作业(三)导数与函数的极值、最值-2024年高二数学暑假作业（人教A版）

署假作业瑰实是此岸，理想是彼岸，中间隔着黹急的河流，行动则是架在河上的桥粱。 [每日格言] 作业（三》 月 日 导数与函数的极值、最值 台 是期 历 天气 1 知识整合 4.函数的极值与最大（小）值 (1)极值反映的是函数在某一点附近的局 1.极值点与导数为0的点的关系 部性质：如果x。是函数y=f(x)的极大 (1)导数为0的点不一定是极值点.如函数 (小)值点，那么在点x。附近找不到比 f(x)=x3,在x=0处的导数是0，但它不 f(x。)更大（小）的值.最值反映的是函数 是极值点.对于可导函数，极值点的导数必 在整个定义域内的性质：如果x。是函数 y=f(x)的最大（小）值点，那么f(x)不小 为0.因此，对于可导函数，导数为0是点 (大)于函数y=f(x)在相应区间上的所有 为极值点的必要不充分条件. 函数值 (2)函数的导数不存在的点也可能是极值 (2)函数在一个闭区间上若存在最值，则最 点.如函数(x)=|x|,在x=0处，左侧 大（小）值只能有一个.而极大（小）值可能 (x<0时)f(x)=一1<0，右侧(x>0时) 不止一个，也可能没有.如常函数没有 f(x)=1>0,x=0是f(x)的极小值点， 极值 但f(0)不存在， (3)函数的极值点不可能是区间的端点，而 2.求可导函数极值的步骤 最值点可以是区间的端点。 (1)求导数f(x). (4)若函数f(x)在区间I上只有一个极 (2)求方程f(x)=0的根. 值，且是极大（小）值，则这个极大（小）值就 是函数f(x)在区间I上的最大（小）值. (3)检查f(x)在方程根左右的值的符号 如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 2基础诊断 极大值：如果左负右正，那么f(x)在这个 1.(教材改编)如图所示的是f(x)的导函数 根处取得极小值. f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数 [注意]f(x)无意义的点也要讨论，即可先求 为 出f(x)=0的根和f(x)无意义的点，这些点都 称为可疑点，再用定义去判断 3.求函数最大（小）值的步骤 刘 一般地，求函数y=f(x)在区间[a,b]上的 A.1 .2 最大值与最小值的步骤如下： C.3 D.4 (1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的 2.(教材改编)函数y=xe的最小值是 极值。 A.-1 B.-e (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的 函数值f(a),f(b)比较得最值， C.-1 D.不存在 e 6 [每日格言]本来无望的事，大胆尝武，往往能成功。 高二数学（配RJA版） 3.(多选)已知函数f(.x)=(3.x-5)e,则下 4.设函数f(x)=rsin x十cosx一 ，则下列 列结论正确的是 为函数f(x)极大值点的是 ( A.函数f(x)在（号，+o∞上单调递减 B.5π 3 B函数)的极小值点为r=号 C.函数f(x)无极大值 c答 D.-音 D.函数f(x)在[0,1]上的最大值为-5 5.(2024·惠州调研)已知x=1是函数 f(x)=(x2+a.x)e的一个极值点，则曲线 4.当x=1时，函数f(x)=alnx+b取得最 y=f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为 大值一2，则f(2)的值为 3综合应用 6.(2024·天津质检)若函数()=3x+ 1.(多选)(2024·枣庄 (a一1)x2+x十1没有极值，则实数a的取 模拟)已知函数y= 值范围为 xf(x)的图象如图所 7.已知函数fx)=lnx+R. 示（其中(x)是函数 (1)讨论f(x)的极值； f(.x)的导函数)，下列说法正确的是 (2)若t>0,求f(x)在[e,e]上的最大 值g(t). A.函数f(x)在区间(1，+o∞)上是增函数 B.函数f(x)在区间（一1,1）上无单调性 C.函数f(x)在x=一 2处取得极大值 D.函数f(x)在x=1处取得极小值 2.下列关于函数(x)=的说法正确的是 A.f(x)没有最小值，有最大值 B.f(.x)有最小值，没有最大值 C.f(x)有最小值，也有最大值 D.f(x)没有最小值，也没有最大值 3.若函数f(x)=2r2-x十alnx有两个不 8.(2024·上海松江月考) O'E B 某地准备在山谷中建一 同的极值点，则实数a的取值范围为 座桥梁，桥址位置的竖 ( 直截面图如图所示：谷 A.(o,) B.(0,2） 底O在水平线MN上， M D0 F N 桥AB与MN平行， c(-∞，) OO为铅垂线(O在AB上).经测量，左侧 署假作业人生的价值，并不是用时间，面是用深度去衡量的。 [每日格言] 曲线AO上任一点D到MN的距离h 2.(2023·全国乙卷)函数f(.x)=x3十a.x+2 (米)与D到OO'的距离a(米)之间满足关 存在3个零点，则a的取值范围是( 系式A,=:右侧曲线B0上任一点F A.(-∞，-2) B.(-o∞，-3) C.(-4,-1) D.(-3,0) 到MN的距离h,(米)与F到OO'的距离b 3.(多选)(2022·新高考全国I卷)已知函数 (米)之间满足关系式h2=一 06+6.已 f(x)=x3-x十1，则 ( 知点B到OO'的距离为40米. A.f(x)有两个极值点 (1)求桥AB的长度： B.f(x)有三个零点 (2)计划在谷底两侧建造平行于OO的桥 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 墩CD和EF,且CE为80米，其中C,E在 D.直线y=2.x是曲线y=f(x)的切线 AB上（不包括端点）.桥墩EF每米造价k(万 4.(2022·新高考全国I卷改编)已知函数 元)，桥墩CD每米造价2k(万元)(k>0, f(x)=e一a.x和g(x)=ax-lnx有相同 的最小值.则实数a的值为 问OE为多少米时，桥墩CD与EF的总造价 最低？ 5易错警示 易错一 忽略函数的定义域致误 [示例1]函数f(x)=2.x2一lnx的极值 点为 1 1 A.02’-2 B2日 c D.- 2 [名师叮嘱] 研究函数，要坚持定义域优先的原 则，否则极易出错 易错二 误把导数为零作为函数取得极值 的充要条件 [示例2]已知函数f(x)=x3-3m.x2十 n.x十m2在x=一1处取得极值0，则m十n 的值为 4真题体验 [名师叮嘱]根据函数极值的定义可知，当可导 1.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x) 函数在某点取得极值时，了(x)=0一定成立，但当 了(x)=0时，函数不一定取得极值，如函数f(x)=x, =alnx十b+S(a≠O)既有极大值也有 x 其导数为f(x)=3x2,当x=0时，f(x)=0,但函 极小值，则 ( 数f(x)=x单调递增，无极值.所以y=f(x)在 A.bc0 B.ab0 点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取得极值 C.b2+8ac>0 D.ac<0 的必要不充分条件， 8[每日格言】凡事要三思，但比三思更通要的是三思而行。 高二数学（配RJA版） 当-<a<0时，}<-2， 3.解析f广r)=u-osox3r+3 sinro2rsin之 cosr 令f(x)>0,得<x<-2: a -a-cos'x+3sin't-a 3-2cos2r cos' cos'x 令f了(x)<0,得x<1或x>-2. 令cos2x=t,则1∈(0,1)， 故)的单调递增区间为（合，一2）小，单润递减区间为 则f(x)=g)=4-3-2_a2+21-3 12 当a=8时， (-0,)(-2,+0. f）=g0)=82+2-3_21-1D41+3) ③当a=-号时，f()<0, 当(0号)，即xe(年受)时f)<0, 故f(x)的单调递减区间为R,无单调递增区间. ①当a<-时，>-2 当e(21,即xe(0,开)时fx)>0. 令f)>0,得-2K<日： 所以f()在(0，）上单调递增，在（于，受）上单调 递减 令f(x)<0,得x>】或r<-2. 【易错警示】 [示例1][解析]函数f(x)=x2一2nx的定义城是 故)的单润递增区间为（一2，），单调递减区间为 0+o)=2r-是=2-1+D,◆ (-0,-2.(日+∞ <0,因为x>0,所以解得0<x<1,即函数f(x)=x2 2nx的单调递减区间是(0,1). 综上，当u<- 昌时，画量了)的单润送增区同为 [答案](0,1) (-2,日)，单洞通减区间为(-0，-2).（日+）： [示例2][解析]由已知，得了（)=2x+a字，若函 当a=一号时，函数fx)的单调适减区间为R,无单洞 数f(x)在[合十）上是增函数，则当x∈ 递增区间：当-合<a<0时，函数f)的单调递增区间为 (合，-2单调递减区间为(-0，).(-2十∞)：当 成立，即a≥（月-2x)设ux)=-2,则(x) a>0时，函数f(x)的单调递增区间为（一∞，一2）， 子-2<0即画数ux)在[十∞)上单词递减， (日，十o∞小，单调递减区间为(-2，） 所以当x= 时，函数ax)取得最大值u(），所 【真题体验】 以a≥ 5故实数a的取值范国是[，十∞) 3 1Cf)=ae->0对yrE1,2)恤成立 [答案] 1 [+) a rer' 作业（三）导数与函数的极值、最值 g)=已在1,2)单调送减gg1)-日 re 【基础诊断】 1.A 2.C3.BCD4.-2 2.解析由函数的解析式可得f(x)=alna十(1十a)r· 【综合应用】 ln(1十a)≥0在区间(0，十∞)上恒成立， 1,AD由函数y=xf(x)的图象知： 则(1+a)rln(1+a)≥-a'lna, 当x∈(-o,-1)时，由xf(x)<0,可得了(x)>0, f(x)单调递增： 即（估）广>≥n0在区间(0，十o)上板成立. 当x∈(-1,0)时，由x(x)>0,可得(x)<0,f(x) 单调递减： 故(）°-1>-n4a两a+1e12. In a 当x∈(0,1)时，由xf(x)<0,可得f(x)<0,f(x)单 故1na+a)>0,故aatl)≥-laa·即 调递诚. 0<a<1, 故当x∈(1，十∞)时，由xf(x)>0,可得(x)>0, f(x)单调递增. a(a十1)21·故5,1≤a<1,皓合题意可得实数a的 0<a<1, 2 故当x=一1时，f(x)取得极大值：当x=1时，f(x)取 得极小值，故选AD. 取值范周老[小批多案为[，月 2A为知画数)的定义城为R了)=器 答案 [2 ,当1时f>0.当>1时f0 47 署假作业如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。[每日格言] 所以f(x)在（一o∞，1）上单调递增，在(1，十∞)上单调 e2 递减，所以当x=1时，f(.x)取得极大值，也是最大值， 当e< 时，1+是<2+专即fe)fe),所以 e f(x)没有最小值.故选A. 3.A由题意得f(x)=工-1十g=-r十@=0有两个 gm=fe2)=2+: 不同的正实数根，即x2一x十a=0有两个不同的正实数 当、e2 当号<<e2时，l+>2+专即fe)≥fe2),所 4=1-4a>0, 根，所以国十=1>0，解得0<a<,故实数a的取 以g(u)=f(e)=1+ e x12=a>0, 当t>e2时，g(u)=f(e)=1+L 值范国为(0，) 4.D f(x)=sin r xcos r-sin x- 综上，g(1)= (osr-）)片 1+ e-1 8.解析(1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直，A, 令f(x)=0,得x=0或x=2kx±了，k∈Z B1,D1,F1是相应垂足.由条件知，当OB=40时， 当x(-）(-5o小.（子）时， BB=800×403+6X40=160,则AA:=160, fx)<0:当x(--)(0,晋（昏）时， 由0A=160,得0A=80. f(x)>0. 所以AB=OA+OB=80+40=120. 所以画数f(x)在（-否，-)(-吾0)： 所以桥AB的长度为120米. (2)以O为原点，MN所在直线为x轴，OO所在直线为 (受，)上单调递减：在（-要，-晋）(0，) y轴建立平面直角坐标系（如图所示）. (野，）上单调递增。 国此结合选项知x=一受是画数八)的极大值点。 5.解析由f(x)=(x2+a.x)e, 得(x)=(.x2+a.x+2.x+a)e, 因为x=1是函数f(x)=(x2十ax)e的一个极值点， 所以了0=(3+2ae=0,解释a=-号 MA D OFB N 所以了=(+日一号)e 设F(x,y2),x∈(0,40)，则y2= 800r+6r 故所求切线针率人=了0)=一是 EF=160-y2=160+800 x3-6.x 答案一昌 因为CE=80,所以OC=80-x. 6.解析易得(x)=x2+2(a一1)x+1. 设Dx-80n),则1=0(80-x, 因为函数f(x)没有极值，所以f(x)≥0恒成立，所以△ =4(a-1)2-4≤0，解得0≤a≤2. 所以CD=160-1=160-(80-x2=-02+4x 答案[0,2] 记桥墩CD和EF的总造价为f(x)万元， 解折0得了)=士点-品 则)=(160+0r-6x)+(-02+4) 当1≤0时，f广(x)>0,故f(x)在(0，十∞)上单调递增， 无极值： =k(2-2+1600<<40. 当1>0时，令(.x)=0,得x=t,所以当x∈(0，)时， 3k f(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(t,十o∞)时，f(.x)>0,f(.x)单调递增，所以f(x) 令f(x)=0.得x=20. 有极小值，为f(1)=lnt+1. 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表所示」 综上，当≤0时，f(x)无极值：当t>0时，f(x)有极小 值1nt+1. (0,20) 20 (20,40) (2)由(1)知，当t>0时，(x)在(0，t)上单调递减，在 f(z) 一 0 + (t,十∞)上单调递增， 所以当01<e时，g)=八e)=2+ f(.x) 单调 递减 校小值 单调 递增 当e<1<e2时，g(t)=max{f(e),f(e2)}, ◆o=2).围1+=2+台得1=二 所以，当x=20时，f(x)取得极小值，也是最小值. 故当OE为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低. 48 [每日格言]理想是人生道路上的航标灯，设有理想，你的道路将是一片黑暗。 高二数学（配RJA版） 【真题体验】 所以f(x)在x=lna处有最小值为f(lna)=a-alna, 1.BCD:f(x)=g-6-2=ar2-br-2c=0有两 国为g(x)在(0，)上小于0，在（日+∞）上大于0， 个正根x1,x2, m1+=2>013=二2>04=b+8ae>0, 所以gx)在(0，日)上单调递减，在（日，十∞）上单调 递增， ∴.ab>0,ac<0,则b<0,选BCD. 2.Bf(x)=x3+ax十2，则了(x)=3x2+a, 所以g)在x=处有最小值为g(日）=1+ln@, 若f(x)存在3个零点，则∫(x)存在极大值和极小值， 因为f(x)=er-ax和g(x)=a.x-lnx有相同的最 则a<0, 小值 令f()=32+a=0,解得r=√号我=√号 所以有na)=a-alna=g(日)=1+lna… 即a-alna=1+lna, 且当(-，写u(号+)时r>0 因为。>0，所以上式等价于na8号0， 当（）时<0 令A)=ar->0… 故)的板大值为（写）板小值为（居）， 则h'(x)= x+1D>0恤成立，所以h(x)在(0，+o0) .x2+1 上单调递增， (号)>. 又因为h(1)=0=h(a)且a>0,所以a=1. 若f(x)存在3个零点，则 答案1 (号)<， 【易错警示】 [示例1]Cf(x)的定义战为(0，十∞)，f(x)=4.x 层-层+2>0 即〈 解得a<-3, 子令了)=0，易得x=2故选C +a号+2<o… [示例2][解析]广(x)=3x2-6m.x十n. 根据题意，f(-1)=3十6m十n=0, 故选B f(-1)=-1-3m-n+m2=0, 3.AC因为f(x)=x3-x+1,所以f(x)=3.x2-1,令 f)=3x2-1=0,得x=士由了x)=3x2-1>0 n=3, n=3 (x)=3x2+6.r+3=3(x+1)2≥0，f(x)在R上单调 得>我K-由f0=8r-10得-< 递增，无极值点，故舍去.当m。一2·时，()=3x2十 1n=9 <所以f(x)=2-上+1在（停，+∞小： 12x十9=3(x十1)(x十3).当x∈(-0∞，-3)和 r∈(-1，+o∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增：当 (-,一）上单润递增，在(-，号）上单润递减， x∈(-3，一1)时，f(x)<0,f(x)单调递减，故f(x)在 x一一1处有极小值，满足条件， 所以f(x)有两个极值点，故A正确. 综上，m十n=-2+9=7. [答案]7 因为f)的机小值f(）-(停） 3 3 +1=1-2 9 作业（四）两个计数原理排列与组合 >0,f(-2)=(-2)3-(-2)+1=一5<0，所以函数 f(x)在R上有且只有一个零点，故B错误. 【基础诊断】 因为函数g(x)=x3一x的图象向上平移一个单位长度 1.BCD2.B3.B4.30 得函数∫(x)=x3一x十1的图象，函数g(x)=x3-x的 【综合应用】 图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)=0,所以点(0,1) 1.B①若文艺表演有2人，则有A=6种：②若文艺表 是曲线f(x)=x3一x十1的对称中心，故C正确. 演有1人，则其他某项活动有2人，共C·C·C保·A号 假设直线y=2x是曲线y=∫(x)的切线，切点为(x0, =72种，综上，不同的安排方案有78种. yo),则f(xa)=3.x号-1=2，解得x0=士1.若x0=1,则 2.ACD对于A,共有A=60种不同的坐法，故A正确. 切点坐标为(1,1)，但点(1,1)不在直线y=2x上，若 对于B,先排3个人，有A种排法，然后将2个空位插 x0=一1，则切点坐标为（一1,1），但点(-1,1)不在直线 在3个人形成的4个空中，有C号种插法，所以空位不相 y=2x上，所以假设不成立，故D错误.故选AC 邻的坐法有AC号=36（种），故B错误.对于C,将2个 空位看成一个整体，与3人进行全排列，所以空位相邻 4.解析了(x=e一a,g(x)=a- 的坐法有A=24(种)，故C正确.对于D,先从3人中 ①a≤0时，了(x)>0恒成立，所以f(x)在R上单调递 选2人坐在两端，然后第3个人在中间的3个空位中任 增，即f(x)没有最小值，该类情况应舍去 选一个，所以两端不是空位的坐法有AC=18(种)，故 ②a>0时，f(x)在(-∞，lna)上小于0，在(lna, D正确.故选ACD. +∞)上大于0， 3.A按要求，3个地方的花灯的数量分布应该是1,1,3 所以f(x)在（一o∞，lna)上单调递减，在(lna,十o∞）上 或者1,2,2两种情况，第一种情况1,1,3，若两个1均为 单调递增， 人物灯，则有A种方法，若两个1只有一个为人物灯， 49