精品解析：江西省2021年"三校生"统一招生考试数学试题

江西省2021年“三校生”统一招生考试真题 数 学 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷无效. 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题 共70分） 一、是非题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题做出判断，正确的填“正确”，错误的填“错误”. 1. 已知集合，则（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据题意求出集合的元素即可得解. 【详解】集合. 因为，解得或. 所以. 故答案为：错误. 2. 函数的定义域为（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】由对数型函数的定义域，分式型函数的定义域即可得解. 【详解】函数有意义. 则 解得且. 所以定义域为. 故答案为：错误. 3. 若关于x的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（ ） 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图像及二次不等式在区间内有解的问题求解. 详解】设， 则函数的图像开口向上，对称轴为， 在内，当时函数有最大值，此时 因为在内有解， 即在内有解， 所以， 解得. 故答案为：. 4. 在中，若，则是等腰直角三角形（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据余弦定理结合题目中条件判断即可. 【详解】在中，根据余弦定理可得： ， 又∵， ∴, ∴, 即， 即， 故三角形为等腰三角形. 故答案为：错误. 5. 已知，则（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】利用余弦二倍角公式和正弦二倍角公式进行化简，利用同角三角函数基本关系式即可得解. 【详解】已知得. 化简得即. 所以. 故答案为：正确. 6. 若，则（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】由作差法比较大小即可得解. 【详解】因为，所以. 所以. 故答案为：正确. 7. 将张不同的电影票全部分给个人，每人至多一张，则共有种不同的分法（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】由分步计数原理的应用即可得解. 【详解】将张不同的电影票全部分给个人，每人至多一张. 第一张有种结果. 第二张有种结果. 第三张有种结果. 根据分步计数原理共有种结果. 故答案为：正确. 8. 的二项展开式中，含的项的系数为5. （ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】由二项展开式的通项即可求解. 【详解】的二项展开式的通项为. 令，即，可得含的项的系数为. 故答案为:错误. 9. 已知向量，，若，则（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】由向量垂直的性质即可得解. 【详解】因为向量，，且. 所以. 解得. 故答案为：错误. 10. 已知等比数列的前项和为，，则数列的公比为（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】由题意求出的值，利用等比数列的通项公式代入中即可得解. 【详解】设等比数列的公比为. 由题意可知. 因为. 整理得. 解得或. 所以等比数列的公比为或. 故答案为：错误. 二、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 11. 直线经过原点和，则的斜率是（ ）. A. B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的斜率公式即可得解. 【详解】因为直线经过原点和. 所以直线的斜率为. 故选：. 12. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由与的关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以有， 解得. 故选:D. 13. 在等差数列中，若，则（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式先求公差，再利用前项和公式求解. 【详解】∵等差数列中，， ∴，解得：， . 故选：B. 14. 已知为两条异面直线所成的角，则“”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义及范围求解. 【详解】由得：或，， ∵为两条异面直线所成的角， ∴,即， 若则， 故两条异面直线所成的角能推出， 且两条异面直线所成的角可推出, 故“”是“”的充要条件， 故选：C. 15. 抛掷一枚质地均匀的硬币三次，则出现两次正面朝上，一次反面朝上的概率为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求抛掷硬币三次出现所有可能，分析出符合题意的情况，利用古典概型公式即可得解. 【详解】由题意可知，抛掷一枚质地均匀的硬币三次可能出现的结果为（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）共有种. 两次正面朝上，一次反面朝上共有种. 所以概率为. 故选：. 16. 若直线与直线互相平行，则=（ ）. A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行斜率相同求解. 【详解】∵直线的斜率， 直线的斜率， ∵两直线平行，则有， 故，解得， 经检验，满足要求. 故选：B. 17. 已知函数的单调增区间为，则的值为（ ）. A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性求解. 【详解】∵, ∴图像开口向上，对称轴为， ∵函数的单调增区间为， ∴， 解得， 故选：D. 18. 一次函数与二次函数在同一个坐标系的图像可能是是 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对四个选项逐一分析，根据二次函数图象的开口以及对称轴与轴的关系即可求得的正负，由此可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可求得答案. 【详解】对于A，由抛物线可知，，可得，由直线可知，，故选项A错误； 对于B，由抛物线可知，，可得，由直线可知，，故选项B正确； 对于C，由抛物线可知，，可得，由直线可知，，故选项C错误； 对于D，由抛物线可知，，可得，由直线可知，，故选项D错误； 故选：B. 第Ⅱ卷（非选择题 共80分） 三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 19. 不等式的解集是_______. 【答案】 【解析】 【分析】按含绝对值不等式的解法直接计算即可. 【详解】由不等式，可得 或，解得或， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 20. 若抛物线过点(1,1)，则抛物线的焦点坐标为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线上的一点，代数求抛物线解析式，再求解焦点坐标. 【详解】∵抛物线过点(1,1)， 代入得：， 解得， 所以抛物线方程为， 故抛物线的焦点为. 故答案为：. 21. 已知函数，则_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式求函数值即可得解. 【详解】因为函数 所以. 故答案为：. 22. 已知直线与圆相交于，两点，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据半径与弦心距以及弦长一半组成直角三角形求弦长. 【详解】因为圆可化为， 则其圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：. 23. .已知一个圆锥的底面直径为，高为，则它的体积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的底面直径得出底面半径，代入圆锥的体积公式即可得解. 【详解】由题意可知圆锥的底面直径为，所以底面半径为. 所以圆锥的体积为. 故答案为：. 24. .在一次射击测试中，甲、乙两名运动员各射击五次，命中的环数分别为：甲:5，10，6，9，10；乙：7，8，8，9，8，记、分别为甲、乙命中环数的平均数，、分别为甲，乙向中环数的标准差，则_______（填“>”，“<”或“=”）. 【答案】 【解析】 【分析】先求标准差，再比较大小. 【详解】解法一（对应人教版）：∵甲：5，10，6，9，10； 则甲的平均数， 甲的标准差：， ∵乙：7，8，8，9，8， 则乙的平均数， 乙的标准差， ∴， 故答案为：. 解法二（对应高教版）：∵甲：5，10，6，9，10； 则甲的平均数， 甲的标准差：， ∵乙：7，8，8，9，8； 则乙的平均数， 乙的标准差， ∴， 故答案为：. 四、解答题：本大题共6小题，25~28小题每小题8分，29~30小题每小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤. 25. 已知等比数列的各项均为正数，且. （1）求和； （2）求数列前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）根据通项公式，列方程组可求解； （2）根据等比数列的求和公式可求解. 【小问1详解】 由题知，解得. 即. 【小问2详解】 由（1）知，. 26. 已知，，分别为内角A，B，C的对边，且，，． （1）求的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数的正切值求角的正弦值，再根据正弦定理求解. （2）根据正弦定理三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 ∵，且， ∴， ∴， 根据正弦定理得：， 解得：. 【小问2详解】 由余弦定理得，， 代入得， 整理得，解得或， ∵，则， ∴的面积为. 27. 已知函数的图像过点，且且． （1）求的值以及函数的定义域； （2）求函数在区间上的最大值． 【答案】（1）,定义域 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数恒过定点求的值，根据真数大于零确定函数的定义域. （2）根据对数函数的单调性，以及二次函数的最值求复合函数的最大值. 【小问1详解】 ∵函数的图像过点，且且， 代入得：， 即， 解得：. ∵函数， 由函数定义可得： ， 解得， 故函数定义域为：. 【小问2详解】 由（1）得函数， ， ， 令 ∵， ∴函数为单调增函数， 故当最大时，的值最大， ∵在内，当时，最大值，此时， 故函数在区间上的最大值为. 28. 已知向量，满足，，． （1）求向量，的夹角； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据化简求得，再根据向量内积的定义求夹角的余弦值. （2）根据向量内积及向量的模的概念求. 【小问1详解】 ∵, 化简得： ∵， ∴， 解得：， ∵, ∴, ∵, ∴ 【小问2详解】 . 29. 某次计算机考试中，道试题中有道简答题和道操作题，每次从中随机抽出道题，选中的题不再放回，求： （1）第次抽到简答题且第次抽到操作题的概率. （2）在第次抽到简答题的条件下，第次抽到操作题的概率. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）由题意代入概率公式即可得解. （）根据题意结合条件概率的公式即可得解. 【小问1详解】 设事件表示“第次抽到简答题”，事件表示“第次抽到操作题”. 则，. 【小问2详解】 在第次抽到简答题的条件下，第次抽到操作题的概率为. . 30. 如图，在三棱柱中，侧棱平面，为正三角形，且，EF分别为CC1，BC的中点. （1）求证：EF⊥平面； （2）求锐二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理求证. （2）先找到二面角的平面角，再求大小. 【小问1详解】 ∵在三棱柱中，侧棱平面, ∴侧棱平面， ∵平面， 则， 为正三角形，且为中点， ∴， ∵，且两直线在平面内， ∴平面， ∵平面， ∴； ∵E为CC1的中点，， 则， 连接，如图： 则， ∵F为BC的中点， ∴， ∴在直角中，， 在直角中，， 在直角中，， ∵中， 故为直角三角形，直角为， 即; ∵、在平面内，, ∴平面 【小问2详解】 ∵，、在平面内， ， ∴平面，则， 过点作于点，连接， ∵，，与在平面内，且 ∴平面， 得， ∴就是二面角的平面角， 由等面积法得， 又∵， ∴， ∴， ∴锐二面角的大小为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江西省2021年“三校生”统一招生考试真题 数 学 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷无效. 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题 共70分） 一、是非题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题做出判断，正确的填“正确”，错误的填“错误”. 1. 已知集合，则（ ） 2. 函数的定义域为（ ） 3. 若关于x的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（ ） 4. 在中，若，则是等腰直角三角形（ ） 5. 已知，则（ ） 6. 若，则（ ） 7. 将张不同的电影票全部分给个人，每人至多一张，则共有种不同的分法（ ） 8. 的二项展开式中，含的项的系数为5. （ ） 9. 已知向量，，若，则（ ） 10. 已知等比数列的前项和为，，则数列的公比为（ ） 二、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 11. 直线经过原点和，则的斜率是（ ）. A. B. C. D. 不存在 12. 已知，则（ ） A. B. C. D. 13. 在等差数列中，若，则（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 14. 已知为两条异面直线所成的角，则“”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 15. 抛掷一枚质地均匀硬币三次，则出现两次正面朝上，一次反面朝上的概率为（ ）. A. B. C. D. 16. 若直线与直线互相平行，则=（ ）. A. 2 B. C. 1 D. 17. 已知函数的单调增区间为，则的值为（ ）. A. 1 B. 2 C. D. 18. 一次函数与二次函数在同一个坐标系的图像可能是是 （　　） A. B. C D. 第Ⅱ卷（非选择题 共80分） 三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 19. 不等式的解集是_______. 20. 若抛物线过点(1,1)，则抛物线的焦点坐标为_______________. 21. 已知函数，则_______________. 22. 已知直线与圆相交于，两点，则_________. 23. .已知一个圆锥的底面直径为，高为，则它的体积为____________. 24. .在一次射击测试中，甲、乙两名运动员各射击五次，命中的环数分别为：甲:5，10，6，9，10；乙：7，8，8，9，8，记、分别为甲、乙命中环数的平均数，、分别为甲，乙向中环数的标准差，则_______（填“>”，“<”或“=”）. 四、解答题：本大题共6小题，25~28小题每小题8分，29~30小题每小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤. 25. 已知等比数列的各项均为正数，且. （1）求和； （2）求数列前项和. 26. 已知，，分别为内角A，B，C对边，且，，． （1）求的值； （2）求的面积． 27. 已知函数的图像过点，且且． （1）求值以及函数的定义域； （2）求函数在区间上的最大值． 28 已知向量，满足，，． （1）求向量，的夹角； （2）求的值. 29. 某次计算机考试中，道试题中有道简答题和道操作题，每次从中随机抽出道题，选中的题不再放回，求： （1）第次抽到简答题且第次抽到操作题的概率. （2）在第次抽到简答题的条件下，第次抽到操作题的概率. 30. 如图，在三棱柱中，侧棱平面，为正三角形，且，EF分别为CC1，BC的中点. （1）求证：EF⊥平面； （2）求锐二面角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$