又,函数值 ,即B正确； 又,3是关于的二次方程的两根,则 所以,,则 ,C错误； 不等式即为,即 , 解得（舍去）或,所以或 ,D正确. 故选 . 题型3 三个“二次”关系的应用 15 6.（多选）[江苏徐州2024高一期中] 已知关于的一元二次不等式 的解集为 或 ，则下列说法正确的是( ) AC A. B.不等式的解集为 C.不等式的解集为或 D. 题型3 三个“二次”关系的应用 16 解析 关于的不等式的解集为或 ， 所以二次函数的图象开口方向向上，即 ，故选项A正确； 因为,5是方程的根，所以解得 所以即为，解得 ，故选项B错误； 不等式等价于，也即，解得 或 ，故选项C正确; 因为或，所以 ，故选项D错误. 故选 ． 题型3 三个“二次”关系的应用 17 7.关于的一元二次方程有两个正实数根，则实数 的取值范围是______. 题型3 三个“二次”关系的应用 18 解析 设，分别为方程 的两个正实数根， 则即 解得 . 题型3 三个“二次”关系的应用 8.已知不等式的解集为空集，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型4 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 20 解析 欲使不等式的解集为空集，即,不等式 恒成立，则 ，,即实数的取值范围是 . 故选A. 题型4 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 21 9.[辽宁葫芦岛协作校2024高一联考] 若关于的不等式的解集是，则实数 的 取值范围是( ) B A. B. C.或 D.或 题型4 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 22 解析 当时,恒成立,则 符合题意； 当时,由题意可得解得 . 综上,实数的取值范围是 . 故选B. 题型4 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 23 规律方法 一元二次型不等式恒成立的解题方法 （1）不等式对任意实数恒成立等价于或 （2）不等式对任意实数恒成立等价于或 题中若明确说是一元二次不等式,则；若未明确说是一元二次不等式,则要考虑 的情况. 题型4 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 24 10.已知关于的不等式在上有解，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C.或 D. 题型4 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 25 解析 因为关于的不等式在 上有解， 即在上有解，只需的图象与 轴有交点，所以 ，即，所以 ， 解得 .故选A. 题型4 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 26 11.[浙江杭州学军中学2024高一月考] 若关于的不等式在区间 上有 解，则实数 的最小值为( ) B A.9 B.5 C.6 D. 题型4 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 27 解析 因为不等式在区间上有解,所以在区间 上有解, 所以 , 又因为,当且仅当,即 时取等号, 所以,所以,即实数 的最小值为5,故选B. 题型4 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 28 12.（多选）若不等式对任意实数恒成立，则正整数 的值可能为( ) CD A.3 B.4 C.1 D.2 题型4 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 29 解析 因为对于任意实数恒成立，所以不等式 可化为 ，即 . 当时，不等式化为，不符合题意；当 时，由题意有 解得，又，所以或2.故选 ． 题型4 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 30 13.[辽宁省实验中学2023高一期中] 已知全集为，集合 , ，则 ( ) C A. B. C. D. 题型5 分式不等式的解法 31 解析 因为,所以,所以,且,解得 ,故 . 又,即,解得,故 . 又,故 .故选C. 题型5 分式不等式的解法 32 特别注意 解分式不等式时,若不能确定分母恒正或恒负,则不可将分母直接乘到另外一边,需要将其 转化为二次不等式再解决,同时注意分母不为0. 题型5 分式不等式的解法 33 14.不等式 的解集为( ) A A. B. C. D.或 题型5 分式不等式的解法 34 解析 恒成立, 原不等式 ， 原不等式的解 集为 .故选A. 题型5 分式不等式的解法 35 15.已知的解集是或，则实数 的值为__. 题型5 分式不等式的解法 36 解析 ，，即 . 的解集为或 ， ， , ， . 题型5 分式不等式的解法 37 规律方法 分式不等式的解法 先通过移项、通分，整理成标准形式,其中，均为关于 的式子， 再化为整式不等式求解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可. 题型5 分式不等式的解法 38 16.不等式 的解集为( ) C A.或 B.或 C.或 D.或 题型6 简单高次不等式的解法 39 解析 不等式可化为 ， 即，如图，由“穿针引线法”可得不等式的解集为 或 .故选C. 题型6 简单高次不等式的解法 40 17.使不等式组成立的 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型6 简单高次不等式的解法 41 解析 由可得即解得 综上， .故选A. 题型6 简单高次不等式的解法 42 18.[安徽安庆2023高一月考] 不等式 的解集为_______________________. 题型6 简单高次不等式的解法 43 解析 由 得 令 ， 解得，，， ， 采用“穿针引线法”可得图象如图所示. 由图象可得的解集为 . 题型6 简单高次不等式的解法 44 19.若关于的不等式的解集是或，则实数 的取值范围是______. 题型6 简单高次不等式的解法 45 解析 ， 即 又 原不等式的解集为或， 结合穿根引线法可知 . 实数的取值范围为 . 题型6 简单高次不等式的解法 46 20.若集合 ，则实数 的取值范围是______. 易错点1 忽略二次项系数的讨论而致错 47 解析 ①若，则 不成立，此时解集为空集，满足题意； ②若，则解得.综上， . 易错点1 忽略二次项系数的讨论而致错 21.[四川成都七中2024高一月考] 若在上恒成立，则实数 的取值范围是 ______. 易错点1 忽略二次项系数的讨论而致错 49 解析 ①当时， 恒成立，满足条件； ②当 时， 则需满足 解得.综上可得实数的取值范围是 . 易错点1 忽略二次项系数的讨论而致错 50 易错警示 在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用 判别式法来判断.在处理形如的问题时，要注意对 进行讨论. 易错点1 忽略二次项系数的讨论而致错 51 22.[江西南昌二中2024高一月考] 已知一元二次不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是______. 易错点2 审题不仔细而致错 52 解析 为一元二次不等式， . 不等式的解集为 , 解得 . 实数的取值范围为 . 易错点2 审题不仔细而致错 53 易错警示 题目条件确定不等式类型为一元二次不等式，故二次项系数不为零，即此题中 . 易错点2 审题不仔细而致错 23.不等式 的解集是( ) D A. B. C. D. 易错点3 忽略分母的特殊性而致错 55 解析 原不等式等价于解得 .故选D. 易错点3 忽略分母的特殊性而致错 56 24.不等式 的解集是_______________________________. 易错点3 忽略分母的特殊性而致错 57 解析 原不等式等价变形为，即 ， 即 ， 即 等价变形为 如图所示，利用“穿根引线法”可得原不等式的解集为或或 . 易错点3 忽略分母的特殊性而致错 58 易错警示 解分式不等式时要根据不等号来决定是否考虑限制条件“分母不为零”，进而完成等价 转化. 易错点3 忽略分母的特殊性而致错 25.不等式 的解集为( ) A A.或 B. C. D. 易错点4 忽略平方式的特殊性而致错 60 解析 原不等式等价于解得，且 ，故选A. 易错点4 忽略平方式的特殊性而致错 61 26.不等式 的解集是_________________________. 或或 易错点4 忽略平方式的特殊性而致错 62 解析 原不等式等价于 ，如图所示，由“穿针引线法”可得原不等式 的解集为或或 . 易错点4 忽略平方式的特殊性而致错 易错警示 以上两题易出现的错误是“舍去平方式”，导致错解. 易错点4 忽略平方式的特殊性而致错 $$