精品解析：2020年吉林省高职高专院校单独招生统一考试数学试题

2020年吉林省高职高专院校单独招生统一考试 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共42小题，满分150分，共6页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的0.5毫米签字笔书写，字体工整.笔迹清楚． 3，请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出．确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁、不要折叠、不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 选择题（共120分） 一、单项选择题（共36小题，每小题3分，共108分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑） 1. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 下列各角为钝角的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，由既属于又属于的元素所组成的集合是（ ） A. B. C. D. 4. 下面几何体中，从正面观察得到的平面图形（主视图）为圆的几何体是（ ） A. B. C. D. 5. 校园内有一个开满鲜花的矩形花坛，长为8m，宽为5m，则其面积是（ ） A. B. C. D. 6 梯形内角和等于（ ） A. B. C. D. 7. 下面数列为递增数列的是（ ） A. 2，4，6，8，10， B. －2，－4，－6，－8，－10， C. 2，2，2，2，2， D. －2，4，－6，8，－10， 8. 空间两条直线的位置关系有（ ） A. 平行、相交、异面 B. 平行．相交 C. 相交、异面 D. 平行、异面 9. 化简：（ ） A. B. C. D. 10. 的值是（ ） A. 1 B. C. D. 11. 在直角三角形中，一个锐角的度数是，则另一个锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 计算：（ ） A. B. C. D. 13. 如图所示，是五边形内角的外角，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 下列运算，正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 16. 一艘货船在处时测得小岛在北偏西方向，同时测得航标灯在西南方向（如图所示），则度数是（ ） A. B. C. D. 17. 下列角度转换为弧度运算正确的是（ ） A. B. C. D. 18. 已知数列1,，3，，x，，7，…，按其排列的规律，值是（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. －5 19. 某地为了保护水土资源，实施山林绿化工程，如果2017年的绿化面积是8万公顷，以后每年的绿化面积都比上一年多1万公顷，那么2020年的绿化面积是（ ） A. 9万公顷 B. 10万公顷 C. 11万公顷 D. 12万公顷 20. 已知正方体的棱长是，则它的表面积是（ ） A. B. C. D. 21. 已知两点和，则线段的长度是（ ） A. 1 B. C. D. 2 22. 下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 23. 当时，函数的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 24. 在等比数列中，首项，公比，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 25. 方程的解是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 26. 垂直于同一平面的两条直线的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 异面 D. 相交 27. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 28. 从某社区随机抽取8位老人测量血压．测得他们的舒张压（单位：）分别为：73，80，88，73，99，102，89，76．则这8位老人舒压的平均数是（ ） A. 83 B. 84 C. 85 D. 86 29. 甲、乙、丙、丁四位同学参加米接力赛，甲必须排在第一棒，则所有不同的接力方案有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 30. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 31. 直线经过点的坐标是（ ） A. B. C. D. 32. 现有花色分别为红桃A、方块A、黑桃A、梅花A四张扑克牌，从中任取一张扑克牌为红色的概率是（ ） A B. C. D. 33. 已知，则（ ） A. B. C. D. ． 34. 已知圆，则圆心坐标和半径分别是（ ） A. ，2 B. ，4 C. ，2 D. ，4 35. 直线经过和两点，则直线AB的斜率是（ ） A. B. C. －1 D. 1 36. 已知椭圆，则椭圆与轴的交点坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、多项选择题（共3小题，每小题4分、共12分.在每小题列出的备选项中，有两个或两个以上的选项是符合题目要求的．把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，多选，少选或错选均不得分） 37. 满足不等式的所有正整数有（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 38. 下列函数中，在其定义域是增函数的有（ ） A. B. C. D. 39. 如图所示，在长方体中．下列说法正确的有（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 棱与所在直线是异面直线 非选择题（共30分） 三、解答题（共3小题，共30分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案写在答题卡相应的位置上） 40. 如图所示，某学校要建矩形运动场地，场地相邻两边借用两面墙，另两条边长的和为，设矩形的长为． （1）求矩形运动场地面积关于的函数解析式，并指出函数定义域； （2）当为何值时，场地面积最大?最大面积是多少? 41. 已知是首项为1，公差为3的等差数列，表示的前项和． （1）求等差数列的通项公式； （2）求等差数列的前6项和． 42. 如图所示．已知正方体，点是底面对角线的交点． （1）求证：平面； （2）若正方体棱长为2，求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2020年吉林省高职高专院校单独招生统一考试 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共42小题，满分150分，共6页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的0.5毫米签字笔书写，字体工整.笔迹清楚． 3，请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出．确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁、不要折叠、不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 选择题（共120分） 一、单项选择题（共36小题，每小题3分，共108分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑） 1. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由相反数的定义即可求解. 【详解】因为. 所以的相反数为. 故选：A 2. 下列各角为钝角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据钝角的范围求解即可. 【详解】易知钝角的范围为，则选项中只有满足这个范围. 故选：B. 3. 已知集合，，由既属于又属于元素所组成的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的运算求解即可. 【详解】因为集合. 所以. 故选：C. 4. 下面几何体中，从正面观察得到的平面图形（主视图）为圆的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间几何的三视图求解即可. 【详解】因为圆柱的主视图是长方形，长方体的主视图是长方形，球的主视图是圆，圆锥的主视图是等腰三角形. 故选：C. 5. 校园内有一个开满鲜花的矩形花坛，长为8m，宽为5m，则其面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据矩形的面积公式可求解. 【详解】由题意，根据矩形的面积公式可得，矩形花坛面积 （）. 故选：D 6. 梯形内角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式可求解． 【详解】根据多边形的内角和公式可知，梯形内角和为： . 故选：C 7. 下面数列为递增数列的是（ ） A. 2，4，6，8，10， B. －2，－4，－6，－8，－10， C. 2，2，2，2，2， D. －2，4，－6，8，－10， 【答案】A 【解析】 【分析】根据递增数列的定义判断即可. 【详解】对于A，数列2，4，6，8，10，的每一项均比前一项大，是递增数列； 对于B，数列－2，－4，－6，－8，－10，的每一项均比前一项小，是递减数列； 对于C，数列2，2，2，2，2，每一项相同，是常数数列，既不递增也不递减； 对于D，数列－2，4，－6，8，－10，奇数项为正，偶数项为负，既不递增也不递减. 故选：A. 8. 空间两条直线的位置关系有（ ） A. 平行、相交、异面 B. 平行．相交 C. 相交、异面 D. 平行、异面 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间两条直线的位置关系的分类可判断. 【详解】空间两条直线的位置关系有：平行、相交、异面. 故选：A 9. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先去括号再合并同类项计算即可. 【详解】. 故选：D. 10. 的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】. 故选：D. 11. 在直角三角形中，一个锐角的度数是，则另一个锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的定义求解即可. 【详解】因为直角三角形中，一个锐角的度数是， 所以另一个锐角的度数是. 故选：C. 12. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数幂的运算即可求解. 【详解】. 故选：B. 13. 如图所示，是五边形内角的外角，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的概念即可求解. 【详解】因为是的外角， 所以. 故选：C. 14. 下列运算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方和公式即可求解. 【详解】. 故选：D. 15. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由偶次根式的被开方数为非负数，列不等式可求解. 【详解】由得， 所以函数的定义域为. 故选：B 16. 一艘货船在处时测得小岛在北偏西方向，同时测得航标灯在西南方向（如图所示），则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方向角的定义即可求解. 【详解】首先对图形进行标注，如图所示 由题意可知，， ， 所以. 故选：D. 17. 下列角度转换为弧度运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角度与弧度制的转化求解即可. 【详解】因为，故A错误. 因为，故B错误. 因，故C错误. 因为，故D正确. 故选：D. 18. 已知数列1,，3，，x，，7，…，按其排列的规律，值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. －5 【答案】B 【解析】 【分析】利用观察法得到数列的规律，进而求解即可. 【详解】由题意，得 数列得绝对值从第二项开始比前一项多1，且奇数项为正数，偶数项为负数. 所以 则. 故选：B. 19. 某地为了保护水土资源，实施山林绿化工程，如果2017年的绿化面积是8万公顷，以后每年的绿化面积都比上一年多1万公顷，那么2020年的绿化面积是（ ） A. 9万公顷 B. 10万公顷 C. 11万公顷 D. 12万公顷 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，该地每年绿化面积构成等差数列，利用等差数列的性质求解即可. 【详解】由题意可知，从2017年起，该地每年的绿化面积构成等差数列.设为. 则首项,公差. 求2020年的绿化面积，就是求等差数列的第4项. 因为. 所以该地2020年的绿化面积是11万公顷. 故选：C. 20. 已知正方体的棱长是，则它的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的表面积公式求解即可. 【详解】因为正方体的棱长是. 所以它的表面积. 故选：C 21. 已知两点和，则线段的长度是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式可求解. 【详解】因为两点和， 所以. 故选：B 22. 下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断即可. 【详解】因为,所以是偶函数. 因为，所以不是偶函数. 因为，所以不是偶函数. 因为，所以不是偶函数 故选：A 23. 当时，函数的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】将代入函数式中可求解. 【详解】在函数中，令，可得 . 故选：D 24. 在等比数列中，首项，公比，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为等式数列中. 所以. 故选：C. 25. 方程的解是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】解指数幂方程，将指数式转换成对数式求解即可. 【详解】由题可得：，则. 故选：A. 26. 垂直于同一平面的两条直线的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 异面 D. 相交 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与平面垂直的性质定理即可判断. 【详解】由直线与平面垂直的性质定理可知. 垂直于同一平面的两条直线互相平行. 故选：B. 27. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代正弦型函数最小正周期公式计算即可. 【详解】的最小正周期为：. 故选：B. 28. 从某社区随机抽取8位老人测量血压．测得他们的舒张压（单位：）分别为：73，80，88，73，99，102，89，76．则这8位老人舒压的平均数是（ ） A. 83 B. 84 C. 85 D. 86 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的概念求解. 【详解】依题意，73，80，88，73，99，102，89，76的平均数为， . 故选：C. 29. 甲、乙、丙、丁四位同学参加米接力赛，甲必须排在第一棒，则所有不同的接力方案有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】D 【解析】 【分析】根据全排列公式计算即可. 【详解】甲排在第一棒，则剩下三棒由乙、丙、丁三人全排列， 则不同的接力方案有种. 故选：D. 30. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标公式计算即可. 【详解】. 故选：C. 31. 直线经过点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方程确定直线经过的点即可. 【详解】因为直线. 所以当时，，直线经过的点的坐标为.A项错误. 所以当时，，直线经过的点的坐标为，B、D项错误. 所以当时，,直线经过的点的坐标为,C项正确 故选：C. 32. 现有花色分别为红桃A、方块A、黑桃A、梅花A四张扑克牌，从中任取一张扑克牌为红色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式直接求解即可. 【详解】从红桃A、黑桃A、梅花A、方块A四张牌中，随机抽取一张，共有4种可能，抽到红色牌有两种情况， 所以抽到红色扑克牌的概率. 故选：A. 33. 已知，则（ ） A. B. C. D. ． 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式转换三角函数式求解即可. 【详解】由诱导公式可得：. 故选：B. 34. 已知圆，则圆心坐标和半径分别是（ ） A. ，2 B. ，4 C. ，2 D. ，4 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的标准方程求解圆心与半径即可. 【详解】因为圆. 所以圆心为,半径. 故选：A. 35. 直线经过和两点，则直线AB的斜率是（ ） A. B. C. －1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知两点求斜率的公式即可求解. 【详解】由题意得，， 则直线的斜率为. 故选：D. 36. 已知椭圆，则椭圆与轴的交点坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆方程得到，即可求出左右顶点. 【详解】由椭圆方程可知，焦点在轴上，且， 所以椭圆与轴交点即椭圆的左右顶点和. 故选：A. 二、多项选择题（共3小题，每小题4分、共12分.在每小题列出的备选项中，有两个或两个以上的选项是符合题目要求的．把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，多选，少选或错选均不得分） 37. 满足不等式的所有正整数有（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】找出满足不等式的正整数即可求解. 【详解】不等式的所有正整数为. 所以有4个正整数满足. 故选：B 38. 下列函数中，在其定义域是增函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数图象即可判断其单调性. 【详解】各选项的函数图象如图所示： 对A：由图可知函数在其定义域范围内不具有单调性，故A错误； 对B：由图可知函数在定义域是增函数，故B正确； 对C：由图可知函数在定义域是增函数，故C正确； 对D：由图可知函数在定义域是增函数，故D正确； 故选：BCD. 39. 如图所示，在长方体中．下列说法正确的有（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 棱与所在直线是异面直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据长方体的结构特征，以及异面直线、线面关系、面面关系的概念进行分析. 【详解】∵是长方体，根据长方体的特点可知， 选型A中，，故正确. 选型B中，平面，正确 选型C中，平面与平面平行，故平面平面，故正确. 选型D中，，故错误. 故选：ABC 非选择题（共30分） 三、解答题（共3小题，共30分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案写在答题卡相应的位置上） 40. 如图所示，某学校要建矩形运动场地，场地相邻两边借用两面墙，另两条边长的和为，设矩形的长为． （1）求矩形运动场地面积关于的函数解析式，并指出函数定义域； （2）当为何值时，场地面积最大?最大面积是多少? 【答案】（1） （2）8；64 【解析】 【分析】（1）根据题意，由面积公式得到函数解析式 （2）由二次函数的值域的求法求解即可. 【小问1详解】 因为矩形的长为.则宽为. 所以解得. 所以. 【小问2详解】 因为. 所以当时，场地面积最大，最大面积为. 41. 已知是首项为1，公差为3的等差数列，表示的前项和． （1）求等差数列的通项公式； （2）求等差数列的前6项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 因为等差数列的首项为1，公差为3. 所以 【小问2详解】 由等差数列的前项和公式为. 所以. 42. 如图所示．已知正方体，点是底面对角线的交点． （1）求证：平面； （2）若正方体的棱长为2，求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明过程见解析. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，由平行四边形结合正方形对角线性质证明且，即可证四边形为平行四边形，得到线线平行，再根据线面平行判定定理证明即可. （2）将所求三棱锥体积转换底面变成求三棱锥的体积，根据线面垂直找到三棱锥的高，套体积公式计算即可. （3）作辅助线，结合正方体结构特征证出平面，即可找到线面角，根据所设边长求正切值即可. 【小问1详解】 证明：如图所示，连接交于点，连接， 因为正方体中，，， 所以为平行四边形，所以且， 又因为正方形中对角线互相平分，所以，， 所以且，即四边形为平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 三棱锥的体积即三棱锥的体积， 因为正方体中平面，所以为三棱锥的高， 所以三棱锥的体积， 即三棱锥的体积为. 【小问3详解】 连接，因为正方体中，平面，平面， 所以，且正方形中，， 又因为平面，且， 所以平面， 则直线与平面所成角即，且， 设正方体边长为，则，， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$