1.1.1 集合的概念与表示-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (北师大版)

数学 必修第一册 BS 1 §1 §1 集合 2 §1 1.1 集合的概念与表示 刷基础 3 1.[天津南开区2024高一质量检测] 下列给出的对象能构成集合的有( ) ①某校2024年入学的全体高一年级新生; 的所有近似值;③某个班级中学习成绩较好的所有学 生;④不等式 的所有正整数解. B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型1 集合的含义与元素的特征 4 解析 对于①：某校2024年入学的全体高一年级新生,对象确定,能构成集合, 故①正确； 对于②： 的所有近似值,根据精确度不一样得到的近似值不一样,因此对象不确定,故不能构成集 合,故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对而言的,故这些学生对象不确定,不能构成集合,故③错误； 对于④：不等式 的正整数解有1,2,3,能构成集合,故④正确. 故选B. 题型1 集合的含义与元素的特征 5 规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键是该组对象是否唯一确定,即是否能找到一个明确的 标准,确定任意一个对象是不是给定集合中的元素. 题型1 集合的含义与元素的特征 6 2.[四川成都树德中学2024高一期中] 集合,中实数 的取值范围是( ) D A.或 B.且 C.或 D.且 题型1 集合的含义与元素的特征 7 解析 由集合中元素的互异性可知,,解得且 , 所以实数的取值范围为且 . 故选D. 题型1 集合的含义与元素的特征 8 3.由实数,,,,, 所组成的集合，最多可含有的元素个数为( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 题型1 集合的含义与元素的特征 9 解析 由题意，,,可分别化为，，，所以由实数,,,, , 所组成的集合最多可含有3个元素，分别为，，，此时且 ．故选B. 题型1 集合的含义与元素的特征 10 名师点拨 集合中的元素满足互异性，相同的元素只能算一个. 题型1 集合的含义与元素的特征 4.[广东广州育才中学2024高一期中] 下列关系式中，表达正确的个数为( ) ；；； . A A.1 B.2 C.3 D.4 题型2 元素与集合的关系 12 解析 对于①, ,①错误； 对于②, ,②正确； 对于③, ,③错误； 对于④, ,④错误. 故正确的个数为1.故选A. 题型2 元素与集合的关系 13 5.[辽宁重点高中协作校2024高一期中] 已知集合,,，且是 中的一个元 素，则 ( ) A A. B.或3 C.3 D.或 题型2 元素与集合的关系 14 解析 集合,,,且 . ①当时,,此时,,集合 中的元素不满足互异性,故不符合题意,舍去； ②当时,（舍）或 , 若,则,此时集合,, ,符合题意. 综上所述, .故选A. 题型2 元素与集合的关系 15 6.（多选）[山西省实验中学2023高一月考] 已知，，为非零实数，代数式 的值所组成的集合是 ，则下列判断正确的是( ) ACD A. B. C. D. 题型2 元素与集合的关系 16 解析 根据题意，分4种情况讨论: ,,全部为负数时，也为负数，则 ； ,,中有一个负数时，为负数，则 ； ,,中有两个负数时，为正数，则 ； ,,全部为正数时，也为正数，则 . 则,0,,分析选项可得符合．故选 . 题型2 元素与集合的关系 17 7.设集合.若，则实数 的取值范围是___________. 解析 因为，所以，解得，所以实数的取值范围为 . 题型2 元素与集合的关系 18 8.[河南周口2024高一月考] 已知集合 . （1）若，求集合 （用列举法表示）； 【解】因为，所以，解得，解方程,可得 或 ，所以集合 ． 题型2 元素与集合的关系 19 （2）若中至多有一个元素，求实数 的取值范围. [答案] 当时，方程为，此时集合 ; 当时，集合中至多有一个元素,只需，即，即 . 综上所述，实数的取值范围是或 . 题型2 元素与集合的关系 20 9.已知集合，且,, ． （1）判断是否为 中的元素； 【解】因为，此时,，不满足 ，所以 不是集合 中的元素. 题型2 元素与集合的关系 21 （2）设，求证： ； 【证明】因为，所以 .因为 ,都是整数，且，所以 . 题型2 元素与集合的关系 22 （3）证明：若，则 是偶数. 【证明】因为，所以.因为 ，所 以为偶数,即 为偶数. 题型2 元素与集合的关系 23 规律方法 判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法:如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可. （2）推理法:对于一些没有直接给出元素的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的 特征即可. 题型2 元素与集合的关系 24 10.[江西宜春2024高一月考] 方程组 的解用集合表示为( ) C A., B.或 C. D. 题型3 集合的表示方法 25 解析 由解得 所以方程组的解集是或 .故选C. 题型3 集合的表示方法 26 名师点拨 此类题考查集合元素类型的辨析,正确解出方程组,方程组的解是有序实数对,其解集是由 有序实数对构成的集合,容易出现概念混淆,把解集的形式弄错. 题型3 集合的表示方法 27 11.[重庆南开中学2024高一期中] 下列选项中集合, 表示同一集合的是( ) A A.， B.， C.， D.， 题型3 集合的表示方法 28 解析 A：根据集合元素的无序性,可得 ,故A正确； B：和 是不同的元素,故B错误； C：因为中的元素是有序实数对,而 中的元素是实数,所以C错误； D：因为中有两个元素,即4,3,而中有一个元素,即 ,所以D错误. 故选A. 题型3 集合的表示方法 29 12.[陕西西安长安一中2023高一期中] 已知集合,,, 中所含元素的个数为( ) C A.2 B.4 C.6 D.8 题型3 集合的表示方法 30 解析 因为，所以,,, ,（1, 3）, ,B中含6个元素．故选C. 题型3 集合的表示方法 31 13.[河南商丘名校2024高一期中] 集合,, 中的元素个数为___. 6 题型3 集合的表示方法 32 解析 因为,即,又,所以的所有可能取值为,,,分别代入可得 , , ,1,2,4,所以集合中共有6个元素. 题型3 集合的表示方法 33 14. 选择适当的方法表示下列集合： （1）不小于1且不大于17的质数组成的集合 ； 【解】不小于1且不大于17的质数有2,3,5,7,11,13,17，用列举法表示： . （2）所有正奇数组成的集合 ； [答案] 所有正奇数有无数个，用描述法表示：, . （3）绝对值不大于3的所有整数组成的集合 ； [答案] 绝对值不大于3的所有整数只有,,,0,1,2,3，用列举法表示：,,,0,1,2, . （4）直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合 . [答案] 直角坐标平面上，抛物线上的点，用描述法表示： ． 题型3 集合的表示方法 34 链接教材 本题是教材第3页例1、例2的同类试题,考查集合的表示与方法的选取.选择集合表示方 法的技巧: 如果集合中的元素比较少或所含元素不易表述,宜用列举法;如果集合中的元素比较多或有无限个 元素,宜用描述法.如果集合中元素所具有的属性比较明显，既可以用列举法，也可以用描述法.例 如,大于或等于1且小于或等于5的自然数,用列举法表示为 ,用描述法表示为 . 题型3 集合的表示方法 35 15.下列四个集合中，是空集的是( ) D A. B.,, C. D., 题型4 空集与集合的区间表示 36 解析 , ，方程无实数解， , ，故选D. 题型4 空集与集合的区间表示 37 16.集合 表示成区间是( ) B A. B. C. D. 题型4 空集与集合的区间表示 38 解析 由得，表示成区间是 ，故选B. 题型4 空集与集合的区间表示 归纳总结 （1）用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的一端是开或闭 不能弄错.（2）用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字（或字母）之间用“，”隔开. （3）用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别. 题型4 空集与集合的区间表示 40 17.[湖南长沙2023高一期中] 已知集合,1,.若，则实数 的值构成的集合 为______． 易错点1 忽略集合中元素的互异性而致错 41 解析 因为集合,1,，且，所以或 . （1）当时，， ,符合题意. （2）当时，解得或.当 时，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时， ,符合题意. 综上可知实数的值构成的集合为 . 易错点1 忽略集合中元素的互异性而致错 42 易错警示 本题是含参数的集合问题，根据题意求出参数的值后要注意检验参数的值是否满足集 合中元素的互异性.本题的易错之处是忽视检验 时是否满足集合中元素的互异性. 易错点1 忽略集合中元素的互异性而致错 43 18.[江西部分学校2024高一联考] 若集合 ，则( ) B A. B. C. D. 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 44 解析 由已知 , 令,,解得, , 又,则,化简得 .故选B. 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 45 19.[福建泉州2024高一期中] 给出下列说法： ①集合用列举法表示为,0, ； ②实数集可以表示为{为实数}或{ }； ③方程组的解组成的集合为， . 其中不正确的有________.（把所有不正确说法的序号都填上） ①②③ 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 46 解析 ①由，即，得或或.因为 ，所以集合 用列举法表示为.②实数集正确的表示为{为实数}或 方程组 的解组成的集合正确的表示应为或 .故①②③均不正确. 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 47 易错警示 注意集合的表示方法应规范，区分点集和数集. 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 20.[2019全国高中数学联赛吉林预赛] 集合，,，则集合 中所有元素的和为( ) B A. B. C. D. 49 解析 由题意可得，，则集合B中所有元素的和为 .故选B. 21.[2021全国高中数学联赛浙江预赛] 给定实数集合， ，定义运算 ,,.设,2,4, ,，，则 中的 所有元素之和为________. 29970 51 解析 由 ，可知所有元素之和为 . 52 $$