2025届新高三暑期自主摸底能力测试（二）数学试题

2025届新高三暑期自主摸底能力测试（二）保密★考试结束前 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上. 1．已知，则 A． B． C． D． 2．已知随机变量服从正态分布，且，则 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.8 3．某试验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田种植环境相同连续次的产量如下： 甲 乙 则下列说法错误的是 A．甲种水稻产量的众数为 B．乙种水稻产量的极差为 C．甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数 D．甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差 4．的二项式系数和为64，则其展开式的常数项为 A．-240 B．240 C．60 D．-60 5．已知，为单位向量，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知三个数1，a，9成等比数列，则圆锥曲线 的离心率为 A． B． C． 或 D． 或 7．设，，若存在，，使得，则的最小值为 A． B．1 C．2 D．e 8．在空间四边形中，，则下列结论中不一定正确的是 A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。 9．是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数图象的一部分(如图所示)，则 A．的定义域为 B．当时，取得最大值 C．当时，的单调递增区间为 D．当时，有且只有两个零点和 10．若直线与圆相交于A，B两点，则|AB|的长度可能等于 A．3 B．4 C．5 D．6 11．设函数，则 A．当时，直线不是曲线的切线 B．当时，函数有三个零点 C．若有三个不同的零点，则 D．若曲线上有且仅有四点能构成一个正方形，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．有两个分类变量 和 ，其中一组观测值为如下的2×2列联表： 　 总计 15 50 总计 20 45 65 其中 ， 均为大于5的整数，则 　 　时，在犯错误的概率不超过 的前提下为“ 和 之间有关系”.附： P（K2≥k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 13．已知椭圆：的左右焦点为，.直线与椭圆相交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为　 　. 14．将函数()的所有极小值点按从小到大的顺序排列成数列，则　 　. 四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，角A，B，C所对的边为，角A的平分线交边于点D，且． （1）求A的值； （2）若，求的面积． 16．（15分） 已知抛物线C的方程为，直线与C交于A，B两点，且. （1）求p； （2）设C的焦点为F，直线与C交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过F，当时，求点F到l距离的取值范围. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，. （1）证明：平面； （2）已知三棱锥的体积为，点为线段的中点，设平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分） 已知曲线在点处的切线方程为． （1）求a，b的值； （2）求的单调区间； （3）已知，且，证明：对任意的，． 19．（17分） 已知无穷数列，构造新数列满足满足满足，若为常数数列，则称为阶等差数列；同理令，若为常数数列，则称为阶等比数列.. （1）已知为二阶等差数列，且，求的通项公式； （2）若为阶等差数列，为一阶等比数列，证明：为阶等比数列； （3）已知，令的前项和为，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $$2025 届新高三暑期自主摸底能力测试（二） 数 学 本试卷共 4页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动，先划掉原 来的答案，然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正 确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上. 1．已知 2z i  ，则  z z i  A．6 2i B． 4 2i C．6 2i D． 4 2i 2．已知随机变量 X 服从正态分布 2(2,σ )N ，且 (0 2) 0.2P X   ，则 ( 4)P X   A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.8 3．某试验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田 (种植环境相同 )连续5次的产量如下： 甲 /kg 260 250 210 250 280 乙 /kg 220 260 230 250 290 则下列说法错误的是 A．甲种水稻产量的众数为250 B．乙种水稻产量的极差为70 C．甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数 D．甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差 4． 2 nx x （ ）的二项式系数和为 64，则其展开式的常数项为 A．-240 B．240 C．60 D．-60 5．已知a，b  为单位向量，则“ a b  ”是“ 2 2a b a b      ”的 2024.7 保密★考试结束前 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知三个数 1，a，9成等比数列，则圆锥曲线 2 2 1 2 x y a   的离心率为 A． 3 3 B． 5 C． 5 或 10 2 D． 3 3 或 10 2 7．设   xf x x e  ，  g x x lnx  ，若存在 1x ， 2x ，使得    1 2f x g x ，则 1 2x x 的最小值为 A． 1 e B．1 C．2 D．e 8．在空间四边形 ABCD中，AB BC BC CD CD DA DA AB               ，则下列结论中不一定正确．．．．．的是 A．  AB BC CD DA       B． 2 2 2 2AB BC CD DA   C． ABD DCA  D． AC BD 二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共计 18 分。每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分，选对但不全得部分分，有选错的得 0分。 9． ( )f x 是定义在闭区间上的偶函数，且在 y轴右侧的图象是函数� = ��� �� + �  ω 0 0 φ π  ， 图 象的一部分(如图所示)，则 A． ( )f x 的定义域为 π π ， B．当 π 6 x  时， ( )f x 取得最大值 C．当 0x  时， ( )f x 的单调递增区间为 2π π 3 6      ， D．当 0x  时， ( )f x 有且只有两个零点 5π 12  和 11π 12  10．若直线 y kx 与圆 2 2( 2) ( 1) 9x y    相交于 A，B两点，则|AB|的长度可能等于 A．3 B．4 C．5 D．6 11．设函数 3( ) 1( )f x x ax a R    ，则 A．当 0a  时，直线 1y  不是曲线 ( )y f x 的切线 B．当 3a  时，函数 ( )y f x 有三个零点 C．若 ( )f x 有三个不同的零点 1 2 3, ,x x x ，则 1 2 3 0x x x   D．若曲线 ( )y f x 上有且仅有四点能构成一个正方形，则 2 2a  三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5分，共计 15 分。 12．有两个分类变量 x 和 y ，其中一组观测值为如下的 2×2列联表： 1y 2y 总计 1x a 15 a 15 2x 20 a 30 a 50 总计 20 45 65 其中 a ， 15 a 均为大于 5的整数，则 a  时，在犯错误的概率不超过 0.01 的前 提下为“ x 和 y 之间有关系”.附：           2 2 n ad bcK a b c d a c b d       P（K2≥k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 13．已知椭圆C：   2 2 2 2 1 0 x y ab a b    的左右焦点为 1F ， 2F .直线 y kx 与椭圆C相交于P，Q两点， 若 1 12PF QF ，且 1 2π 3 PFQ  ，则椭圆C的离心率为 . 14．将函数   2f x x sinx  ( 0x  )的所有极小值点按从小到大的顺序排列成数列 na ，则  2023tan a  . 四、解答题：本题共 5小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分） 在 ABC 中，角A，B，C所对的边为 , , , 3a b c asinB bcosA  ，角A的平分线交边 BC于点D，且 1AD  ． （1）求 A的值； （2）若 2 5BC  ，求 ABC 的面积． 16．（15 分） 已知抛物线 C的方程为  2 2 0y px p  ，直线 2 px  与 C交于 A，B两点，且 4AB  . （1）求 p； （2）设 C的焦点为 F，直线 :l x my n  与 C交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过 F，当 1 9n  时，求点 F到 l距离的取值范围. 17．（15 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD， / /AB CD， 90ABC  ， 2 2 4AB BC CD   ，PA PD . （1）证明：BD 平面PAD； （2）已知三棱锥 B PAD 的体积为 4 2 3 ，点N 为线段 AP的中点，设平面 NCD与平面 PBD的 交线为 l，求直线 l与平面 PAB所成角的正弦值. 18．（17 分） 已知曲线    f x x a lnx  在点   1, 1f 处的切线方程为 3y bx  ． （1）求 a，b的值； （2）求  f x 的单调区间； （3）已知 1 2 x y  ，且      f x f y aln xy  ，证明：对任意的  1,2m ，3 2 4x my   ． 19．（17 分） 已知无穷数列  *0,n na a n N  ，构造新数列 (1)na 满足  (1) (2)1 ,n n n na a a a  满足  (2) (1) (1) ( )1 , , kn n n na a a a   满足  ( ) ( 1) ( 1) *1 2,k k kn n na a a k k N     ，若 ( )kna 为常数数列，则 称 na 为 k阶等差数列；同理令 (1) 1 ,nn n ab a    (1) ( 1) (2) ( ) *1 1 (1) ( 1), , 2, k kn n n n k n b bb b k k N b b        ，若 ( )knb 为 常数数列，则称 na 为 k阶等比数列.. （1）已知 na 为二阶等差数列，且 (2)1 21, 4, 2na a a   ，求 na 的通项公式； （2）若 na 为阶等差数列， nb 为一阶等比数列，证明： nanb 为阶等比数列； （3）已知 23 8 1 4n n n nd    ，令 nd 的前n项和为 1 , 1 n n n m m S T S    ，证明： 2nT  . 2025届新高三暑期自主摸底能力测试（二）保密★考试结束前 数学参考答案与评分标准2024.7 评分标准： 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考。如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分标准参考制定相应的评分细则。 2. 对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后续部分的解答存在较为严重的错误，就不再给分。 3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4. 只给整数分数，选择题与填空题均不设置中间分值。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B C D B D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有 多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 BCD BCD BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1）因为，由正弦定理可得， ，所以，故，又． （2）由题意可知， 即，化简得， 在中，由余弦定理推论得， 从而，解得或（舍）． 所以． 16．（1）解：因为直线与C交于A，B两点，且，所以，所以. （2）解：由已知得，，设，， 由可得，， 所以，，， 因为以MN为直径的圆经过F，所以，所以， 即， 所以， 将，代入得，. 所以，且，解得或， 因为，所以， 设点F到直线MN的距离为d， 所以， 令， 所以. 17．（1）证明：法一：取AD的中点O，， 又平面平面，平面平面=，平面 又平面， ，， ，， 又，平面，平面 法二：，， ，， 又平面平面，平面平面，平面 平面 （2）解：， 取PB的中点M，又为的中点，，又， 平面即为平面， 为平面与平面的交线 取AB的中点Q，连结OQ，由(1)可知，OA、OP、OQ两两垂直.如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，， 则， 取，则， 设直线与平面夹角为， 则 故直线与平面夹角的正弦值 18．（1）解：，则． 因为，所以，解得，． （2）解：． 令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以恒成立，即恒成立，故在上单调递增，无单调递减区间． （3）证明：由，可得．又，所以． 因为，，所以只需证明，，即证明，． 先证明，即，令， 则，所以在上单调递增． 只需证，， 即，． 令，，则， 所以，故． 再证明，即．同理，只需证明， 即． 令，，则． 令，，则，所以在上单调递增． 又因为，， 则存在，使得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为，，所以，故．综上，对任意的，． 19．（1）由知，故可设. 所以，故. 从而，代入，可得，所以. 故的通项公式为：.​​​​ （2）先证明2个引理. 引理1：对任意非负整数，存在，使得对任意正整数成立，这里约定. 证明：用数学归纳法证明该结论. 当时，有，取即可，故结论成立； 假设结论对成立，则 . 故可设，这就得到 . 所以取，，即可，这得到结论对成立. 由数学归纳法即知引理1成立. 引理2：是阶等差数列的充分必要条件是能够表示为关于的至多次的多项式形式，即. 证明：我们对使用数学归纳法. 当时，结论显然成立； 对，假设结论对成立，考虑的情形： 一方面，如果，则有 . 故由于结论对成立，知是阶等差数列，所以是阶等差数列； 另一方面，如果是阶等差数列，则是阶等差数列. 故由于结论对成立，知的通项公式具有形式. 故. 据引理1可知，每个都可以表示为的形式，故 . 综上，结论对成立. 由数学归纳法知引理2成立. 回到原题. 由于为一阶等比数列，故恒为常值，设，则. 为使有意义，必有不为零. 所以. 由于为阶等差数列，故由引理2，可设. 取就有，，所以由引理2可知和都是阶等差数列. 设，，，，则和都是常值. 而归纳即知，故是常值，从而为阶等比数列. （3）用数学归纳法证明：. 当时，由知结论成立； 对，假设结论已对成立，即，则 . 所以结论对也成立. 综上，对任意的正整数，都有. 故. 这就得到 . 学科网（北京）股份有限公司 $$2025 届新高三暑期自主摸底能力测试（二） 数学参考答案与评分标准 评分标准： 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考。如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分标准参考制定相应的评分细则。 2. 对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后续部分的解答存在较为严重的错误，就不再给分。 3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4. 只给整数分数，选择题与填空题均不设置中间分值。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B C D B D 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有 多个选项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 题号 9 10 11 答案 BCD BCD BCD 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．9 13． 3 3 14． 3 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1）因为 3asinB bcosA  ，由正弦定理可得 3sinAsinB sinBcosA  ， 0sinB  ，所以 3sinA cosA  ，故 3tanA   ，又 2π(0, π), 3 A A   ． （2）由题意可知 ABD ACD ABCS S S    ， 即 1 1 160 60 120 2 2 2 csin bsin bcsin     ，化简得b c bc  ， 在 ABC 中，由余弦定理推论得 2 2 2 2 2( ) 2 1 2 2 2 b c a b c bc acosA bc bc          ， 从而 2( ) 2 20 1 2 2 bc bc bc     ，解得 5bc  或 4bc   （舍）． 所以 1 1 5 35 120 2 2 4ABC S bcsinA sin     ． 2024.7 保密★考试结束前 16．（1）解：因为直线 2 px  与 C交于 A，B两点，且 4AB  ，所以 2 4p  ，所以 2p  . （2）解：由已知得，  1,0F ，设  1 1,M x y ，  2 2,N x y ， 由 �2 = 4� � = ��+ �可得， 2 4 4 0y my n   ， 所以 1 2 4y y m  ， 1 2 4y y n  ， 2 2Δ 16 16 0 0m n m n      ， 因为以MN为直径的圆经过 F，所以 0FM FN    ，所以    1 2 1 21 1 0x x y y    ， 即    1 2 1 21 1 0my n my n y y      ， 所以        22 1 2 1 21 1 1 0m y y m n y y n       ， 将 1 2 4y y m  ， 1 2 4y y n  代入得 2 24 6 1m n n   ，    224 1 0m n n    . 所以 1n  ，且 2 6 1 0n n   ，解得 3 2 2n   或 3 2 2n   ， 因为1 9n  ，所以3 2 2 9n   ， 设点 F到直线MN的距离为 d， 所以    2 2 2 22 1 1 1 2 1 4 41 n n n d m mm         2 2 2 2 1 4( 1)2 2 1 6 5 6 5 n n n n n n n           ， 令  1 2 2 1 ,8n t      ， 所以  2 4 42 1 2 1 2 2,2 2 14 4 td t t t          . 17．（1）证明：法一：取 AD的中点 O， PA PD ， PO AD  又平面 PAD 平面 ABCD，平面PAD 平面 ABCD = AD， PO 平面 ABCD 又 BD 平面 ABCD， PO  BD / /AB CD ， 90ABC  ， 2 2 4AB BC CD   2 2BD AD   ， 2 2 2BD AD AB   ， BD AD  又 PO AD O  ， ,PO AD 平面PAD， BD 平面PAD 法二： / /AB CD ， 90ABC  ， 2 2 4AB BC CD   2 2BD AD   ， 2 2 2BD AD AB   ， BD AD  又平面 PAD 平面 ABCD，平面PAD 平面 ABCD AD ，BD 平面 ABCD BD 平面PAD （2）解： 1 1 1 4 4 2 3 3 2 3 3B PAD P ABD ABD V V S PO AD BD PO PO          ， 2PO  取 PB的中点M，又N 为 AP的中点， / /MN AB ，又 / /AB CD， / /MN CD 平面NCD即为平面MNDC， DM 为平面NCD与平面PBD的交线 l 取 AB的中点 Q，连结 OQ，由(1)可知，OA、OP、OQ两两垂直.如图建立空间直角坐 标系O xyz ， 则 (0,0, 2)P ， ( 2,0,0)A ， ( 2,0,0)D  ， ( 2, 2 2,0)B  ， 2 2( , 2, ) 2 2 M  设平面 PAB的法向量为n  ( , , )x y z ， ( 2,0, 2)PA    ， ( 2, 2 2, 2)PB     则 2 2 0 2 2 2 2 0 n PA x z n PB x y z               ， 取 1x  ，则 1, 1z y  ， n (1,1,1) 设直线 l与平面PAB夹角为θ， 2 2( , 2, ) 2 2 DM   则 θ | ,sin cos DM   n 2 22 2 22 2| 31 12 3 2 2        故直线 l与平面PAB夹角的正弦值 2 2 3 18．（1）解：  ' x af x lnx x    ，则  ' 1 1f a b   ． 因为  1 0f  ，所以 3 0b   ，解得 3b  ， 2a  ． （2）解：   2 2' 1xf x lnx lnx x x       ． 令   2 1F x lnx x    ，则   2 2 1 2 2' xF x x x x     ， 所以  F x 在  0,2 上单调递减，在  2, 上单调递增， 又  2 2 2 0F ln   ，所以   0F x  恒成立，即  ' 0f x  恒成立，故  f x 在  0, 上单调递增，无单调递减区间． （3）证明：由      f x f y aln xy  ，可得 0xlnx ylny  ．又 1 2 x y  ，所以 11 2 x y   ． 因为  1,2m ， 1 2 x y  ，所以只需证明 2 2 4x y  ，2 3x y  ，即证明 2x y  ， 2 3x y  ． 先证明 2x y  ，即1 2x y   ，令  g x xlnx ， 则  ' 1g x lnx  ，所以  g x xlnx 在 1 , e      上单调递增． 只需证    2 2xlnx y ln y   ， 1 ,1 2 y      ， 即    2 2 0y ln y ylny    ， 1 ,1 2 y      ． 令      φ 2 2y y ln y ylny    ， 1 ,1 2 y      ，则  φ ' 0 2 yy ln y    ， 所以      φ 2 2 φ 1 0y y ln ylny      ，故 2x y  ． 再证明 2 3x y  ，即 3 1 2 yx   ．同理，只需证明 3 3 2 2 y yxlnx ln  ， 即 3 3 0 2 2 y yln ylny    ． 令   3 3 2 2 y yh y ln ylny   ， 1 ,1 2 y      ，则   1 3 1' 2 2 2 yh y ln lny    ． 令   1 3 1 2 2 2 yk y ln lny    ， 1 ,1 2 y      ，则   1 1' 0 6 2 k y y y     ，所以  k y 在 1 ,1 2      上单调递增． 又因为  1 1 5 1 1 1 1 5 0 2 2 4 2 2 2 k ln ln ln            ，   11 0 2 k   ， 则存在 0 1 ,1 2 y      ，使得  0 0k y  ， 所以当 0 1 2 y y  时，    ' 0k y h y  ，当 0 1y y  时，    ' 0k y h y  ， 所以  h y 在 0 1 , 2 y   上单调递减，在  0 ,1y 上单调递增． 又因为  1 0h  ， 5 6 1 5 5 1 1 1 5 0 2 4 4 2 2 4 4 h ln ln ln         ，所以 3 3 0 2 2 y yln ylny    ， 故 2 3x y  ．综上，对任意的  1,2m ，3 2 4x my   ． 19．（1）由  2 2na  知    1 1 1 2n na a   ，故可设  1 2na n c  . 所以 1 2n na a n c    ，故         1 12 1 2 ... 1 1 1 1na a n n c a n n n c             . 从而 2 1 2a a c   ，代入 1 1a  ， 2 4a  可得 1c  ，所以     21 1 1na n n n n      . 故 na 的通项公式为： 2na n .​ ​ ​ ​ （2）先证明 2个引理. 引理 1：对任意非负整数 i，存在  , R 0,1,..., 1i mp m i   ，使得 1 1 , 1 0 n i i m i m j m j p n       对任 意 n正整数成立，这里约定 0 1 0i j j   . 证明：用数学归纳法证明该结论. 当 0i  时，有 1 1 1 n i j j n     ，取 0,1 0,0 1p p   即可，故结论成立； 假设结论对0,1,2,..., 1i  成立，则         1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 ... n n i i ii i i u u n u u u u u u                    . 故可设    1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 n i i i i u n i u q u q u             ，这就得到 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 n n n n n i i i i i i u u u u u u n q u q u q u i                                 1 2 1 1 1 1, 2 2, 1 1, 0 0, 0 0 0 0 1 1 ... 1 i i i m m m m i i m i i m m m m m m m n q p n q p n q p n q p n i                           . 所以取 , 1 1 1i i p i   ，    , 1 1, 2 2, 0 0,1 ... 1, 2,...,1i m m m m m m m mp q p q p q p m ii          ，  ,0 1 1,0 2 2,0 0 0,01 1 ...1i i i i ip q p q p q pi          即可，这得到结论对 i成立. 由数学归纳法即知引理 1成立. 引理 2： na 是 k阶等差数列的充分必要条件是 na 能够表示为关于n的至多 k次的多项 式形式，即    1 1 0 1 1 01 ... , ,..., , R kk n k k k ka p n p n p n p p p p p        . 证明：我们对 k使用数学归纳法. 当 1k  时，结论显然成立； 对 1k  ，假设结论对 1k  成立，考虑 k的情形： 一方面，如果 0 k i n i i a p n   ，则有      1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 C C C C k k i k i k k i i j j j j j j j j n n n i i i i i i i i i i i j i j j i k j i j a a a p n n p n p n p n p n                                           . 故由于结论对 1k  成立，知   1na 是 1k  阶等差数列，所以 na 是 k阶等差数列； 另一方面，如果 na 是 k阶等差数列，则   1na 是 1k  阶等差数列. 故由于结论对 1k  成立，知   1na 的通项公式具有形式   1 1 0 k i n i i a q n    . 故     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 n n n k k n k n i i i n j j j i i i j j j i i j i j a a a a a a a q j a q j a q j                                  . 据引理 1可知，每个 1 1 n i j j    都可以表示为 1 1 , 1 0 n i i m i m j m j p n       的形式，故   1 1 1 1 , 1 , , 0 0 0 1,0 0 0, 1 k i k k m m m n i i m i i m i i m i m m i i k m i max m a a q p n a q p n q p n                               . 综上，结论对 k成立. 由数学归纳法知引理 2成立. 回到原题. 由于 nb 为一阶等比数列，故 1n n b b  恒为常值，设 1n n b q b   ，则 nnb A q  . 为使 1n n b b  有意义，必有 ,A q不为零. 所以 n n n a a na nb A q  . 由于 na 为 k阶等差数列，故由引理 2，可设 0 k i n i i a p n   . 取 0 1 0kp p   就有 1 0 1 k k i i n i i i i a p n p n       ， 1 1 1 0 1 k k i i n i i i i na p n p n         ，所以由引理 2可 知 na 和 nna 都是 1k  阶等差数列. 设   0 na n nc b ，         1 1 1 1,2,... i i n n i n cc i c      ，  0n nd na ，        1 11 1,2,...i i in n nd d d i    ，则  1kna  和   1k nd  都是常值. 而归纳即知      i i n ni a d nc A q  ，故      1 11 k kn nk a d nc A q     是常值，从而 nanb 为 1k  阶等比数 列. （3）用数学归纳法证明： 2 11 4n n nS   . 当 1n  时，由 2 1 1 1 3 8 1 1 11 1 4 4 S d         知结论成立； 对 2n  ，假设结论已对 n 1 成立，即   2 1 1 1 1 1 4n n n S       ，则    2 2 22 2 1 1 1 1 4 1 4 3 8 13 8 1 11 1 1 4 4 4 4n n n n n n n n n n nn n nS S d                     . 所以结论对n也成立. 综上，对任意的正整数 n，都有 2 11 4n n nS   . 故 2 2 2 1 1 1 1 1 1 11 4 2 2 2 n n n n n n m m m m m m m m m m m m m mT S                  . 这就得到 1 1 1 2 2 2 2 n n n n m m m m m m m m mT         1 1 12 2 n n m m m m m m       1 1 1 02 2 2 n n m m n m m m m n        1 1 1 1 1 2 2 2 n n m m n m m m m n          1 1 1 2 2 n m n m n     12 1 2 2 2n n n        . ■口回▣ 2025届新高三暑期自主摸底能力测试（二） 数学答题卡 2024.7 [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o [1] [1] 1] [1] [1] 学校 班级 姓名 试室号 座位号 2 2 [2 [2 2 [2 [4 图 4到 注意事项： 恩 哥 恩 恩 哥 1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试京号、 [7] [8] 座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。 [91 91 [9 [97 [97 [9 91 [91 [9] [9] 2、 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 (第1页，共6页) 一、选择题 1 [A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 8 [A]B][C][D] 、选抒题 9 [A][B][C][D] 1O[A][B][C]D] 11[AJ[B][c][D] 三、填空趣 12 13、 四、解答题 15、(13分) 请勿在此区域内做任何标记 16、(15分) 2 口■口口 2025届新高三暑期自主摸底能力测试（二） 数学答题卡 2024.7 [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] 学校 班级 姓名 试室号 座位号 5a5a3 8883 注意事项： 1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试京号、 离 S60 D2S0566039 128456789 8353556 E8E3EEEEE S14560 2SH56838S 座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。 [9 91 [9] S03089 [91 2、 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 (第3页，共6页) 17、(15分) 3 请勿在此区域内做任何标记 18、(17分) 口口■口 2025届新高三暑期自主摸底能力测试（二） 数学答题卡 2024.7 [o] [o] [oj [o] [o] [o] [o] [o] [o] 学校 班级 姓名 试室号 座位号 5a5a3 D2S0566039 H2S456C8 83 注意事项： 哥 1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试京号、 S60 S00 S010 座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。 [9] [91 [9 5608S 1 91 [91 [9 2、 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 (第5页，共6页) 续18题 19、(17分) 请勿在此区域内做任何标记 续19题 6■口口口 2025届新高三暑期自主摸底能力测试（二） 数学答题卡 2024.7 [o] [o [o] [o] [o] [0] 1 [1] [1] [11 1] [1] [1] 1 学校 班级 姓名 试室号 座位号 [2 [2 [2 [2 [2] [2 [21 2 2 ] [3 ] [4 注意事项： 6 e 1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试室号、 CEEE [81 [81 [8] 座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。 [91 r9] [9] r9] 9 [9] [9 [9] [9] 91 2、 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 (第1页，共6页) 一、选择题 [A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 3[AJ[B][c][D] 4[A][B][C][D] 5 [A][B][c][D] 6AJ[B][c][D] TtA][B][C】[D] 8 [A][B][C][D] 二、选择题 9 [A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 1I[A][B][C][D] 三、填空题 12、 13 14 四、解答题 15、(13分) 1 请勿在此区域内做任何标记 16、(15分) 2 口■口口 2025届新高三暑期自主摸底能力测试（二） 数学答题卡 2024.7 [o] [o] [0] [0 [0 [0] [0] C1] [1] 学校 班级 姓名 试室号 座位号 a 注意事项： 高 意 35 33EE 1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试室号、 [81 [8 座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。 [91 ] [9] [91 91 [91 [9] [91 [91 2、 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 (第3页，共6页) 17、(15分) 3 请勿在此区域内做任何标记 18、(17分) 4 口口■口 2025届新高三暑期自主摸底能力测试（二） 数学答题卡 2024.7 [o] [o] [o] [o] [0] [0] C1] [1] C1] 学校 班级 姓名 试室号 座位号 a 注意事项： 意 g 1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试室号、 [81 [8 座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。 [91 ] [9] [91 91 [91 [9] [91 [91 2、 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破 (第5页，共6页) 续18题 19、(17分) 请勿在此区域内做任何标记 续19题