第21章　二次函数与反比例函数 课件 2024—2025学年沪科版数学九年级上册

小专题（三）　反比例函数中k的几何意义 第21章　二次函数与反比例函数 类型一　求几何图形的面积 1. 如图，在反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上，有点 P1， P2， P3， P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4.分别过这些点作 x 轴与 y 轴的 垂线，图中所构成的涂色部分的面积从左到右依次为 S1， S2， S3，则 S1 ＋ S2＋ S3的值为（　B　） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 无法确定 第1题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图，▱ OABC 的顶点 O ， B 在 y 轴上，顶点 A 在反比例函数 y ＝ （ k1＜0， x ＜0）的图象上，顶点 C 在反比例函数 y ＝ （ k2＞0， x ＞ 0）的图象上，则▱ OABC 的面积为（　D　） A. －2 k1 B. 2 k2 C. k1＋ k2 D. k2－ k1 第2题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图， A 是反比例函数 y ＝－ （ x ＜0）的图象上的一点，过点 A 作 ▱ ABCD ，使点 B ， C 在 x 轴上，点 D 在 y 轴上，则▱ ABCD 的面积 为 ⁠. 第3题 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 如图，点 P ， Q ， R 在反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上，分别过 这三个点作 x 轴、 y 轴的平行线.图中所构成的涂色部分面积从左到右依 次为 S1， S2， S3.若 OE ＝ ED ＝ DC ， S2＋ S3＝20，则 S1的值为 ⁠. 第4题 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 类型二　比较几何图形面积的大小 5. 过反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上任意两点 A ， B 分别作 x 轴的垂 线，垂足分别为 C ， D ，连接 OA ， OB ，设△ AOC 和△ BOD 的面积分 别是 S1， S2，则 S1， S2的大小关系为（　B　） A. S1＞ S2 B. S1＝ S2 C. S1＜ S2 D. 无法确定 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 类型三　利用三角形面积求 k 的值 6. （2023·安庆十四中期中）如图， A 是反比例函数 y ＝ （ x ＜0）的图 象上一点，过点 A 作 x 轴的平行线交反比例函数 y ＝－ （ x ＜0）的图象 于点 B ，点 C 在 x 轴上，且 S△ ABC ＝ ，则 k 的值为（　B　） A. 6 B. －6 C. D. － 第6题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. （2023·马鞍山八中期中）如图，点 A 在双曲线 y ＝ 上， AB ⊥ y 轴于 点 B ， S△ AOB ＝7，则 k ＝ ⁠. 第7题 14　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. （2023·蚌埠期中）如图，在平面直角坐标系中， A 是反比例函数 y ＝ （ x ＜0）的图象上的一点，过点 A 作 AB ⊥ x 轴于点 B ，点 C 在 y 轴的 负半轴上，连接 AC ， BC . 若△ ABC 的面积为5，则 k 的值为 ⁠. 第8题 －10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 类型四　利用四边形面积求 k 的值 9. （2023·广西）如图，过反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上的点 A ， 分别作 x 轴、 y 轴的平行线交反比例函数 y ＝－ 的图象于 B ， D 两点， 以 AB ， AD 为邻边的矩形 ABCD 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别 记为 S1， S2， S3， S4.若 S2＋ S3＋ S4＝ ，则 k 的值为（　C　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第9题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 如图， A 是反比例函数图象上一点，过点 A 作 AB ⊥ y 轴于点 B ，点 P 在 x 轴上，且 OP ＝ AB . 若四边形 ABPO 的面积为6，则反比例函数的表 达式为 ⁠. 第10题 y ＝－ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 类型五　求未知字母的比 11. 如图，点 A （ a ， ）， B （ b ， ）在反比例函数 y ＝ （ k ＞0）的 图象上，其中 a ＞ b ＞0.过点 A 作 AC ⊥ x 轴于点 C . （1） 求△ AOC 的面积； 解：（1） 把 A （ a ， ）代入 y ＝ ，得 ＝ ， 解得 k ＝5.∴ S△ AOC ＝ ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 若△ AOB 的面积为 ，求 的值. 解：（2） 如图，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 D ，则 S△ OBD ＋ S梯形 ACDB ＝ S△ AOC ＋ S△ AOB . ∵ S△ OBD ＝ ＝ ，∴ S△ OBD ＝ S△ AOC . ∴ S梯 形 ACDB ＝ S△ AOB . ∴ ＝ ，即 － ＝ ，解得 ＝2或－ .∵ a ＞ b ＞0，∴ ＝2 第11题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$小专题（四）　反比例函数与一次函数的综合应用 第21章　二次函数与反比例函数 类型一　识别函数图象 1. （2023·泰安）一次函数 y ＝ ax ＋ b 与反比例函数 y ＝ （ a ， b 为常数且均不等于0）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　D　） A B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D 类型二　确定自变量的取值范围 2. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 y1＝ k1 x ＋ b 与反比例函数 y2＝ （ x ＞0）的图象如图所示，则当 y1＞ y2时，自变量 x 的取值范围是 （　D　） A. x ＜1 B. x ＞3 C. 0＜ x ＜1 D. 1＜ x ＜3 第2题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图，正比例函数 y1＝ mx ，一次函数 y2＝ ax ＋ b 和反比例函数 y3＝ 的图象在同一平面直角坐标系中.若 y3＞ y1＞ y2，则自变量 x 的取值范围 是 ⁠. 第3题 x ＜－1或0＜ x ＜1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图，反比例函数 y ＝ 的图象与一次函数 y ＝ ax ＋ b 的图象交于 A （1，4）， B （ n ，－2）两点. （1） 求反比例函数和一次函数的表达式； 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：（1） ∵ 反比例函数 y ＝ 的图象经过点 A （1，4），∴ 4＝ ，解得 m ＝4.∴ 反比例函数的表达式为 y ＝ .∵ 反比例函数 y ＝ 的图象经过点 B （ n ，－2），∴ －2＝ ，解得 n ＝－2.∴ 点 B 的坐标为（－2， －2）.∵ 一次函数 y ＝ ax ＋ b 的图象经过点 A （1，4）， B （－2， －2），∴ 解得∴ 一次函数的表达式为 y ＝2 x ＋2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出 x 的取值范围. 解：（2） x ＜－2或0＜ x ＜1 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型三　确定未知字母的值 5. （2022·怀化）如图，直线 AB 交 x 轴于点 C ，交反比例函数 y ＝ （ a ＞1）的图象于 A ， B 两点，过点 B 作 BD ⊥ y 轴，垂足为 D . 若 S△ BCD ＝5，则 a 的值为（　D　） A . 8 B . 9 C . 10 D . 11 第5题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. （2023·滁州二中段考）已知反比例函数 y ＝ 的图象和一次函数 y ＝2 x －1的图象都经过点（ m ，2）.求： （1） m ， k 的值； 解：（1） 把（ m ，2）代入 y ＝2 x －1，得2 m －1＝2，解得 m ＝ .把 （ ，2）代入 y ＝ ，得2＝ ，解得 k ＝3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 两图象的另一交点的坐标. 解：（2） 由（1），得反比例函数的表达式为 y ＝ .令 ＝2 x －1，解 得 x1＝ ， x2＝－1.当 x ＝－1时， y ＝－3.∴ 两图象的另一交点的坐标 为（－1，－3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型四　确定点的坐标 7. （2023·怀化）如图，反比例函数 y ＝ （ k ＞0）的图象与过点 D （－ 1，0）的直线 AB 相交于 A ， B 两点.已知点 A 的坐标为（1，3）， C 为 x 轴上任意一点.如果 S△ ABC ＝9，那么点 C 的坐标为（　D　） A. （－3，0） B. （5，0） C. （－3，0）或（5，0） D. （3，0）或（－5，0） 第7题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 如图，反比例函数 y ＝ 的图象与一次函数 y ＝ x －2的图象在第三象 限内交于点 A ，点 B 的坐标为（－3，0）， P 是 y 轴左侧的一点.若以 A ， O ， B ， P 为顶点的四边形是平行四边形，则点 P 的坐标为 ⁠ ⁠. （－ 2，3）或（－4，－3）　 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型五　与几何图形的面积相关的计算 9. （2023·阜新）正比例函数 y ＝ x 的图象与反比例函数 y ＝ 的图象相交 于 A ， B 两点，过点 A 作 AC ⊥ x 轴，垂足为 C ，连接 BC ，则△ ABC 的 面积为 ⁠. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第10题 （1） 直接写出不等式 kx ＋ b ＞－ 的解集： ⁠； x ＜－2或0＜ x ＜4　 10. （2023·安庆潜山市期中）如图，直线 y ＝ kx ＋ b 与双曲线 y ＝－ 交 于点 A （－2， m ）， B （4， n ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 求△ AOB 的面积. 解：把 A （－2， m ）， B （4， n ）代入 y ＝－ ，得 m ＝－ ＝4， n ＝－ ＝－2，∴ 点 A 的坐标为（－2，4），点 B 的坐标为（4，－2）. 把 A （－2，4）， B （4，－2）代入 y ＝ kx ＋ b ，得解 得∴ 直线 AB 对应的函数表达式为 y ＝－ x ＋2.设直线 AB 与 x 轴交于点 C . 在 y ＝－ x ＋2中，令 y ＝0，得－ x ＋2＝0，解得 x ＝2. ∴ 点 C 的坐标为（2，0）.∴ OC ＝2.∴ S△ AOB ＝ S△ AOC ＋ S△ BOC ＝ ×2×4＋ ×2×2＝6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$21.6　综合与实践　获取最大利润 第21章　二次函数与反比例函数 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 1. 单件商品利润＝ － . 2. 总利润＝单件商品利润× － ⁠. 商品售价　 商品进价　 总销售量　 其他成本 　 返回目录 1. 某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，计划将 头盔降价销售.经调查发现，每顶头盔每降价1元，每月可多售出20顶.已 知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的 售价为（　C　） A. 60元 B. 65元 C. 70元 D. 75元 C 1 2 3 4 5 返回目录 2. 某宾馆有50个房间供游客居住.当每个房间每天的定价为180元时，房 间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间 空闲.若游客居住房间，则宾馆需要对每个居住房间每天支出40元的各 种费用.宾馆获得的利润 y 元与每个房间每天的定价 x 元（ x 为10的倍 数， x ＞180）之间的函数表达式为 ⁠，宾馆 获得的最大利润是 元. y ＝－0.1 x2＋72 x －2720　 10240　 1 2 3 4 5 返回目录 3. （2022·滨州）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销 售，则每月能售出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能售出60 件.假定每月的销售件数 y 是每件的销售价格 x 元的一次函数. （1） 求 y 关于 x 的一次函数表达式. 解：（1） 设 y 关于 x 的一次函数表达式为 y ＝ kx ＋ b .把和 代入，得解得∴ y 关于 x 的一 次函数表达式为 y ＝－30 x ＋960 1 2 3 4 5 返回目录 （2） 当每件的销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？最大利 润是多少？ 解：（2） 设每月获得的利润为 W 元.由题意，得 W ＝（－30 x ＋960） （ x －10）＝－30（ x －21）2＋3630.∵ －30＜0，∴ 当 x ＝21时， W 取 最大值，最大值为3630.∴ 当每件的销售价格定为21元时，每月获得的 利润最大，最大利润是3 630元 1 2 3 4 5 返回目录 4. 某农户销售一种商品，成本价为40元/千克，该商品的售价不低于成 本价，且不高于60元/千克.每天的销量 y 千克与售价 x 元/千克满足一次函 数关系，部分数据如下表： 售价 x /（元/千克） 40 50 60 销量 y /千克 120 100 80 设销售该商品每天的利润为 W 元，则 W 的最大值为（　B　） A. 1800 B. 1600 C. 1400 D. 1200 B 1 2 3 4 5 返回目录 5. （2023·朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文 具的销售单价不低于进价且不高于19元.调查发现，该文具每天的销售 数量 y 件与销售单价 x 元之间满足一次函数关系，部分数据如下表： 销售单价 x /元 12 13 14 每天的销售数量 y /件 36 34 32 （1） 直接写出 y 与 x 之间的函数表达式. 解：（1） y ＝－2 x ＋60 1 2 3 4 5 返回目录 （2） 若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少？ 解：（2） 由题意，得（ x －10）（－2 x ＋60）＝192，解得 x1＝18， x2＝22（不合题意，舍去）.∴ 销售单价为18元 1 2 3 4 5 返回目录 （3） 设销售这种文具每天获利 w 元，当销售单价为多少元时，每天获 利最大？最大利润是多少？ 解：（3） 由题意，得 w ＝（ x －10）（－2 x ＋60）＝－2 x2＋80 x －600＝－2（ x －20）2＋200.∵ －2＜0，∴ 当 x ＜20时， w 随 x 的增大而增大.∵ 10≤ x ≤19，∴ 当 x ＝19 时， w 取最大值，为－ 2×（19－20）2＋200＝198.∴ 当销售单价为19元时，每天获利最 大，最大利润是198元 1 2 3 4 5 返回目录 $$21.2　二次函数的图象和性质 *21.2.3　二次函数表达式的确定 第21章　二次函数与反比例函数 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 04 思维拓展 1. 二次函数的表达式通常有以下几种形式： （1） 一般式： y ＝ ⁠； （2） 顶点式： y ＝ ⁠； （3） 交点式： y ＝ ⁠. 2. 用待定系数法确定二次函数表达式的步骤如下： 第一步， .根据题目中所给的条件，设出合适的二次函数表达式. 第二步， .代入点的坐标，得到方程（组）.第三步， .解方 程（组）.第四步， .将求出的待定系数还原到表达式中. ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）　 a （ x ＋ h ）2＋ k （ a ≠0）　 a （ x － x1）（ x － x2）（ a ≠0）　 设　 代　 解　 还原 　 返回目录 1. 已知抛物线 y ＝ x2＋ bx ＋ c 经过点（3，1），（－1，1），则此抛物 线还经过点（　B　） A. （1，2） B. （0，－2） C. （－5，2） D. （－2，0） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 2. 若二次函数的图象如图所示，则该二次函数的表达式为（　A　） A. y ＝－3（ x －1）2＋3 B. y ＝3（ x －1）2＋3 C. y ＝－3（ x ＋1）2＋3 D. y ＝3（ x ＋1）2＋3 第2题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 3. 小明在用描点法探究二次函数的性质时，列出了以下表格： x … －1 0 1 2 3 … y … a b －4 －3 c … 只知道 a ， b ， c 三个数中有两个数相同.根据以上信息，小明探究的二 次函数的表达式可能是（　B　） A. y ＝ x2－3 x －2 B. y ＝ x2＋ x － C. y ＝2 x2－5 x －1 D. y ＝ x2－ x －3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 4. 小刚在用描点法画抛物线 C1： y ＝ ax2＋ bx ＋ c 时，列出了以下表格： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 6 7 6 3 … 抛物线 C1对应的函数表达式为 ⁠. 5. 已知二次函数 y ＝ ax2＋4 x ＋ c ，当 x ＝－2时，函数值是－1；当 x ＝1 时，函数值是5.此二次函数的表达式为 ⁠. y ＝－ x2＋4 x ＋3　 y ＝2 x2＋4 x －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 6. （2023·六安霍邱县段考）已知二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ， b ， c 是常数）的图象的对称轴为直线 x ＝－2，且经过点（－3，－2），函数 的最大值为－1，求 a ， b ， c 的值. 解：∵ 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ， b ， c 是常数）的图象的对称轴 为直线 x ＝－2，函数的最大值为－1，∴ 函数图象的顶点坐标为（－ 2，－1）.设二次函数的表达式为 y ＝ a （ x ＋2）2－1.将（－3，－2）代 入，得 a －1＝－2，解得 a ＝－1.∴ y ＝－（ x ＋2）2－1＝－ x2－4 x － 5.∴ a ＝－1， b ＝－4， c ＝－5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 7. 已知抛物线经过点 A （2，0）， B （－1，0），与 y 轴交于点 C ，且 OC ＝2，则该抛物线对应的函数表达式为（　C　） A. y ＝ x2－ x －2 B. y ＝－ x2＋ x ＋2 C. y ＝ x2－ x －2或 y ＝－ x2＋ x ＋2 D. y ＝－ x2－ x －2或 y ＝ x2＋ x ＋2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 8. 若抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 经过 A （－2，4）， B （6，4）两点，且顶 点在 x 轴上，则该抛物线对应的函数表达式为 ⁠. 9. 如图，抛物线 y ＝ ax2＋ bx －3与 y 轴交于点 C ，与 x 轴交于 A ， B 两 点， OB ＝ OC ＝3 OA ，则该抛物线对应的函数表达式为 ⁠ ⁠. y ＝ x2－ x ＋1　 y ＝ x2－2 x －3　 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 10. 如图，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 与 x 轴交于点 A （－1，0）， B （4， 0），与 y 轴交于点 C （0，－4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （1） 求抛物线对应的函数表达式，并直接写出顶点 P 的坐标； 解：（1） ∵ 抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 与 x 轴交于点 A （－1，0）， B （4，0），与 y 轴交于点 C （0，－4），∴ 解得∴ 抛物线对应的函数表达式为 y ＝ x2－3 x －4.∴ 顶点 P 的坐标 为（ ，－ ） 　第10题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 求△ BCP 的面积. 解：（2） 如图，连接 OP . ∵ 点 C 的坐标为（0，－ 4），∴ OC ＝4.∵ 点 B 的坐标为（4，0），∴ OB ＝ 4.∴ S△ OPC ＝ ×4× ＝3， S△ BOP ＝ ×4× ＝ ， S△ BOC ＝ ×4×4＝8.∴ S△ BPC ＝ S△ OPC ＋ S△ BOP － S△ BOC ＝3＋ －8＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 11. 如图，抛物线 y ＝ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A （－1，0）， B （3，0） 两点，与 y 轴交于点 C . （1） 求该抛物线对应的函数表达式. 解：（1） 将 A （－1，0）， B （3，0）代入 y ＝ x2＋ bx ＋ c ，得 解得 ∴ 该抛物线 对应的函数表达式为 y ＝ x2－2 x －3 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 若 E 是抛物线的对称轴与直线 BC 的交点， F 是抛物线的顶点，连 接 EF ，求 EF 的长. 解：（2） ∵ 抛物线对应的函数表达式为 y ＝ x2－2 x －3 ＝（ x －1）2－4，∴ 抛物线的顶点 F 的坐标为（1，－ 4），对称轴为直线 x ＝1.当 x ＝0时， y ＝02－2×0－3＝ －3，∴ 点 C 的坐标为（0，－3）.设直线 BC 对应的函数 表达式为 y ＝ mx ＋ n .将 B （3，0）， C （0，－3）代 入，得解得∴ 直线 BC 对应的函 数表达式为 y ＝ x －3.当 x ＝1时， y ＝1－3＝－2，∴ 点 E 的坐标为（1，－2）.∴ EF ＝－2－（－4）＝2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第11题 返回目录 （3） 设 P 是抛物线上的一个动点，是否存在点 P ，使得 S△ PAB ＝6？若 存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（3） 存在　∵ 点 A 的坐标为（－1，0），点 B 的坐 标为（3，0），∴ AB ＝3－（－1）＝4.设点 P 的坐标为 （ t ， t2－2 t －3）.∵ S△ PAB ＝6，∴ ×4×｜ t2－2 t －3｜ ＝6，即 t2－2 t －3＝3或 t2－2 t －3＝－3，解得 t1＝1－ ， t2＝1＋ ， t3＝0， t4＝2.∴ 点 P 的坐标为（1－ ，3）或（1＋ ，3）或（0，－3）或（2，－3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第11题 返回目录 $$21.5　反比例函数 第1课时　反比例函数的概念 第21章　二次函数与反比例函数 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 04 思维拓展 1. 一般地，表达式形如 y ＝ （ k 为常数，且 ）的函数叫做反比例函数. 2. 反比例函数的表达式还有两种常见的形式：① y ＝ kx－1（ k 为常数， 且 k ≠0）；② xy ＝ k （ k 为 常数，且 k ≠0）.由 y ＝ kx－1，可得在反比例函数中，自变量的指数 为 ；由 xy ＝ k ，可知无论 x 与 y 怎样变化，其 ⁠不变，这种 形式在计算中的应用更为广泛. 　 k ≠0　 －1　 积 　 返回目录 1. （2023·滁州二中段考）下列函数中，属于反比例函数的是（　C　） A. y ＝－2 x B. y ＝ kx－1 C. y ＝－ D. y ＝ 2. 一项工程施工需要运送土石方总量为105立方米，设土石方日平均运 送量为 V （单位：立方米/天），完成运送任务所需要的时间为 t （单 位：天），则 V 与 t 满足（　A　） A. 反比例函数关系 B. 正比例函数关系 C. 一次函数关系 D. 二次函数关系 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 3. 在反比例函数 y ＝ 中，当 x ＝1时， y 的值为（　A　） A. B. C. 1 D. －1 4. 已知变量 y 与 x 成反比例关系，当 x ＝3时， y ＝－7，则该反比例函数 的表达式为 ⁠. 5. （2022·山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受 的压强 p （Pa）是它的受力面积 S （m2）的反比例函数，其函数图象如 图所示.当受力面积为0.25m2时，该物体承受的压强为 ⁠Pa. A y ＝－ 　 400　 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 6. （2023·吉林）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的 波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率 f （单位：MHz）的变化而变化. 已知波长λ与频率 f 是反比例函数关系，部分对应值如下表： 频率f/MHz 10 15 50 波长λ/m 30 20 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （1） 求λ关于 f 的函数表达式； 解：（1） 设λ关于 f 的函数表达式为λ＝ .把（10，30）代入，得30＝ ，解得 k ＝300.∴ λ关于 f 的函数表达式为λ＝ （2） 当 f ＝75时，求此电磁波的波长. 解：（2） 在λ＝ 中，令 f ＝75，得λ＝ ＝4.∴ 当 f ＝75时，此电磁 波的波长为4m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 7. 已知经过闭合电路的电流 I （单位：A）与电路的电阻 R （单位：Ω） 是反比例函数关系.根据下表判断 a 和 b 的大小关系为（　A　） I/A 5 … a … … … b … 1 R/Ω 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A. a ＞ b B. a ＝ b C. a ＜ b D. 无法确定 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 8. 若 y ＝（ m ＋1） 是关于 x 的反比例函数，则 m 的值为 （　D　） A. ±1 B. ±3 C. －1 D. 1 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 9. 将油箱注满 k L油后，轿车可行驶的总路程 s （单位：km）与平均耗 油量 a （单位：L/km）之间的函数关系满足 s ＝ （ k 是常数，且 k ≠0）.已知某轿车的油箱注满油后，以平均耗油量0.1L/km行驶，可行驶 700km. （1） 该轿车可行驶的总路程 s （单位：km）与平均耗油量 a （单位： L/km）之间的函数表达式为 ⁠；　　 （2） 当平均耗油量为0.08L/km时，该轿车可以行驶 ⁠km. s ＝ 　 875　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 10. 已知 y ＝ y1＋ y2， y1与 x －1成正比例关系， y2与 x ＋1成反比例关系. 当 x ＝0时， y ＝－3；当 x ＝1时， y ＝－1. （1） 求 y 关于 x 的函数表达式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 解：（1） ∵ y1与 x －1成正比例关系， y2与 x ＋1成反比例关系，∴ 设 y1＝ k1（ x －1）， y2＝ .∵ y ＝ y1＋ y2，当 x ＝0时， y ＝－3；当 x ＝1 时， y ＝－1，∴ 解得∴ y 关于 x 的函数表 达式为 y ＝ x －1－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 当 x ＝－ 时，求 y 的值. 解：（2） 当 x ＝－ 时， y ＝－ －1－ ＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 11. （2023·台州）科学课上，同学们用自制密度计测量液体的密度.密度 计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度 h （单位：cm）是液体的 密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的 水中时， h ＝20. （1） 求 h 关于ρ的函数表达式； 解：（1） 设 h 关于ρ的函数表达式为 h ＝ .∵ 当ρ＝1时， h ＝20， ∴ 20＝ .∴ k ＝20.∴ h 关于ρ的函数表达式为 h ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 当密度计悬浮在另一种液体中时， h ＝25，求该液体的密度. 解：（2） 把 h ＝25 代入 h ＝ ，得 25＝ ，解得ρ＝0.8.∴ 该液体的 密度为 0.8g/cm3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 12. 在面积相等的所有三角形中，当其中一个三角形的一边长 x 为1时， 这条边上的高 y 为6. （1） ① 求 y 关于 x 的函数表达式； ② 当 x ≥3时，求 y 的取值范围. 解：（1） ① 由题意，得三角形的面积为 ×1×6＝3.∵ x 为三角形的 一边长， y 为这条边上的高，∴ xy ＝3.∴ y 关于 x 的函数表达式为 y ＝ ② ∵ 当 x ＝3时， y ＝2，∴ 当 x ≥3时， y 的取值范围是0＜ y ≤2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 甲同学认为其中有一个三角形的一边长与这条边上的高的和为 4，乙同学认为其中有一个三角形的一边长与这条边上的高的和为6. 甲、乙两名同学的想法正确吗？请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 解：（2） 甲同学的想法不正确，乙同学的想法正确　理由：∵ 甲同学 认为其中有一个三角形的一边长与这条边上的高的和为4，∴ x ＋ ＝4. 整理，得 x2－4 x ＋6＝0.∵ Δ＝（－4）2－4×1×6＝－8＜0，∴ 一个三 角形的一边长与这条边上的高的和不可能是4，即甲同学的想法不正 确.∵ 乙同学认为其中有一个三角形的一边长与这条边上的高的和为6， ∴ x ＋ ＝6.整理，得 x2－6 x ＋6＝0，解得 x1＝3＋ ， x2＝3－ . ∴ 乙同学的想法正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 $$21.5　反比例函数 第2课时　反比例函数的图象和性质 第21章　二次函数与反比例函数 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 04 思维拓展 1. 反比例函数 y ＝ （ k 为常数，且 k ≠0）的图象叫做 ⁠. 2. （1） 当 k ＞0时，双曲线的两个分支分别位于 ⁠象限，在 每个象限内， y 随 x 的增大而 ⁠； （2） 当 k ＜0时，双曲线的两个分支分别位于 ⁠象限，在每 个象限内， y 随 x 的增大而 ⁠. 双曲线　 第一、三　 减小　 第二、四　 增大 　 返回目录 1. （2023·六安霍邱县段考）下列各点中，在反比例函数 y ＝－ 的图象 上的是（　B　） A. （2，－10） B. （－3，4） C. （－1，－12） D. （2，6） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 2. （2023·上海）下列函数中，函数值 y 随 x 的增大而减小的是（　B　） A. y ＝6 x B. y ＝－6 x C. y ＝ D. y ＝－ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 3. （2023·济南）已知点 A （－4， y1）， B （－2， y2）， C （3， y3） 都在反比例函数 y ＝ （ k ＜0）的图象上，则 y1， y2， y3的大小关系为 （　C　） A. y3＜ y2＜ y1 B. y1＜ y3＜ y2 C. y3＜ y1＜ y2 D. y2＜ y3＜ y1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 4. （2022·益阳）反比例函数 y ＝ 的图象如图所示，则 k 的值可以 是 （写出一个即可）. 第4题 答案不唯一，如1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 5. （2022·哈尔滨）已知反比例函数 y ＝－ 的图象经过点（4， a ），则 a 的值为 ⁠. 6. （2023·合肥中科大附中南区段考）已知反比例函数 y ＝ 的图象经 过点（2，－4）. （1） 求 k 的值； 解：（1） 把（2，－4）代入反比例函数 y ＝ ，得－4＝ ，解得 k ＝9.∴ k 的值为9 － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） 点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）均在反比例函数 y ＝ 的图象 上，若 x1＜ x2，比较 y1， y2的大小关系. 解：（2） 由（1），得反比例函数的表达式为 y ＝ ＝－ .∵ －8＜ 0，∴ 反比例函数的图象经过第二，四象限，在每个象限内 y 随 x 的增 大而增大.∵ 点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）均在反比例函数 y ＝－ 的 图象上，∴ 当0＜ x1＜ x2或 x1＜ x2＜0时， y1＜ y2；当 x1＜0＜ x2时， y1 ＞ y2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 7. （2023·合肥中科大附中南区段考）如图， A （ ， y1）， B （3， y2） 为反比例函数 y ＝ 的图象上的两点，动点 P （ x ，0）在 x 轴正半轴上运 动.当 AP － BP 的值最大时，点 P 的坐标为（　D　） 第7题 D A. （ ，0） B. （ ，0） C. （，0） D. （，0） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 8. （2023·安庆十四中期中）如图，菱形 OABC 的边长为 m ，点 A 在 x 轴 的正半轴上，反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象经过点 C 和线段 AB 的中 点 M ，且点 C 的横坐标为 a ，则 m 与 a 满足的函数关系为 ⁠. 第8题 m ＝ a 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 9. （2022·金华）如图，点 A 在第一象限内， AB ⊥ x 轴于点 B ，反比例 函数 y ＝ （ x ＞0）的图象分别交 AO ， AB 于点 C ， D . 已知点 C 的坐标 为（2，2）， BD ＝1. （1） 求 k 的值及点 D 的坐标； 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 解：（1） ∵ 点 C （2，2）在反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上， ∴ 2＝ ，解得 k ＝4.∵ BD ＝1，∴ 点 D 的纵坐标为1.∵ 点 D 在反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上，∴ 1＝ ，解得 x ＝4.∴ 点 D 的坐标为（4，1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） 已知点 P 在该反比例函数的图象上，且在△ ABO 的内部（包括边 界），直接写出点 P 的横坐标 x 的取值范围. 解：（2） 点 P 的横坐标 x 的取值范围是2≤ x ≤4 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 10. （2022·雅安）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABO 的 直角顶点 A 的坐标为（ m ，2），点 B 在 x 轴上，将△ ABO 向右平移得到 △ DEF ，使点 D 恰好在反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上. （1） 求 m 的值和点 D 的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 解：（1） 如图，过点 A 作 AH ⊥ BO 于点 H . ∵ △ ABO 是等腰直角三角形，∴ H 为 OB 的中 点.∴ AH ＝ OB ＝ OH . ∵ 点 A 的坐标为 （ m ，2），∴ OH ＝ AH ＝2.∴ m ＝－2.由平 移，得点 D 的纵坐标和点 A 的纵坐标相同， ∴ 设点 D 的坐标为（ n ，2）.∵ 点 D 在反比例 函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上，∴ 2＝ ，解得 n ＝4.∴ 点 D 的坐标为（4，2） 　第10题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） 求直线 DF 对应的函数表达式； 解：（2） 如图，过点 D 作 DM ⊥ EF 于点 M . 由（1），得 DM ＝ MF ＝2.∵ 点 D 的坐标为 （4，2），∴ 点 F 的坐标为（6，0）.设直线 DF 对应的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b .将 D （4， 2）， F （6，0）代入，得解得 ∴ 直线 DF 对应的函数表达式为 y ＝ － x ＋6 　第10题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （3） 若该反比例函数的图象与直线 DF 的另一交点为 G ，求△ EFG 的 面积. 解：（3） 如图，延长 FD 交反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象于点 G ，连接 EG . 联立方程 组，得解得 ∴ 点 G 的坐标为（2，4）. 由（1），得 EF ＝2 DM ＝4.∴ S△ EFG ＝ EF · yG ＝ ×4×4＝8 　第10题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 $$21.4　二次函数的应用 第3课时　利用二次函数模型解决抛物线形运动问题 第21章　二次函数与反比例函数 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 04 思维拓展 1. 在日常生活中，我们常常遇到运动轨迹呈抛物线形的实际问题， 如球类运动、喷泉等，解决这类实际问题时，我们常常要将它们同 ⁠ 函数联系. 2. 确定残缺抛物线形的实际问题中隐含的二次函数表达式时，往往 可先根据特殊点的几何特征确定其 ⁠，再运用待定系数法确定 二次函数的表达式. 二 次　 坐标 　 返回目录 1. （2023·丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过 t 秒时球距离地面的高度 h 米适用公式 h ＝10 t －5 t2，则球弹起后又回到 地面所花的时间是（　D　） A. 5秒 B. 10秒 C. 1秒 D. 2秒 D 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 2. （2023·宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球离地面的高度 y （单位： m）与水平距离 x （单位：m）之间的关系是 y ＝－ （ x －10）（ x ＋ 4），则铅球推出的距离 OA ＝ ⁠m. 第2题 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 3. 如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线看成 是抛物线的一部分，不考虑空气阻力，小球的飞行高度 y （单位：m） 与飞行时间 x （单位：s）之间具有的函数关系为 y ＝－5 x2＋20 x . 第3题 （1） 在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间为 ⁠ s； （2） 在飞行过程中，小球的最大飞行高度为 ⁠m. 1或 3　 20　 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 4. 如图，从点 A 处以4米/秒的速度水平匀速抛出一小球，下落过程中水 平方向速度不变，忽略空气阻力，点 M 是下落路线中的某位置，点 A ， M 的竖直距离 h （单位：米）与飞出时间 t （单位：秒）的平方成正 比，当 t ＝0.1时， h ＝0.05. （1） 求 h 关于 t 的函数表达式； 解：（1） ∵ 点 A ， M 的竖直距离 h （单位：米）与飞 出时间 t （单位：秒）的平方成正比，∴ 设 h ＝ kt2.∵ 当 t ＝0.1时， h ＝0.05，∴ 0.01 k ＝0.05，解得 k ＝5.∴ h 关 于 t 的函数表达式为 h ＝5 t2 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 （2） 已知点 A 的离地高度 AQ 为3.2米，求小球的落地位置点 P 与点 A 之 间的水平距离（即 PQ 的长）. 解：（2） 由（1），得 h ＝5 t2.令 h ＝3.2，得5 t2＝3.2， 解得 t1＝0.8， t2＝－0.8（不合题意，舍去）.∴ PQ ＝ 0.8×4＝3.2（米）.∴ 小球的落地位置点 P 与点 A 之间的 水平距离为3.2米 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 5. 如图，在一次足球比赛中，某队守门员开出的球门球，经过第一次飞 行后的落地点为 A ，第二次从落地点 A 反弹后继续向前飞行，落地点为 B . 第一次飞行时间 t 秒与足球距离地面的高度 h 米适用公式 h ＝－ t2＋3 t ，足球第二次飞行路线满足抛物线，且第二次飞行的最大高度和从反 弹到落地所用时间均为第一次的一半，则足球第二次飞行路线所在抛物 线对应的函数表达式为（　B　） A. h ＝－ t2＋ t B. h ＝－ t2＋15 t －36 C. h ＝－ t2－15 t ＋39 D. h ＝－3 t2＋30 t －72 第5题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 6. 如图，某跳水运动员从起跳至入水的运动路线可以看作是抛物线的一 部分.该运动员起点 A 距离水面10m，运动过程中的最高点 B 距池边 2.5m，入水点 C 距池边4m，根据上述信息，可推断出点 B 距离水 面 ⁠m. 第6题 11.25　 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 7. 某篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一段抛 物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准 确落入篮框内.如图，篮圈中心距离地面的高度为3.05m，则此抛物线对 应的函数表达式为 ⁠. 第7题 y ＝－0.2 x2＋3.5　 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 8. （2022·江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶 段，如图，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（实线部分所 示），落地点在着陆坡（虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点 K 为飞 行距离计分的参照点，落地点超过点 K 越远，飞行距离分越高.假如起跳 台的高度 OA 为66m，基准点 K 到起跳台的水平距离为75m，高度为 h m （ h 为定值）.设运动员从点 A 起跳后的高度 y （m）与水平距离 x （m） 之间的函数表达式为 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）. （1） c 的值为 ⁠. 66　 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 （2） ① 若运动员的落地点恰好为 K ，且此时 a ＝－ ， b ＝ ，求基 准点 K 的高度； ② 当 a ＝－ 时，若运动员的落地点要超过点 K ，则 b 的取值范围 是 ⁠. b ＞ 　 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 解：（2） ① ∵ a ＝－ ， b ＝ ，∴ y ＝－ x2＋ x ＋66.∵ 基准点 K 到起跳台的水平距离为75m，∴ y ＝－ ×752＋ ×75＋66＝21. ∴ 基准点 K 的高度为21m 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 （3） 当运动员飞行的水平距离为25m时，恰好到达最大高度76m处， 试判断他的落地点能否超过点 K ，并说明理由. 解：（3） 他的落地点能超过点 K 　理由： ∵ 当运动员飞行的水平距离为25m时，恰好 到达最大高度76m处，∴ 抛物线的顶点坐标 为（25，76）.设抛物线对应的函数表达式 为 y ＝ m （ x －25）2＋76.把（0，66）代 入，得66＝ m ·（0－25）2＋76，解得 m ＝－ .∴ 抛物线对应的函数表达式为 y ＝－ （ x －25）2＋76.当 x ＝75时， y ＝－ ×（75－25）2＋76＝36.∵ 36＞21，∴ 他的落地点能超过点 K . 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 $$21.4　二次函数的应用 第2课时　利用二次函数模型解决抛物线形建筑问题 第21章　二次函数与反比例函数 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 04 思维拓展 　　二次函数被广泛地运用于桥拱、涵洞等问题，需要注意的是，在 运用二次函数的知识解决问题时，常常需要建立 ⁠. 根据已知点所在的位置和抛物线的对称性，建立适当的平面直角坐标 系，可以使求解的二次函数表达式简单化. 平面直角坐标系　 返回目录 1. 如图所示为一座拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O ， B ，以 点 O 为原点，水平直线 OB 为 x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可 以近似看成抛物线 y ＝－0.01（ x －20）2＋4的一部分，桥拱与桥墩 AC 的交点 C 恰好位于水面，且 AC ⊥ x 轴，若 OA ＝5米，则桥面离水面的 高度 AC 为（　C　） A. 5米 B. 4米 C. 2.25米 D. 1.25米 第1题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 2. （教材P38练习第1题变式）某公路隧道的横截面为抛物线形，其最大 高度 OC 为8m，以隧道底部宽 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 的垂直平分线 为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线对应的函数表达式为 y ＝－ x2＋ b ，则隧道的底部宽 AB 为 ⁠m. 第2题 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 3. 某拱桥的主桥拱可以近似看成一段抛物线，桥拱在水面的跨度 OA 为 22米，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线 可以表示为 y ＝－ （ x －11）2＋ k .主桥拱最高点 P 与其在水中的倒影 点P'之间的距离为 米. 26　 第3题 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 4. （2023·六安霍邱县段考）如图，一辆宽为2米的货车要通过跨度为8 米、拱高为4米的单行抛物线形隧道（从正中间通过），抛物线满足表 达式 y ＝－ x2＋4.为保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.5米的距 离，则货车的限高应是多少？ 第4题 解：当 x ＝1时， y ＝－ ×12＋4＝3.75，∴ 3.75－0.5＝3.25（米）. ∴ 货车的限高应是3.25米 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 5. 某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标 系，并标出相关数据（单位：m）.有下列结论：① AB ＝30m；② 池底 所在抛物线对应的函数表达式为 y ＝ x2－5；③ 池塘最深处到水面 CD 的距离为3.2m；④ 若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处 到水面的距离变为1.2m.其中错误的是（　D　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 第5题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 6. 一座抛物线形拱桥的示意图如图所示，当桥下水面的宽度是4m时， 拱顶距离水面2m.当水面下降1m后，水面的宽度是 m（结果保 留根号）. 第6题 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 7. 如图（单位：m），某隧道美化施工，横截面形状为抛物线 y ＝－ x2 ＋8.施工队计划在隧道正中间搭建一个矩形脚手架 DEFG . 已知 DE ∶ EF ＝3∶2，则脚手架的高 DE 为 ⁠m. 第7题 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 8. 如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，且左、右两条抛物线 关于 y 轴对称，按照图中的平面直角坐标系，左边的一条抛物线对应的 函数表达式为 y ＝ ax2＋ bx ＋10，钢缆的最低点到桥面的距离为2m，两 条钢缆最低点间的距离为40m. （1） 求 a ， b 的值； 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 解：（1） 由题意，得左边抛物线的顶点坐标为（－20，2）.∵ 抛物线对应的函数表达式为 y ＝ ax2＋ bx ＋10，∴ 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 （2） 计划在两条钢缆上距离桥面4m高的位置安装装饰物，则右边钢缆 上两个装饰物之间的距离是多少？ 解：（2） 由题意，得右边抛物线的顶点坐标 为（20，2）.在 y ＝ ax2＋ bx ＋10中，令 x ＝ 0，得 y ＝10，∴ 右边抛物线过点（0，10）. 设右边抛物线对应的函数表达式为 y ＝ m （ x －20）2＋2.将（0，10）代入，得400 m ＋2＝ 10，解得 m ＝ .∴ 右边抛物线对应的函数表达式为 y ＝ （ x －20）2＋2.令 y ＝4，得 （ x －20）2＋2＝4，解得 x1＝10， x2＝30. ∴ 右边钢缆上两个装饰物之间的距离为30－10＝20（m） 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 $$21.2　二次函数的图象和性质 21.2.2　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质　 第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 第21章　二次函数与反比例函数 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 04 思维拓展 1. 一般我们可用配方法，把二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 转化为顶点式： y ＝ ⁠. a ＋ 　 返回目录 ，当 x ＝ 　－ 　时， y 有最 值，为 　 　.当 a ＜0 时，开口向 ，当 x ＜ 时， y 随 x 的增大而 ，当 x ＞ 　－ 　时， y 随 x 的增大而 ，当 x ＝ 　－ 　时， y 有 最 值，为 ⁠. 增大　 － 　 小　 　 下　 － 　 增大　 － 　 减小　 － 　 大　 　 2. 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象的顶点坐标为 ，对称轴是直线 　 x ＝－ 　.当 a ＞0时，开口向 ，当 x ＜ 　－ 　时， y 随 x 的增大而 ，当 x ＞ 　－ 　 时， y 随 x 的增大而 （－ ， ）　 x ＝－ 　 上　 － 　 减小 　 － 　 返回目录 1. （2023·合肥段考）抛物线 y ＝ x2－2 x ＋2的对称轴是（　C　） A. 直线 x ＝2 B. 直线 x ＝－2 C. 直线 x ＝1 D. 直线 x ＝－1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 2. （2023·滁州二中段考）二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象的大致位置 如图所示，下列判断错误的是（　B　） A. a ＜0 B. ＞0 C. c ＞0 D. b ＞0 第2题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 3. 抛物线 y ＝ x2＋6 x ＋7可由抛物线 y ＝ x2平移得到，下列平移方法正确 的是（　A　） A. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B. 先向左平移6个单位，再向下平移7个单位 C. 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D. 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 4. （2023·六安金安区段考）已知点 A （－2， a ）， B （ ， b ）， C （ ， c ）都在二次函数 y ＝－ x2＋2 x ＋3的图象上，则 a ， b ， c 的大小 关系是（　C　） A. a ＜ b ＜ c B. b ＜ c ＜ a C. a ＜ c ＜ b D. c ＜ b ＜ a C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 5. 抛物线 y ＝ x2＋2 x － a2（ a 为常数）的顶点在第 象限. 6. 将抛物线 y ＝ x2－2 x ＋3向左平移2个单位，所得到的抛物线对应的函 数表达式为 ⁠. 三　 y ＝（ x ＋1）2＋2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （1） 写出该函数图象的对称轴和顶点坐标； 解：（1） ∵ y ＝－2 x2＋5 x －2＝－2（ x － ）2＋ ，∴ 该函数图象的 对称轴为直线 x ＝ ，顶点坐标为（ ， ） （2） 求该函数图象与坐标轴的交点坐标. 解：（2） 在 y ＝－2 x2＋5 x －2中，令 x ＝0，得 y ＝－2；令 y ＝0，得 －2 x2＋5 x －2＝0，解得 x1＝2， x2＝ .∴ 该函数图象与 y 轴的交点坐标 为（0，－2），与 x 轴的交点坐标为（2，0），（ ，0） 7. （2023·合肥中科大附中南区段考）已知二次函数 y ＝－2 x2＋5 x －2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 y ＝ ax ＋ c 和二次函数 y ＝ ax2＋ 2 x ＋ c 的图象大致为（　C　） A B C C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 9. 如图，二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ＜0）的图象与 x 轴分别交于 A （－ ，0）， B （ ，0）两点，与 y 轴正半轴交于点 C . 有下列结论： ① abc ＜0；② c － a ＜0；③ 2 a ＋ b ＝0；④ 若（－ ， y1），（3， y2） 是抛物线上的两点，则 y1＞ y2.其中正确的是（　D　） A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①③④ 第9题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 10. 已知抛物线 y ＝ x2＋ ax ＋ a 的顶点的纵坐标为 ，且当 x ＞－1时， y 随 x 的增大而增大，则 a 的值为 ⁠. 11. 对于二次函数 y ＝ x2－4 x ＋4，当 a ≤ x ≤3时， y 的取值范围是0≤ y ≤1，则 a 的取值范围是 ⁠. 3　 1≤ a ≤2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 12. 已知二次函数 y ＝－ x2＋4 x －3. （1） 用配方法将函数 y ＝－ x2＋4 x －3的表达式化为 y ＝ a （ x ＋ m ）2 ＋ k 的形式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标； 解：（1） 由题意，得 y ＝－ x2＋4 x －3＝－（ x2－4 x ＋4）－3＋ 4＝－（ x －2）2＋1.∴ 该函数图象的对称轴为直线 x ＝2，顶点坐 标为（2，1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 设该函数的图象与 x 轴交于点 A ， B ，点 A 在点 B 的左侧，与 y 轴 交于点 C ，顶点记作 D ，求四边形 ADBC 的面积. 解：（2） 由（1），得点 D 的坐标为（2，1）.在 y ＝－ x2＋4 x －3中， 令 x ＝0，得 y ＝－3；令 y ＝0，得－ x2＋4 x －3＝0，解得 x1＝1， x2＝ 3.∴ 点 A 的坐标为（1，0），点 B 的坐标为（3，0），点 C 的坐标为 （0，－3）.∴ AB ＝2.∴ S四边形 ADBC ＝ S△ ABD ＋ S△ ABC ＝ ×2×1＋ ×2×3＝4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 13. 设二次函数 y1， y2的图象的顶点坐标分别为（ a ， b ），（ c ， d ）. 若 a ＝－2 c ， b ＝－2 d ，且两图象开口方向相同，则称 y1是 y2的“反倍 顶二次函数”. （1） 请写出二次函数 y ＝ x2－ x ＋1的一个“反倍顶二次函数”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 解：（1） ∵ y ＝ x2－ x ＋1＝（ x － ）2＋ ，∴ 二次函数 y ＝ x2－ x ＋ 1的图象的顶点坐标为（ ， ）.∴ 二次函数 y ＝ x2－ x ＋1的“反倍顶 二次函数”的图象的顶点坐标可以为（－1，－ ）.∴ 二次函数 y ＝ x2 － x ＋1的一个“反倍顶二次函数”可以是 y ＝（ x ＋1）2－ （答案不 唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 已知关于 x 的二次函数 y1＝ x2＋ nx 和 y2＝2 x2－ nx ＋1.若函数 y1是 y2的“反倍顶二次函数”，求 n 的值. 解：（2） ∵ y1＝ x2＋ nx ＝（ x ＋ ）2－ ， y2＝2 x2－ nx ＋1＝ － ，∴ 二次函数 y1， y2图象的顶点坐标分别为 （－ ，－ ），（ ，－ ）.∴ － ＝－2×（－ ），解得 n1＝2， n2＝－2.∴ n 的值为2或－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 $$21.2　二次函数的图象和性质 21.2.2　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质　 第3课时　二次函数y＝a（x＋h）2＋k的图象和性质 第21章　二次函数与反比例函数 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 04 思维拓展 1. 二次函数 y ＝ a （ x ＋ h ）2＋ k （ a ， h ， k 是常数，且 a ≠0）的图象可以看成是由二次函数 y ＝ 的图象经过平移得到的. 2. 二次函数 y ＝ a （ x ＋ h ）2＋ k 的性质：图象的对称轴是直线 x ＝ ⁠ ，顶点坐标为 .当 a ＞0时，图象开口 ⁠，在 对称轴的左侧， y 随 x 的增大而 ，在对称轴的右侧， y 随 x 的增大而 ⁠， 当 x ＝－ h 时， y 有最 值，为 k ；当 a ＜0时，图象开口 ⁠， 在对称轴的左侧， y 随 x 的增大而 ，在对称轴的右侧， y 随 x 的 增大而 ，当 x ＝－ h 时， y 有最 值，为 k . ax2　 － h 　 （－ h ， k ）　 向上　 减小　 增大　 小　 向下　 增大　 减小　 大 　 返回目录 1. 二次函数 y ＝－（ x ＋1）2＋2的图象是（　B　） A B C D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 2. 关于二次函数 y ＝（ x －1）2－2，下列说法错误的是（　C　） A. 图象的顶点坐标为（1，－2） B. 图象的对称轴是直线 x ＝1 C. 当 x ＞1时， y 随 x 的增大而减小 D. 图象的开口向上 3. （2023·合肥瑶海区段考）把抛物线 y ＝5（ x －1）2＋1向下平移3个单 位，向左平移2个单位，所得到的抛物线对应的函数表达式为（　A　） A. y ＝5（ x ＋1）2－2 B. y ＝5（ x －1）2－2 C. y ＝5（ x ＋1）2＋2 D. y ＝5（ x －1）2＋2 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 4. 抛物线 y ＝ a （ x ＋ h ）2＋ k 和抛物线 y ＝－3 x2形状相同，开口方向相 反，且顶点为（－1，3），则抛物线 y ＝ a （ x ＋ h ）2＋ k 对应的函数表 达式为 ⁠. 5. 小明在用描点法画二次函数 y ＝ a （ x － h ）2＋ k 的图象时，列出了表 格如下： x … －1 0 1 2 3 … y … m 3 2 3 6 … 则 m 的值为 ⁠. y ＝3（ x ＋1）2＋3　 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 6. （教材P17练习第1题变式）已知二次函数 y ＝－ （ x ＋2）2－2. （1） 该函数图象的开口向 ，顶点坐标是 ⁠； （2） 当 x 时， y 随 x 的增大而减小； （3） 怎样移动抛物线 y ＝－ x2就可以得到抛物线 y ＝－ （ x ＋ 2）2－2？ 解：把抛物线 y ＝－ x2向左平移2个单位，向下平移2个单位就可以得 到抛物线 y ＝－ （ x ＋2）2－2 下　 （－2，－2）　 ＞－2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 7. （2022·六安金寨县联考）已知二次函数 y ＝－（ x －1）2＋2，当 t ＜ x ＜5时， y 随 x 的增大而减小，则实数 t 的取值范围是（　C　） A. t ≤0 B. 0＜ t ≤1 C. 1≤ t ＜5 D. t ≥5 8. 若二次函数 y ＝ a （ x ＋ b ）2＋ c 的图象经过平移后可与二次函数 y ＝ （ x ＋3）2的图象完全重合，则 a ， b ， c 的值可能为（　A　） A. 1，0，－2 B. 2，6，0 C. －1，－3，0 D. －2，－3，－2 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ m （ x ＋3）2＋ n 与抛物线 y ＝ m （ x －2）2＋ n ＋1交于点 A . 过点 A 作 x 轴的平行线，分别交两条抛 物线于点 B ， C （点 B 在点 C 的左侧），则线段 BC 的长为 ⁠. 第9题 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 10. 已知函数 y ＝ （1） 此函数图象的对称轴是 ⁠； （2） 若使 y ＝ k 成立的 x 的值恰好有四个，则 k 的取值范围是 ⁠ ⁠. 直线 x ＝3　 －1＜ k ＜3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 解：（1） ∵ 顶点（－3，3）先向上平移1个单位，再向右平移2个单位得到的对应点的坐标为（－1，4），∴ 可设平移后的抛物线对应的函数表达式为 y ＝ a （ x ＋1）2＋4.∵ 平移后的抛物线经过点（2，－5），∴ a ·（2＋1）2＋4＝－5，解得 a ＝－1.∴ 平移后的抛物线对应的函数表达式为 y ＝－（ x ＋1）2＋4 11. 将顶点坐标为（－3，3）的抛物线先向上平移1个单位，再向右平移 2个单位，使其经过点（2，－5）. （1） 求平移后的抛物线对应的函数表达式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 画出平移后的抛物线； 解：（2） 如图所示 　第11题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （3） 求平移后的抛物线与 x 轴的交点坐标. 解：（3） 令 y ＝0，则－（ x ＋1）2＋4＝0，解得 x1＝1， x2＝－3，∴ 平移后的抛物线与 x 轴的交 点坐标为（1，0），（－3，0） 　第11题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 12. 如图所示为二次函数 y ＝ a （ x ＋1）2＋4的图象的一部分. （1） 求 a 的值； 解：（1） 由题图，得二次函数 y ＝ a （ x ＋1）2＋4 的图象经过点 A （－4，0），∴ 0＝ a ·（－4＋1）2＋ 4，解得 a ＝－ 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 设该二次函数图象的顶点是 P ， B 是 x 轴上的一个点，若△ PAB 的 面积为6，求点 B 的坐标. 解：（2） ∵ y ＝－ （ x ＋1）2＋4，∴ 该二次函数 图象的顶点 P 的坐标为（－1，4）.∵ B 是 x 轴上的一 个点，∴ 设点 B 的坐标为（ m ，0）.∴ AB ＝｜ m ＋ 4｜.∵ △ PAB 的面积为6，∴ ×｜ m ＋4｜×4＝6， 解得 m1＝－1， m2＝－7.∴ 点 B 的坐标为（－1，0） 或（－7，0） 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 13. （1） 二次函数 y1＝－（ x ＋1）2＋4的图象如图所示，请在同一平面 直角坐标系中画出二次函数 y2＝－（ x －2）2＋1的图象； 解：（1） 如图所示 　第13题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 平行于 x 轴的直线 y ＝ k （ k ＜1）被抛物线 y2＝－（ x －2）2 ＋1截得的线段 AB ＝4，求抛物线 y2＝－（ x －2）2＋1的顶点到直 线 AB 的距离； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 解：（2） 解方程组得 ∴ 假设点 A 的坐标为（2＋ ， k ），点 B 的坐标为（2－ ， k ）.∵ AB ＝4，∴ 2＋ －（2－ ）＝2 ＝4，解得 k ＝－3.∵ 抛物 线 y2＝－（ x －2）2＋1的顶点坐标为（2， 1），∴ 抛物线 y2＝－（ x －2）2＋1的顶点到 直线 AB 的距离为1－（－3）＝4 　第13题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （3） 当－1＜ x ＜2时，利用函数图象比较 y1， y2的大小. 解：（3） 当－1＜ x ＜1时， y1＞ y2；当 x ＝1 时， y1＝ y2；当1＜ x ＜2时， y1＜ y2 　第13题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 $$21.1　二次函数 第21章　二次函数与反比例函数 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 04 思维拓展 1. 一般地，表达式形如 y ＝ （ a ， b ， c 是常数，且 a ≠0）的函数叫做 x 的二次函数，其中 x 是自变量， a ， b ， c 分别是 二次函数的 、 、 ⁠. 2. 二次函数自变量的取值范围一般都是 ⁠，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使 有意义. ax2＋ bx ＋ c 　 二次项系数　 一次项系数　 常数项　 全体实数　 实际问题 　 返回目录 1. （2023·合肥瑶海区段考）下列函数属于二次函数的是（　A　） A. y ＝2－ x2 B. y ＝ x －22 C. y ＝ － x2 D. y ＝ x2＋ ＋1 2. 二次函数 y ＝1－3 x ＋5 x2的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 （　D　） A. 1，－3，5 B. 1，3，5 C. 5，3，1 D. 5，－3，1 A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 3. （2023·六安霍邱县段考）二次函数 y ＝（ x －2）（5－2 x ）的二次项 系数是 ⁠. 4. （教材P4习题21.1第4题变式）从一个边长为3的正方形中挖去一个边 长为 x （0＜ x ＜3）的小正方形.设剩余部分的面积为 y ，则 y 关于 x 的函 数表达式为 ⁠. 5. （1）（2023·六安金安区段考）为执行国家药品降价政策，给人民群 众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为 y 元，设平 均每次降价的百分率是 x ，则 y 关于 x 的函数表达式为 ⁠. －2　 y ＝9－ x2　 y ＝16（1－ x ）2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） 某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为160元 时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一 个房间空闲.若游客居住房间，则宾馆需对每个居住的房间每天支出20 元的费用.设每个房间每天的定价为 x 元（ x ＞160），宾馆每天的利润为 y 元，则 y 与 x 之间的函数表达式为 ⁠. y ＝－ ＋58 x －1120　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 6. （2023·六安霍邱县段考）已知 y ＝（ m ＋3） ＋（1－ m ） x －5是 y 关于 x 的二次函数，求 m 的值. 解：由题意，得 m2＋2 m －1＝2，解得 m1＝1， m2＝－3.又∵ m ＋ 3≠0，∴ m ≠－3.∴ m 的值为1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 7. （教材P4习题21.1第5题变式）如图，在矩形 ABCD 中， BC 的长比 AB 的长少25％，从矩形四个角上各剪去一个边长为1cm的正方形（涂色部 分），沿图中的虚线折叠得到一个无盖的长方体.若 AB 的长为 x cm，折 成的长方体的底面积是 y cm2，则 y 与 x 之间的函数表达式为（　D　） D A. y ＝ x2－ x ＋1 B. y ＝ x2＋ x －4 C. y ＝ x2＋ x ＋4 D. y ＝ x2－ x ＋4 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 8. 从一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮.如图，已有的铁皮是 等腰直角三角形 ABC ，它的底边 AB 长20厘米.要截得的矩形 DEMN 的边 MN 在 AB 上，顶点 D ， E 分别在边 AC ， BC 上.设 DE 的长为 x 厘米，矩 形 DEMN 的面积为 y 平方厘米，则 y 关于 x 的函数表达式为 ⁠ ⁠. y ＝－ x2 ＋10 x 　 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 9. 某公司计划购进一批原料加工销售，加工过程中原料的质量有20％的 损耗，销售价 y （单位：万元/吨）与原料的质量 x （单位：吨）之间的 函数关系如图所示. （1） 求 y 与 x 之间的函数表达式； 解：（1） 设 y 与 x 之间的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b .将（20，15），（30，12.5）代入，得 解得∴ y 与 x 之间的 函数表达式为 y ＝－ x ＋20 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） 设销售收入为 P 万元，求 P 与 x 之间的函数表达式. 解：（2） ∵ P ＝（1－20％） xy ＝ x （－ x ＋ 20）＝－ x2＋16 x ，∴ P 与 x 之间的函数表达式 为 P ＝－ x2＋16 x 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 10. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝6cm， BC ＝12cm，点 P 从点 A 开始沿 线段 AB 以1cm/s的速度向点 B 移动. E 是线段 BC 的中点，点 Q 从点 E 开 始沿线段 EC 以1cm/s的速度向点 C 移动.已知点 P ， Q 同时出发，求△ BPQ 的面积 S （单位：cm2）与出发时间 t （单位：s）之间的函数表达 式，并写出自变量 t 的取值范围. 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 解：由题意，得 AP ＝ EQ ＝ t cm.∵ BC ＝12cm， E 是线段 BC 的中点， ∴ BE ＝ BC ＝6cm.∴ BQ ＝ BE ＋ EQ ＝（6＋ t ）cm.∵ AB ＝6cm， ∴ PB ＝ AB － AP ＝（6－ t ）cm.∴ S ＝ （6－ t ）（6＋ t ）＝－ t2＋ 18（0≤ t ＜6） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 $$阶段训练（21.1～21.2） 第21章　二次函数与反比例函数 一、 选择题 1. （2023·安庆十四中期中）下列函数属于二次函数的是（　B　） A. y ＝ ＋ x2 B. y ＝ ＋ x2 C. y ＝（ x －1）2－ x2 D. y ＝ x （ x －1）2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 2. 从一个一边长为6、另一边长为5的矩形中挖去一个边长为 x （0＜ x ＜ 5）的小正方形，如果设剩余部分的面积为 y ，那么 y 关于 x 的函数表达 式为（　B　） A. y ＝ x2 B. y ＝30－ x2 C. y ＝ x2－30 D. y ＝30－2 x 3. （2023·合肥段考）抛物线 y ＝3（ x －2）2＋5的顶点坐标为 （　C　） A. （－2，5） B. （－2，－5） C. （2，5） D. （2，－5） B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 4. （2023·滁州二中段考）把抛物线 y ＝ x2＋ bx ＋ c 向右平移3个单位， 向下平移2个单位，所得抛物线对应的函数表达式为 y ＝ x2－3 x ＋5，则 （　A　） A. b ＝3， c ＝7 B. b ＝6， c ＝3 C. b ＝－9， c ＝－5 D. b ＝－9， c ＝21 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 5. （2023·蚌埠期中）在同一平面直角坐标系中，函数 y ＝ ax2－ bx 与 y ＝ bx ＋ a 的图象可能是（　A　） A B A C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 二、 填空题 6. （2023·安庆十四中期中）在函数 y ＝－（ x －3）2＋1中，当 x ⁠ 时， y 随 x 的增大而减小. 7. 某抛物线和抛物线 y ＝－3 x2的形状相同，开口方向相反，且顶点坐标 为（－1，3），则该抛物线对应的函数表达式为 ⁠ ⁠. 8. 已知抛物线 y ＝ x2＋ mx ＋9的顶点在 x 轴的负半轴上，则 m 的值 为 ⁠. ＞ 3　 y ＝3（ x ＋1）2＋ 3　 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 9. （2023·安庆潜山市期中）抛物线 y ＝ x2＋2 x －3关于 y 轴对称的抛物 线对应的函数表达式为 ⁠. 10. 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 中的自变量 x 和函数值 y 的部分对应 值如下表： x … －1 0 1 2 3 … y … 0 －3 －4 m 0 … 则 m 的值为 ⁠. 11. 已知函数 y1＝ kx ＋4 k －2（ k 是常数， k ≠0）， y2＝ ax2＋4 ax －5 a （ a 是常数， a ≠0），在同一平面直角坐标系中，若无论 k 为何值，函 数 y1， y2的图象总有公共点，则 a 的取值范围是 ⁠. y ＝（ x －1）2－4　 －3　 a ＜0或 a ≥ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 三、 解答题 12. （2023·六安金安区段考）已知抛物线 y ＝－2 x2＋4 x ＋6与 x 轴交于 A ， B 两点（点 A 在点 B 的右侧）.求： （1） 该抛物线的对称轴； 解：（1） 将抛物线 y ＝－2 x2＋4 x ＋6化为顶点式，即 y ＝－2（ x － 1）2＋8，∴ 抛物线的对称轴为直线 x ＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 （2） 线段 AB 的长. 解：（2） 在 y ＝－2 x2＋4 x ＋6中，令 y ＝0，则－2 x2＋4 x ＋6＝0.整 理，得 x2－2 x －3＝0，解得 x1＝3， x2＝－1.∴ 点 A ， B 的坐标分别为 （3，0），（－1，0）.∴ AB ＝3－（－1）＝4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 13. 如图，抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 交 x 轴于 A （－1，0）， B （3，0） 两点，交 y 轴于点 C . （1） 求此抛物线的顶点坐标； 解：（1） 将 A （－1，0）， B （3，0）代入 y ＝－ x2＋ bx ＋ c ，得解得 ∴ 此抛物线对应的函数表达式为 y ＝－ x2＋2 x ＋3＝－（ x －1）2＋4.∴ 此抛物线的 顶点坐标为（1，4） 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 （2） 已知 P 为抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 上一点（不与点 B 重合），若点 P 关于 x 轴对称的点P'恰好在直线 BC ： y ＝－ x ＋3上，求点 P 的坐标. 解：（2） 设点P'的坐标为（ a ，－ a ＋3）.∵ 点 P 与点P'关于 x 轴对称，∴ 点 P 的坐标为（ a ， a － 3）.∵ 点 P 在抛物线上，∴ － a2＋2 a ＋3＝ a －3， 解得 a1＝3， a2＝－2.∵ 点 P 不与点 B 重合，∴ a ＝ －2.∴ a －3＝－5.∴ 点 P 的坐标为（－2，－5） 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 14. 在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋2过 B （－2，6）， C （2，2）两点. （1） 求抛物线对应的函数表达式； 解：（1） 把 B （－2，6）， C （2，2）代入 y ＝ ax2＋ bx ＋2，得解得 ∴ 抛物线对应的函数表达式为 y ＝ x2 － x ＋2 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 （2） 记抛物线的顶点为 D ，求△ BCD 的面积. 解：（2） ∵ y ＝ x2－ x ＋2＝ （ x －1）2＋ ，∴ 抛物线的顶点 D 的坐标为（1， ）. ∴ △ BCD 的面积＝4× － ×3× － ×1× － ×4×4＝3 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 $$21.3　二次函数与一元二次方程 第2课时　由二次函数的图象认识一元二次不等式的解集 第21章　二次函数与反比例函数 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 　　由二次函数 y ＝ x2＋3 x ＋2的图象可知，其图象被分成三部分：一 部分与 x 轴相交，一部分在 x 轴上方，一部分在 x 轴下方.图象与 x 轴相交 的两个点的横坐标是一元二次方程 x2＋3 x ＋2＝0的两个实数根；在 x 轴 上方部分，即 ，也就是 x2＋3 x ＋2＞0；在 x 轴下方部分， 即 ，也就是 x2＋3 x ＋2＜0. y ＞0　 y ＜0　 返回目录 1. 如图所示为二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象，则不等式 ax2＋ bx ＋ c ＜3的解集是（　D　） A. x ＜0 B. x ＜－1或 x ＞3 C. 0＜ x ＜2 D. x ＜0或 x ＞2 第1题 D 1 2 3 4 5 6 返回目录 2. 一次函数 y1＝ kx ＋ m 和二次函数 y2＝ ax2＋ bx ＋ c 的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表： x … －1 0 2 4 5 … y1 … 0 1 3 5 6 … y2 … 0 －1 0 5 9 … 当 y2＞ y1时，自变量 x 的取值范围是（　D　） A. －1＜ x ＜2 B. 4＜ x ＜5 C. x ＜－1或 x ＞5 D. x ＜－1或 x ＞4 D 1 2 3 4 5 6 返回目录 3. 如图，二次函数 y1＝ ax2＋ bx ＋ c 与一次函数 y2＝ kx ＋ m 的图象相交 于点 A （－2，4）， B （8，2）.若 y1＞ y2，则 x 的取值范围是 ⁠ ⁠. 第3题 x ＜－2 或 x ＞8　 1 2 3 4 5 6 返回目录 4. 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如 下表： x … －1 0 1 2 3 4 … y … －6 n －2 －3 －6 －11 … （1） 观察表格， n 的值为 ⁠； （2） 不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞－3的解集为 ⁠. －3　 0＜ x ＜2　 1 2 3 4 5 6 返回目录 5. 如图，在抛物线 y1＝ ax2（ a ＞0）和 y2＝ mx2＋ nx （ m ＜0）中，抛物 线 y2的顶点在抛物线 y1上，且与 x 轴的交点坐标分别为（0，0），（4， 0），则不等式（ a － m ） x2－ nx ＜0的解集为 ⁠. 第5题 0＜ x ＜2　 1 2 3 4 5 6 返回目录 6. 如图，抛物线 y ＝（ x ＋2）2＋ m 与 y 轴交于点 C ，点 B 也在抛物线 上，且与点 C 关于抛物线的对称轴对称.已知直线 y ＝ kx ＋ b 经过抛物线 上的点 A （－1，0）， B . （1） 求抛物线对应的函数表达式； 解：（1） ∵ 点 A （－1，0）在抛物线 y ＝（ x ＋2）2 ＋ m 上，∴ 1＋ m ＝0，解得 m ＝－1.∴ 抛物线对应的 函数表达式为 y ＝（ x ＋2）2－1 第6题 1 2 3 4 5 6 返回目录 （2） 根据图象，求不等式（ x ＋2）2＋ m ≥ kx ＋ b 的解集. 解：（2） 在 y ＝（ x ＋2）2－1中，令 x ＝0，得 y ＝ 3.∴ 点 C 的坐标为（0，3）.∵ 抛物线的对称轴为直线 x ＝－2，点 B ， C 关于对称轴对称，∴ 点 B 的坐标为 （－4，3）.由题图，知不等式（ x ＋2）2＋ m ≥ kx ＋ b 的解集为 x ≤－4或 x ≥－1 第6题 1 2 3 4 5 6 返回目录 $$21.2　二次函数的图象和性质 21.2.1　二次函数y＝ax2的图象和性质 第21章　二次函数与反比例函数 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 04 思维拓展 1. 二次函数 y ＝ x2的图象是一条关于 ⁠对称的曲线，我们把 这条曲线叫做 ⁠. 2. 二次函数 y ＝ ax2的图象的特点：向 x 轴左右方向 ⁠延伸，是 以 轴为对称轴的轴对称图形，顶点是 ⁠. 3. 二次函数 y ＝ ax2的性质：若 a ＞0，当 x ＜0时， y 随 x 的增大而 ⁠ ；当 x ＞0时， y 随 x 的增大而 ；当 x ＝0时，函数取得 ⁠ ，此时 y ＝ .若 a ＜0，当 x ＜0时， y 随 x 的增大而 ；当 x ＞0时， y 随 x 的增大而 ；当 x ＝0时， 函数取得 ，此时 y ＝ ⁠. y 轴　 抛物线　 无限　 y 　 原点（0，0）　 减 小　 增大　 最 小值　 0 　 增大　 减小　 最大值　 0　 返回目录 4. 抛物线 y ＝ ax2和抛物线 y ＝－ ax2关于 轴对称.当 a ＞0时，抛物 线 y ＝ ax2的开口 ，顶点是抛物线的最 点， a 越大，抛物 线的开口 ；当 a ＜0时，抛物线 y ＝ ax2的开口 ⁠，顶点 是抛物线的最 点， a 的绝对值越大，抛物线的开口 ⁠. x 　 向上　 低　 越小　 向下　 高　 越小 　 返回目录 1. （2023·六安霍邱县段考）若点（－2，－12）在二次函数 y ＝ ax2的图 象上，则 a 的值为（　C　） A. －6 B. 6 C. －3 D. 3 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 2. （教材P10练习第1题变式）二次函数 y ＝7 x2， y ＝－ x2， y ＝ x2的 图象的共同特点是（　D　） A. 都是抛物线，且开口向上 B. 都是关于 x 轴对称的抛物线 C. 都是关于 y 轴对称的抛物线，且 y 随 x 的增大而减小 D. 都是关于 y 轴对称的抛物线，顶点坐标都是（0，0） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 3. 抛物线 y ＝－ x2的开口向 ，顶点坐标是 ⁠，对称轴 是 ，顶点是该抛物线的最 点；当 x ＝ ⁠时，函数有 最 值，为 ⁠. 4. （2023·安庆十四中期中）已知二次函数 y ＝（ m ＋1） 的图象 开口向下，则 m 的值为 ⁠. 下　 （0，0）　 y 轴　 高　 0　 大　 0　 － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （1） 求 a 与 m 的值. 解：（1） 把 A （ ，－ ）代入 y ＝ ax2，得 a ＝－ ，解得 a ＝－ . ∴ y ＝－ x2.把 B （3， m ）代入，得 m ＝－ ×9＝－ （2） 直接写出该图象上点 B 的对称点 C 的坐标. 解：（2） 点 C 的坐标为（－3，－ ） （3） 当 x 取何值时， y 随 x 的增大而减小？ 解：（3） ∵ － ＜0，∴ 当 x ＞0时， y 随 x 的增大而减小 （4） 当 x 取何值时， y 有最大值（或最小值）？ 解：（4） 当 x ＝0时， y 有最大值 5. 已知二次函数 y ＝ ax2的图象经过点 A （ ，－ ）， B （3， m ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 6. 已知二次函数 y ＝（2－ a ） ，在其图象对称轴的左侧， y 随 x 的 增大而减小，则 a 的值为（　C　） A. B. ± C. － D. 0 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 7. 在同一个平面直角坐标系中，函数 y ＝ kx2和 y ＝ kx －2（ k ≠0）的图 象可能是（　C　） A B C C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 8. 已知二次函数 y ＝ mx2的图象与直线 y ＝ x ＋2交于点（－3， n ），则 m ＝ ⁠. － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 9. 已知抛物线 y ＝ ax2与直线 y ＝2 x －3交于点（1， b ）. （1） 求抛物线对应的函数表达式，并求出它的顶点坐标和对称轴. 解：（1） 把（1， b ）代入 y ＝2 x －3，得 b ＝ 2×1－3＝－1.∴ 抛物线 y ＝ ax2与直线 y ＝2 x －3 的交点坐标为（1，－1）.把（1，－1）代入 y ＝ ax2，得 a ＝－1.∴ 抛物线对应的函数表达式为 y ＝ － x2，它的顶点坐标为（0，0），对称轴为 y 轴 　第9题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） 对于二次函数 y ＝ ax2，当 x 在什么范围内时， y 随 x 的增大而 增大？ 解：（2） 对于二次函数 y ＝－ x2，当 x ＜0时， y 随 x 的增大而增大 　第9题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （3） 求抛物线 y ＝ ax2与直线 y ＝－2的两个交点及抛物线的顶点所构成 的三角形的面积. 解：（3） 如图，设抛物线 y ＝－ x2与直线 y ＝－2 交于 A ， B 两点，直线 y ＝－2与 y 轴交于点 C . 联 立方程组，得解得 ∴ 点 A 的坐标为（－ ，－2），点 B 的坐标为（ ，－2），点 C 的 坐标为（0，－2）.∴ AB ＝2 ， OC ＝2.∴ S△ AOB ＝ AB · OC ＝ ×2 ×2＝2 　第9题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 10. 如图，直线 AB ： y ＝ kx ＋3过点（－2，4），与抛物线 y ＝ x2交于 A ， B 两点. （1） 求点 A ， B 的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 解：（1） 把（－2，4）代入 y ＝ kx ＋3，得4＝－2 k ＋3，解得 k ＝－ .∴ 直线 AB 对应的函数表达式为 y ＝－ x ＋3.联立方程组，得解得 ∴ 点 A 的坐标为（－3， ），点 B 的坐标为（2，2） 　第10题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） 在直线 AB 下方的抛物线上存在点 P ，使△ ABP 的面积等于5，求 点 P 的坐标. 解：（2） 如图，过点 P 作 PQ ∥ y 轴，交 AB 于点 Q ，过点 A 作 AM ⊥ PQ ，垂足为 M ，过点 B 作 BN ⊥ PQ ，垂足为 N . 　第10题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 设点 P 的横坐标为 a ，则点 Q 的横坐标为 a .∴ yP ＝ a2， yQ ＝－ a ＋ 3.∵ 点 P 在直线 AB 的下方，∴ PQ ＝ yQ － yP ＝－ a ＋3－ a2.∵ AM ＋ BN ＝ a －（－3）＋2－ a ＝5，∴ S△ ABP ＝ S△ APQ ＋ S△ BPQ ＝ PQ · AM ＋ PQ · BN ＝ PQ ·（ AM ＋ BN ）＝ （－ a ＋3－ a2）×5＝5.整理， 得 a2＋ a －2＝0，解得 a1＝－2， a2＝1.当 a ＝－2时， yP ＝ ×（－2）2 ＝2，此时点 P 的坐标为（－2，2）；当 a ＝1时， yP ＝ ×12＝ ，此时 点 P 的坐标为（1， ）.综上所述，点 P 的坐标为（－2，2）或（1， ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 $$21.3　二次函数与一元二次方程 第1课时　二次函数与一元二次方程 第21章　二次函数与反比例函数 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 1. 对于二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ，当 y ＝0时，得到关于 x 的一元二次方程 ⁠，那么一元二次方程的根就是二次函数的图象 与 轴交点的 坐标. ax2＋ bx ＋ c ＝0　 x 　 横　 返回目录 2. 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象与 x 轴的交点情况决定了一元二次方 程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的根的情况： （1） 当图象与 x 轴有两个交点时， b2－4 ac 0，则方程有 ⁠ 个 ⁠的实数根； （2） 当图象与 x 轴有且只有一个交点时， b2－4 ac 0，则方程 有 个 ⁠的实数根； （3） 当图象与 x 轴无交点时， b2－4 ac 0，则方程 ⁠ 实数根. ＞　 两　 不相等　 ＝　 两　 相等　 ＜　 没有 　 返回目录 1. 下列二次函数中，图象与 x 轴没有交点的是（　B　） A. y ＝ x2＋2 x ＋1 B. y ＝ x2＋ x ＋2 C. y ＝ x2－1 D. y ＝ x2－2 x －1 B 1 2 3 4 5 6 返回目录 2. （2023·六安金安区段考）二次函数 y ＝ ax2－2 ax ＋ c 的图象过点 （3，0），则关于 x 的一元二次方程 ax2－2 ax ＋ c ＝0的根为（　B　） A. x1＝－3， x2＝－1 B. x1＝－1， x2＝3 C. x1＝1， x2＝3 D. x1＝－3， x2＝1 B 1 2 3 4 5 6 返回目录 3. （2023·郴州）已知抛物线 y ＝ x2－6 x ＋ m 与 x 轴有且只有一个交点， 则 m ＝ ⁠. 4. （1） 画出二次函数 y ＝ x2－2 x 的图象； 解：（1） 如图所示 第4题答案 9　 1 2 3 4 5 6 返回目录 （2） 根据方程的实数根与函数图象之间的关系，在图象上描出以方程 x2－2 x ＝1的实数根为横坐标的点. 解：（2） 如图，点 M ， N 即为所求作 第4题答案 1 2 3 4 5 6 返回目录 5. 在平面直角坐标系中，点 C ， D 的坐标分别为（－1，－1），（5， －1），抛物线 y ＝ mx2－2 mx ＋2与线段 CD 只有一个公共点，则 m 的取 值范围是 ⁠. m ＝3或－1＜ m ≤－ 　 1 2 3 4 5 6 返回目录 6. （2023·六安霍邱县段考）已知二次函数 y ＝ x2－（ m －3） x －2 m ＋1 （ m 是常数）. （1） 求证：无论 m 取何值，二次函数的图象与 x 轴一定有两个交点； 解：（1） 在 y ＝ x2－（ m －3） x －2 m ＋1中，令 y ＝0，得 x2－（ m － 3） x －2 m ＋1＝0.∴ Δ＝[－（ m －3）]2－4×1×（－2 m ＋1）＝ m2＋ 2 m ＋5＝（ m ＋1）2＋4≥4＞0.∴ 关于 x 的一元二次方程 x2－（ m － 3） x －2 m ＋1＝0 有两个不相等的实数根.∴ 无论 m 取何值，二次函数 的图象与 x 轴一定有两个交点 1 2 3 4 5 6 返回目录 （2） 取一个你喜欢的 m 的值，求出此时函数图象与 x 轴的交点坐标. 解：（2） 答案不唯一，如 m ＝3.∴ y ＝ x2－5.令 y ＝0，得 x2－5＝0， 解得 x1＝ ， x2＝－ .∴ 此时函数图象与 x 轴的交点坐标为（ ， 0），（－ ，0） 1 2 3 4 5 6 返回目录 $$21.4　二次函数的应用 第1课时　利用二次函数模型解决几何图形中的 面积最值问题 第21章　二次函数与反比例函数 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 04 思维拓展 1. 抛物线对应的函数表达式 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 可配方为 ＋ 　，顶点坐标是 　（－ ， ）　.由顶点是最低（高）点，可得当 x ＝ 时，二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 有最 值，这个值是 ⁠. 2. 解有关“最大面积”的二次函数的应用题时，首先要分析几何图形， 求出两个变量（其中一个变量为图形的面积）之间的二次函数关系，然 后运用二次函数的性质求出“最大面积”. y ＝ a ＋ 　 （－ ， ）　 － 　 小（大）　 　 返回目录 1. 已知一个直角三角形的两条直角边的长度之和为20cm，则这个直角三 角形的面积最大为（　B　） A. 25cm2 B. 50cm2 C. 100cm2 D. 无法确定 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 2. （2023·沈阳）如图，王叔叔想用长为60m的栅栏，借助房屋的外墙， 围成一个矩形羊圈 ABCD ，房屋的外墙足够长.当矩形 ABCD 的边 AB ＝ m时，羊圈的面积最大. 第2题 15　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 3. 从一块周长为13cm的矩形铁板上剪去一个等边三角形（等边三角形的 边长等于矩形较短边的长）.当矩形较长边的长为 cm时，剩下 部分的面积最大. 4. 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝90°， AB ＝8cm， BC ＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 向点 B 以2cm/s的速度运动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以 1cm/s的速度运动.点 P ， Q 同时出发，其中任意一点到达终点，两点均 停止运动.当运动时间为 s时，△ PBQ 的面积最大. 　 2　 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 5. （2022·沈阳）如图，用一根长60cm的铁丝制作一个“日”字形框架 ABCD ，铁丝恰好全部用完（接头处忽略不计）. （1） 若所围成的矩形框架 ABCD 的面积为144cm2，则 AB 的长为多 少厘米？ 解：（1） 设 AB 的长为 x cm.由题意，得 x · ＝144， 解得 x1＝8， x2＝12.∴ AB 的长为8cm或12cm 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 （2） 矩形框架 ABCD 的面积最大为多少平方厘米？ 解：（2） 设 AB 的长为 m cm，矩形框架 ABCD 的面积为 S cm2.由题意，得 S ＝ m · ＝－ m2＋30 m ＝－ ·（ m －10）2＋150.∵ － ＜0，∴ 当 m ＝10时，矩形框架 ABCD 的面积最大，为150cm2 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 6. 如图，正方形硬纸片 ABCD 的边长为80 cm ，切去涂色部分（四个全 等的等腰直角三角形）后再沿虚线折起，使得 A ， B ， C ， D 四点重合 于一点，形成一个底面为正方形的长方体包装盒.设 BE ＝ CF ＝ x cm，若 要使包装盒的侧面积最大，则 x 的值为（　C　） 第6题 C 6. A. 30 B. 25 C. 20 D. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 7. 如图，利用两面夹角为135°且足够长的墙围成梯形围栏 ABCD ，∠ C ＝90°，新建围栏 BC 与 CD 的总长为15m，则当 CD ＝ m时，梯形 围栏 ABCD 的面积最大. 第7题 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 8. （2023·六安金安区段考）如图（单位：m），某景区内有一块矩形油 菜花田地，现在其中修建一条观花小路（涂色部分）.设观花小路的面 积为 y m2. （1） 求 y 与 x 之间的函数表达式； 解：（1） 由题意，得 y ＝8×6－2× ×（8－ x ） （6－ x ）＝－ x2＋14 x （0＜ x ＜6） 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 （2） 若观花小路的面积为13m2，求 x 的值； 解：（2） 由题意，得－ x2＋14 x ＝13，解得 x1＝ 1， x2＝13（不合题意，舍去）.∴ x 的值为1 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 （3） 若0.5≤ x ≤1，则修建观花小路后种油菜花的面积最大是多少？ 解：（3） 设修建观花小路后种油菜花的面积为 S m2.由题意，得 S ＝2× ×（8－ x ）（6－ x ）＝ x2 －14 x ＋48＝（ x －7）2－1.∵ 1＞0，∴ 当0.5≤ x ≤1时， y 随 x 的增大而减小.∴ 当 x ＝0.5时， S 的 值最大，为41.25.∴ 修建观花小路后种油菜花的面 积最大是41.25m2 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 9. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角∠ MON （∠ MON ＝ 135°）的两边，用总长为120m的围网在水库中围成了如图所示的①②③ 三块区域，其中区域①为直角三角形，区域②③为矩形，且四边形 OBDG 为直角梯形. 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 （1） 若①②③这三块区域的面积相等，则 OB 的长为 ⁠m. （2） 设 OB ＝ x m，四边形 OBDG 的面积为 y m2. ① 求 y 与 x 之间的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围. ② 当 x 为何值时， y 取最大值？最大值为多少？ 24　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 解：∵ 区域②③为矩形，∴ ∠ EOB ＝∠ D ＝∠ DBO ＝90°.∴ 四边形 OBDE 是矩形，∠ EGO ＝360°－∠ MON －∠ DBO －∠ D ＝45°，∠ EOG ＝∠ MON －∠ EOB ＝45°.∴ BD ＝ OE ，∠ EGO ＝∠ EOG . ∴ BD ＝ OE ＝ GE . ∵ 区域②③为矩形， OB ＝ x m，∴ CF ＝ DE ＝ OB ＝ x m.∴ GE ＝ OE ＝ BD ＝ （120－2 x ）＝（40－ x ）m. ① ∵ S四边形 OBDG ＝ S△ GEO ＋ S矩形 OBDE ，∴ y ＝ （40－ x ）2＋ x ·（40 － x ）.整理，得 y ＝－ x2＋ x ＋800.∵ 40－ x ＞0，∴ x ＜60.∴ y 与 x 之间的函数表达式为 y ＝－ x2＋ x ＋800（0＜ x ＜60） ② 由①，得 y 与 x 之间的函数表达式为 y ＝－ x2＋ x ＋800＝－ （ x －15）2＋900.∵ － ＜0，∴ 当 x ＝15时， y 取最大值，最大值为900 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 $$小专题（二）　二次函数的实际应用 第21章　二次函数与反比例函数 类型一　在商品销售中的应用 1. 某商店对于某种商品的销售量与获利做了统计，如下表： 销售量/件 100 200 300 获利/万元 7 9 9 若获利是销售量的二次函数，则该商店获利最大是（　B　） A. 9万元 B. 9.25万元 C. 9.5万元 D. 10万元 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 有一种产品的质量从低到高分为1，2，3，4四个不同的档次.若工时 不变，则车间每天可生产最低档次（即第1个档次）的产品40件，每件 产品的利润为16元.如果每提高1个档次，每件产品的利润可增加1元， 但每天会少生产2件产品.现在车间计划只生产1个档次的产品.要使总利 润最大，车间应生产第 个档次的产品. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （1） 求 w 与 x 之间的函数表达式. 解：（1） 由题意，得 w ＝（ x －40）· y ＝（ x －40）（－ x ＋80）＝－ x2＋120 x －3200，∴ w 与 x 之间的函数表达式为 w ＝－ x2＋120 x －3200 3. 某商店经销一种书包，这种书包的成本价为每个40元.经调查发 现，这种书包每天的销售量 y （单位：个）与销售单价 x （单位： 元）有如下关系： y ＝－ x ＋80（40≤ x ≤80）.设这种书包每天的 销售利润为 w 元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （3） 若规定这种书包的销售单价不高于58元，该商店销售这种书包每 天要获得300元的销售利润，则销售单价应定为 元. 解：（2） 由（1），得 w ＝－ x2＋120 x －3200＝－（ x －60）2＋ 400.∵ －1＜0，∴ 当 x ＝60时， w 有最大值，最大值是400.∴ 这种书包 的销售单价定为60元时，每天的销售利润最大，最大利润是400元 50　 （2） 这种书包的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大 利润是多少元？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型二　在建筑中的应用 4. 如图所示为一座拱桥，当水面宽 AB 为12m时，桥洞顶部离水面4m.已 知桥洞的拱形是一段抛物线，以水平方向为 x 轴，建立平面直角坐标系. 若选取 A 为坐标原点时的抛物线对应的函数表达式为 y ＝－ （ x －6）2 ＋4，则选取 B 为坐标原点时的抛物线对应的函数表达式为 ⁠ ⁠. y ＝－ （ x ＋6）2＋4　 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. 某座抛物线形拱桥的示意图如图所示，点 P 处有一照明灯，水面 OA 宽4m，以 O 为原点， OA 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，点 P 的 坐标为（3， ）. （1） 求抛物线对应的函数表达式； 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：（1） 设抛物线对应的函数表达式为 y ＝ ax2＋ bx ＋ c .将 O （0， 0）， A （4，0）， P （3， ）代入，得解得∴ 抛物线对应的函数表达式为 y ＝－ x2＋2 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） 当水面上升1m时，水面的宽是多少？ 解：（2） 在 y ＝－ x2＋2 x 中，令 y ＝1，得－ x2＋2 x ＝1，解得 x1＝2 ＋ ， x2＝2－ .∴ 水面的宽是2 ＋ －（2－ ）＝2 （m） 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型三　在体育运动中的应用 6. 把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度 h （单 位：米）与时间 t （单位：秒）之间适用公式 h ＝20 t －5 t2（0≤ t ≤3）. 若存在两个不同的 t 的值，使足球离地面的高度均为 a 米，则 a 的取值范 围是（　C　） A. 0≤ a ≤15 B. 0≤ a ＜20 C. 15≤ a ＜20 D. 15≤ a ≤20 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. 如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从点 O 正上方2m的点 A 处发出，把球看成点，其运行的高度 y （单位：m）与运行的水平距离 x （单位：m）满足关系式 y ＝－ （ x －6）2＋2.6，已知球网与点 O 的 水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点 O 的水平距离为18m.下 列结论正确的是（　D　） D A. 球运行的最大高度是2.43m B. 球不会过球网 C. 球会过球网但不会出界 D. 球会过球网但会出界 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. 如图，小明对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行 高度 y （单位：米）与水平距离 x （单位：米）之间的关系为 y ＝－ x2 ＋ x ＋ ，则小明此次实心球训练的成绩为 米. 第8题 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. 一场篮球比赛中，小宇跳起投篮，已知球（看成一个点）出手时离地 面的高度为 m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为 4m时到达最大高度4m，篮圈中心距离地面3m.设篮球运行的轨迹为抛物 线，建立如图所示的平面直角坐标系. （1） 求抛物线对应的函数表达式，并判断此球能否准确投中篮圈 中心； 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：（1） 由题意，得抛物线的顶点坐标为（4，4），球出手时的坐标 为（0， ）.设抛物线对应的函数表达式为 y ＝ a （ x －4）2＋4.将（0， ）代入，得16 a ＋4＝ ，解得 a ＝－ .∴ 抛物线对应的函数表达式 为 y ＝－ （ x －4）2＋4.在 y ＝－ （ x －4）2＋4中，令 x ＝8，得 y ＝ － ×（8－4）2＋4＝ .∵ ＜3，∴ 球不能准确投中篮圈中心 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） 假设出手的角度和力度都不变，小宇应该向前走或向后退多少米 才能投中篮圈中心？ 解：（2） ∵ 出手的角度和力度都不变，∴ 设抛物线对应的函数表达 式为 y ＝－ （ x －4＋ m ）2＋4.将（8，3）代入，得－ （8－4＋ m ）2＋4＝3，解得 m1＝－1， m2＝－7.当 m ＝－7，即向前走7m时，球经过 篮圈中心时处于上升趋势，不合题意，舍去.∴ m ＝－1，即小宇应该向 前走1m才能投中篮圈中心 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $$21.5　反比例函数 第3课时　反比例函数的应用 第21章　二次函数与反比例函数 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 04 思维拓展 1. 由反比例函数 y ＝ （ k 为常数，且 k ≠0）的图象上任意一点与过这点向 x 轴（或 y 轴）作垂线的垂足及坐标原点构成的三角形的面积均相等，都等于 ⁠；向两坐标轴作垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形的面积均相等，都等于 ⁠，与点的位置无关. 2. 反比例函数的知识在实际生活中有着广泛的应用，关键是列出符合题 意的函数表达式，并注意自变量的取值范围. 　 ｜ k ｜ 　 返回目录 1. （2023·大连）某种蓄电池的电压 U （单位：V）为定值，使用蓄电池 时，电流 I （单位：A）与电阻 R （单位：Ω）是反比例函数关系.当 R ＝ 5时， I ＝8，则当 R ＝10时， I 的值是（　A　） A. 4 B. 5 C. 10 D. 0 A 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 2. （2023·合肥中科大附中南区段考）如图， P 为反比例函数 y ＝ （ x ＜0）的图象上一点， PA ⊥ x 轴于点 A ， S△ PAO ＝6，则 k ＝ .　 第2题 －12　 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 3. （2023·南通）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度 v （单位： m/s）与所受阻力 F （单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示. 若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30m/s，则所受阻力 F 为 ⁠N. 第3题 2500　 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 4. （2023·安庆潜山市期中）国庆期间，小李自驾小汽车从家到银屏山 旅游.查询导航得知，他的小汽车保持80km/h的速度行驶3h可以到达银 屏山.若该小汽车匀速行驶的速度为 v km/h，行驶的时间为 t h. （1） 求 v 关于 t 的函数表达式； 解：（1） 由题意，得小李从家到银屏山旅游的路程为80×3＝ 240（km），∴ v 关于 t 的函数表达式为 v ＝ （ t ＞0） 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 （2） 若返回时，该小汽车匀速行驶的速度为60km/h，假设小李返回与 去时的路况和其他因素一致，求他从银屏山回到家需要多长时间. 解：（2） 当 v ＝60时，60＝ ，解得 t ＝4.∴ 他从银屏山回到家需要 4h 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 5. （2023·邵阳）如图，矩形 OABC 的顶点 B 和正方形 ADEF 的顶点 E 都 在反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上，点 B 的坐标为（2，4），则点 E 的坐标为（　D　） A. （4，4） B. （2，2） C. （2，4） D. （4，2） 第5题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 6. （2022·黄石）如图，反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象经过矩形 ABCD 的对角线的交点 E 和顶点 A ，点 B ， C 在 x 轴上.若△ OCE 的面积 为6，则 k ＝ ⁠. 第6题 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 7. 实验研究发现：学生在数学课上的听课注意力指标随上课时间的变化 而变化，上课开始时，学生的注意力指标激增，中间一段时间，学生的 注意力指标保持平稳状态，随后注意力开始分散.学生的注意力指标 y 随 时间 x （单位：min）变化的函数图象如图所示，当0≤ x ＜10和10≤ x ＜ 20时，图象是线段；当20≤ x ≤45时，图象是反比例函数图象的一部分. （1） 求点 A 对应的注意力指标. 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 解：（1） 设当20≤ x ≤45时，反比例函数的表达式为 y ＝ .将 C （20，45）代入，得45＝ ，解得 k ＝900.∴ 当20≤ x ≤45时，反比例函数的表达式为 y ＝ .当 x ＝45时， y ＝ ＝20.∴ 点 D 的坐标为（45，20）.∴ 点 A 的坐标为（0，20），即点 A 对应的注意力指标为20 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 （2） 张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17 min，他能否经过 适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于 36？请说明理由. 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 解：（2） 能　理由：设当0≤ x ＜10时，点 A ， B 所在直线对应的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n .将 A （0，20）， B （10，45）代入，得解得∴ 点 A ， B 所在直线对应的函数表达式为 y ＝ x ＋20.当10≤ x ＜20时， y ＝45＞36.当 y ≥36且0≤ x ＜10时， x ＋20≥36，解得 x ≥ .∴ ≤ x ＜10.当 y ≥36且20≤ x ≤45时， ≥36，解得 x ≤25.∴ 20≤ x ≤25. ∴ 当 ≤ x ≤25时，注意力指标都不低于36.∵ 25－ ＝ （min）， ＞17，∴ 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 8. （2023·蚌埠期中）如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原 点，△ ABO 的边 AB 垂直于 x 轴，垂足为 B ，反比例函数 y ＝ （ x ＜0）的图象经过 AO 的中点 C ，交 AB 于点 D . 若点 D 的坐标为 （－4，1），且 AD ＝3. （1） 求反比例函数的表达式； 第8题 解：（1） ∵ 点 D 的坐标为（－4，1），点 D 在反比例函数的图象上，∴ 1＝ ，解得 k ＝－4.∴ 反比例函数的表达式为 y ＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 （2） 设 E 是线段 CD 上的动点（不与点 C ， D 重合），过点 E 且平行于 y 轴的直线 l 与反比例函数的图象交于点 F ，求△ OEF 面积的最大值. 解：（2） ∵ 点 D 的坐标为（－4，1）， AD ＝3，∴ 点 A 的坐标为（－4，4）.∵ C 为 AO 的中点，∴ 点 C 的坐 标为（－2，2）.设直线 CD 对应的函数表达式为 y ＝ tx ＋ b .把 C （－2，2）， D （－4，1）代入，得 解得∴ 直线 CD 对应的函数表达 式为 y ＝ x ＋3.设点 E 的坐标为（ m ， m ＋3）（－4＜ m ＜－2），则点 F 的坐标为（ m ，－ ）.∴ EF ＝ m ＋3＋ .∴ S△ OEF ＝ EF ·｜ xE ｜＝ ×（ m ＋3＋ ）×（－ m ）＝－ （ m ＋3）2＋ .∵ － ＜0，∴ 当 m ＝－3时， S△ OEF 取最大值，最大值为 .∴ △ OEF 面积的最大值是 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 $$21.4　二次函数的应用 第4课时　利用二次函数模拟数据解决一些实际问题 第21章　二次函数与反比例函数 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 04 思维拓展 “制动距离”问题属于统计推断问题，根据题中信息，求出制动 距离与 之间的函数关系是解答本类问题的关键. 制动时车速　 返回目录 1. 已知某汽车刹车后行驶的距离 y （单位：m）与行驶的时间 t （单位： s）之间近似地满足函数表达式 y ＝－6 t2＋15 t ，根据上述函数模型和数 据，可推断出该汽车从刹车到停下来所用的时间为（　A　） A. 1.25s B. 2.25s C. 0.25s D. 0.75s A 1 2 3 4 5 6 返回目录 2. 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机.通过实验，收集了飞机相 对于出发点的飞行水平距离 x （单位：m）和飞行高度 y （单位：m）随 飞行时间 t （单位：s）变化的数据，如下表： 1 2 3 4 5 6 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 … 飞行高度y/m 0 22 40 54 64 … 返回目录 如图，活动小组在水平安全线 l 上设置一个高度可以变化的发射平台 （ A 处）试飞该航模飞机及回收区域 MN ， AM ＝125m， MN ＝5m.若要 飞机落到 MN 内（不包括端点 M ， N ），根据学过的函数知识，估计发 射平台相对于安全线 l 的高度 h （单位：m）的变化范围是 ⁠ ⁠. 12.5＜ h ＜ 26　 1 2 3 4 5 6 第2题 返回目录 3. 某公园有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的喷水枪喷出，水柱落向 地面的路径形状可以看成抛物线的一部分.记喷出的水柱距喷水枪的水 平距离为 x m，距地面的垂直高度为 y m，现测得几组对应数据如下表： 水平距离 x/m 0 1 2 3 4 5 6 … 垂直高度 y/m 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 … 请根据测得的数据解决下列问题： 1 2 3 4 5 6 返回目录 （1） 在如图所示的平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐 标的点，并画出该函数的图象； （2） 结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直 高度为 m； 解：（1） 如图所示 第3题答案 3.2　 1 2 3 4 5 6 返回目录 （3） 求所画图象对应的二次函数的表达式； 解：（3） 设二次函数的表达式为 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c .将（0，0.7），（1，1.6）， （2，2.3）代入，得 解得∴ 二次函数的表达式为 y ＝－0.1 x2＋ x ＋0.7 第3题答案 1 2 3 4 5 6 返回目录 （4） 公园准备在水柱下方的地面上竖直安装一根高1.6m的石柱，使该 喷水枪喷出的水柱恰好经过石柱顶端，求石柱距喷水枪的水平距离（不 考虑石柱粗细等其他因素）. 解：（4） 在 y ＝－0.1 x2＋ x ＋0.7中，令 y ＝1.6，得－0.1 x2＋ x ＋0.7＝1.6，解得 x1＝ 1， x2＝9.∴ 石柱距喷水枪的水平距离为 1m或9m 第3题答案 1 2 3 4 5 6 返回目录 4. 小明和小张结伴前往游乐园乘坐了摩天轮.已知摩天轮转一圈，他们 离地面的高度 y （单位：m）与旋转时间 x （单位：s）之间的函数关系 可以近似地用 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 来表示.下表中记录了该摩天轮的旋转 时间 x （单位：s）和离地面的高度 y （单位：m）的三组数据.根据上述 函数模型和数据，可以推测：当小明和小张乘坐此摩天轮离地面最高 时，需要的时间为（　C　） x /s … 160 190 210 … y /m … 60 67.5 47.5 … C A. 172s B. 175s C. 180s D. 186s 1 2 3 4 5 6 返回目录 5. 某水产养殖企业为谋求养殖利润最大化，对历年市场行情和水产品养 殖情况进行了调查.经调查发现，这种水产品每千克的售价 y1（单位： 元）与销售月份 x （单位：月）满足函数关系 y1＝－ x ＋36，每千克的 成本 y2（单位：元）与销售月份 x （单位：月）满足的函数关系如图所 示.“五一”之前，销售这种水产品每千克获得的利润最大是在几月？ 第5题 1 2 3 4 5 6 返回目录 解：由题图，将（3，25），（4，24）代入 y2＝ x2＋ bx ＋ c ，得 解得∴ y2＝ x2－ x ＋ .设销售 这种水产品每千克获得的利润为 y 元，则 y ＝ y1－ y2＝－ x ＋36－（ x2 － x ＋ ）＝－ x2＋ x ＋ ＝－ （ x －6）2＋11.∵ 0＜ x ＜5且 x 为整数，∴ 当 x ＝4时， y 取最大值.∴ “五一”之前，销售这种水产品 每千克获得的利润最大是在4月 1 2 3 4 5 6 返回目录 6. 某汽车在制动后滑行的距离 s （单位：m）与时间 t （单位：s）之间 的部分对应值如下表： t /s 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 … s /m 0 2.8 5.2 7.2 8.8 10 10.8 … 1 2 3 4 5 6 返回目录 （1） 根据这些数据在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点. 解：（1） 如图所示 　第6题答案 1 2 3 4 5 6 返回目录 （2） 选择适当的函数表示 s 与 t 之间的关系，并求出相应的函数表达式. 解：（2） 由（1）中的散点图，知该函数为二次函数.设二次函数的表达式为 s ＝ at2＋ bt ＋ c .∵ 二次函数的图象经过点（0，0），∴ c ＝0.又∵ 二次函数的图象经过点（0.2，2.8），（1.0，10）， ∴ 解得∴ s ＝－5 t2＋15 t .经检验，其余各点均在二次函 数 s ＝－5 t2＋15 t 的图象上.∴ 二次函数的表达 式为 s ＝－5 t2＋15 t 　第6题答案 1 2 3 4 5 6 返回目录 （3） ① 制动后汽车滑行了多远才停止？ ② 当 t 分别为 t1， t2（ t1＜ t2）时，对应 s 的值分别为 s1， s2，请比较 与 的大小，并解释比较结果的实际意义. 1 2 3 4 5 6 返回目录 解：（3） ① ∵ s ＝－5 t2＋15 t ＝－5（ t － ）2＋ ，∴ 当 t ＝ 时，汽车滑行的距离最 大，为 m.∴ 制动后汽车滑行了 m才停止 　第6题答案 ② ∵ s ＝－5 t2＋15 t ，∴ s1＝－5 ＋15 t1， s2＝－5 ＋15 t2.∴ ＝－5 t1＋15， ＝－5 t2＋15.又∵ t1＜ t2，∴ － ＝－5 t1＋15－（－5 t2＋15） ＝5（ t2－ t1）＞0.∴ ＞ .其实际意义是制动后 t2s内的平均速度小于 制动后 t1s内的平均速度 1 2 3 4 5 6 返回目录 $$21.2　二次函数的图象和性质 21.2.2　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质　 第2课时　二次函数y＝a（x＋h）2的图象和性质 第21章　二次函数与反比例函数 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 04 思维拓展 1. 抛物线 y ＝ a （ x ＋ h ）2与 y ＝ ax2的 、 ⁠ 和 相同，只是 不同.抛物线 y ＝ a （ x ＋ h ）2可由 抛物线 y ＝ ax2沿 轴方向平移｜ h ｜个单位得到，当 h ＞0时， 向 平移；当 h ＜0时，向 平移. 2. 在抛物线 y ＝ a （ x ＋ h ）2（ a ＞0）中，当 x ＝ 时， y 有 最 值，为 ⁠； 形状　 开口大小　 开口方向　 位置　 x 　 左　 右　 － h 　 小　 0　 返回目录 当 x 时， y 随 x 的增大而 ；当 x 时， y 随 x 的增大而 .在抛物线 y ＝ a （ x ＋ h ）2（ a ＜0）中，当 x ＝ ⁠ 时， y 有最 值，为 ；当 x 时， y 随 x 的增大 而 ；当 x 时， y 随 x 的增大而 ⁠. ＜－ h 　 减小　 ＞－ h 　 增大　 － h 　 大　 0　 ＜－ h 　 增大　 ＞－ h 　 减小　 返回目录 1. 抛物线 y ＝－（ x ＋1）2的顶点坐标为（　A　） A. （－1，0） B. （1，0） C. （1，1） D. （－1，－1） 2. 抛物线 y ＝－3（ x ＋1）2不经过的象限是（　A　） A. 第一、二象限 B. 第二、四象限 C. 第三、四象限 D. 第二、三象限 A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 3. 关于二次函数 y ＝ （ x ＋1）2的图象，下列说法正确的是（　D　） A. 开口向下 B. 在对称轴的右侧， y 随 x 的增大而减小 C. 经过原点 D. 顶点坐标是（－1，0） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 4. （教材P16练习第2题变式）（1） 抛物线 y ＝3（ x ＋2）2是由抛物线 y ＝3 x2向 平移 个单位得到的.抛物线 y ＝3（ x ＋2）2的开 口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ⁠. （2） 二次函数 y ＝－2（ x －3）2的图象是由二次函数 y ＝－2 x2的图象 向 平移 个单位得到的.在 y ＝－2（ x －3）2中，当 x ⁠ 时， y 随 x 的增大而增大；当 x ＝ 时， y 有最 值，为 ⁠. 5. 顶点坐标为（－ ，0），且开口方向、开口大小、形状与抛物线 y ＝ － x2相同的抛物线对应的函数表达式为 　 y ＝－ （ x ＋ ）2　. 左　 2　 向上　 直线 x ＝－2　 （－2，0）　 右　 3　 ＜3　 3　 大　 0　 y ＝－ （ x ＋ ）2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 6. 已知二次函数 y ＝－（ x ＋2）2. （1） 完成下表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的 图象； x … －4 －3 －2 －1 0 … y … －4 －1 　0　 　－1　 　－4　 … （2） 该函数图象的顶点坐标为 ⁠； 0　 －1　 －4　 （－2，0）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第6题答案 返回目录 （3） 结合图象，请直接写出当 x 取何值时， y 随 x 的增大而减小. 解：由图象，得当 x ＞－2时， y 随 x 的增大而减小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 7. y ＝ a （ x ＋ b ）2与 y ＝ ax ＋ b 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （　D　） 　 　 　 A B C D 8. （2023·合肥段考）已知二次函数 y ＝2（ x －1）2，当－1≤ x ≤2时， y 的最大值与最小值的和为（　A　） A. 8 B. 10 C. 2 D. 0 D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 9. 已知抛物线经过点 P （2，2），顶点为 O （0，0）.将该抛物线向右平 移，当它再次经过点 P 时，所得抛物线对应的函数表达式为 ⁠ ⁠. 10. 已知二次函数 y ＝2（ x －3）2，当 x 取 x1， x2，且 x1≠ x2时，函数值 y1＝ y2，则当 x ＝ x1＋ x2时， y 的值为 ⁠. y ＝ （ x －4）2　 18　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 11. 已知二次函数 y ＝（ x －3）2. （1） 直接写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函 数的最值. 解：（1） 该二次函数图象的开口向上，对称轴是直线 x ＝3，顶点坐标 为（3，0），该函数有最小值0 （2） 若点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）位于对称轴右侧的抛物线上，且 x1＜ x2，试比较 y1与 y2的大小关系. 解：（2） ∵ 二次函数 y ＝（ x －3）2，∴ 当 x ＞3时， y 随 x 的增大而 增大.∵ 点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）位于对称轴右侧的抛物线上，且 x1＜ x2，∴ y1＜ y2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （3） 抛物线 y ＝（ x ＋7）2可以由抛物线 y ＝（ x －3）2平移得到吗？ 若可以，请直接写出平移的方法；若不可以，请说明理由. 解：（3） 可以　抛物线 y ＝（ x ＋7）2由抛物线 y ＝（ x －3）2向左平 移10个单位得到 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 12. 已知 P （ m ， a ）是抛物线 y ＝ a （ x －1）2上的点，且点 P 在第一象 限内. （1） 求 m 的值； 解：（1） ∵ P （ m ， a ）是抛物线 y ＝ a （ x －1）2上的点，∴ a ＝ a （ m －1）2，解得 m1＝2， m2＝0.∵ 点 P 在第一象限内，∴ m ＝2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 过点 P 作 PQ ∥ x 轴，与抛物线 y ＝ a （ x －1）2的另一个交点为 Q ，若 a 的值为3，求点 P ， Q 及原点 O 围成的三角形的面积. 解：（2） ∵ a 的值为3，∴ 抛物线对应的函数表达式为 y ＝3（ x －1）2，点 P 的坐标为（2，3）.∵ PQ ∥ x 轴，与抛物线 y ＝3（ x －1）2的另 一个交点为 Q ，∴ 3＝3（ x －1）2，解得 x1＝2， x2＝0.∴ 点 Q 的坐标 为（0，3）.∴ OQ ＝3， PQ ＝2.∴ S△ PQO ＝ OQ · PQ ＝ ×3×2＝3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 $$小专题（一）　二次函数的图象与性质综合题 第21章　二次函数与反比例函数 类型一　识别函数图象 1. 如果在二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 中， a ＞0， b ＜0， c ＞0，那么 该二次函数的图象可能是（　D　） A B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D 类型二　从函数图象中获取信息 2. （2022·广州）如图，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的对称轴为直线 x ＝－ 2，下列结论正确的是（　C　） A. a ＜0 B. c ＞0 C. 当 x ＜－2时， y 随 x 的增大而减小 D. 当 x ＞－2时， y 随 x 的增大而减小 第2题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象如图所示，下列结论错误的是 （　C　） A. 图象关于直线 x ＝1对称 B. 函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的最小值是－4 C. 当 x ＜1时， y 随 x 的增大而增大 D. 关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两个实数根为 x1＝ －1， x2＝3 第3题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋4交 y 轴于点 A ，交过点 A 且平行于 x 轴的 直线于另一点 B ，交 x 轴于 C ， D 两点，对称轴为直线 x ＝ ，连接 AC ， AD ， BC . 若点 B 关于直线 AC 对称的点恰好落在线段 OC 上，则下 列结论错误的是（　D　） A. 点 B 的坐标为（5，4） B. AB ＝ AD C. a ＝－ D. OC · OD ＝16 第4题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型三　函数值的大小比较 5. （2022·合肥四十六中段考）若 A （－3.5， y1）， B （－1， y2）为二 次函数 y ＝－（ x ＋2）2＋ h 的图象上的两点，则 y1 y2（填 “＞”“＜”或“＝”）. ＜　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型四　一次函数与二次函数的结合 6. （2023·合肥肥西县期末）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函 数 y ＝ ax2＋ c 与一次函数 y ＝ ax ＋ c 的图象可能是（　D　） A B D C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. （2023·六安霍邱县段考）已知二次函数 y1＝ x2－2 x －5与一次函数 y2 ＝－ x ＋1. （1） 在给出的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y1 … 3 －2 －5 －6 －5 －2 3 … y2 … 3 2 1 0 －1 －2 －3 … 描点、连线，如图所示 第7题答案 解：（1） 列表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：（2） ① 两个函数图象的交点坐标为 （－2，3），（3，－2） ② 当 y1＞ y2时，对应的自变量 x 的取值范围是 x ＜－2或 x ＞3 （2） 结合图象： ① 直接写出这两个函数图象的交点坐标； ② 直接写出当 y1＞ y2时，对应的自变量 x 的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第7题答案 类型五　求未知字母的值或取值范围 8. 已知二次函数 y ＝ x2－ mx －1，当 x ＜4时， y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是 ⁠. 9. 已知二次函数 y ＝ ax2－2 ax ＋ c （其中 x 是自变量），当2≤ x ≤3时， 5≤ y ≤8，则 a 的值为 ⁠. m ≥8　 ±1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. （2022·合肥三十中段考）若一个函数的表达式等于另两个函数表达 式的和，则称这个函数为另两个函数的“生成函数”.现有关于 x 的两个 二次函数 y1， y2，且 y1＝ a （ x － m ）2＋4（ m ＞0）， y1， y2的“生成 函数”为 y ＝ x2＋4 x ＋14.当 x ＝ m 时， y2＝15，二次函数 y2的图象的顶 点坐标为（2， k ）.求： （1） m 的值； 解：（1） ∵ y1＝ a （ x － m ）2＋4（ m ＞0）， y1， y2的“生成函数” 为 y ＝ x2＋4 x ＋14，∴ y2＝ x2＋4 x ＋14－ a （ x － m ）2－4＝ x2－ a （ x － m ）2＋4 x ＋10.∵ 当 x ＝ m 时， y2＝15，∴ m2－ a （ m － m ）2＋4 m ＋10＝15，解得 m1＝1， m2＝－5（不合题意，舍去）.∴ m 的值为1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 二次函数 y1， y2的表达式. 解：（2） 由（1），得 y2＝ x2－ a （ x －1）2＋4 x ＋10＝（1－ a ） x2＋（2 a ＋4） x － a ＋10.∵ 二次函数 y2的图象的顶点坐标为 （2， k ），∴ － ＝2，解得 a ＝4.∴ y1＝4（ x －1）2＋4， y2＝－3 x2＋12 x ＋6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$小专题（五）　函数图象信息题 第21章　二次函数与反比例函数 类型一　识别函数图象 1. 反比例函数 y ＝ 在第二象限内的图象与一次函数 y ＝ x ＋ b 的图 象如图所示，则函数 y ＝－ x2＋ bx ＋1－ k 的图象可能为（　B　） 第1题 B 1 2 3 4 5 A B C D 类型二　求不等式的解集 2. 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象与反比例函数 y ＝ 的图象相交（如 图），则不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞ 的解集是（　B　） A. 1＜ x ＜4或 x ＜－2 B. 1＜ x ＜4或－2＜ x ＜0 C. 0＜ x ＜1或 x ＞4或－2＜ x ＜0 D. －2＜ x ＜1或 x ＞－4 第2题 B 1 2 3 4 5 类型三　求二次函数的表达式 3. 二次函数的图象如图所示，则其表达式可能是（　D　） A. y ＝ ax2＋ bx －（ a － b ） B. y ＝（ x ＋ a ）（ x － a ＋1） C. y ＝（ x － m ）2＋ m2＋1 D. y ＝ x2＋（ a ＋2） x ＋ a 第3题 D 1 2 3 4 5 类型四　判断二次函数表达式中 a ， b ， c 之间的关系 4. 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象如图所示，有下列结论：① abc ＞ 0；② 2 a － b ＜0；③ c2＋4 ac ＜2 bc ；④ （ a ＋ c ）2＜ b2.其中正确的个 数是（　D　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第4题 D 1 2 3 4 5 类型五　求几何图形的面积 5. 二次函数 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 的图象过点 B （1，0）， C （0，3），图 象与 x 轴的另一个交点为 A ，图象的顶点为 D . 画出二次函数的图象，并 求四边形 ABCD 的面积. 1 2 3 4 5 解：将 B （1，0）， C （0，3）代入 y ＝－ x2＋ bx ＋ c ，得 解得∴ 二次函数的表达式为 y ＝－ x2－2 x ＋3.令 y ＝0，得－ x2－2 x ＋3＝0，解得 x1＝－3， x2＝1.∴ 点 A 的坐标 为（－3，0）.∵ y ＝－ x2－2 x ＋3＝－（ x ＋1）2＋4，∴ 顶点 D 的坐标 为（－1，4）.图象如图所示　如图，过点 D 作 DE ⊥ x 轴于点 E ，连接 OC . S四边形 ABCD ＝ S△ AED ＋ S梯形 OEDC ＋ S△ OBC ＝ ×2×4＋ ＋ ×1×3＝4＋ ＋ ＝9 　第5题答案 1 2 3 4 5 $$21.2　二次函数的图象和性质 21.2.2　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质　 第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 第21章　二次函数与反比例函数 01 新知梳理 02 基础过关 03 能力进阶 目 录 04 思维拓展 1. 当 a ＞0时，抛物线 y ＝ ax2＋ k 的对称轴是 ⁠，开口向 ，顶点坐标是 .当 x ＞0时， y 随 x 的增大而 ⁠ ；当 x ＜0时， y 随 x 的增大而 ；当 x ＝0时， y 有最 ⁠值，为 ⁠. 2. 当 a ＜0时，抛物线 y ＝ ax2＋ k 的对称轴是 ，开口向 ⁠， 顶点坐标是 ⁠. 当 x ＞0时， y 随 x 的增大而 ；当 x ＜0时， y 随 x 的增大而 ⁠ ；当 x ＝0时， y 有最 值，为 ⁠. y 轴　 上　 （0， k ）　 增大　 减小　 小　 k 　 y 轴　 下　 （0， k ）　 减小　 增 大　 大　 k 　 返回目录 3. 抛物线 y ＝ ax2＋ k 和 y ＝ ax2的形状、开口大小和开口方向相同，只是 位置不同.抛物线 y ＝ ax2＋ k 可由抛物线 y ＝ ax2沿 y 轴方向 （ k ＞0）或 （ k ＜0）平移｜ k ｜个单位得到. 向上　 向下 　 返回目录 1. 下列与抛物线 y ＝－ x2－1的顶点相同，形状也相同，而开口方向相 反的抛物线所对应的函数表达式为（　B　） A. y ＝－ x2－1 B. y ＝ x2－1 C. y ＝－ x2＋1 D. y ＝ x2＋1 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 2. 当 a ＜0， c ＞0时，二次函数 y ＝ ax2＋ c 的图象可能是（　D　） A B C D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 3. 关于二次函数 y ＝ x2－2的说法错误的是（　B　） A. 图象开口向上 B. 图象的顶点坐标为（0，2） C. 图象的对称轴为 y 轴 D. 当 x ＞0时， y 随 x 的增大而增大 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 4. 抛物线 y ＝ x2－ 的对称轴是 ⁠. 5. （教材P13练习第3题变式）将二次函数 y ＝－7 x2＋3的图象沿 y 轴向 下平移5个单位，所得图象对应的函数表达式为 ⁠. y 轴　 y ＝－7 x2－2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 解：（1） 如图所示　三个函数的图象的开口 都向上，对称轴都为 y 轴，函数 y ＝ x2的图象 的顶点坐标为（0，0），函数 y ＝ x2＋2的图 象的顶点坐标为（0，2），函数 y ＝ x2－2的 图象的顶点坐标为（0，－2） 第6题答案 6. （1） 在同一平面直角坐标系中，分别画出函数 y ＝ x2， y ＝ x2＋ 2， y ＝ x2－2的图象，并写出各图象的开口方向、顶点坐标和对称轴； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 写出抛物线 y ＝－ x2－5的开口方向、顶点坐标和对称轴. 解：（2） 抛物线 y ＝－ x2－5的开口向下，顶点坐标为（0，－5），对称轴为 y 轴 第6题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 y ＝ ax ＋ k 与二次函数 y ＝ kx2＋ a 的图象可能是（　C　） A B C C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 8. （2022·荆门）已知抛物线 y ＝ x2＋3上有两点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），若 y1＜ y2，则下列结论正确的是（　D　） A. 0≤ x1＜ x2 B. x2＜ x1≤0 C. x2＜ x1≤0或0≤ x1＜ x2 D. 以上都不对 9. 若二次函数 y ＝ x2＋ k 的图象的顶点在直线 y ＝2 x ＋3上，则 k ＝ ⁠. 10. 若抛物线 y ＝2 x2－15与直线 y ＝9交于 A ， B 两点，则点 A 与点 B 之 间的距离为 .　 D 3　 4 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （1） a ＝ ， k ＝ ⁠； （2） 画出二次函数 y ＝ ax2＋ k 的图象. 第11题答案 － 　 2　 11. 已知二次函数 y ＝ ax2＋ k 的图象的顶点坐标是（0，2），且形状及 开口方向与抛物线 y ＝－ x2相同. 解：如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 12. 如图，直线 y ＝－ x 与抛物线 y ＝－ x2＋6交于 A ， B 两点. （1） 直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标； 解：（1） 抛物线的对称轴为 y 轴，顶点坐标为 （0，6） 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 求 A ， B 两点的坐标； 解：（2） 联立方程组，得解得 ∴ 点 A ， B 的坐标分别为 （6，－3），（－4，2） 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （3） 设抛物线的顶点为 P ，连接 BP ， AP ，求△ PAB 的面积. 解：（3） 由题意，得直线 AB 经过原点 O . 由 （1），得点 P 的坐标为（0，6）.∴ OP ＝6. ∴ S△ PAB ＝ S△ POB ＋ S△ POA ＝ ×6×4＋ ×6×6 ＝30 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 $$