第11讲 成比例线段 （2个知识点+4种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第11讲 成比例线段 （2个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 【例1】（2023秋•漳州期末）若，则的值为　　 A． B． C．1 D．3 【变式1】（2024春•沙坪坝区校级期末）已知，且，则　　． 【变式2】（2024•汝南县一模）如果，那么下列比例式中正确的是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2024春•新吴区期末）若，则的值为　　． 【变式4】（2023秋•射洪市期末）已知，求的值． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 【例2】（2023秋•缙云县期末）已知是和的比例中项，，，则　　 A． B．6 C．4 D． 【变式1】（2023秋•亭湖区校级期末）已知线段，，如果线段是线段、的比例中项，那么　　 A． B．3 C．4.5 D．5 【变式2】（2024•邛崃市模拟）已知，则　　． 【变式3】（2024•西安校级四模）如图，在正六边形中，对角线与的比值为 　　． 【变式4】（2023秋•临江市期末）已知，，为的三边，，且，求的面积． 经典题型汇编 题型一、比例的性质 1．（2024·甘肃陇南·二模）若，则（   ） 2．（2024·宁夏银川·一模）已知，则的值是 ． 3．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）已知，且． (1)的值为______； (2)若，求的值． 题型二、比例线段 4．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（    ） A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米 5．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）点在线段上，若  ，则 ． 6．（21-22九年级·全国·假期作业）如图所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm． (1)求和； (2)线段，AB，，BC是成比例线段吗？ 题型三、成比例线段 7．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列各组中的四条线段，是成比例线段的是(    ) A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知线段c是线段a，b的比例中项，如果，，那么 ． 9．（23-24九年级上·江西吉安·期末）（1）解方程：； （2）如果四条成比例线段线段的长分别为2，3，6，，求的值． 题型四、黄金分割 10．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度与从轮子底部到拉杆顶部的高度之比是黄金比，已知，则的长度是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在这架小提琴中，点C是线段的黄金分割点（）．若，则 cm．    12．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）已知线段，试用尺规作图画出线段的黄金分割点C，使得，保留作图痕迹，不写作法． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）已知，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广西贺州·期中）小红的爸爸是汽车制造厂的工程师．他要将一个长毫米、宽毫米的零件画在一张纸（）上，适合的比例尺是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·湖南娄底·三模）下列说法（或等式）正确的是（　　） A． B．一条线段的黄金分割点有两个 C．与是同类项 D．是最简二次根式 4．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）若，则的值是（    ） A．－1 B． C． D．1 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）下列各组长度的线段中，是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，线段，那么等于（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）已知a，b，c，d是成比例线段，若，则d的长为（　　） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）是成比例线段，其中，则线段的长可能为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山东聊城·一模）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（　　） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．（23-24九年级上·江苏常州·期中）线段的比例中项为 ． 12．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知，且，则 ． 13．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）若，则 ． 14．（2023·四川成都·模拟预测）如图，C为线段的黄金分割点，，并且，则 ． 15．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）若四条线段a、b、c、d是成比例线段，其中，，则 ． 16．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和线段的比例中项，则 厘米． 17．（2024·陕西渭南·二模）如图，在中，，，以为圆心，为半径，两弧交于点，此时，点为线段的黄金分割点，若，则的长为 ． 18．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图①，点在线段上，若满足（即），则称点为线段的黄金分割点，每条线段都有两个黄金分割点，如图②，已知点都是线段的黄金分割点，若，则的长是 ． 三、解答题 19．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，求线段的长． 20．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）已知，求与的值． 21．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段，线段x是线段a、d的比例中项，求x． 22．已知、、是的三边长，且． (1)求的值． (2)若的周长为，求各边的长． 23．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    24．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）与在网格中的位置如图所示，如果每个小正方形的边长都是1． (1)求，，的值； (2)求的周长与的周长的比； (3)在，，，，，这六条线段中，指出其中三组成比例的线段． 25．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读下面的材料： 如图1，在线段上找一点C，若，则称点C为线段的黄金分割点，这时比值为，人们把称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．    我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在中，的长为2，过点E作，且，连接；以F为圆心，长为半径作弧，交于H；再以O为圆心，长为半径作弧，交于点P． 根据材料回答下列问题： (1)根据作图，写出图中相等的线段：________； (2)求的长； (3)求证：点P是线段的黄金分割点． 26．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）（1）在图①中按下列步骤作图： 第一步：过点C画，使； 第二步：连接，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E； 第三步：以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点B． （2）在所画图中，点B是线段的黄金分割点吗？为什么？ （3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 成比例线段 （2个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 【例1】（2023秋•漳州期末）若，则的值为　　 A． B． C．1 D．3 【分析】由，利用比例的性质，即可求得的值． 【解答】解：， ． 故选：． 【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，注意掌握比例的性质是解此题的关键． 【变式1】（2024春•沙坪坝区校级期末）已知，且，则　4　． 【分析】设，则，，，代入，求出的值即可得到的值． 【解答】解：设，则，，， ， ， ， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了比例的性质，正确设出，，，构造方程求解是解题的关键． 【变式2】（2024•汝南县一模）如果，那么下列比例式中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用比例的性质对各选项进行判断． 【解答】解：， ，． 故选：． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键． 【变式3】（2024春•新吴区期末）若，则的值为　　． 【分析】根据比例设，，然后代入比例式进行计算即可得解． 【解答】解：， 设，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，利用“设法”求解更简便． 【变式4】（2023秋•射洪市期末）已知，求的值． 【分析】根据比例的性质得到，代入计算即可． 【解答】解：， ， 则． 【点评】本题考查的比例的性质，掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 【例2】（2023秋•缙云县期末）已知是和的比例中项，，，则　　 A． B．6 C．4 D． 【分析】根据比例中项的概念可知，将和的值代入即可求出答案． 【解答】解：根据比例中项的概念得：， 即， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果，即，那么 叫做 与 的比例中项． 【变式1】（2023秋•亭湖区校级期末）已知线段，，如果线段是线段、的比例中项，那么　　 A． B．3 C．4.5 D．5 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项，注意线段不能为负． 【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 则， 解得（线段是正数，负值舍去）， 所以． 故选：． 【点评】此题考查了比例线段，正确理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数是解题关键． 【变式2】（2024•邛崃市模拟）已知，则　　． 【分析】设，，根据，可用，表示出，，代入要求的式子，即可得出答案． 【解答】解：设，， ， ，， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了等比性质的应用，若，则，熟练掌握等比性质是解题的关键． 【变式3】（2024•西安校级四模）如图，在正六边形中，对角线与的比值为 　　． 【分析】根据正六边形的性质得，，然后利用，从而得出答案． 【解答】解：六边形为正六边形， ，， 在中， ． 对角线与的比值为． 故答案为：． 【点评】本题考查比例线段，正多边形的性质和解直角三角形，根据正六边形的性质得与的度数是解题的关键． 【变式4】（2023秋•临江市期末）已知，，为的三边，，且，求的面积． 【分析】根据比例的性质得出，，的值，再根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式解答即可． 【解答】解：设， 所以，，， 把，，代入， 可得：， 解得：， ，，， ，， ， 是直角三角形， 的面积． 【点评】此题考查勾股定理的逆定理和三角形面积，关键是根据比例的性质得出，，的值解答． 经典题型汇编 题型一、比例的性质 1．（2024·甘肃陇南·二模）若，则（   ） A． B．1 C． D．35 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质“若，则”，即得答案． 【详解】， ． 故选D． 2．（2024·宁夏银川·一模）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，设，代入原式即可得出答案． 【详解】解：设，， 则原式 ． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）已知，且． (1)的值为______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键． （1）根据等比性质求解即可； （2）根据给出的条件得出，，，再代入，然后进行整理即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）∵，且， ∴，，， ∵， 则， ∴的值为8． 题型二、比例线段 4．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（    ） A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例线段，、比例尺的定义等知识点，根据比例尺的定义列出算式是解题的关键． 根据比例尺的定义列式计算，然后再把单位换算为千米即可． 【详解】解：这段高速公路的实际长度是．故大桥的实际长度是55千米． 故选：D． 5．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）点在线段上，若  ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的比；根据题意，设，根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：∵ 设 ∴ ∴ 故答案为：． 6．（21-22九年级·全国·假期作业）如图所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm． (1)求和； (2)线段，AB，，BC是成比例线段吗？ 【答案】(1)， (2)线段，AB，，BC是成比例线段． 【分析】（1）根据已知条件，代入和，即可求得结果； （2）根据和的值相等，即可判断线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段． 【详解】（1）∵AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm． ∴＝＝ ，＝＝ （2）由（1）知＝＝ ，＝＝； ∴＝， ∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段． 【点睛】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键． 题型三、成比例线段 7．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列各组中的四条线段，是成比例线段的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了比例线段：对于四条线段、、、如果其中两条线段的比即它们的长度比与另两条线段的比相等，如 ：：即，则四条线段是成比例线段，简称比例线段．根据比例线段的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A．由于：：，则，，，不成比例，所以A选项不符合题意； B．由于：：，则，，，不成比例，所以B选项不符合题意； C．由于：：，则，，，成比例，所以C选项符合题意； D．由于：：，则，，，不成比例，所以D选项不符合题意． 故选：C． 8．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知线段c是线段a，b的比例中项，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段．根据比例中项的定义得到，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：线段是和的比例中项， ， 解得或（舍去）， 即． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·江西吉安·期末）（1）解方程：； （2）如果四条成比例线段线段的长分别为2，3，6，，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，成比例线段，熟练掌握一元二次方程的解法和成比例线段的性质是解题关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）利用成比例线段得到，进而求解即可． 【详解】解：（1） ， ∴， ∴解得，； （2）∵2，3，6，a成比例， ∴． ∴． 题型四、黄金分割 10．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度与从轮子底部到拉杆顶部的高度之比是黄金比，已知，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查黄金分割，根据图形和题目中的数据，可以得到，然后计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 解得， 故选：C． 11．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在这架小提琴中，点C是线段的黄金分割点（）．若，则 cm．    【答案】 【分析】 本题主要考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割点分成的两线段和原线段之间关系是解决问题的关键，根据黄金分割点的概念得到，再求解即可． 【详解】 C是线段的黄金分割点（），， ． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）已知线段，试用尺规作图画出线段的黄金分割点C，使得，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】见解析 【分析】先作线段的垂直平分线得到的中点O，过点B作的垂线，再在上截取，连接，在上截取，然后在上截取，则点C满足条件． 【详解】解：如图，点C为所作． 理由：设， 由垂直平分线的性质可得，， 由作图可知，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即线段的黄金分割点为C． 【点睛】此题考查了黄金分割点、垂直平分线的作图和性质、勾股定理、二次根式的运算等知识，准确作图是解题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）已知，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴不成立， 故选：D． 2．（23-24九年级上·广西贺州·期中）小红的爸爸是汽车制造厂的工程师．他要将一个长毫米、宽毫米的零件画在一张纸（）上，适合的比例尺是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例尺的计算方法，图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=图上距离:实际距离”即可求得适合的比例尺.，解题的关键要掌握比例尺的计算方法． 【详解】解：∵零件的实际长度为，零件的图上长度为，即， ∴适合的比例尺， 故选：． 3．（2024·湖南娄底·三模）下列说法（或等式）正确的是（　　） A． B．一条线段的黄金分割点有两个 C．与是同类项 D．是最简二次根式 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式、黄金分割点、同类项、最简二次根式，逐项判断即可，熟练掌握知识点判断是解题的关键． 【详解】解：A、，原结果错误，故不符合题意； B、一条线段的黄金分割点有两个，靠近两端各有一个，正确，故符合题意； C、与相同字母的指数不同，不是同类项，原说法错误，故不符合题意； D、，不是最简二次根式，原说法错误，故不符合题意． 故选：B． 4．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）若，则的值是（    ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是把比例式进行合理的变形；由得，再代入化简即可求解． 【详解】， ， ； 故选：C． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分． 根据比例的基本性质，可分别设出x和y，再代入进行计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴设， ， ∴． 故选：B． 6．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）下列各组长度的线段中，是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 此题考查了比例线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 【详解】 解：A、， 成比例线段，故符合题意； B、， 不成比例线段，故不符合题意； C、， 不成比例线段，故不符合题意； D、， 不成比例线段，故不符合题意； 故选：A． 7．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，线段，那么等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的比，设，则，，据此即可求解． 【详解】解：设，则，， ∴， 故选：D． 8．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）已知a，b，c，d是成比例线段，若，则d的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了比例线段．注意根据题意构造方程是关键．根据比例的性质即可得到结论． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴ ∵， ∴ ∴ 故选：C． 9．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）是成比例线段，其中，则线段的长可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段的定义．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将，及的值代入即可求得． 【详解】解：已知，，，是成比例线段， 根据比例线段的定义得：， 代入， 解得：， 则． 故选：A． 10．（2024·山东聊城·一模）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（　　） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】此题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点． 由黄金分割的定义分别进行判断． 【详解】解：∵为的黄金分割点， ∴， ， ①、②、③错误，④正确，不符合题意， 故选：A． 二、填空题 11．（23-24九年级上·江苏常州·期中）线段的比例中项为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项的定义，根据比例中项的定义列出方程，解方程即可求解，理解比例中项的定义是解题的关键． 【详解】解：设它们的比例中项是， 则， ∴, ∵线段的长度是正数， ∴， ∴比例中项为， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知，且，则 ． 【答案】2 【分析】 本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：2． 13．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）若，则 ． 【答案】或2 【分析】本题考查的是比例的基本性质，分两种情况讨论：当，当，再进行计算即可．掌握“比例的等比性质”是解本题的关键． 【详解】解：若，则，，， 即： 则，此时，， 若，则， ∴或2． 故答案为：或2． 14．（2023·四川成都·模拟预测）如图，C为线段的黄金分割点，，并且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，先根据黄金分割的定义得出，然后求出，再求出结果即可． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）若四条线段a、b、c、d是成比例线段，其中，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了比例线段的定义，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即，则这四条线段成比例．据此得到，进而得到，代入数据即可求解． 【详解】解：已知a，b，c，d是成比例线段， 根据比例线段的定义得，即， ∵，，， ∴ 解得． 故答案为：6． 16．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和线段的比例中项，则 厘米． 【答案】4 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据比例中项的定义得到，据此可得答案． 【详解】解；∵线段是线段和线段的比例中项，线段厘米，厘米， ∴， ∴厘米， 故答案为：4． 17．（2024·陕西渭南·二模）如图，在中，，，以为圆心，为半径，两弧交于点，此时，点为线段的黄金分割点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，本题中经分析，因为点为线段的黄金分割点，所以把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，即 ，把代入计算，即可作答． 【详解】解：，，以为圆心，为半径，两弧交于点， ∵点为线段的黄金分割点， ∴是和的比例中项， ， ∵ ∴ 故答案为： 18．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图①，点在线段上，若满足（即），则称点为线段的黄金分割点，每条线段都有两个黄金分割点，如图②，已知点都是线段的黄金分割点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查线段成比例的运算，黄金分割点的计算方法，掌握线段成比例的运算方法是解题的关键． 根据点都是线段的黄金分割点，可得，根据线段的和差运算即可求解． 【详解】解：已知点为线段的黄金分割点，则（即）， ∵点都是线段的黄金分割点， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段的定义，由题意得出即可求解． 【详解】解：已知，，，是成比例线段， 根据成比例线段的定义得， 代入，，得：， 解得：， ∴线段的长为 20．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）已知，求与的值． 【答案】； 【分析】本题考查了比例的性质，如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果，那么或（）．由得，然后，，，代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∴． 21．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段，线段x是线段a、d的比例中项，求x． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出可以使计算更加简便． （1）设，然后用k表示出，再代入求解得到k，即可得到的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段x的长． 【详解】（1）解：设， 则，，， 所以， 解得， 所以，，； （2）解：∵线段， ∴． ∵线段x是线段a、d的比例中项， ∴， ∴线段（，故舍去） 22．已知、、是的三边长，且． (1)求的值． (2)若的周长为，求各边的长． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查比例的性质，比例的应用等知识，设，从而用表示出是解题的关键． （1）设，从而用表示出，再代入化简即可得解； （2）根据的周长为，即，从而将（1）中的结论代入求出t即可得解． 【详解】（1）解：设， ，，， 代入，得； （2）由题意知，， 则， 解得， ，，． 23．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    【答案】这双高跟鞋的高度偏高 【分析】本题主要考查了黄金分割比例，设出人体上半身长和下半身长成黄金比例时，高跟鞋的高，利用黄金比例求出此时高跟鞋的高是解题的关键. 【详解】解：设这双高跟鞋的高度为时，人体上半身长和下半身长成黄金比例， 由题意得：， 解得：， ， 这双高跟鞋的高度偏高． 24．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）与在网格中的位置如图所示，如果每个小正方形的边长都是1． (1)求，，的值； (2)求的周长与的周长的比； (3)在，，，，，这六条线段中，指出其中三组成比例的线段． 【答案】(1) (2)的周长与的周长的比为 (3)，，，，是成比例线段；，，，是成比例线段；，，，是成比例线段 【分析】（1）根据图象，求出，，，，，的长度，即可求解， （2）计算，即可求解， （3）根据成比例线段的定义，即可求解， 本题考查了成比例线段，解题的关键是：熟练掌握成比例线段概念． 【详解】（1）解：由图可知，，，，，， ∴，， 故答案为：， （2）解：， 故答案为：的周长与的周长的比为， （3）， ，，，，是成比例线段； ， ，，，是成比例线段； ， ，，，是成比例线段， 故答案为：，，，，是成比例线段；，，，是成比例线段；，，，是成比例线段． 25．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读下面的材料： 如图1，在线段上找一点C，若，则称点C为线段的黄金分割点，这时比值为，人们把称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．    我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在中，的长为2，过点E作，且，连接；以F为圆心，长为半径作弧，交于H；再以O为圆心，长为半径作弧，交于点P． 根据材料回答下列问题： (1)根据作图，写出图中相等的线段：________； (2)求的长； (3)求证：点P是线段的黄金分割点． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】（1）由题意知，，，然后作答即可； （2）由勾股定理得，根据，计算求解即可； （3）由，可得，，，则，即，进而结论得证． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， 由勾股定理得， ∵ ∴， ∴． （3）证明：∵， ∴，，， ∴，即， ∴点P是线段的黄金分割点． 【点睛】本题考查了画线段，勾股定理，黄金分割．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 26．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）（1）在图①中按下列步骤作图： 第一步：过点C画，使； 第二步：连接，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E； 第三步：以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点B． （2）在所画图中，点B是线段的黄金分割点吗？为什么？ （3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）点B是线段的黄金分割点，理由解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了黄金分割以及尺规作图，理解黄金分割点是解题的关键． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）设则 利用勾股定理得到再得到利用黄金分割点的定义可判断点是线段的黄金分割点； （3）以为圆心长为半径画弧,以为圆心，长为半径画弧,交点为,则即为所求． 【详解】解：（1）如图，点为所作： （2）设则 ， 即 ∴点是线段的黄金分割点． （3）按（1）中作点E的方法作点F，以为圆心长为半径画弧,以为圆心，长为半径画弧,交点为,则即为所求，如图： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$