专题4.11 相似三角形的性质（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.11 相似三角形的性质（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 【知识点二】相似三角形的性质定理 相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比 相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方 【知识点三】知识架构图周长之比等于相似比 相似三角形的性质 对应角相等、对应边成比例 面积之比等于相似比的平方 对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比． 相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长、面积等。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用相似三角形的性质解决对应线段及周长和面积问题 【例1】（22-23九年级下·河北承德·阶段练习）如图，中，为中点，连接交对角线于．     （1）求与的面积比； （2）若的周长为，求的周长． 【变式1】若与相似且对应中线之比为，则周长之比和面积比分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，点、分别在边、上，如果，，那么与四边形的面积之比是 ． 【题型2】利用相似三角形的性质求函数关系式 【例2】（23-24九年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，∠，点D是边上一动点，过点D作于点E，于点F， ， ． （1）设， ，请确定与的关系式（用表示），并直接写出四边形DECF的面积； （2）当时，求的长度． 【变式1】（20-21八年级下·吉林长春·阶段练习）如图△ABC中，AC＝4，AB＝5，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED＝∠C，设AD＝x，AE＝y，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝x（0≤x≤4） B．y＝x（0＜x≤4） C．y＝x（0≤x≤4） D．y＝x（0＜x≤4） 【变式2】（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴正半轴上一点，点为第一象限内一点，若，则与之间的关系式为 ．    【题型3】利用相似三角形的性质与判定证明与求比值 【例3】（2024·浙江温州·三模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，连接．点是延长线上的一点，连接，若平分． （1）求证：． （2）当时，求的值． 【变式1】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【题型4】利用相似三角形的性质与判定证明与线段或角度 【例4】（23-24八年级下·江苏苏州·期末）在菱形中，点E为线段延长线上的一点，连接，交对角线于点F，交边于点G，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【变式1】（23-24八年级下·重庆·期末）如图，在中，D、E分别是边上的中点，延长至F，使，连接．若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，点在线段上，是等边三角形，当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型5】利用相似三角形的性质与判定证明等积性或比例式 【例5】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在四边形中，，，O是的中点，的延长线交于点E，． (1) 求证：； (2) 若，求证：． 【变式1】（23-24八年级下·上海·期末）如图：已知在中，是边上一点，连结、，延长、相交于点， （1）求证：； （2）求证：． 【变式2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，点在边上移动（点不与点，重合），满足，且点，分别在边，上． （1）求证：； （2）当点移动到的中点时，求证：平分． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ． 【例2】（2024·四川甘孜·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． （1）求证：； （2）若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 2、拓展延伸 【例1】（2024·安徽蚌埠·三模）如图，矩形中，为对角线，将以点为中心逆时针旋转，点的对应点在边上，点的对应点为点，连接交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：为的中点； （3）若，求矩形的周长． 【例2】（23-24八年级下·上海杨浦·期末）已知在矩形中，，，点是边上的动点，连接．线段绕点顺时针旋转，点落在点处． （1）如图1，当时，求的面积； （2）设，，求关于的函数关系式和定义域； （3）作的平分线与边所在直线交于点，如果，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.11 相似三角形的性质（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 【知识点二】相似三角形的性质定理 相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比 相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方 【知识点三】知识架构图周长之比等于相似比 相似三角形的性质 对应角相等、对应边成比例 面积之比等于相似比的平方 对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比． 相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长、面积等。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用相似三角形的性质解决对应线段及周长和面积问题 【例1】（22-23九年级下·河北承德·阶段练习）如图，中，为中点，连接交对角线于．     （1）求与的面积比； （2）若的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，，根据为中点，可得，根据相似三角形的判定和性质可得； （2）根据相似三角形的性质可得，即可求得． 解：（1）∵四边形为平行四边形， ∴ ∴，，， 又∵为中点 ∴ ∴ ∴． （2）∵，且 ∴ ∵的周长为 ∴的周长为． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据相似三角形的相似比得到面积比和周长比． 【变式1】若与相似且对应中线之比为，则周长之比和面积比分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可． 解：与相似，且对应中线之比为， 其相似比为， 与周长之比为， 与面积比为， 故选：B. 【点拨】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，相似三角形面积比是相似比的平方是解答此题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，点、分别在边、上，如果，，那么与四边形的面积之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是本题的解题关键． 利用平行判定，然后利用相似三角形的性质求得，从而求解． 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【题型2】利用相似三角形的性质求函数关系式 【例2】（23-24九年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，∠，点D是边上一动点，过点D作于点E，于点F， ， ． （1）设， ，请确定与的关系式（用表示），并直接写出四边形DECF的面积； （2）当时，求的长度． 【答案】(1)，；(2)9． 【分析】（1）证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求出与的关系式； （2）把代入中求出，然后利用勾股定理分别求出和的长即可求解． 解：（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 四边形的面积为 （2）当时 把代入中 得 ∴ 在中 同理： ∴ 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，余角的性质，勾股定理，求函数解析式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【变式1】（20-21八年级下·吉林长春·阶段练习）如图△ABC中，AC＝4，AB＝5，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED＝∠C，设AD＝x，AE＝y，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝x（0≤x≤4） B．y＝x（0＜x≤4） C．y＝x（0≤x≤4） D．y＝x（0＜x≤4） 【答案】D 【分析】根据两角对应相等，两个三角形相似，易证出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论． 解：∵∠AED＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝， ∵AC＝4，AB＝5，AD＝x，AE＝y， ∴＝， ∴y＝x， ∵0＜CD≤4， ∴y＝x（0＜x≤4）． 故选：D． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键 【变式2】（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴正半轴上一点，点为第一象限内一点，若，则与之间的关系式为 ．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形性质．作轴于点，可得，所以，即，即可得出答案． 解：如图，作轴于点，    ， ， ， ， ， ， ， ， ， 与之间的关系式为． 故答案为：． 【题型3】利用相似三角形的性质与判定证明与求比值 【例3】（2024·浙江温州·三模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，连接．点是延长线上的一点，连接，若平分． （1）求证：． （2）当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得：，由等边对等角得出，从而得出，再由角平分线的定义得出，即可证明； （2）由题意得出，由相似三角形的性质得出，从而即可得解． 解：（1）证明：由题意得：， ， ， 平分， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【变式1】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形． 先根据平行四边形的性质得到，则可判断，，于是根据相似三角形的性质和即可得结果． 解：∵四边形为平行四边形， ， ， ∴ ， ∴， ， ， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，求出，然后通过，进一步求出即可． 解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 故 选：B． 【题型4】利用相似三角形的性质与判定证明与线段或角度 【例4】（23-24八年级下·江苏苏州·期末）在菱形中，点E为线段延长线上的一点，连接，交对角线于点F，交边于点G，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）由菱形的性质得到，，然后结合，即可证明，进而得到； （2）先由菱形得到，，从而得到，再结合，得到，证明得到，代入数据，计算即可得到结论． 解：（1）证明：四边形是菱形， ，． ， ， ； （2）证明：四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 解得． 【变式1】（23-24八年级下·重庆·期末）如图，在中，D、E分别是边上的中点，延长至F，使，连接．若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，先由三角形中位线定理得到，则可得，再证明推出，则由线段中点的定义可得． 解：∵D、E分别是边上的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴或（舍去）， ∴， 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，点在线段上，是等边三角形，当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，由等边三角形的性质可得，，证明得到，由三角形外角的定义及性质可得，从而得到，即可得到答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 解：是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【题型5】利用相似三角形的性质与判定证明等积性或比例式 【例5】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在四边形中，，，O是的中点，的延长线交于点E，． (1) 求证：； (2) 若，求证：． 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，根据直角三角形斜边上的中线性质求出是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质求出，等量代换得出，结合平行线的性质求出，根据等腰三角形的判定即可得解； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，根据相似三角形的性质即可得解． 解：（1）证明：∵是的中点， ， ， 又， ， ， ， ， ； （2）如图，连接， ∵是的中点， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ∵是的中点， ， ， ． 【变式1】（23-24八年级下·上海·期末）如图：已知在中，是边上一点，连结、，延长、相交于点， （1）求证：； （2）求证：． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的判定定理是本题的关键． （1）通过证明，可得结论； （2）通过证明，可得，可得结论． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，点在边上移动（点不与点，重合），满足，且点，分别在边，上． （1）求证：； （2）当点移动到的中点时，求证：平分． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和和平角的定义得到，于是得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 解：（1）证明：， ， ， ， ， ， ； ∴； （2）证明：， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， 平分． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到，，再证明，进而可证明，由相似三角形的性质可得，即． 解：∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【例2】（2024·四川甘孜·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． （1）求证：； （2）若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由余角的性质可得，，根据，可得； （2）①设，可求，可求，根据等腰三角形的判定可得； ②由勾股定理可求，由“”可证，可得，通过证明，可得，即可求解． （1）证明：， ， ，， ， ； （2）解：①，理由如下： 设， ， ， ， ， ， ； ②，， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ． 2、拓展延伸 【例1】（2024·安徽蚌埠·三模）如图，矩形中，为对角线，将以点为中心逆时针旋转，点的对应点在边上，点的对应点为点，连接交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：为的中点； （3）若，求矩形的周长． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)． 【分析】（）根据矩形的性质可得，进而由旋转的性质可得，即可求解； （）过点作于点，证明得到即可求证； （）证明得到，设，则，，即得，求出即可求解； 本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）解：在矩形中，， 是由旋转所得， ， ， ； （2）证明：过点作于点，如图， 由（）知， ， 又∵， ∴， 在和中， ， ， ， 即为的中点； （3）解：，为的中点， ， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴为等腰三角形， ∵两个等腰三角形有公共底角， ， 由（）知， ， 设，则，， ， 解得， ∴，， ∴， 在中，，， ， ∴， 矩形的周长为． 【例2】（23-24八年级下·上海杨浦·期末）已知在矩形中，，，点是边上的动点，连接．线段绕点顺时针旋转，点落在点处． （1）如图1，当时，求的面积； （2）设，，求关于的函数关系式和定义域； （3）作的平分线与边所在直线交于点，如果，求的长． 【答案】(1) (2)（） (3)或 【分析】（1）过点作于点，交于点，证明四边形为矩形，易得，，由旋转的性质可得，，进而证明，即可证明，由全等三角形的性质可得，可求得，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）设，，则，易得，在中，由勾股定理可得，即可获得答案； （3）分两种情况讨论：①当点在射线上时，设的平分线与交于点，与交于点，设，则，由勾股定理解得，再证明，由相似三角形的性质可解得，，进而可得，，证明，由相似三角形的性质可得，代入数值解得，即可确定、的值，然后利用勾股定理计算的长度；②当点在线段上时，设的平分线与交于点，延长交于点，设，则，证明，，结合相似三角形的性质解得的值，即可确定、的值，然后利用勾股定理计算的长度． （1）解：如下图，过点作于点，交于点， ∵四边形为矩形，，，， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转，点落在点处， ∴，， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如下图， 由（1）可知，，四边形为矩形，， ∴，， ∴， 设，，则， ∴， 在中，可有， ∴， ∴关于的函数关系式为（）； （3）分两种情况讨论， ①当点在射线上时，如下图，设的平分线与交于点，与交于点， ∵为的平分线，，， ∴，，， 设，则， ∵四边形为矩形，，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段上时，如下图，设的平分线与交于点，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、函数解析式、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，正确作出辅助线，熟练运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$