数学广角-鸡兔同笼（讲义）-2023-2024学年四年级下册数学人教版

数学广角-鸡兔同笼 （知识梳理+案例讲解+巩固提升训练） 1、 植树问题中：两端都种时，棵数=段数+1                 两端都不种时，棵数=段数-1                只种一端时，棵数=段数                封闭图形植树，跟只种一端一样，棵数=段数 2、 方阵问题：会画图来分析题目。 每边最多的时候，四个角上有一个不要重复计算。 所以计算时，（每边最多数-1）× 几条边= 最外层的总数  还要会反过来算：  （最外层的总数+几条边）÷几条边=每边最多数 【例题一】张老师带领四（1）班45名学生栽树，张老师栽了5棵，男生每人栽3棵，女生每人栽2棵，一共栽树119棵。四（1）班男生有（    ）名。 A．16 B．21 C．24 D．29 【分析】根据题意可知，学生一共栽树119－5＝114棵。假设全是女生，则共栽树45×2棵。比114棵少114－45×2棵。每名女生比男生少栽树3－2棵。则男生共有（114－45×2）÷（3－2）名。 【详解】119－5＝114（棵） （114－45×2）÷（3－2） ＝（114－90）÷1 ＝24（名） 则四（1）班男生有24名。 故答案为：C。 【点精】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设法进行分析比较，进而得出结论。 【例题二】小红参加数学竞赛，一共10道题目，规定答对一题得10分，答错题倒扣5分，小红10道题全部答完却只得了70分，小红答对了几道题？ 【分析】根据题意可知，可以先假设小红10道题全部答对，求出10道题的满分。因为答对一题得10分，答错题倒扣5分，则每错一道题就应在满分的基础上减去15。求出小红的得分与满分的差，再求出差里面有几个15分，即为小红答错题目的数量。进而求出答对题目的数量。 【详解】假设小红全部答对，则得分为10×10＝100（分）。 每错一题在100分的基础上扣10＋5＝15（分）。 （100－70）÷15＝2（道） 10－2＝8（道） 答：小红答对了8道。 【点睛】解决本题的关键是明确每错一道题就应在满分的基础上减去15。看少得了几个15分，就错了几道题。 【例题三】三（1）班同学去划船，总共租了15条船，小船每条坐2人，大船每条坐4人，已知坐大船的人数比坐小船的多6人，问大船、小船各租了多少条？ 【分析】假设15条全坐大船，那么有15×4＝60（人），大船比小船多6人，所以有60－6＝54（人）需要调整；大船4人减少，小船2人增加，每条大船补到小船的人，差距缩小6人，一共54人需要调整，每条小船调整涉及6人，计算出需要9条小船。总共租了15条船减去小船的数量，即是大船数量，依此解答即可。 【详解】15×4＝60（人） 60－6＝54（人） 4＋2＝6（人） 54÷6＝9（条） 15－9＝6（条） 答：大船租了6条，小船租了9条。 【点睛】明确题中的鸡兔同笼技巧是解题的关键。 一、选择题 1．28名师生去公园划船，恰好坐满了大、小船共5只，大船每只坐6人，小船每只坐4人，租了（    ）只小船。 A．1 B．2 C．3 2．鸡兔同笼，一共有260只脚，并且兔子比鸡多20只，那么笼子里有(      )． A．鸡40只，兔60只 B．鸡30只，兔50只 C．鸡20只，兔40只 3．聪聪一家5人去游乐园玩，买门票共用了64元，儿童有(　　)人． A．1 B．2 C．3 4．绿水青山就是金山银山。张庄小学六年级10名学生利用周末参加义务植树活动，共植树46棵，男生每人植树5棵，女生每人植树4棵。男生有（    ）人。 A．4 B．5 C．6 D．8 5．自行车和三轮车共20辆，轮子共44个，其中三轮车有（    ）辆。 A．4 B．8 C．16 二、填空题 6．读书节期间，四年级共展出了68张自办小报，贴在10块展板上展示，每块大展板贴8张，每块小展板贴5张。大展板有( )块，小展板有( )块。 7．学校买来篮球和排球共10个，一共花了364元。已知每个篮球42元，每个排球28元，那么篮球买了( )个，排球买了( )个。 8．四年级举行“古诗词”知识问答赛，共20道题。答对一题得5分，答错或少答一题倒扣2分，小美得了72分，她答错或少答了( )道题。 9．数学竞赛共20道题，答对1题得5分，答错1题倒扣1分。小王同学在竞赛中全部答完得了82分，他答对( )道题。 10．大约一千五百年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题∶“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”趣题中的雉有( )只，兔有( )只。 11．学校门口停有自行车和三轮车共18辆车子，共有48个轮子。其中自行车有( )辆，三轮车有( )辆。 12．停车场有摩托车和小汽车共24辆．小汽车有4个轮子，摩托车有2个轮子，这些车一共有84个轮子．小汽车有( )辆，摩托车有( )辆． 13．某社区为了更好地开展垃圾分类，规定：每次正确投放垃圾获得10个积分，错误投放倒扣5个积分。塘塘家4月一共投放垃圾30次，活动积分240个，他家这个月正确投放垃圾( )次。 14．公园的小船每条能坐4人，大船每条能坐6人。四（2）班56名师生去公园划船，租了大船和小船共10条，正好坐满。他们租了( )条大船和( )条小船。 15．钢笔每支8元，圆珠笔每支2元，两种笔共买了11支，一共花了64元。钢笔买了( )支，圆珠笔买了( )支。 三、判断题 16．鸡和兔共10个头，34条腿，鸡有7只，兔有3只。( ) 17．动物园里有百灵鸟和松鼠共17只，它们共有54条腿，则百灵鸟有7只，松鼠有10只。( ) 18．丽丽的压岁钱里有面值20元和50元的人民币共计30张，总金额是1200元。丽丽20元的人民币一共有10张。( ) 19．大小两种钢珠共10颗，共重94克，大钢珠每颗重11克，小钢珠每颗重7克，大钢珠有6颗，小钢珠有4颗。( ) 20．龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。求龟有几只？可以列式为：（112－40×2）÷（4－2）。( ) 21．一次数学竞赛有20道题，对1题得5分，错1题倒扣3分，小强全做了，只得60分，他答对了15道题。( ) 四、解答题 22．植树节那天，班主任带着全班35名同学去植树。班主任自己种了6棵树，每名男生种了4棵，每名女生种了2棵，师生一共种了112棵树。那么全班有多少名男生？ 23．长途车票8元一张，短途车票3元一张，共50人买票，长途票比短途票款多180元，买长途票和短途票的各多少人？ 24．某小学“环保小卫士”小分队12人参加植树活动。男生每人栽5棵，女生每人栽3棵，一共栽了50棵。男、女生各有几人？ 25．五一小长假，李宇航和小伙伴们一行9人到动物园观看动物表演，表演时李宇航发现，羊驼和鸵鸟一共有13个头，有36条腿，请你帮他算算羊驼和鸵鸟分别有多少只？ 26．端午节到了，学校手工兴趣小组有27名同学一起包粽子，男同学每人包了3个，女同学每人包了4个，一共包了96个粽子。女同学有多少人？ 27．小明用4辆大卡车和6辆小卡车共运货物48吨，每辆大卡车比每辆小卡车多运2吨。两种卡车的载重量各是多少吨？ 28．李老师为朗诵比赛获奖的同学买钢笔和笔记本作奖品。每支钢笔8元，每本笔记本5元，共买了8件奖品，花去58元。钢笔和笔记本各买了多少？ 29．军训的地点非常偏僻，手机没有通信网络信号，只能写信给家里。丁丁需要购买邮票，他用10元钱买了面值5角和2角的邮票，共买了23张，问两种邮票各有多少张？ 30．学校有象棋、跳棋共26副，恰好可供120个学生同时进行活动．象棋2人下一副，跳棋6人下一副．则象棋和跳棋各有几副？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】假设租的5只船都是大船，则有人数5×6＝30人，比实际人数多了30－28＝2人，租一只大船比一只小船多坐6－4＝2人，所以小船只数为：2÷2＝1只。 【详解】假设租的5只船都是大船，则小船有： （5×6－28）÷（6－4） ＝（30－28）÷2 ＝2÷2 ＝1（只） 故答案为：A。 【点睛】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设法。 2．B 【分析】把兔比鸡多的80只脚从260只脚中去掉，就剩下兔和鸡相同的只数了，相同只数的情况下，兔的脚数是鸡的2倍，鸡、兔和起来的脚数是鸡的（2+1）倍，求出鸡的脚数除以2就得出鸡的个数．鸡的个数加上20只就是兔的只数． 【详解】鸡：（260-20×4）÷（1+2）÷2=30（只）； 兔：30+20=50（只）． 故答案为B． 3．B 【解析】假设都是大人，则买门票要5×16=80元，80元比64元多16元，这是由于把小孩看作大人来算多出的，一个小孩按大人算多16-8=8元，用多出来的钱除以一个小孩按大人算多的钱就得儿童人数。 【详解】5×16÷（16-8）=2（人） 故答案为：B 【点睛】本题考查学生对鸡兔同笼问题知识的掌握。 4．C 【分析】假设全部是女生，则总共植树应有（10×4）棵数，但实际共植树46棵，又因为每个男生比每个女生多植1棵数，用植树的总棵数之差除以每个男生比每个女生多植的棵树，计算出男生的人数，据此解答。 【详解】（46－10×4）÷（5－4） ＝（46－40）÷1 ＝6÷1 ＝6（人） 故答案为：C 【点睛】解答本题的关键要熟练掌握用假设法来解决鸡兔同笼问题。 5．A 【分析】假设全是自行车，那么就有20×2＝40个轮子，比已知44个轮子多了44－40＝4个，1辆三轮车比1辆自行车多3－2＝1个轮子，由此即可得出三轮车有4÷1＝4辆，由此即可解答。 【详解】假设全是自行车，则三轮车有： （44－20×2）÷（3－2） ＝（44－40）÷1 ＝4÷1 ＝4（辆） 其中三轮车有4辆。 故答案为：A 【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论。 6． 6 4 【分析】假设应用的全是小展板，则比实际少展出了（68－5×10）张，而每块小展板比每块大展板少展出（8－5）张，可得应用大展板：（68－5×10）÷（8－5）＝6（块）；小展板：10－6＝4（块）。 【详解】（68－5×10）÷（8－5） ＝（68－50）÷3 ＝18÷3 ＝6（块） 10－6＝4（块） 所以，大展板有6块，小展板有4块。 【点睛】熟练掌握“鸡兔同笼”问题的解题方法，是解答此题的关键。 7． 6 4 【分析】假设全是篮球，则花费了42×10＝420元，比实际花费的钱数多420－364＝56元。每个排球比每个篮球少42－28＝14元。则排球共买了56÷14＝4个。用买篮球和排球总个数减去买排球个数，求出买篮球个数。 【详解】假设全是篮球，排球个数为： （42×10－364）÷（42－28） ＝（420－364）÷14 ＝56÷14 ＝4（个） 篮球个数为：10－4＝6（个） 【点睛】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设法进行分析比较，进而得出结论。 8．4 【分析】假设全部答对，20×5＝100分，比实际多了：100－72＝28（分）；答对一题比答错或少答一题多：5＋2＝7（分），因此答错了：28÷7＝4（题） 【详解】20×5＝100分 100－72＝28（分） 5＋2＝7（分） 28÷7＝4（题） 【点睛】熟练掌握鸡兔同笼问题是解答此题的关键。 9．17 【分析】假设20道题全部答对，则共得20×5分，比82分多20×5－82分。答对1题得5分，答错1题倒扣1分，则答错1道题比答对1道题少得5＋1分。所以答错的题数是（20×5－82）÷（5＋1）道。再用20减去答错的题数即为答对的题数。 【详解】（20×5－82）÷（5＋1） ＝（100－82）÷6 ＝18÷6 ＝3（道） 20－3＝17（道） 【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论。 10． 23 12 【分析】假设全是兔，则有（35×4）条腿，即140条腿，比实际多了（140－94）条腿，即46条腿；而每只兔比每只雉多（4－2）条腿；所以雉有（46÷2）只，用雉和兔的总只数减去雉的只数就是兔的只数。 【详解】（35×4－94）÷（4－2） ＝46÷2 ＝23（只） 35－23＝12（只） 【点睛】本题考查了鸡兔同笼问题，可以用枚举法也可以用假设法解题。 11． 6 12 【分析】假设全是三轮车，那么就有18×3＝54（个）轮子，比已知48个轮子多了54－48＝6（个）轮子，1辆三轮车比1辆自行车多3－2＝1（个），由此即可得出自行车有6÷1＝6（辆），则三轮车有18－6＝12（辆），由此即可解答。 【详解】假设全是三轮车，则自行车有： （18×3－48）÷（3－2） ＝（54－48）÷1 ＝6÷1 ＝6（辆） 三轮车有： 18－6＝12（辆） 其中自行车有6辆，三轮车有12辆。 【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论。 12． 18 6 【详解】略 13．26 【分析】假设全部正确投放，求出30次正确投放的积分比实际活动积分多多少分，再除以一次错误投放当作正确投放多得的积分，即等于错误投放的次数，总共投放的次数减错误投放的次数即等于正确投放的次数，据此即可解答。 【详解】错误投放次数为： （10×30－240）÷（10＋5） ＝60÷15 ＝4（次） 正确投放次数为：30－4＝26（次） 他家这个月正确投放垃圾26次。 【点睛】本题是鸡兔同笼问题，可以用假设法进行解答。 14． 8 2 【分析】假设全是大船，则应该有（人），但实际上只有56人，相差（人），原因是把其中的小船全算成了大船，每条多算了2人，所以小船有（条），大船有（条）。 【详解】10×6－56 ＝60－56 ＝4（人） 4÷（6－4） ＝4÷2 ＝2（条） 10－2＝8（条） 【点睛】熟练掌握鸡兔同笼问题解题方法是解答本题的关键。 15． 7 4 【分析】假设都买的钢笔，依此计算出买11支钢笔花的钱数，实际花的钱数与买11支钢笔花的钱数的差，1支钢笔和1支圆珠笔的价钱差，然后用实际花的钱数与买11支钢笔花的钱数的差，除以1支钢笔和1支圆珠笔的价钱差，得到的数就是买圆珠笔的支数，然后用两种笔共买的支数减去买圆珠笔的支数就是买钢笔的支数，依此计算。 【详解】11×8＝88（元） 88－64＝24（元） 8－2＝6（元） 24÷6＝4（支） 11－4＝7（支） 即钢笔买了7支，圆珠笔买了4支。 【点睛】此题考查的是鸡兔同笼问题的计算，应熟练掌握应用假设法解答此类题型。 16．× 【分析】假设有10只鸡，那么有20条腿。用实际的34条腿减去20条，求出兔子多出的腿数，再将其除以2，求出兔子有多少只，从而利用减法求出鸡有多少只。 【详解】（34－10×2）÷2 ＝（34－20）÷2 ＝14÷2 ＝7（只） 10－7＝3（只） 所以，兔子有7只，鸡有3只。 故答案为：× 【点睛】本题考查了鸡兔同笼，熟练运用假设法是解题的关键。 17．√ 【分析】假设全是松鼠，则一共有17×4＝68条腿，这比已知的54条多了68﹣54＝14条，因为1只松鼠比1只百灵鸟多4﹣2＝2条腿，据此可得百灵鸟有14÷2＝7只，据此即可解答问题。 【详解】假设全是松鼠，则百灵鸟有： (17×4﹣54)÷(4﹣2) ＝14÷2 ＝7（只）， 所以松鼠有：17﹣7＝10（只）， 即：百灵鸟有7只，松鼠有10只，所以原题说法正确。 故答案为：√。 【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。 18．√ 【分析】假设全是50元的人民币，应该有50×30元钱，比实际钱数要多，因为每张20元的多算了50－20元，用多出来的钱数÷每张多算的钱数，就是20元人民币的张数。 【详解】（50×30－1200）÷（50－20） ＝（1500－1200）÷30 ＝300÷30 ＝10（张） 20元的人民币一共有10张，所以原题说法正确。 【点睛】本题考查了鸡兔同笼，解决此类问题一般用假设法。 19．√ 【分析】假设全是大钢珠，则应有10×11＝110克，实际却有94克。这个差值是因为实际上每个小钢珠比每个大钢珠少11－7＝4克，因此用除法求出假设比实际多的数量里面有多少个4克，就是有多少个小钢珠。再用减法即可求出大钢珠的数量，据此判断即可。 【详解】假设全是大钢珠，则小钢珠有： （10×11－94）÷（11－7） ＝（110－94）÷4 ＝16÷4 ＝4（颗） 大钢珠有：10－4＝6（颗） 与题干中大钢珠有6颗，小钢珠有4颗相符，原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。 20．√ 【分析】假设全是鹤，则所有鹤的腿的只数是：40×2，因为一只龟比一只鹤多（4－2）条腿，看假设情况比112少的腿的只数是2的几倍，就表示龟的只数。列式解答即可。 【详解】假设全是鹤，则腿的只数为：40×2 实际腿的只数比假设多的数量为：112－40×2 龟的只数为：（112－40×2）÷（4÷2） 故答案为：√ 【点睛】此题属于典型的鸡兔同笼题，解答此题的关键是先进行假设，然后根据假设后的情况计算出实际腿的只数比假设多出的腿的只数是2的几倍就是龟的只数。 21．√ 【分析】假设20道题全做对，则得20×5＝100分，这样就少得100－60＝40分；最错一题比做对一题少5＋3＝8分，也就是做错40÷8＝5道题，则做对的是20－5＝15道。 【详解】答错的是： （20×5－60）÷（3＋5） ＝40÷8 ＝5（道） 20－5＝15（道） 所以，他做对了15道题。 故答案：√ 【点睛】此题考查的是鸡兔同笼问题，解决鸡兔同笼问题往往用假设法解答，有些应用题中有两个或两个以上的未知量，思考问题时，可以假设要求的两个或两个以上的未知量相等，或假设它们为同一种量，然后按照题中的已知条件进行推算，如果数量上出现矛盾，可适当调整，以求出正确的结果。 22．18名 【分析】同学们共植树棵。假设全是女生，则会植树35×2＝70（棵）比实际植树少了106－70＝36（棵），每名女同学比每名男同学少植树（4－2）＝2（棵），36÷2＝18就是男同学的人数。 【详解】（112－6－35×2）÷（4－2） ＝（106－70）÷2 ＝36÷2 ＝18（名） 答：全班有18名男生。 【点睛】这属于鸡兔同笼问题，运用假设法，假设全是女生，从而解决问题，求出男生人数。 23．购买长途票的有30人，购买短途票的有20人 【详解】解：设购买长途票的有x人，则购买短途票的有（50－x）人。 8x－3×（50－x）＝180 8x－150＋3x＝180 11x＝330 x＝30     50－x＝20 答：购买长途票的有30人，购买短途票的有20人。 24．男生7人；女生5人 【分析】假设12人全部是男生，则一共植树12×5＝60棵，这比已知的50棵多了60－50＝10棵，又因为1个男生比一个女生多植树5－3＝2棵，由此可得参加植树的女生有10÷2＝5人，则男生有12－5＝7人。 【详解】假设12人全部是男生，则女生有： （12×5－50）÷（5－3） ＝（60－50）÷2 ＝10÷2 ＝5（人） 男生有：12－5＝7（人） 答：男生有7人；女生有5人。 【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，解答这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论。 25．羊驼5只；鸵鸟8只 【分析】假设都是鸵鸟，用计算所得腿数与实际腿数的差，除以每只羊驼与鸵鸟的腿数的差，求出羊驼的数量，再求鸵鸟的只数即可。 【详解】假设都是鸵鸟，则羊驼有： （36－13×2）÷（4－2） ＝（36－26）÷2 ＝10÷2 ＝5（只） 鸵鸟有：13－5＝8（只） 答：羊驼5只，鸵鸟8只。 【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论。 26．15人 【分析】假设全是男同学，应该包27×3个粽子，比实际少包了（96－27×3）个粽子，因为每个男同学比每个女同学少包4－3＝1（个），比实际少包的粽子个数÷每个男同学比每个女同学少包的个数＝女同学的个数；据此解答。 【详解】假设全是男同学 96－27×3 ＝96－81 ＝15（个） 4－3＝1（个） 女同学：15÷1＝15（人） 答：女同学有15人。 27．小卡车的载重量是4吨，大卡车的载重量是6吨。 【详解】如果将4辆大卡车换成4辆小卡车，则总数48吨减少4个2吨，即48－4×2＝40吨。这40吨就是原有的6辆小卡车和换成的4辆小卡车运的，所以每一辆小卡车的载重量是40÷10＝4吨，大卡车的载重量是4＋2＝6（吨）。 列式：小卡车（48－4×2）÷（4＋6）＝4（吨） 大卡车4＋2＝6（吨） 答：小卡车和大卡车的载重量分别是4吨和6吨。 28．钢笔买了6支；笔记本买了2本 【分析】假设全部是买的笔记本，单价×数量＝总价，依此计算出买8本笔记本需要的钱，实际用去的钱与8本笔记本需要的钱的差，1支钢笔与1本笔记本的价钱差，然后用实际用去的钱与8本笔记本需要的钱的差除以1支钢笔与1本笔记本的价钱差就得到买钢笔的数量，再用8减去买钢笔的数量就得到买笔记本的本数。 【详解】钢笔：（58－5×8）÷（8－5） ＝18÷3 ＝6（支） 笔记本：8－6＝2（本） 答：钢笔买了6支，笔记本买了2本。 【点睛】熟练掌握鸡兔同笼问题的计算是解答此题的关键。 29．5角18张；2角5张 【分析】假设丁丁购买的23张邮票都是2角面值的，则会花掉2×23＝46（角），10元＝100（角），比已知条件中少100－46＝54（角），由于1张面值5角的邮票比一张面值2角的邮票多5－2＝3（角），用54÷3＝18（张），即是5角面值的张数；23－18＝5是面值2角的邮票的张数；据此解答。 【详解】10元＝100（角）， （100－2×23）÷（5－2） ＝（100－46）÷3 ＝54÷3 ＝18（张） 23－18＝5（张） 答：面值5角的邮票有18张；面值2角的邮票有5张。 【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论。 30．跳棋有17副，象棋有9副 【分析】本题可列方程进行解答，设共有象棋x副，则有跳棋26－x副，由于象棋2人下一副，跳棋6人下一副，恰好可供120个学生同时进行活动，由此可得方程：2x＋（26－x）×6＝120，解此方程即得象棋多少副，进而求得跳棋有多少副。 【详解】解：设共有象棋x副，则有跳棋26－x副，可得方程： 2x＋（26－x）×6＝120 2x＋156－6x＝120 4x＝36 x＝9 26－9＝17（副） 答：跳棋有17副，象棋有9副。 【点睛】在解决鸡兔同笼问题中，用一元一次方程解答比假设法更容易让学生理解。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$