两角和与差的正弦、余弦和正切公式专项训练——2025届高三数学一轮复习

两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、单项选择题 1．sin α＝，α∈，β＝，则tan (α－β)＝(　　) A．2－1　　　 B．2－3 C．2＋3 　 D．3－2 2．cos2－cos2＝(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． 3．已知sin θ＋cos ＝1，则cos ＝(　　) A． 　 B．－ C． 　 D．－ 4．若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2 cos sin β，则(　　) A．tan (α－β)＝1 　 B．tan (α＋β)＝1 C．tan (α－β)＝－1 　 D．tan (α＋β)＝－1 5．已知cos α＋cos β＝，sin α－sin β＝，则cos (α＋β)的值为(　　) A．－ 　 B． C．－ 　 D． 6．已知α，β∈，若tan α，tan β是方程x2－4x＋5＝0的两根，则α＋β＝(　　) A．－或 　 B．－ C． 　 D． 二、多项选择题 7．若5sin 2α＋5cos 2α＋1＝0，则tan α的值可能为(　　) A．2 　 B．3 C．－ 　 D．－ 8．已知cos α＝，cos (α＋β)＝－，且α，β∈，则(　　) A．cos β＝ 　 B．sin β＝ C．cos (α－β)＝ 　 D．sin (α－β)＝－ 三、填空题 9．已知α，β∈，且tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α＋β＝________． 10．已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则＝________． 四、解答题 11．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上． (1)求cos 2α的值； (2)已知α∈，sin ＝，－<β<0，求sin (α－2β)的值． 12．在①tan(π＋α)＝3；②sin (π－α)－2sin ＝cos (－α)；③3sin ＝cos 中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题． 已知0<β<α<，________，cos (α＋β)＝－. (1)求sin ； (2)求β. 13．在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高．如图为室内5人制足球场示意图，设球场(矩形ABCD)长BC大约为40 m，宽AB大约为20 m，球门长PQ大约为4 m．在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上的点M处射门(假设球贴地直线运行)，求当张角∠PMQ最大时， BM的长大约为多少(精确到1 m)． 参考答案 1．B　[sin α＝，α∈，则有cos α＝＝，tanα＝＝， tan (α－β)＝＝＝2－3.故选B.] 2．D　[因为cos＝sin ＝sin ， 所以cos2－cos2＝cos2－sin2 ＝cos＝cos ＝.故选D.] 3．A　[根据题意，sin θ＋cos ＝1， 即sin θ＋cos θ＋sin θ＝sin θ＋cos θ＝1， 故cos ＝1⇒cos ＝.故选A.] 4．C　[法一：设β＝0，则sin α＋cos α＝0，取α＝，排除A，B； 再取α＝0，则sin β＋cos β＝2sin β，取β＝，排除D.故选C. 法二：由sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝sin ＝sin ＝sin cos β＋cos sin β， 故sin cos β＝cos sin β， 故sin cos β－cos sin β＝0，即sin ＝0，故sin ＝sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，故sin (α－β)＝－cos (α－β)， 故tan (α－β)＝－1，故选C.] 5．C　[(cos α＋cos β)2＝cos2α＋2cosαcos β＋cos2β＝， (sinα－sin β)2＝sin2α－2sinαsin β＋sin2β＝， 两式相加得2＋2(cosαcos β－sin αsin β) ＝2＋2cos (α＋β)＝＝， ∴cos (α＋β)＝－.故选C.] 6．C　[由tan α，tan β是方程x2－4x＋5＝0的两根可得 tan α＋tan β＝4，tan α·tan β＝5. 所以tan α，tan β均为正数， 又α，β∈，故α，β∈， 所以tan (α＋β)＝＝＝－. 又α＋β∈(0，π)． 故α＋β＝.故选C.] 7．BD　[∵5sin 2α＋5cos 2α＋1＝0，即＝－1， 即， 即2tan2α－5tanα－3＝0， ∴tan α＝3或tan α＝－.故选BD.] 8．AC　[因为α∈，cos α＝，所以sin α＝，又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，所以sin (α＋β)＝＝，所以cosβ＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－＝，A正确．sin β＝，B错误．cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，C正确．sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，D错误．] 9．－　[由tan α＋tan β＋tan αtan β＝得 tan (α＋β)＝＝， 又α，β∈，则α＋β∈(－π，0)， 所以α＋β＝－.] 10．5　[因为sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝＝5．] 11．解：(1)由题意得，tan α＝2， ∴cos 2α＝＝＝＝－. (2)由且α∈， 解得sin α＝，cos α＝. 又sin ＝，β＋∈， ∴cos ＝. ∴cos β＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝＝， 则cos 2β＝2cos2β－1＝2×－1＝， ∵－π＜2β＜0，则sin2β＝－＝－. ∴sin(α－2β)＝sin αcos 2β－cos αsin 2β ＝＝. 12．解：(1)若选①，tan (π＋α)＝tan α＝＝3， 又因为sin2α＋cos2α＝1，0<α<， 所以sinα＝，cos α＝， 所以sin ＝sin αcos －cos αsin ＝＝. 若选②，因为sin (π－α)－2sin ＝cos (－α)，化简得sin α＝3cos α， 又因为sin2α＋cos2α＝1，0<α<，所以sinα＝，cos α＝， 所以sin ＝sin αcos －cos αsin ＝＝. 若选③，因为3sin ＝cos ，化简得3cos α＝sin α， 又因为sin2α＋cos2α＝1，0<α<，所以sinα＝，cos α＝， 所以sin ＝sin αcos －cos αsin ＝＝. (2)因为0<β<α<，且cos (α＋β)＝－，所以<α＋β<π， 所以sin (α＋β)＝＝， 所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝＝， 又因为0<β<，所以β＝. 13． 解：由题意知，PB＝8，QB＝12，设∠PMB＝α，∠QMB＝β，BM＝x，则tan α＝，tan β＝，所以tan ∠PMQ＝tan (β－α)＝＝＝＝，当且仅当x＝，即x＝时取等号，又因为≈10，所以BM的长大约为10 m 学科网（北京）股份有限公司 $$