第11讲 圆心角（1个知识点+4种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第11讲 圆心角 （1个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 【例1】（2023秋•慈溪市期末）如图，在中，，劣弧的度数是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•拱墅区月考）如图，，是的两条弦，它们相交于点，连接、，已知，，那么的长为　　 A．4 B．5 C．6 D．8 【变式2】（2023•路桥区校级二模）如图，弧所对圆心角，半径为8，点是中点，点弧上一点，绕点逆时针旋转得到，则的最小值是 　　． 【变式3】（2023秋•上城区校级月考）如图，为的直径，为的弦，为优弧的中点，，垂足为．若，，则的半径为 　　． 【变式4】（2023秋•拱墅区期末）如图，在中，为半径上一点．过作弦，交于，两点．连接并延长，交于点，连接交于点．已知． （1）求证：； （2）探究线段，长度之间的数量关系，并证明． 经典题型汇编 题型一、利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．（23-24九年级上·浙江丽水·期中）如图，若圆心角，则的度数是 度． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，则下列结果中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．    (1)若的度数为，求的度数． (2)求证：． (3)连接，若，，求的长． 题型二、利用弧、弦、圆心角的关系求证 4．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，是同圆的两段弧，且，则弦与之间的数量关系为 ．（填“>”，“=”，“<”） 6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，点C，D是上的两点，且，求证：． 题型三、圆心角概念辨析 7．（21-22九年级上·全国·课后作业）下图中是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 8．（九年级上·浙江台州·阶段练习）在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为 ． 题型四、求圆弧的度数 9．（2020九年级·浙江·专题练习）下列命题：①同圆中等弧对等弦；②垂直于弦的直径平分这条弦；③平分弦的直径垂直于这条弦；④相等的圆心角所对的弧相等．其中是真命题的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 10．（浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，分别交、于点E、F，则弧的度数为 °． 11．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知的半径长为，、是的两条弦，且，的延长线交于点，连结，．    (1)求证：． (2)当时，求的度数． (3)当是直角三角形时，求、两点之间的距离． 试题练习 一、单选题 1．（2022九年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角 B．圆心角α的取值范围是 C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 D．圆心角就是在圆心的角 2．（23-24九年级上·浙江金华·期中）下列命题正确的是(   ) A．等弧所对的圆心角相等 B．平分弦的直径平分弦所对的弧 C．三点确定一个圆 D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．若，求的长为（    ） A． B．1 C． D． 4．（九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则劣弧AB的度数是（　　） A．45° B．60° C．72° D．90° 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列有关圆的一些结论，其中正确的是（　　） A．任意三点可以确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．圆内接四边形对角互补 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，延长交于点．若，，则的直径长为（　　） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，C是以为直径的半圆O上一点，连接，，分别以，为直径向外作半圆，，的中点分别为D，E，连接，，若要求出的长，只需知道（    ）    A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，的直径为10，则长为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．（20-21九年级上·浙江杭州·期中）如图，为圆O的直径，A为的中点，若，，则圆O的直径为（    ） A．10 B．14 C．15 D．16 10．（·浙江衢州·一模）如图，、是的两条弦，且．，，垂足分别为点、，、的延长线交于点，连接．下列结论正确的个数是（  ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，正内接于，的半径为10，则的弧长为 ． 12．（19-20九年级上·浙江杭州·期末）下列四个命题中，①三点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③弦长相等，则弦所对的弦心距也相等；④相等的弧所对的圆心角相等，正确的有 （填序号）． 13．（22-23九年级上·浙江丽水·期中）若一个圆的半径是6cm，则90度的圆心角所对的弦的长度为 ． 14．（19-20九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，正方形ABCD中，AB=5cm，以B为圆心，2cm长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为 cm． 15．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，其中AB是直径，点C是弧DB的中点，若∠C＝110°，则∠ABC的度数= ． 16．（21-22七年级下·浙江舟山·期末）公元前240年前后，在希腊的亚历山大城图书馆当馆长的埃拉托色尼通过测得有关数据，求得了地球圆周的长度，他是如何测量的呢？如图所示，由于太阳距离地球很远，太阳射来的光线可以看作平行线，在同时刻，光线与A城和地心的连线所夹的锐角记为∠1，光线与B城和地心的连线重合，通过测量A，B两城间的路程（即弧AB）和∠1的度数，利用圆的有关知识，地球圆周的长度就可以大致算出来了．已知弧AB的长度约为800km，若∠1≈7.2°，则地球的周长约为 km． 三、解答题 17．（九年级上·浙江杭州·期中）如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB． 求证：． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，求证： (1)； (2)． 19．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A，B，C在上，顺次连结，，，且，， (1)求的度数； (2)若的半径为3．求的面积． 20．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的三等分点，连结分别交于点．    (1)求出的度数； (2)求证：． 21．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，A，B，C是上三点，且，过点B作于点D． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 22．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为点E．连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径及的长． 23．（20-21九年级上·浙江·期中）如图所示，以O为圆心的两个同心圆，小圆半径为1，大圆半径为，用6条直径将两个圆12等分，点A在大圆等分点上，点B在小圆等分点上，且． （1）将绕点O顺时针旋转得，请在图甲中画出． （2）将绕点O顺时针旋转得，使边第一次经过点B，请在图乙中画出． 24．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）（1）如图，为的弦，已知的半径是，，求到的距离； （2）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） 任务：如图，为的弦，画一条与长度相等的弦； 任务：如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径； 请你选择其中一个任务，完成作图． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 圆心角 （1个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 【例1】（2023秋•慈溪市期末）如图，在中，，劣弧的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】连接，求出，可得结论． 【解答】解：连接． ， ， ， 的度数为． 故选：． 【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题． 【变式1】（2023秋•拱墅区月考）如图，，是的两条弦，它们相交于点，连接、，已知，，那么的长为　　 A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】根据圆周角定理，可证，又由，可证，即得，可证，得到，代值计算即可求的长． 【解答】解：连接， 由圆周角定理知，， ， ， ， ， ， 得， 把，代入得，， 解得，． 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 【变式2】（2023•路桥区校级二模）如图，弧所对圆心角，半径为8，点是中点，点弧上一点，绕点逆时针旋转得到，则的最小值是 　．　． 【分析】如图，连接，以为边向下作正方形，连接，．利用勾股定理求出，再证明，推出，由，可得结论． 【解答】解：如图，连，以为边向下作正方形，连，． ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【变式3】（2023秋•上城区校级月考）如图，为的直径，为的弦，为优弧的中点，，垂足为．若，，则的半径为 　5　． 【分析】如图，连接，延长交于点．设的半径为．证明，推出，在中，根据，构建方程求解． 【解答】解：如图，连接，延长交于点．设的半径为． ， ， ， ，，， ， ， 在中，， ， ， 的半径为5． 故答案为：5． 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的格线，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式4】（2023秋•拱墅区期末）如图，在中，为半径上一点．过作弦，交于，两点．连接并延长，交于点，连接交于点．已知． （1）求证：； （2）探究线段，长度之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）连接，根据垂径定理得，再根据，得，，所以，，即可得出结论； （2）连接，根据圆周角定理得，所以，所以，，根据直角三角形的性质得，所以． 【解答】证明：（1）如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理、垂径定理、含直角三角形的性质，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． 经典题型汇编 题型一、利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．（23-24九年级上·浙江丽水·期中）如图，若圆心角，则的度数是 度． 【答案】 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系知识点．根据弧与圆心角的关系即可得到答案． 【详解】解：因为弧的度数和它所对的圆心角的度数相等，且， 所以的度数为． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，则下列结果中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题了考查圆的有关概念及性质，要判断、选项，根据在同圆或等圆中：圆心角相等；所对的弧相等；所对的弦相等；三项“知一推二”进行判断；要判断选项，可利用垂径定理及全等三角形的性质判断；要判断选项，可根据等弧所对应的圆心角相等判断，理解同圆中圆心角、弧和弦之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意在中，，，， ∴根据在同圆或等圆中：圆心角相等；所对的弧相等；所对的弦相等；三项“知一推二”可得：，，， ∴、、正确，错误， 故选：． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．    (1)若的度数为，求的度数． (2)求证：． (3)连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了圆心角、弦、弧之间的关系，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，根据弧的度数求出，再利用等边对等角结合三角形内角和定理即可得出的度数； （2）利用平行线的性质可得，，结合从而得出，即可得证； （3）连接，交于点，先根据勾股定理得出，再利用勾股定理求出，最后再利用勾股定理进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：连接，   ， 的度数为， ， ， ； （2）证明：， ，， 又∵， ， ； （3）解：连接，交于点，   ， 弦是直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 题型二、利用弧、弦、圆心角的关系求证 4．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解． 【详解】解：A、当时，可能大于，故本选项不符合题意； B、当时，可能大于，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项符合题意； D、当时，不一定等于，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，是同圆的两段弧，且，则弦与之间的数量关系为 ．（填“>”，“=”，“<”） 【答案】< 【分析】本题主要考查了圆弧与弦的关系，三角形三边的关系．熟练掌握同圆中等弧对等弦，三角形任意两边的和大于第三边，是解决问题的关键． 画图，取的中点E，连接，，根据，，得到，得到，根据，即得． 【详解】如图，取的中点E，连接，， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：<． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，点C，D是上的两点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键． 先根据得出，再由平行线的性质得出，故可得出，据此即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型三、圆心角概念辨析 7．（21-22九年级上·全国·课后作业）下图中是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB, 称为弧AB所对的圆心角进行判断. 【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意； B、不是圆心角，故不符合题意； C、是圆心角，故符合题意； D、不是圆心角，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键． 8．（九年级上·浙江台州·阶段练习）在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：如图，连接、，    ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆心角、等边三角形的判定与性质，熟知是圆心角是解答的关键． 题型四、求圆弧的度数 9．（2020九年级·浙江·专题练习）下列命题：①同圆中等弧对等弦；②垂直于弦的直径平分这条弦；③平分弦的直径垂直于这条弦；④相等的圆心角所对的弧相等．其中是真命题的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据垂径定理、圆心角定理逐个判断即可． 【详解】同圆中等弧对等弦，则命题①是真命题 垂直于弦的直径平分这条弦，则命题②是真命题 平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，则命题③是假命题 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，则命题④是假命题 综上，是真命题的有①② 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角定理，熟记圆中的相关定理是解题关键． 10．（浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，分别交、于点E、F，则弧的度数为 °． 【答案】70 【分析】连接OF，求出∠C和∠CFO度数，求出∠COF，即可求出弧CF度数． 【详解】 解：如图，连接OF， ∵∠A＝70°，∠B＝55°， ∴∠C＝180°−∠A−∠B＝55°， ∵OC＝OF， ∴∠CFO＝∠C＝55°， ∴∠COF＝180°−∠C−∠CFO ＝70°， ∴弧CF的度数是70°． 故答案为：70． 【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系，掌握弧的度数等于它所对的圆心角的度数是解题的关键． 11．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知的半径长为，、是的两条弦，且，的延长线交于点，连结，．    (1)求证：． (2)当时，求的度数． (3)当是直角三角形时，求、两点之间的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据圆的性质可得，根据即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质和等边对等角可得，得到，由可推出，根据三角形的内角和定理可得，，由“弧的度数等于它所对圆心角的度数”可得结论； （3）分两种情况：①当时；②当时进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵的半径长为， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴的度数； （3）①如图，当时， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴；    ②如图，当时， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴； 综上所述，、两点之间的距离或．    【点睛】本题考查圆的基本性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形，勾股定理，弧的度数等于它所对圆心角的度数等知识，运用了分类讨论的思想．解题的关键是发现并证明三角形全等，掌握直角三角形的性质和理解“弧的度数等于它所对圆心角的度数”． 试题练习 一、单选题 1．（2022九年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角 B．圆心角α的取值范围是 C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 D．圆心角就是在圆心的角 【答案】C 【分析】由圆心角的定义：圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，即可求得答案． 【详解】解：∵圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角， ∴A、D错误，C正确； ∵圆心角α的取值范围是， ∴B错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了圆心角的定义，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义． 2．（23-24九年级上·浙江金华·期中）下列命题正确的是(   ) A．等弧所对的圆心角相等 B．平分弦的直径平分弦所对的弧 C．三点确定一个圆 D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理知识，圆心角，弦，弧的关系，垂径定理，圆的定义．根据题意及圆周角定理，弧，弦，圆心角的关系定理，圆的确定条件等对选项逐个进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角和圆周角相等，故A选项正确； ∵平分弦（不是直径）的直径平分线弦，并且平分弦所对的两条弧，故B选项不正确； ∵不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，故C选项不正确； ∵再同圆或等圆中，相等的弦所对的弧可以为优弧也可为劣弧，故D选项中说相等所以不对， 故选：A． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．若，求的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，弧，弦，圆心角定理，以及勾股定理．连接，由垂径定理、等弦得到等弧，根据同圆中弧与圆心角的关系可求出，，通过含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接， 又， 即， ， ， ∴，， ∴，，， ∵，即， 解得， ∴， 故选：C． 4．（九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则劣弧AB的度数是（　　） A．45° B．60° C．72° D．90° 【答案】C 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：求解． 【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴五边形ABCDE的中心角∠AOB的度数为72°， ∴劣弧AB的度数是72°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列有关圆的一些结论，其中正确的是（　　） A．任意三点可以确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．圆内接四边形对角互补 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，圆内接四边形的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键．根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结论． 【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意； C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不符合题意； D、圆内接四边形对角互补，故本选项符合题意． 故选：D． 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，延长交于点．若，，则的直径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，首先证明，设,在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题 【详解】解：如图，连接． ， ，， 点D是弧的中点， ， ， ， ， 设, 在中，则有， 解得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 7．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，C是以为直径的半圆O上一点，连接，，分别以，为直径向外作半圆，，的中点分别为D，E，连接，，若要求出的长，只需知道（    ）    A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】C 【分析】记交于，连接交于，连接、、，根据垂直平分线的判定，弧、弦之间的关系，证明垂直平分，垂直平分，推出和是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，证明点C、D、E在同一直线上，证明是等腰直角三角形，推出，即可选择答案． 【详解】解：如图，记交于，连接交于，连接、、，    ∵C是以为直径的半圆O上一点， ∴，， ∴点在的垂直平分线上，也在垂直平分线上， ∵，的中点分别为D，E， ∴，， ∴，， ∴点D在的垂直平分线上，点E在垂直平分线上， ∴垂直平分，垂直平分， ∴点和点分别是和的中点，即点和点分别是以，为直径向外所作半圆的圆心， ∴，， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∴，即点C、D、E在同一直线上， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴若要求出的长，只需知道的长即可， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧、弦之间的关系，垂直平分线的判定，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，的直径为10，则长为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理；根据垂径定理求出，得到，证明，可得，利用勾股定理求出的长，再求出长，即可得到答案． 【详解】解：连接，如图： ，是的直径， ，， 为的中点， ， ， ， 的直径为10， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故选：C． 9．（20-21九年级上·浙江杭州·期中）如图，为圆O的直径，A为的中点，若，，则圆O的直径为（    ） A．10 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】连接，首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． 为的中点，，， ，， 设，则， 在中，则有，即， 解得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，能根据勾股定理列出方程是解答此题的关键． 10．（·浙江衢州·一模）如图，、是的两条弦，且．，，垂足分别为点、，、的延长线交于点，连接．下列结论正确的个数是（  ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题． 【详解】解：如图连接OB、OD； ∵AB=CD， ∴，故①正确 ∵OM⊥AB，ON⊥CD， ∴AM=MB，CN=ND， ∴BM=DN， ∵OB=OD， ∴Rt△OMB≌Rt△OND， ∴OM=ON，故②正确， ∵OP=OP， ∴Rt△OPM≌Rt△OPN， ∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确， ∵AM=CN， ∴PA=PC，故③正确， 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题 11．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，正内接于，的半径为10，则的弧长为 ． 【答案】/ 【分析】同圆或等圆中，两弦相等，所对的优弧或劣弧也对应相等，据此求解即可． 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长等于周长的三分之一， ∵的半径为， ∴的周长， ∴的长等于， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆中弧与弦之间的关系，熟练掌握相关概念是解题关键． 12．（19-20九年级上·浙江杭州·期末）下列四个命题中，①三点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③弦长相等，则弦所对的弦心距也相等；④相等的弧所对的圆心角相等，正确的有 （填序号）． 【答案】④ 【分析】根据圆的概念、垂径定理、弦心距、圆心角定理逐个判断即可． 【详解】不在同一条直线上的三点确定一个圆，则命题①错误 平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，则命题②错误 在同圆或等圆中，弦长相等，则弦所对的弦心距也相等，命题③错误 由圆心角定理得：相等的弧所对的圆心角相等，则命题④正确 综上，正确的命题是④ 故答案为：④． 【点睛】本题考查了圆的概念、垂径定理、弦心距、圆心角定理，熟记圆的相关概念和定理是解题关键． 13．（22-23九年级上·浙江丽水·期中）若一个圆的半径是6cm，则90度的圆心角所对的弦的长度为 ． 【答案】 【分析】根据题意得到等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如下图， 圆心角， 是等腰直角三角形，， 又 ， 作， ， ， ， 弧所对的弦长， 故答案为： 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理、等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键运用勾股定理求出的长度． 14．（19-20九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，正方形ABCD中，AB=5cm，以B为圆心，2cm长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为 cm． 【答案】 【分析】连接BP、DP′、BD，根据题意易得点P′的运动轨迹是以D为圆心，2cm长为半径的圆，进而可知当点B、D、P′三点共线时，BP′长度的为最小，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接BP、DP′、BD，如图所示： 四边形ABCD是正方形，AB=5cm， AB=AD=5cm，∠DAB=90°， ， 将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′， AP= AP′，∠P′AP=90°， ∠DAP为∠P′AP与∠DAB的公共角， ∠P′AD=∠PAB， △P′AD≌△PAB， PB=2cm， DP′=2cm， 点P′的运动轨迹是以D为圆心，2cm长为半径的圆，如图所示： 当点B、D、P′三点共线时，BP′长度的为最小， ； 故答案为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及圆的基本性质，关键是利用正方形的性质得到动点的运动轨迹，然后利用圆的最短路径问题求解即可． 15．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，其中AB是直径，点C是弧DB的中点，若∠C＝110°，则∠ABC的度数= ． 【答案】55°/55度 【分析】连接OC，根据C是弧DB的中点，∠DCB＝110°，得出∠OCB的度数，然后证明OC和OB相等，即可使用等边对等角求出∠ABC的度数． 【详解】连接OC， ∵C是弧DB的中点，∠DCB＝110°， ∴∠DCO=∠BCO=110°÷2=55°， ∵AB是圆的直径，O是圆心， ∴OC=OB， ∴∠ABC=∠OCB=55°， 故答案为55°． 【点睛】本题考查了与圆有关的性质、等腰三角形相关的性质，正确作出辅助线并使用该性质进行证明是解决本题的关键． 16．（21-22七年级下·浙江舟山·期末）公元前240年前后，在希腊的亚历山大城图书馆当馆长的埃拉托色尼通过测得有关数据，求得了地球圆周的长度，他是如何测量的呢？如图所示，由于太阳距离地球很远，太阳射来的光线可以看作平行线，在同时刻，光线与A城和地心的连线所夹的锐角记为∠1，光线与B城和地心的连线重合，通过测量A，B两城间的路程（即弧AB）和∠1的度数，利用圆的有关知识，地球圆周的长度就可以大致算出来了．已知弧AB的长度约为800km，若∠1≈7.2°，则地球的周长约为 km． 【答案】40000 【分析】先根据平行线的性质求得∠POQ的度数，从而确定一个周角有多少个这样的角，再结合弧AB的长即可求得答案． 【详解】 ， 地球的周长约为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，圆心角的涵义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题 17．（九年级上·浙江杭州·期中）如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB． 求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据平行线的性质得出，再根据垂线平分线的定义与性质得出，然后根据等边三角形的判定与性质得出，从而可得，最后根据圆心角定理即可得证． 【详解】如图，连接OE、CE ∵ ∴ 又∵D是OC中点 ∴DE是OC的垂直平分线 ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了圆心角定理、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，根据圆心角定理，将所要证问题转化为证明相应的圆心角之间的等量关系是解题关键． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，解答本题用到的知识点为：同弧所对的圆心角相等，等腰三角形两底角相等等． （1）由，可知，得到； （2）根据圆心角、弧、弦的关系由，得到，然后利用等腰三角形底角相等即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ； （2）证明：， ， 又， ， 即． 19．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A，B，C在上，顺次连结，，，且，， (1)求的度数； (2)若的半径为3．求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系，垂径定理以及勾股定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据即可求解； （2）求出的度数可得，过点作交于点连接，分别求出即可求解． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， 如图，过点作交于点连接， 则过， 由（1）可得． ∴， ∵的半径为3， ∴， ∴， ∴ 20．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的三等分点，连结分别交于点．    (1)求出的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是： （1）连接，，根据圆心角、弧、弦的关系求出，得到，即可求解； （2）根据三角形内角和求出，得到，同理得到，根据得到，继而可得结果． 【详解】（1）解：证明：连接，，如图，    ∵在中，半径，C、D为以O为圆心的弧的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴，同理， ∵C，D是的三等分点， ∴， ∴． 21．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，A，B，C是上三点，且，过点B作于点D． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，勾股定理； （1）如图，延长交于，根据垂径定理得到，，求得，则，于是得到结论； （2）如图，连接，设的半径为，在中根据勾股定理列方程得到． 【详解】（1）证明：如图，延长交于，    ， ，， ， ， ， ； （2）如图，连接， 设的半径为， ，， ，， 在中，， 解得：． 即的半径为2． 22．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为点E．连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径及的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用已知条件和垂径定理证明，然后根据证明，然后利用全等三角形的性质即可解答； （2）如图：连接，设的半径为r,由，列出关于r方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵点C为的中点， ∴， ∵是的直径且， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴； （2）解：如图:连接，设的半径为r, 在中，，即， 在中，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定、勾股定理等知识点，正确作出辅助线以及掌握数形结合思想是解题的关键． 23．（20-21九年级上·浙江·期中）如图所示，以O为圆心的两个同心圆，小圆半径为1，大圆半径为，用6条直径将两个圆12等分，点A在大圆等分点上，点B在小圆等分点上，且． （1）将绕点O顺时针旋转得，请在图甲中画出． （2）将绕点O顺时针旋转得，使边第一次经过点B，请在图乙中画出． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由于圆被12等分，可得每小格为30°，则120°为4小格，据此画图即可； （2）计算出AB=2，根据经过点B，可知点B为A2B2中点，从而得到旋转角，画出图形即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求． （2）AB=， 如图所示，即为所求． 【点睛】本题考查了旋转作图，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质，根据题意确定旋转角． 24．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）（1）如图，为的弦，已知的半径是，，求到的距离； （2）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） 任务：如图，为的弦，画一条与长度相等的弦； 任务：如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径； 请你选择其中一个任务，完成作图． 【答案】（1）；（2）解析． 【分析】（1）根据垂径定理得，再根据勾股定理即可得解； （2）任务：分别过、作直径和，连接，由得； 任务：连接，，，交于点，作射线交于点，由得，从而得是半圆，则为直径． 【详解】解：（）过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， 解得，即到的距离为； （2）选择任务1：如下图，， 选择任务：如图，如下图为直径．    【点睛】本题主要考查了无刻度直尺作图，圆心角与弦弧的关系，全等三角形的判定及性质，勾股定理及垂径定理，熟练掌握无刻度直尺作图，圆心角与弦弧的关系，全等三角形的判定及性质，勾股定理及垂径定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$