第十七章 勾股定理单元复习专题立体图形中的最短路程问题课件-2023-2024学年人教版 数学八年级下册

人教版 · 数学 · 八年级（下） 第十七章 勾股定理 勾股定理的应用 —— 立体图形中的最短路程问题 数学来源于生活！ 抛砖引玉 一块长方形草地，在靠近路口的一角被踏出了一条“斜路”，类似的现象在我们校门前也有发生.请问同学们： （1） 人们为什么要走“斜路”呢？ （2） 经测量，这条“斜路”的一端距离直角顶点3米，另一端距离直角顶点4米，你能根据之前所学过的知识告诉我：斜“路”比正路近多少米？ （3）学生会想立一个牌子，提醒人们，请你协助完成。 少走___米，践踏何忍？ 4m 3m 两点之间，线段最短 A B 勾股定理 a2+b2=c2 实际问题 平面几何问题 平面中的最短路线很容易就可以找到，并运用勾股定理求得，那么在立体图形中呢？ 探索新知 类型一 圆柱中的最短路程 在一个圆柱石块上，已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm,若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？(π取3) A B A B A B A B 想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？ A B 探索新知 已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3. 侧面展开图 B点为何在此处？ 解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得 立体图形 平面图形 直角三角形 转化 建模 变 式 训 练 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2m，高AB是5m，π取3）? A B B B' A A' 解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离. ∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5 ∴AB'=13. 即梯子最短需13米. 变 式 训 练 看到小蚂蚁终于吃到食物的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？ 类型二 长方体中的最短路程 B A 10cm 6cm 8cm 分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有多少种情况？ B A (1)经过前面和右底面; (2)经过前面和上底面; (3)经过左面和上底面. B1 B2 10cm 6cm 8cm B3 长方体展开后，由于其棱长不完全相等，故路径长度也不相等，需分别计算再取最小值 分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短路线有3种情况. (1)经过前面和右底面; (2)经过前面和上底面; (3)经过左面和上底面. 解：由题意知有三种展开方法， 如图.由勾股定理得 ∴小蚂蚁完成任务的最短路程 为AB2，长为 AB2 ,长为 B A B1 B2 10cm 6cm 8cm B3 如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少. 练一练 B3 B2 B1 解：由题意得 AC=2，BC=1, 在Rt△ABC中，由勾股定理得 即蚂蚁爬行最短路程为 分析：正方体展开后，所经平面不同，路线也不一样，但因正方体所有棱长相等，故各路线长度相等 C 求立体图形中最短路程问题的基本方法？ “四步法” ①展：只需展开包含相关点的面，可能存在多种展开法。 ②定：确定相关点的位置。 ③连：连接相关点，构建直角三角形。 ④算：利用两点之间线段最短，及勾股定理进行计算。 立体图形 平面图形 直角三角形 转化 建模 1、如图，底面边长为1，高为1.5的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ 　）. （A）3 （B） （C）2.5 （D） 小试牛刀 A B A B 1 2.5 2 1.5 C 2、小良家有一底面周长为48cm，高为8cm的圆柱形罐，一天他发现一只蟑螂从距底面1cm的A处爬行到对角B处，你知道蟑螂的最短路线吗? 小试牛刀 解：如图为圆柱的侧面展开图, AC =7–1=5 ，BC =48× =24， 由勾股定理得 AB²=AC²+BC²=625, ∴AB=25(cm) . C A C B B A 1 2 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于36cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？ 乘胜追击 解：台阶的展开图如图，连接AB. 在Rt△ABC中，根据勾股定理得 A B C 分享收获 1、本堂课你学到了什么？ 2、学习过程中有哪些发现与质疑？ 2、学完本堂课对你的生活有什么启发？ 课堂小结 计算立体图形中的最短路线“四步法” ①展：只需展开包含相关点的面。可能存在多种展开法。 ②定：确定相关点的位置。 ③连：连接相关点，构建直角三角形。 ④算：利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。 立体图形 平面图形 直角三角形 转化 建模 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，用绿色丝带缠绕圆筒形灯罩，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？ 能力提升 课后作业 1.巩固性作业：完成作业单内容； 2.拓展性作业：完成能力提升探究题； 3.实践性作业：在实际生活中寻找立体 模型中最短路径。 $$