21.2解一元二次方程 同步练习题 2024-2025学年人教版九年级数学上册

2024-2025学年人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．用配方法解关于x的一元二次方程，配方后的方程可以是（    ） A． B． C． D． 2．如果关于的一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　） A． B． C． D． 3．三角形两边长分别为3和4，第三边长是方程的根，则三角形周长为（    ） A．1.5 B．13 C．12或14 D．12 4．关于x的方程有实数根，则a满足（    ） A．且 B．且 C． D． 5．设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　） A．1 B． C．3或 D．1或 6．已知m，n是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值等于(    ) A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 7．若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是（    ） A． B． C． D． 8．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．写出方程的一个解 ． 10．若实数x满足，则 ． 11．若两个不同的实数m、n满足，，则 ． 12．关于x的方程的两个实数根互为相反数，则k的值是 ． 13．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 14．已知一元二次方程，有两个根，两根之和为正数，两根之积是负数，写出一组符合条件的a、b的值 ． 15．若方程的两个不相等的实数根，恰好是一个直角三角形的两条边长，则此直角三角形的第三条边长是 ． 16．对于一元二次方程，下列说法： 若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有 个．（填个数） 三、解答题 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程的一个根是1，求a的值； (2)在（1）的条件下，用配方法解该方程． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是原方程的两根，且，求m的值． 20．已知关于的一元二次方程，其中a，b，c分别是的三边的长度． (1)如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根； (2)如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 22．定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断方程是否为“差积方程”？并验证； (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 参考答案 1．解： ， 故选：A． 2．解：∵关于的一元二次方程能用公式法求解， ∴， 故选：B． 3．解：， ， ，， 角形两边长分别为3和4，第三边长是方程的根， （舍）， 则三角形周长， 故选：D． 4．解：当，即时，原方程变为， 解得， 当，即时， 由题意得：， 解得：． 综上可知，当时，方程有实数根 故选C． 5．解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ， 解得：或， 当时，原方程为，， 则原方程有实数根，符合题意； 当时，原方程为，， 则原方程无实数根，不符合题意； 综上：． 故选：A． 6．解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ， 故选C． 7．解：设关于的方程的两个根为， ∴，， ∴关于y的方程的两根为， ∴． 故选C． 8．解：设菱形的两条对角线长分别为， 则， ∴， ∵菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴菱形的边长， 故选：． 9．解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 10．解：设， ∵， ∴， 解得：或， 当时，即：， ∵， ∴此时无解，舍去； ∴， 故答案为：6． 11．解：由题可得：，， ∴m、n是关于x的一元二次方程的两个不等实数根， ∴， ∴， 故答案为：3． 12．解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，且两个实数根互为相反数，则 ，即， 当时，方程无解，故舍去． ， 故答案为： 13．解：根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 14．解：一元二次方程有两个根， ， ， 两根之和为正数，两根之积是负数， ∴，， ， 令，． 故答案为：，（答案不唯一）． 15．解：解方程得：或5， 即直角三角形的两边为12或5， 当12为直角边时，第三边为：； 当12为斜边时，第三边为：； 故答案为：13或． 16．解：①若方程有一根，则，即，故①正确； ②若，则可知方程有一个根为， 则，故②正确； ③若方程的两个根是， 所以方程的两个根为，，故③正确； ④若c是方程的一个根， 则， 当时，则一定有成立，故④错误． 综上分析可知：其中正确的是①②③，共3个． 故答案为：3． 17．（1）解：将原方程化简可得：， ∴ ∴ （2）解：移项可得：， ∴ ∴，． 18．（1）解：将代入原方程得． 整理得． 解得． ∵， ∴． 所以的值为． （2）将代入方程得． 即． 配方得． 开方得． 所以方程的解为，． 19．（1）证明：由题意得， ， ∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵，是原方程的两根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或. 20．（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 即， 解得：； （2）解：原方程有两个不相等的实数解 理由：∵是以为斜边的直角三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴原方程有两个不相等的实数解 21．（1）证明：方程为：， 方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得， 解得：， 实数的值为． 22．解：（1）方程是“差积方程”， 证明：， 即， 解得，， ， 是差积方程； （2）解：， 解得方程的解为：，， 是差积方程， ， 即：或． 解得：或， （3）解： ， 解得，， 是差积方程， ， 即， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $$