精品解析：2019年吉林省高职高专院校单独招生统一考试数学试题

2019年吉林省高职高专院校单独招生统一考试 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共22小题，满分150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必 须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的0.5毫米签字笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 选择题（共60分） 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 直线的斜率是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知，，那么下列不等式成立的是（ ） A B. C. D. 5. 若直线平面，直线平面，则直线与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或异面 6. 观察下列数的特点1，1，2，3，5，8，，21，34，55，…中，其中为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 7. 已知圆方程：，它的圆心所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 若向量，，，则（ ） A. 4 B. 1 C. D. 9. 一个盒子中有20张奖券，其中一等奖2张，二等奖4张，三等奖8张，小明从盒子中任取一张奖券，小明中奖的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 双曲线的方程，则它的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 12. 如图所示的4个图象中，与所给3件事物吻合最好的顺序（其中表示离开家的距离，表示离开家的时间）为（ ） ①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； ②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； ③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速． A. （1）（2）（4） B. （4）（1）（2） C. （1）（2）（3） D. （4）（1）（3） 非选择题（共90分） 二、填空题：共4小题，每空5分，共20分.把答案写在答题卡相应的位置上. 13. 在中，三内角、、成等差数列，则角等于______． 14 ______． 15. 已知抛物线方程为，则它的焦点到准线的距离是______． 16. 等差数列中，已知，则的值等于______． 三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案写在答题卡相应的位置上． 17. 已知函数． （1）求和的值； （2）说出函数的奇偶性； （3）若，求的取值范围． 18. 已知等比数列中，，. （1）求首项和公比，并写出的通项公式； （2）求数列前7项和 19. 已知向量，，． （1）求的解析式及最小正周期； （2）求的最小值及此时的值． 20. 在锐角中，、、分别为角、、所对的边，且． （1）确定的大小； （2）若，，求和的值． 21. 已知正方体中，、分别为对角线、的中点． （1）求证：平面； （2）若是中点，求证：平面平面． 22. 已知椭圆：（）的两个焦点为，，其中，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，求； （3）求面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2019年吉林省高职高专院校单独招生统一考试 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共22小题，满分150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必 须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的0.5毫米签字笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 选择题（共60分） 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集和补集的运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以，又， 所以. 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的概念分析. 【详解】当时，成立，故“” “”. 当时，或，故“” “”. 即，“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 3. 直线的斜率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将一般式方程转换斜截式方程即可求解. 【详解】将直线转换为斜截式为， 所以直线的斜率为. 故选：C 4. 已知，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质和特殊值，逐一判断即可得出答案. 【详解】对A：当时，不成立，故A选项错误， 对B：若，，故B选项错误， 对C：若，，故C选项错误， 对D：因为，，所以，故D选项正确. 故选：D. 5. 若直线平面，直线平面，则直线与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或异面 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与直线的位置关系判断即可. 【详解】 此时的直线与直线平行， 此时的直线与直线异面， 故直线与直线平行或异面. 故选:D. 6. 观察下列数的特点1，1，2，3，5，8，，21，34，55，…中，其中为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】观察规律求出数列中的项即可. 【详解】由，，可知， 该数列从第项起，每一项均为前两项的和，则. 故选：B. 7. 已知圆的方程：，它的圆心所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的标准方程求出圆心，即可求解. 【详解】由圆的方程可知圆心坐标为， 所以它的圆心所在的象限是第四象限. 故选：D. 8. 若向量，，，则（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直则内积为零列式计算即可. 详解】由可得：，解得：. 故选：A. 9. 一个盒子中有20张奖券，其中一等奖2张，二等奖4张，三等奖8张，小明从盒子中任取一张奖券，小明中奖的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式计算即可. 【详解】小明从盒子中任取一张奖券的方法数为20种， 小明中奖的方法数为种， 则小明中奖的概率为. 故选：C. 10. 双曲线的方程，则它的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据焦点在x轴的双曲线的渐近线方程求解即可. 【详解】因为双曲线的方程为， 所以可知双曲线焦点在x轴，且， 所以双曲线的渐近线方程为， 即渐近线方程为. 故选：A. 11. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较每个数值与的大小关系即可求解. 【详解】因为，所以， 且在上单调递增， 所以由可得：，即， 又因为在上单调递增， 所以由可得：，即. 综上，. 故选：C. 12. 如图所示的4个图象中，与所给3件事物吻合最好的顺序（其中表示离开家的距离，表示离开家的时间）为（ ） ①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； ②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； ③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速． A. （1）（2）（4） B. （4）（1）（2） C. （1）（2）（3） D. （4）（1）（3） 【答案】B 【解析】 【分析】根据时间和离开家距离的关系进行判断．回家后，离家的距离又变为0，可判断（1）的图象开始后不久又回归为0；由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化；由为了赶时间开始加速，可判断函数的图象上升速度越来越快． 【详解】因为s表示离开家的距离,t表示离开家的时间, ①我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里,此时离家距离不断减小，直至为0后，取了作业本后再上学，离家距离增大,所以选(4); ②我骑着车一路以常速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞耽搁了-些时间,堵塞的时间中路程不变，所以选(1); ③我出发后,心情轻松缓缓行进,后来为了赶时间开始加速，此时路程与时间的比值越来越大，所以选(2). 综上可知B选项正确. 故选：B. 非选择题（共90分） 二、填空题：共4小题，每空5分，共20分.把答案写在答题卡相应的位置上. 13. 在中，三内角、、成等差数列，则角等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】因为在中，三内角、、成等差数列， 则， 又因为， 所以角等于. 故答案为：. 14. ______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据对数和指数的运算性质运算即可. 【详解】因为. 故答案：0. 15. 已知抛物线方程为，则它的焦点到准线的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出，即可得到焦点到准线的距离. 【详解】由抛物线方程可知，，则抛物线焦点到准线的距离即. 故答案为：. 16. 等差数列中，已知，则的值等于______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据等差数列的性质进行求解即可. 【详解】因为为等差数列，又因为， 所以. 故答案为：5. 三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案写在答题卡相应的位置上． 17. 已知函数． （1）求和的值； （2）说出函数的奇偶性； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）27，27 （2）偶函数 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据函数值概念，分别求出时的函数值即可. （2）根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性. （3）由指数函数单调性即可求解. 【小问1详解】 将函数中的分别用2，-2代入得 ， 即， 【小问2详解】 因为函数的定义域为，即对于任意，都有，且， 所以是偶函数. 【小问3详解】 当时，即，，有解得或， 所以时的取值范围为或. 18. 已知等比数列中，，. （1）求首项和公比，并写出的通项公式； （2）求数列前7项和. 【答案】（1）；； （2）127 【解析】 【分析】（1）由等比数列的基本量计算出首项和公比，再求等比数列的通项公式即可. （2）由等比数列的前n项和公式计算即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为q，则，解得， 所以首项， 所以. 【小问2详解】 设数列的前n项和为， ， 则当，. 19. 已知向量，，． （1）求的解析式及最小正周期； （2）求的最小值及此时的值． 【答案】（1），. （2）的最小值为，此时. 【解析】 【分析】（1）根据向量内积坐标公式，二倍角正弦公式以及正弦型函数最小正周期公式求解即可. （2）根据正弦型函数最小值及对应的值求解即可. 【小问1详解】 ， 则最小正周期. 【小问2详解】 由（1）可知，当，即时， 有最小值，. 20. 在锐角中，、、分别为角、、所对的边，且． （1）确定的大小； （2）若，，求和的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角即可求解. （2）先求解角C的余弦值，再由余弦定理求解即可. 【小问1详解】 在锐角中，， 所以由正弦定理可得，， 因为，所以， 所以， 又因为为锐角三角形， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 由余弦定理可得，， 所以，可得， 所以，可得，或 21. 已知正方体中，、分别为对角线、的中点． （1）求证：平面； （2）若是中点，求证：平面平面． 【答案】（1）证明见详解. （2）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）取DC的中点E，根据题意可得，，由线面平行的判断定理可得QE//平面，再由面面平行的判定定理，可得答案. （2）根据题可得平面ABCD，又，则QE⊥平面ABCD，由面面垂直的判定定理，即可得出答案. 【小问1详解】 证明：取DC的中点E, 因为P、Q分别为对角线BD、的中点， 所以，AD， 平面，平面， 所以平面， 同理可得平面， 又QE∩PE=E， 所以平面PEQ//平面， 又PQ平面PEQ， 所以平面. 【小问2详解】 证明：因为几何体是正方体， 所以⊥平面ABCD， 又， 所以QE⊥平面ABCD， 因为QE平面PQE， 所以平面PQE⊥平面ABCD. 22. 已知椭圆：（）的两个焦点为，，其中，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，求； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦点可求解c的值，再由离心率可求解a的值，即可求解椭圆的标准方程. （2）联立直线与椭圆的方程，求解交点坐标，由两点间距离公式求解即可. （3）先求出到直线l的距离，再由三角形面积计算即可. 【小问1详解】 因为椭圆的焦点，可得， 又因为离心率，可得， 所以， 所以椭圆的方程为：； 【小问2详解】 设，， 联立， 整理可得：，可得或， 可得或， 所以； 【小问3详解】 由（1）可得， 由（2）可得到直线的距离， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$