第11章 三角形 基础题过关检测★【7个考点50题专练】—【冲刺满分】2024—2025学年人教版数学八年级上册

第11章 三角形 基础题过关检测★ 【7个考点50题专练】 【冲刺满分】2024−2025学年 人教版数学八年级上册 1 一．三角形的角平分线 二．三角形三边关系 三．三角形内角和定理 四．三角形的外角性质 五．直角三角形的性质 六．多边形 七．多边形内角与外角 2 一．三角形的角平分线 3 1.如图，△ABC中，AD⊥BC交BC的延长线于D点，BE⊥AC交AC的延长线于E，FC⊥BC，下列说法错误的是( ____ ) A.AD是△ABC的高 B.BE是△ABC的高 C.BC是△BCF的高 D.线段CF长表示点C到直线AB的距离 【解析】解：A、AD是△ABC的高，说法正确，不符合题意； B、BE是△ABC的高，说法正确，不符合题意； C、BC是△BCF的高，说法正确，不符合题意； D 4 D、线段CF长不能表示点C到直线AB的距离，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 5 二．三角形三边关系 6 2.若一个三角形的三边长分别为2、6、a,则a的值可以是( ____ ) A.3 B.4 C.7 D.8 【解析】解：∵三角形的三边长分别为2，6，a, ∴6-2＜a＜6+2，即4＜a＜8， 故选：C． C 7 3.已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为-1，1，x,7，点C在线段BD上且不与端点重合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x的取值范围是( ____ ) ____________________________ A.1＜x＜7 B.2＜x＜6 C.3＜x＜5 D.3＜x＜4 【解析】解：由点在数轴上的位置得：AB=1-(-1)=2，BC=x-1，CD=7-x, C 8 由三角形三边关系定理得： ， 不等式①恒成立， 由不等式②得：x＞3， 由不等式③得：x＜5， ∴不等式组的解集是3＜x＜5， 故选：C． 9 4.五条线段的长度分别为3，4，m,n,14(m,n均为整数，且4＜m＜n＜14)，已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为( ____ ) A.7 B.8 C.9 D.11 【解析】解：由题意，4＜m＜7，则m的值为5或6． 若m=5，5＜n＜9，n最大取8，而5，8，14不能构成三角形； 若m=6，6＜n＜10，n的值为7或8或9，只有6，9，14能构成三角形， 所以n=9．故选：C． C 10 5.如图，数轴上点A，B，C，D对应的数字分别是-1，1，x,7，点C在线段BD上且不与端点重合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x可能是( ____ ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】解：由点在数轴上的位置得：AB=1-(-1)=2，BC=x-1， C 11 CD=7-x, 由三角形三边关系定理得： ， 不等式①恒成立， 由不等式②得：x＞3， 由不等式③得：x＜5， ∴不等式组的解集是3＜x＜5， 故选：C． 12 6.如图各组给出的三条线段不能围成三角形的是( ____ ) A.________ B._____ C.______ D.___ A 13 【解析】解：A、∵3+4=7， ∴长度为3cm,4cm,7cm的三条线段不能围成三角形，符合题意； B、∵2+4＞5， ∴长度为2cm,4cm,5cm的三条线段能围成三角形，不符合题意； C、∵3+5＞6， ∴长度为5cm,3cm,6cm的三条线段能围成三角形，不符合题意； D、∵3+3＞3， ∴长度为3cm,3cm,3cm的三条线段能围成三角形，不符合题意； 故选：A． 14 7.下列长度的三条线段中，能组成三角形的是( ____ ) A.3cm,5cm,8cm B.3cm,4cm,8cm C.3cm,3cm,5cm D.4cm,4cm,8cm 【解析】解：A、3+5=8，不能组成三角形，不符合题意； B、4+3＜8，不能组成三角形，不符合题意； C、3+3＞5，能组成三角形，符合题意； D、4+4=8，不能组成三角形，不符合题意． 故选：C． C 15 8.已知一直角三角形，两条直角边长分别为3cm和4cm,现以4cm的边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积是 _____ cm3． 【解析】解：∵以4cm的边所在直线为轴旋转一周， ∴得到高为4cm,半径为3cm的圆锥， ∴圆锥的体积是 π×32×4=12π(cm3)； 故答案为：12π． 12π 16 9.在△ABC中，设边BC=a,AC=b,AB=n,其中a,b(a＜b)是一元二次方程x2-7x+12=0的两个实数根． (1)求a,b的值． (2)若a,b,n这三个数的平均数，仍小于n,求n的取值范围． 【解析】解：(1)化简得，(x-3)(x-4)=0， 解得x1=3，x2=4， ∵a＜b, ∴a=3，b=4； (2)在△ABC中，a+b＞n,即n＜7， ∵a,b,n这三个数的平均数，仍小于n, 17 ∴ ， 解得 ， 故n的取值范围为 ． 18 三．三角形内角和定理 19 10.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( ____ ) A.∠A+∠B=∠C B.∠A-∠B=∠C C.∠A：∠B：∠C=1：2：3 D.∠A=∠B=2∠C 【解析】解：A．因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=∠C， 所以∠C=90°，即△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意； B．因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A-∠B=∠C， 所以∠A=90°，即△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意； C．因为∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A：∠B：∠C=1：2：3， D 20 所以∠C=90°，即△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意； D．因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B=2∠C， 所以∠A=∠B=72°，即△ABC是锐角三角形不是直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 21 11.将一副三角板按如图放置，其中∠B=∠C=45°，∠D=60°，∠E=30°，如果∠CAD=150°，则∠4=( ____ ) A.75° B.80° C.60° D.65° 【解析】解：如图，根据题意，∠CAB=90°， ∵∠CAD=150°，∠B=∠C=45°，∠D=60°， ∴∠3=∠CAD-∠CAB=150°-90°=60°， A 22 ∵∠EFB=∠AFD， ∴∠4+∠B=180°-∠EFB=180°-∠AFD=∠3+∠D， ∴∠4+45°=60°+60°， ∴∠4=75°． 故选：A． 23 12.直角三角形的一个锐角是70°，则它的另一个锐角是( ____ ) A.20° B.70° C.110° D.20°或70° 【解析】解：∵直角三角形的一个锐角是70°， ∴它的另一个锐角是：180°-90°-70°=20°． 故选：A． A 24 13.如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论： ①∠CEG=2∠DCB； ②∠DFB= ∠CGE； ③∠ADC=∠GCD； ④CA平分∠BCG．其中正确的个数是( ____ ) A.1 B.2 C.3 D.4 C 25 【解析】解：①∵EG∥BC， ∴∠CEG=∠ACB， 又∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确； ④无法证明CA平分∠BCG，故错误； ③∵∠A=90°， ∴∠ADC+∠ACD=90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴∠ADC+∠BCD=90°． ∵EG∥BC，且CG⊥EG， 26 ∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°， ∴∠ADC=∠GCD，故正确； ②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC， ∴∠AEB+∠ADC=90°+ (∠ABC+∠ACB)=135°， ∴∠DFE=360°-135°-90°=135°， ∴∠DFB=45°= ∠CGE， ∴∠CGE=2∠DFB， ∴∠DFB= ∠CGE，故正确． ∴正确的为：①②③，故选：C． 27 14.如图，直尺经过一副三角板DCB的直角顶点B，若∠C=30°，∠ABC=20°，∠DEF的大小为 _____ ． 【解析】解：在△ABC中，∠C=30°，∠ABC=20°， ∴∠BAC=180°-(∠C+∠ABC)=180°-(30°+20°)=130°， ∴∠DAB=180°-∠BAC=180°-130°=50°， 依题意得：EF∥AB， ∴∠DEF=∠DAB=50°． 故答案为：50°． 50° 28 15.在小学期间，同学们已经知道了“一个三角形的三个内角之和等于180°”这个基本事实，这将为你在解决下列问题中提供帮助．已知线段AB与CD相交于点O，连接AD，BC． (1)如图1，试说明：∠A+∠D=∠B+∠C； (2)请利用(1)的结论探索下列问题： ①如图2，作AP平分∠DAB，交DC 于点M，交∠BCD 的平分线于点P，PC 交AB于点N，若∠B+∠D=80°，求∠P的大小； ②如图3，若∠B=α，∠D=β，∠P=γ，且 ， ，请直接写出α，β，γ之间的数量关系． 29 ________ 【解析】(1)证明：∵∠A+∠D+∠AOD=180°，∠B+∠C+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC， ∴∠A+∠D=∠B+∠C； (2)解：①∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD， 30 ∴∠1=∠2，∠3=∠4， 由(1)，得∠1+∠D=∠3+∠P，①，∠4+∠B=∠2+∠P．②， ①+②，得∠1+∠4+∠B+∠D=∠2+∠3+2∠P， 即2∠P=∠B+∠D， ∴ ； ②设∠6=x,∠8=y. ∵ ， ， ∴∠5=3x,∠7=3y, 由(1)，得∠5+∠D=∠7+∠P，∠6+∠P=∠8+∠B， 31 即3x+β=3y+γ，x+γ=y+α， ∴3(x-y)=γ-β，x-y=α-γ， ∴3(α-γ)=γ-β， 即4γ=3α+β． ∴α，β，γ之间的数量关系是4γ=3α+β． 32 16.如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，AC上，且DE∥AC，EF∥AB．下面写出了证明“∠A+∠B+∠C=180°”的过程，请将证明过程补充完整． 证明：∵DE∥AC， ∴∠1=∠ ____ ( ___________________________ )． ∠4=∠ ____ ∵EF∥AB， ∴∠3=∠ ____ ( ___________________________ )． ∠4=∠ ____ ( ___________________________ )． ∴∠ ____ =∠ ____ (等量代换) ∵∠1+∠2+∠3=180° C 两直线平行，同位角相等 A B 两直线平行，同位角相等 2 两直线平行，内错角相等 2 A 33 ∴∠A+∠B+∠C=180° 【解析】证明：∵DE∥AC(已知)， ∴∠1=∠C，∠4=∠A(两直线平行，同位角相等)， ∵EF∥AB(已知)， ∴∠3=∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠4=∠2(两直线平行，内错角相等)， ∴∠2=∠A(等量代换)， ∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的性质)， ∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换)． 故答案为：C；两直线平行，同位角相等；A；B；两直线平行， 同位角相等；2；两直线平行，内错角相等；2；A． 34 17.△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高． ________ (1)如图1，若∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度数； (2)如图2，∠B＜∠C，由(1)的计算结果，你能发现△DAE与∠C-∠B的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明； (3)如图3，∠B=30°，∠C=70°延长AB到点G，∠BAD和∠CBG的角平分线交于点F、请直接写出∠F的度数 _____ ． 55° 35 【解析】解：(1)∵∠B=40°，∠C=60°，∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴∠BAC=80°， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD=∠BAD= ∠BAC=40°， ∵AE是△ABC的高， ∴∠AEC=90°， ∵∠C=60°， ∴∠CAE=90°-60°=30°， ∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=10°； (2)∵∠BAC+∠B+∠C=180°， 36 ∴∠BAC=180°-∠B-∠C， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD=∠BAD= ∠BAC， ∵AE是△ABC的高， ∴∠AEC=90°， ∴∠CAE=90°-∠C， ∴∠DAE=∠CAD-∠CAE= ∠BAC-(90°-∠C)= (180°-∠B-∠C)-90°+∠C= ∠C- ∠B， 37 即∠DAE= ∠C- ∠B； (3)∵∠BAD和∠CBG的角平分线交于点F， ∴∠BAD=2∠BAF，∠CBG=2∠FBG， ∵∠BAF=∠FBG-∠BAF，∠BAD=∠CBG-∠ADB， ∴2∠FBG-∠BDA=2(∠FBG-∠F)=2∠FBG-2∠F， 即∠ADB=2∠F， ∵∠BAC=180°-30°-70°=80°， ∴∠CAD= ∠BAC=40°， ∴∠BDA=∠C+∠DAC=70°+40°=110°， 38 ∴∠F= ∠BDA=55°． 故答案为55°． 39 18.完成下面的证明． 已知：如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠1+∠2=90°． 求证：DEBC． 证明：∵CD⊥AB(已知)， ∴∠ADC= _____ (垂直的定义)． ∴∠1+ ______ =90°， ∵∠1+∠2=90°(已知)， ∴ ______ =∠2( __________________ )． ∴DE∥BC( ___________________________ )． 90° ∠CDE ∠CDE 同角的余角相等 内错角相等，两直线平行 40 【解析】证明：∵CD⊥AB(已知)， ∴∠ADC=90°(垂直的定义)． ∴∠1+∠CDE=90°， ∵∠1+∠2=90°(已知)， ∴∠CDE=∠2(依据1：同角的余角相等)， ∴DE∥BC(依据2：内错角相等，两直线平行)． 故答案为：90°，∠CDE，∠CDE，同角的余角相等，内错角相等，两直线平行． 41 19.嘉琪在做作业时，发现人教版第五章有这样一道“拓广探索”试题：如图，直线DE经过点A，且DE∥BC，∠B=44°，∠C=57°．写出∠DAB、∠EAC、∠BAC的度数；(通过这道题，你能说明为什么三角形三个内角的和是180°吗？) (1)写出三个角∠DAB、∠EAC、∠BAC的度数； (2)补充完整嘉琪对于括号里的说明． 说明：∵DE∥BC， ∴∠B=∠DAB；∠C= ______ ． ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC= ______ (平角定义) ∴∠B+∠BAC+∠C= ______ (等量代换) ∠EAC 180° 180° 42 即三角形三个内角的和是 ______ ． 【解析】(1)解：∵DE∥BC，∠B=44°，∠C=57°， ∴∠DAB=∠B=44°，∠EAC=∠C=57°， ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°， ∴∠BAC=180°-∠DAB-∠EAC=79°； (2)证明：∵DE∥BC， ∴∠B=∠DAB；∠C=∠EAC， ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，(平角定义) ∴∠B+∠BAC+∠C=180°，(等量代换) 即三角形三个内角的和是180°．故答案为：∠EAC，180°，180°，180°． 180° 43 20.如图，BD为△ABC的角平分线，CE为△ABC的高，CE交BD于点F，∠A=80°，∠BCA=50°，求∠BFC的度数． 【解析】解：∵CE为△ABC的高， ∴∠BEC=90°， ∵∠A=80°，∠BCA=50°， ∴∠ABC=180°-∠A-∠BCA=50°， ∵BD为△ABC的角平分线， ∴ ， ∴∠BFC=∠BEC+∠ABD=90°+25°=115°．即∠BFC的度数为115°． 44 21.如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q． (1)若∠A=50°，∠B=60°，则∠DPC= _____ °，∠Q ____ °； (2)若∠A=50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数 _____________________________ ． 115 25 45°或60°或120°或135° 45 【解析】解：(1)∵∠A=50°，∠B=60°， ∴∠ACB=70°， ∴∠BCP= ∠ACB=35°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B=60°，∠PGD=∠PCB=35°， ∵∠PDE= ∠ADE=30°， ∴∠DPC=180°-∠PDE-∠PGD=115°； 又∵∠ACQ= ∠ACF， 46 ∴∠PCQ=∠ACQ+∠ACP= (∠ACF+∠ACB)=90°， ∴∠Q=∠DPC-∠QCP=25°； 故答案为：115，25； (2)∠DPC、∠Q的度数不会发生变化． 理由：由(1)得：∵∠PDE= ∠ADE= ∠B，∠PGD=∠BCP= ∠ACB， ∴∠DPC=180°-∠PDE-∠PGD=180°- ∠B- ∠ACB=180°-(∠B+∠ACB)=180°- (180°-∠A)=90°+ ∠A=115°； ∴∠Q=∠DPC-∠QCP=25°； 47 (3)设∠A=x,则 ， ∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF， ∴ ， ， ∴ ， ， 因为△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍， ∴①当∠Q=3∠QPC时， ， ∴x=135°， ②当∠QPC=3∠Q时， ， 48 ∴x=45°， ③当∠PCQ=3∠Q时， ， ∴x=60°， ④当∠PCQ=3∠QPC时， ， ∴x=120°， 综上①②③④可知∠A=45°或60°或120°或135°． 故答案为：45°或60°或120°或135°． 49 四．三角形的外角性质 50 22.在实践活动中，李明和王刚进行角的探究，他们将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的两边互相垂直，则∠1=( ____ ) A.45° B.60° C.50° D.75° 【解析】解：在图中标上∠2，∠3，如图所示． D 51 ___ ∵∠2=30°，∠3=180°-90°-45°=45°， ∴∠1=∠2+∠3=30°+45°=75°． 故选：D． 52 23.如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC、∠BOA的度数． 【解析】解：∵AD⊥BC ∴∠ADC=90° ∵∠C=70° ∴∠DAC=180°-90°-70°=20°； ∵∠BAC=50°，∠C=70° ∴∠BAO=25°，∠ABC=60° ∵BF是∠ABC的角平分线 53 ∴∠ABO=30° ∴∠BOA=180°-∠BAO-∠ABO=180°-25°-30°=125°． 54 24.如图①所示，在∠ABC中，若∠1=∠2=∠3，则称BD，BE分别为∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”． (1)如图②，在△ABC中，∠A=45°，∠ABC=75°，若∠ABC的邻AB三分线BD交AC于点D，则∠BDC= ____ °； (2)如图③，在△ABC中，BP是∠ABC的邻AB三分线，CP是∠ACB的邻AC三分线，若∠A=45°，求∠BPC的度数； (3)在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的三分线与∠ACD的邻AC三分线交于点P．若∠A=m,∠ABC=n,直接写出∠BPC的度数．(用含m、n的代数式表示) 70 55 ________ 【解析】解：(1)∵∠ABC=75°，∠ABC的邻AB三分线BD交AC于点D， ∴∠ABD= ∠ABC=25°， ∵∠A=45°，∠BDC为△ABD的一个外角， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=45°+25°=70°， 故答案为：70． 56 (2)∵∠A=45°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=135°， ∵BP是∠ABC的邻AB三分线，CP是∠ACB的邻AC三分线， ∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)=2 ×135°=90°， ∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=90°； (3)分两种情况讨论如下： ①当BP是“邻AB的三等分线”时，如图1所示： 57 ___ ∵∠A=m,∠ABC=n, ∴∠PBC= ∠ABC= n, ∵CP是∠ACD的邻AC三分线， ∴∠PCD= ∠ACD， 由三角形外角定理得：∠ACD=∠A+∠ABC=m+n,∠PCD=∠PBC+∠BPC， 58 即 ∠ACD=∠PBC+∠BPC， ∴ (m+n)= n+∠BPC， ∴∠BPC= m； ②当BP是“邻BC的三等分线”时，如图2所示： ___ 59 则∠PBC= ∠ABC= n, ∵CP是∠ACD的邻AC三分线， ∴∠PCD= ∠ACD， 由三角形外角定理得：∠ACD=∠A+∠ABC=m+n,∠PCD=∠PBC+∠BPC， ∴ ∠ACD=∠PBC+∠BPC， 即 (m+n)= n+∠BPC， ∴∠BPC= m+ n.综上所述：∠BPC的度数为 m或 m+ n. 60 五．直角三角形的性质 61 25.已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，过点D作DE∥BC交AC于点E，CF⊥CD交DE于F． (1)如图1，求证：∠F=∠B； (2)如图2，当∠A=30°时，请直接写出图中度数等于∠A的2倍的所有角． 【解析】(1)证明：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B， ∵CD⊥AB，CF⊥CD， ∴∠CDB=∠FCD=90° 62 ∴CF∥AB， ∴∠F=∠ADE， ∴∠F=∠B； (2)解：∵∠A=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠B=∠ACD=90°-30°=60°， 由(1)可得∠F=∠ADE=∠B=60°， ∴∠F=∠ADE=∠B=60°， ∴∠F=∠ADE=∠B=∠ACD=2∠A． 63 六．多边形 64 26.如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形ABCD是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变AC的长来调节BD的长．已知AB=30cm,BD的初始长为30cm,如果要使BD的长达到36cm,那么AC的长需要缩短( ____ ) D 65 A.6cm B.8cm C. D. 【解析】解：设AC与BD交于点O，A'C'于BD'交于点O'，如下图所示： ____ 66 依题意得：四边形ABCD，四边形A'BC'D'均为菱形，且AB=A'D'=30cm,BD=30cm,BD'=36cm, ∴BO= BD=15cm,D'O'= BD'=18cm,AC=2AO，A'C'=2A'O'，BD⊥AC，BD'⊥A'C'， 在Rt△AOB中，AB=30cm,BO=15cm, 由勾股定理得：AO= = (cm)， ∴AC=2AO= cm, 在Rt△A'O'D'中，A'D'=30cm,D'O'=18cm, 由勾股定理得：A'O'= =24(cm)， ∴A'C'=2A'O'=48cm, 67 ∴AC-A'C'= cm, 即要使BD的长达到36cm,那么AC的长需要缩短 cm. 故选：D． 68 27.千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形ABCD是一种型号千斤顶的示意图．已知AB=30cm时BD的长为30cm,如果使BD的长达到36cm,那么AC的长需要缩短( ____ ) A.6cm B.8cm C. D 69 D. 【解析】解：设AC与BD交于点O，A'C'于BD'交于点O'，如下图所示： ____ 依题意得：四边形ABCD，四边形A'BC'D'均为菱形，且AB=A'D'=30cm,BD=30cm,BD'=36cm, ∴BO= BD=15cm,D'O'= BD'=18cm,AC=2AO，A'C'=2A'O'，BD⊥ 70 AC，BD'⊥A'C'， 在Rt△AOB中，AB=30cm,BO=15cm, 由勾股定理得：AO= = (cm)， ∴AC=2AO= cm, 在Rt△A'O'D'中，A'D'=30cm,D'O'=18cm, 由勾股定理得：A'O'= =24(cm)， ∴A'C'=2A'O'=48cm, ∴AC-A'C'= cm, 即要使BD的长达到36cm,那么AC的长需要缩短 cm. 故选：D． 71 七．多边形内角与外角 72 28.小聪利用所学的数学知识，给同桌出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线前进6米后，再向左转θ，…，如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己一共走了72米，则θ的度数为( ____ ) A.60° B.75° C.30° D.45° 【解析】解：∵第一次回到出发点A时， C 73 所经过的路线正好构成一个正多边形， ∴多边形的边数为：72÷6=12． 根据多边形的外角和为360°， ∴他每次转过的角度θ=360°÷12=30°． 故选：C． 74 29.如图，连接正八边形ABCDEFGH的两条对角线AC，CG，则∠ACG=( ____ ) A.22.5° B.30° C.45° D.60° 【解析】解：如图，连接AG， ∵八边形ABCDEFGH是正八边形， ∴∠B=∠H= =135°，AB=BC=AH=GH， C 75 ∴△ABC≌△AHG(SAS)，∠BAC=∠BCA= =22.5°，∠HAG=∠HGA= =22.5°， ∴AC=AG，∠CAG=135°-22.5°-22.5°=90°， ∠ACG=45°． 故选：C． 76 30.如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，则下列说法正确的是( ____ ) A.外角和减少180° B.外角和增加180° C.内角和减少180° D.内角和增加180° 【解析】解：将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF， 则五边形ABCDE的内角和为：(5-2)×180°=540°， 六边形ABCDGF的内角和为：(6-2)×180°=720°， D 77 ∴720°-540°=180°， ∵五边形ABCDE六边形ABCDGF的外角和都是360°， ∴将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，内角和增加180°，外角和不变． 故选：D． 78 31.若正n边形的每个外角为45°，则n的值为( ____ ) A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】解：∵n=360°÷45°=8． ∴n的值为8． 故选：D． D 79 32.用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，则∠AFB的度数为( ____ ) ______ A.75° B.72° C.70° B 80 D.60° 【解析】解：因为正五边形的每个内角都相等，边长相等， 所以 ， ∵正五边形的每条边相等， ∴△ABE和△AED是等腰三角形， ∴∠ABE=∠AEB，∠EAD=∠EDA， ∴∠AEB=∠EAD=(180°-108°)÷2=36°． ∴∠AFB=∠AEB+∠EAD=72°． 故选：B． 81 33.已知正六边形的边长为2，则下列说法错误的是( ____ ) A.内角均为120° B.外角和为360° C.面积为 D.外接圆半径为 【解析】解：∵正六边形ABCDEF的内角和为：(6-2)×180°=4×180°=720°， ∴每个内角的度数为：720÷6=120°， 因此选项A不符合题意； 由于任意多边形的外角和都是360°， D 82 因此选项B不符合题意； 如图，∵正六边形ABCDEF， ∴∠AOB= =60°， ∵OM⊥AB，OA=OB， ∴△AOB是正三角形， ∴∠OAB=∠OBA=60°，OA=OB=AB=2， 即外接圆的半径为2， 因此选项D符合题意； 在Rt△AOM中，OA=2，∠OAM=60°， 83 ∴OM= OA= ， ∴S正六边形ABCDEF=6S△AOB =6× ×2× =6 ， 因此选项C不符合题意； 故选：D． 84 34.如图，CE，CF是正六边形的两条对角线，则∠FCE的大小为 _____ ． 【解析】解：∵多边形是正六边形， ∴ ，CD=DE， ∴ ， ∵ ， ∴∠FCE=∠BCD-∠BCF-∠DCE=30°． 故答案为：30°． 30° 85 35.若正多边形的内角和是1440°，则该正多边形的边数是 ____ ． 【解析】解：根据n边形的内角和公式得， (n-2)•180=1440， 解得n=10． ∴这个多边形的边数是10． 故答案为：10． 10 86 36.若正n边形的每个内角的度数为140°．则n的值是 ____ ． 【解析】解：∵正n边形的每个内角都是140°， ∴该正n边形的每个外角的度数=180°-140°=40°， ∴ ， 故答案为：9． 9 87 37.一个多边形的内角和是外角和的一半，这个多边形的边数为 ____ ． 【解析】解：∵一个多边形的外角和是内角和的2倍，且外角和为360°， ∴这个多边形的内角和为180°， 则这个多边形的边数是3， 故答案为：3． 3 88 38.如图，在正五边形ABCDE中，过点A作AG⊥DE，交DE的延长线于点G，则∠EAG的度数为 ____ °． 【解析】解：正五边形ABCDE的外角和是360°， ∴每个外角的度数为 ， 即∠AEG=72°， ∵AG⊥DE， ∴∠AGE=90°， ∴∠EAG=90°-72°=18°， 故答案为：18． 18 89 39.八角帽又称“红军帽”，是红军的象征，也是中国工农红军军服佩饰最显眼的部分之一，其帽顶近似正八边形．正八边形的一个外角的大小为 _____ ． 【解析】解：∵多边形的外角和为360°， ∴正八边形的一个外角为360°÷8=45°， 故答案为：45°． 45° 90 40.若边长为5cm的正多边形的一个外角是72°，则该正多边形的周长为 ____ cm. 【解析】解：∵边长为5cm的正多边形的一个外角是72°， 则该正多边形的边数为：360°÷72°=5， ∴其周长为5×5=25(cm)． 故答案为：25． 25 91 41.如图，正十边形的两条对角线AB，CD交于点P，则∠APD= ____ °． 【解析】解：由题意得正十边形的每个内角的度数为 =144°，∠BDC=90°， 则∠PDB=90°，∠ABD=144°- =126°， 那么∠PBD=180°-126°=54°， 则∠APD=180°-54°-90°=36°， 故答案为：36． 36 92 42.如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结(如图1)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．在图2中，∠ACD的度数为 _____ ． _______ 【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴其每个内角为108°，且AB=BC， ∴△ABC是等腰三角形， 72° 93 ∴∠BCA=(180°-108°)÷2=36°， ∴∠ACD=∠BCE-∠BCA=108°-36°=72°． 故答案为：72° 94 43.十边形的每个内角都相等，则它的一个外角的度数为 _____ ． 【解析】解：∵360°÷10=36°， ∴它的每个外角的度数是36°， 故答案为：36°． 36° 95 44.如图，中国古建筑中的亭台楼阁塔很多都采用六边形结构．六边形的内角和为 _____ °． 【解析】解：180°×(6-2) =180°×4 =720°． 故答案为：720． 720 96 45.一个正多边形的内角和是外角和的4倍，这个正多边形的每个外角是 ____ °． 【解析】解：设这个正多边形的边数为n, 则(n-2)•180°=360°×4， 解得：n=10， 则这个正多边形的每个外角是360°÷10=36°， 故答案为：36． 36 97 46.若一个多边形的内角和与外角和之差是540°，则此多边形是 ____ 边形． 【解析】解：设此多边形是n边形， 则(n-2)•180°-360°=540°， 解得：n=7， 即此多边形是七边形， 故答案为：七． 七 98 47.阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 我把一个多边形的各内角相加，得到的和为1830° ____ 多边形的内角和不可能是1830°，你一定多加了一个锐角 (1)这个“多加的锐角”是 ____ °． (2)小明求的是几边形的内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个外角是多少度？ 【解析】解：(1)∵多边形内角和公式为(n-2)×180°， ∴当n=12时，多边形内角和为(12-2)×180°=1800°， 当n=13时，多边形内角和为(13-2)×180°=1980°， 30 99 ∵小红说：“多边形的内角和不可能是1830°，你一定多加了一个锐角”， ∴这个“多加的锐角”是1830°-1800°=30°， 故答案为：30； (2)设多边形为n边形， ∴(n-2)×180°=1800°， ∴n=12， ∴小明求的是12边形的内角和； (3)∵正12边形的外角都相等，而多边形的外角和始终为360°， ∴这个正多边形的一个外角为 ，∴这个正多边形的一个外角是30度． 100 48.(1)已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B=∠C+∠D； (2)利用(1)中的结论，试求图2中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． ______ 【解析】解：(1)∵∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD=180°，∠AOB=∠ 101 COD， ∴∠A+∠B=∠C+∠D， (2)如图所示，连接BE， ___ ∴∠C+∠D=∠CBE+∠DEB， ∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G， 102 =∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F+∠G =∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G =(5-2)×180° =540°． 103 49.如图1，凹四边形ABDC形似圆规，这样的四边形称为“规形”． 模型探究 (1)如图1，在规形ABDC中，请探究∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系，并说明理由． 实践应用 (2)应用(1)中探究的结论解决下列问题： ①如图2，在规形ABDC中，∠ABD与∠ACD的角平分线BE、CE交于点E，若∠BDC=145°，∠A=85°，则∠BEC的度数是 _____ °； ②如图3，在规形ABDC中，若∠BAC、∠BDC的角平分线AE、DE交于点E，且∠B＞∠C，试探究∠E、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由． 115 104 ______ 【解析】解：(1)∠BDC=∠BAC+∠B+∠C， 理由：如图1，连接AD，并延长到点E， 105 ___ 则∠3=∠1+∠B、∠4=∠2+∠C， ∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠B+∠C， 即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C； (2)由(1)知∠ABD+∠ACD=∠BDC-∠A=60°， ∵BE平分∠ABD、CE平分∠ACD， ∴∠ABD=2∠ABE、∠ACD=2∠ACE， ∴2(∠ABE+∠ACE)=60°， 106 ∴∠ABE+∠ACE=30°， 则∠BEC=∠A+∠ABE+∠ACE=145°-30°=115°； 故答案为：115； (3)∠E= ∠B- ∠C， 理由：如图3， __ 107 由(1)知∠BDC=∠BAC+∠B+∠C， ∵DE平分∠BDC， ∴∠3= ∠BDC= (∠BAC+∠B+∠C)， ∵AE平分∠BAC， ∴∠1= ∠BAC， ∵∠E=∠5-∠3，∠5=∠1+∠B， ∴∠E=∠1+∠B-∠3 = ∠BAC+∠B- BDC 108 = ∠BAC+∠B- (∠BAC+∠B+∠C) = ∠B- ∠C， 即∠E= ∠B- ∠C． 109 50.根据以下情境，探索完成任务， 你研究过三角形的角平分线吗？ 问题背景 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有二般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．在我们人教版义务教育教科书数学八上第29页第11题研究过双内角平分线的夹角的问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究： 模型一 如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点P，则∠A与∠P之间有一定的数量关系； ____ 110 模型二 如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，则∠A与∠P之间有一定的数量关系； ____ 解决问题 任务一 如图，在△ABC中，∠ABC=40°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数； ___ 111 任务二 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2=80°，求∠BPC的度数； __ 任务三 在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在直线ED上运动(点F不与E，D两点重合)，连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF=α，∠DCF=β，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． ____ 【解析】解：任务一：∵∠BAC、∠CAG的角平分线与∠ 112 BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F， ∴ ， ， ， ∵∠BAC+∠CAG=180°， ∴ ，即∠EAF=90°， ∵∠BCH=∠BAC+∠ABC，∠ECH=∠EAC+∠E， ∴∠BCH=2∠ECH=2∠EAC+2∠E=∠BAC+2∠E， ∴∠ABC=2∠E， 113 ∴ ， ∴∠F=180°-∠EAF-∠E=180°-90°-20°=70°． 任务二：∵将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合， ∴∠AED=∠PED，∠ADE=∠PDE， ∵∠AED+∠PED+∠1=180°，∠ADE+∠PDE+∠2=180°，∠1+∠2=80°， ∴2(∠AED+∠ADE)=360°-80°=280°， ∴∠AED+∠ADE=140°， ∴∠A=180°-(∠AED+∠ADE)=40°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°， ∵∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P， 114 ∴ ， ∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=110°． 任务三：如图，当点F在点E左侧时，∠EBF=α，∠DCF=β， ∵EB∥CD， ∴∠EBC+∠DCB=180°， ∴∠EBC+∠BCF=180°-∠DCF=180°-β， ∵∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q， ∴ ， ， ∴ 115 ， ∴ ， ∴ ． __ 如图，当点F在D、E之间时，∠EBF=α，∠DCF=β， 116 ___ ∵EB∥CD， ∴∠EBC+∠DCB=180°， ∵∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q， ∴ ， ， ∴ ， ， 117 ∴ ， ∴ ． 如图，点F在点E右侧时，∠EBF=α，∠DCF=β， 118 ____ 同理可得： ， ， ∴ ． 综上所述： 或 或 119 $$