2.1.2基本不等式（3大题型提分练）数学湘教版必修第一册

2.1.2基本不等式 题型一 利用基本不等式比较大小 1．阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项都有可能 2．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．比较大小： 2(填“”“”“”或“”)． 5.已知，，则，，，中哪一个最大？ 题型二 利用基本不等式求最值 1．已知正实数 满足 ，则 的最小值为（      ） A．4 B．9 C．10 D．20 2．已知，且满足，则（    ） A．的最小值为48 B．的最小值为 C．的最大值为48 D．的最大值为 3．已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．12 C．16 D．20 4（多选题）.已知正实数满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的最小值为 ． 6．已知实数，，且，则的最小值为 . 7．已知正数满足，则当取得最小值时， ， ． 题型三 利用基本不等式证明不等式 1．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2（多选题）．设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 3（多选题）．若，且，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知a为正数，比较大小： 4. 5．已知，求证：，并指出等号成立的条件． 6．已知，求证: (1);(2). 7．已知正实数，，满足． (1)若，证明：；(2)求的最大值． 1．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（　　） A．小于 B．等于 C．大于 D．与左右臂的长度有关 2．已知，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是 （    ） A． B． C． D． 3．已知正数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 4．（1）若，且， 求：（i）的最小值；（ii）的最小值. 5．已知a，b都是正实数， (1)试比较与的大小，并证明； (2)当时，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.2基本不等式 题型一 利用基本不等式比较大小 1．阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项都有可能 【答案】A 【分析】设天平的左臂长为，右臂长为，再分别求出，，结合基本不等式判断即可. 【详解】由于天平的两臂不等长，故可设天平的左臂长为，右臂长为，. 由杠杆原理得，，解得，， 则，当且仅当取等号. 又，故. 故选：A 2．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作差法判断AC，举反例判断BD. 【详解】由于，可得，当且仅当a=b时，等号成立，可知选项A错误； 若可得则，可知选项B错误； 由于，可得，可知选项C正确； 若可得则，可知选项D错误； 故选：C. 3．已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式得到，两式相减得到，作差得到，从而得到答案. 【详解】因为，由基本不等式得， 故， 因为，，两式相减得， ，故，所以， 故，所以. 故选：B 4．比较大小： 2(填“”“”“”或“”)． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以. 故答案为：. 5.已知，，则，，，中哪一个最大？ 【答案】 【分析】先利用基本不等式判断最大数为或，再做差判断正负可得出最大的数. 【详解】因为，，所以，， 所以四个数中最大的数应为或； 又因为，，所以 所以，所以最大. 题型二 利用基本不等式求最值 1．已知正实数 满足 ，则 的最小值为（      ） A．4 B．9 C．10 D．20 【答案】B 【分析】方程两边同时除以得，利用“1的代换”即可求解. 【详解】为正实数，方程两边同时除以得， ， 当且仅当即时等号成立，故 的最小值为. 故选：. 2．已知，且满足，则（    ） A．的最小值为48 B．的最小值为 C．的最大值为48 D．的最大值为 【答案】A 【分析】对给定式子合理变形，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意得，所以， 所以，当且仅当时取等，此时，故A正确. 故选：A 3．已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【分析】将条件等式化成，由，利用1的代换法和基本不等式即可求得最小值. 【详解】解：由，得，又， 所以 .当且仅当时等号成立. 故选：B. 4（多选题）.已知正实数满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由正实数满足，可得， 当且仅当时，等号成立，所以，所以A不正确； 对于B中，由，因为，可得，所以B正确； 对于C中，由，所以，所以C不正确； 对于D中，由，当且仅当时，等号成立，所以D正确. 故选：BD. 5．已知，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】利用配凑法，结合基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， ，当且仅当，即时取等号， 故答案为：7. 6．已知实数，，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题意，利用“1”的代换，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当，即，时，取等号，所以的最小值为. 故答案为： 7．已知正数满足，则当取得最小值时， ， ． 【答案】 / / 【分析】巧用“1“可得答案. 【详解】因为正数满足， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值16. 故答案为：①，②. 题型三 利用基本不等式证明不等式 1．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】通过举例的方法，以及基本不等式，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】若，满足，但， 若，，则，即，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2（多选题）．设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式判断各选项． 【详解】对于A选项，， 当且仅当时取得等号，故A错误； 对于B选项，，故， 当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C选项，，当且仅当时取得等号，故C正确； 对于D选项，， 当且仅当时取得等号成立，故D正确． 故选：BCD. 3（多选题）．若，且，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本不等式的性质判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A选项错误； 对于B，因为，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故B选项正确； 对于C，因为，所以，解得， 当且仅当时，等号成立，故C选项正确； 对于D，因为，所以，所以，故D选项错误. 故选：BC. 4．已知a为正数，比较大小： 4. 【答案】 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 5．已知，求证：，并指出等号成立的条件． 【答案】证明见详解；时成立. 【分析】由， ，利用基本不等式即可得. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 6．已知，求证: (1); (2). 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）作“1”代换，根据基本不等式求解； （2）作“1”代换，根据基本不等式求解. 【详解】（1）， ，当且仅当，即时等号成立. （2）， . 当且仅当时，即时等号成立. 7．已知正实数，，满足． (1)若，证明：． (2)求的最大值． 【答案】(1)证明见解析;(2)3. 【分析】（1）由基本不等式和乘“”法证明即可； （2）由基本不等式变形求解即可 【详解】（1）证明：由，得， 则， 当且仅当时，等号成立，证毕． （2）因为，，， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最大值为3． 1．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（　　） A．小于 B．等于 C．大于 D．与左右臂的长度有关 【答案】C 【分析】利用杠杆原理求得顾客购得的黄金质量的表达式，依据均值定理即可得到顾客购得的黄金质量的取值范围，进而得到选项. 【详解】设天平左、右两边的臂长分别为x，y， 设售货员第一次称得黄金的质量为a克，第二次称得黄金的质量为b克， 则，解之得， 则顾客购得的黄金为（克），（当且仅当时等号成立）， 由题意知，，则克.故选：C 2．已知，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】AB作差法比较大小，举出可能成立和可能不成立的例子；C选项，利用基本不等式得到C一定正确；D选项，由基本不等式入手，举出可能成立和可能不成立的例子. 【详解】A选项，，故， 当时，，即， 当时，，即， A可能成立，也可能不成立， B选项，， 因为，所以， 当时，，当时，， 故B可能成立，也可能不成立； C选项，因为，所以，故， 所以，而，故，即，C一定正确； D选项，若，由基本不等式得， 两个等号成立的条件为，但，不妨设， 此时，当时，显然， 故可能成立，也可能不成立，D正确. 故选：ABD 3．已知正数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】对于A：∵，，. ∴，. 当且仅当，即，，取“”，∴A正确； 对于B：，由（1）知，∴. ∴.∴B正确； 对于C：. ∴，∴C错误； 对于D：， 当且仅当，即，取“”，∴D正确. 故选：ABD. 4．（1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. 【答案】（1）（i）（ii）； 【分析】根据基本不等式即可直接求解（i）（2），利用乘 “1”法即可求解（ii）， 【详解】（1）（i）由，及基本不等式，可得， 故，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为64； （ii），，， ，当且仅当且， 即，时等号成立，即 取得最小值18. 5．已知a，b都是正实数， (1)试比较与的大小，并证明； (2)当时，求证：． 【答案】(1)，证明见详解;(2)证明见详解. 【分析】（1）利用做差法可得答案； （2）利用基本不等式可得答案． 【详解】（1）结论：，当且仅当时，等号成立. 证明： ， 因为a，b都是正数，所以，当且仅当时，等号成立， 即，当且仅当时，等号成立； （2）因为a，b，c都是正数，且， 所以， 当且仅当时，等号成立． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$