1.4 有理数的加减法（4个知识点+7类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（华东师大版2024）

有理数的加减法 课程标准 学习目标 ①有理数的加法法则 ②有理数的减法法则 ③有理数的加减混合运算 1.理解并掌握有理数的加法法则； 2.能熟练运用加法运算律简化运算； 3.理解并掌握有理数的减法法则； 4.能熟练运用加减混合运算. 知识点01 有理数的加法法则 有理数的加法法则: 1． 两个负数相加，结果是 ，并把它们的 相加. 2． 异号两数相加,当两数的绝对值 时,取绝对值 的加数的符号,并且用较大的绝对值 较小的绝对值. 3． 互为相反数的两个数相加得 . 4． 一个数与0相加,仍得 . 【即学即练1】 下列各式计算正确的是（　 　） A． B． C． D． 知识点02 有理数加法运算律 有理数加法运算律: 1.交换律:两个有理数相加,交换加数的 ,和不变.即a+b= . 2.结合律:三个有理数相加,先把前两个数 ,再把结果与第三个数 ；或者先把后两个数相加,再把结果与第一个数相加, 不变.即 a+b+c= = . 【即学即练1】 ，上面的计算所运用的运算律是（    ） A．交换律 B．结合律 C．先用结合律，再用交换律 D．先用交换律，再用结合律 知识点03有理数的减法法则 有理数的减法法则： 减去一个数,等于加上这个数的 . 式子表示:a-b= . 运算步骤:(1)将减号变为 ,同时将 变为它的相反数; (2)利用有理数的 进行计算 【即学即练1】 计算的结果（    ） A．2 B． C．1 D．0 知识点04有理数的加减混合运算 引人相反数后,加减混合运算可以统一为 运算:a+b-c= . 【即学即练1】 计算：； 题型01 有理数的加法运算 【典例1】根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　 　） A． B． C． D． 【变式1】计算：的结果是（    ） A．1 B． C． D．4047 【变式2】已知数轴上的点，分别表示数，，其中，，并且，若，数在数轴上用点表示，则点，，在数轴上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则______0．（填“”、“”或“”） 题型02 有理数加法的应用 【典例1】某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 本周五天后这种小麦库存_________吨． 【变式1】已知室外温度为，室内温度比室外温度高，则室内温度为（    ） A． B． C． D． 【变式2】甲地的平均海拔为，乙地的平均海拔比甲地高，乙地的平均海拔为（    ） A． B． C． D． 【变式3】在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图1表示的是的计算过程，则下图2表示的算式是_________． 题型03 加法运算律 【典例1】下列变形，运用加法运算律错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在计算时通常转化成：，这个变形的依据是（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律 【变式2】下列变形中正确使用加法交换律的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】计算：． 题型04有理数的减法运算 【典例1】计算的结果是（     ） A． B．5 C．1 D． 【变式1】点A、B在数轴上，且A与B的距离是5，如果点A对应的数为，那么点B所对应的数为______． 【变式2】如图所示， (1)数轴上的点A、B、C、D表示的数分别是______、______、______、______； (2)A、B两点间的距离是______个单位长度； (3)A、D两点间的距离是______个单位长度． 【变式3】计算： (1)； (2)． 题型05有理数减法的应用 【典例1】某地2023年元旦这天的最高气温是8℃，最低气温是，则这天的最高气温比最低气温高（    ） A．10℃ B． C．6℃ D． 【变式1】在体育课的立定跳远测试中，以2.00m为标准，若小明跳出了2.35m，可记作，则小亮跳出了1.65m，应记作（　 　） A． B． C． D． 【变式2】“会当凌绝顶，一览众山小．”泰山，世界文化与自然双重遗产，有“五岳之首”和“天下第一山”之称．1月份的泰山，山顶的平均气温是，山脚的平均气温是，则山脚的平均气温与山顶的平均气温的温差是（    ） A． B． C． D． 【变式3】某天某港口最高水位为1m，最低水位为m，该天最高水位与最低水位的差是（    ） A．1m B．m C．3m D．m 题型06 有理数的加减混合运算 【典例1】计算下列各式： (1) (2) (3) (4) 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型07 有理数加减混合运算的实际应用 【典例1】某销售教辅材料的商家记录了6天以来每天的盈亏情况，并用“”表示盈利，“”表示亏损，他记录的表格如下： 天数/天 盈亏情况/元 1 2 3 4 5 6 下列关于盈亏说法正确的是（    ） A．6天以来亏损了4元 B．6天以来亏损了2元 C．6天以来盈利了12元 D．6天以来盈利了6元 【变式1】小明在一条东西向的跑道上先向东走了米，又向西走了米，规定向东为正，向西为负．这一过程在数轴上如图所示，则小明现在的位置A表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】一辆公交车上原有13人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为正，下车人数记为负，单位：人）；，；，；，．此时公交车上有________人． 【变式3】某校六年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 0 1 2 回答下面问题： (1)这10筐白萝卜，第8筐白萝卜实际质量为多少千克． (2)以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ (3)若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？ 1．下列计算正确的是（　 　） A． B． C． D． 2．上海某天的最高气温为，最低气温为，则这一天的最高气温与最低气温的差为（　　 ） A． B． C． D． 3．某一天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是（    ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上三个不同的点A，B，P分别表示实数a，b，，则下列关于数轴原点位置的描述正确的是（    ）    A．原点在点A的左侧 B．原点在A，B两点之间 C．原点在B，P两点之间 D．原点在点P的右侧 5．有一只蜗牛从数轴的原点出发，先向左（负方向）爬行9个单位长度，再向右爬行3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．某次数学测试的平均成绩是75分，小王得了80分，记作分，小李的成绩记作分，表示得了（　　 ）分． A．63 B．67 C．72 D．83 7．2024年，第33届夏季奥林匹克运动会将在法国巴黎举行．如图，将5个城市的国际标准时间(单位：时)在数轴上表示，那么开幕式的巴黎时间7月26日19时30分对应的是（　 ） A．纽约时间7月26日14时30分 B．伦敦时间7月26日18时30分 C．北京时间7月27日3时30分 D．汉城时间7月26日3时30分 8．下列运算错误的是（　 　） A． B． C． D． 9．水位下降4厘米，又上升8厘米，那么现在的水位比原水位（    ）. A．上升3厘米 B．下降3厘米 C．上升4厘米 D．下降4厘米 10．将写成省略加号后的形式是(　　 ) A． B． C． D． 11．如果，，，则下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 12．下列语句叙述正确的是（    ） A．对于任意有理数，若，则 B．对于任意有理数，若，则 C．对于任意有理数，若，则 D．两个有理数的和为正数，这两个数一定为正数 13．计算：________． 14．点在数轴上表示的数是，从点出发，沿数轴向右平移7个单位长度到达点，则点表示的数是________． 15．若a是最小的正整数，b是最大的负整数，c的绝对值为3，则的值为________． 16．在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动．若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，第30秒时，点在数轴上所对应的数是________． 17．小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品．已知每份订单的配送费为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元．如果小宇在购买下表中的所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐的总费用最低可为________元． 菜品 单价（含包装费） 数量 水煮牛肉（小） 30元 1 醋溜土豆丝（小） 12元 1 豉汁排骨（小） 30元 1 手撕包菜（小） 12元 1 米饭 3元 2 18．（1）； （2） ； （3） ； （4） 19．计算题 (1)； (2)； (3)； (4)； 20．有理数a、b、c在数轴上的位置如图，    (1)比较a，b，，的大小，用“<”连接为_____； (2)判断正负，用“>”或“<”填空：______0；______0；______0． (3)化简：． 21．某商场9月24日销售衬衫100件，下表是该商场9月25日至9月30日六天的销售变化情况（注：正号表示销售量比前一天上升，负号表示销售量比前一天下降）： 日期 9月25日 9月26日 9月27日 9月28日 9月29日 9月30日 销售量/件 (1)这六天中哪一天销售衬衫的数量最多？哪一天最少？ (2)若每件衬衫的价格是80元，该商场这六天销售衬衫的总收入是多少元？ 22．列式计算： (1)的相反数与的绝对值的差． (2)某市一天上午的气温是，下午上升，半夜又下降，问半夜的气温是多少？ 23．台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响，一突击队乘汽车抢修供电线路，南记为正，则北记为负．某天自A地出发，所走路程（单位：千米）为：+8，﹣6，﹣2，+4，﹣5，+2 问：①最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么位置？ ②若每千米耗油1.5升，则今天共耗油多少升？ 24．我国某次军事演习中，一艘核潜艇的初始位置在海平面下，规定核潜艇上升记为“＋”，下降记为“－”，下面是这艘核潜艇在某段时间内的运动情况：．（单位：） (1)最后这艘核潜艇停留的位置在海平面下多少米？ (2)如果这艘核潜艇每上升或下降，核动力装置所提供的能量相当于汽油燃烧所产生的能量，那么在这艘核潜艇运动的这段时间内，核潜艇动力装置提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？ 25．十一国庆期间，俄罗斯特技飞行队在黄山湖公园特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如下表．请解答下列问题：（写出计算过程） 高度变化 记作 上升千米 千米 下降千米 千米 上升千米 千米 下降千米 千米 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下∶上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 26．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点用数表示，则 ①若，那么的值是_________． ②有最小值，最小值是_________； ③求的最小值． 27．数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 28．阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】原式 ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 29．食堂要购进筐青萝卜，以每筐千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示，记录如表： 与标准质量的差（千克） 0 2 筐数 1 4 2 3 5 5 (1)筐萝卜中，最轻的一筐比最重的要轻多少？ (2)这筐青萝卜的实际重量与标准重量相比，是多了还是少了？差值是多少？ (3)这批青萝卜每千克售价为元，买进这筐青萝卜的实际总价钱需要多少元？ 30．某天下午，出租车司机小王的营运全是在东西走向的国庆大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午载客行车里程（单位：公里）如下：，，，，，，，，，，． (1)最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地多远？ (2)若汽车的耗油量为0.2L/km，则这天下午小王的车共耗油多少升？ (3)该市出租车按里程计费标准为：不超过3公里，收费9元，超过3公里的部分，按每公里2元收费，则这天下午小王前三次营运收入共多少元？ ( 14 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 有理数的加减法 课程标准 学习目标 ①有理数的加法法则 ②有理数的减法法则 ③有理数的加减混合运算 1.理解并掌握有理数的加法法则； 2.能熟练运用加法运算律简化运算； 3.理解并掌握有理数的减法法则； 4.能熟练运用加减混合运算. 知识点01 有理数的加法法则 有理数的加法法则: 1． 两个负数相加，结果是 负数 ，并把它们的 绝对值 相加. 2． 异号两数相加,当两数的绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号,并且用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3． 互为相反数的两个数相加得0. 4． 一个数与0相加,仍得这个数. 【即学即练1】 下列各式计算正确的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加法法则：1．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；3．一个数同零相加，仍得这个数．掌握理数加法法则是解题的关键． 【详解】解：A． ，原计算错误，不符合题意； B． ，原计算正确，符合题意； C． ，原计算错误，不符合题意； D． ，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 知识点02 有理数加法运算律 有理数加法运算律: 1.交换律:两个有理数相加,交换加数的位置,和不变.即a+b=b+a. 2.结合律:三个有理数相加,先把前两个数相加,再把结果与第三个数相加;或者先把后两个数相加,再把结果与第一个数相加,和不变.即 a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+c. 【即学即练1】 ，上面的计算所运用的运算律是（    ） A．交换律 B．结合律 C．先用结合律，再用交换律 D．先用交换律，再用结合律 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据加法交换律和结合律进行计算，即可解答． 【详解】解：， 上面的计算所运用的运算律是先用交换律，再用结合律， 故选：D． 知识点03有理数的减法法则 有理数的减法法则： 减去一个数,等于加上这个数的相反数. 式子表示:a-b=a+(-b). 运算步骤:(1)将减号变为加号,同时将减数变为它的相反数; (2)利用有理数的加法法则进行计算 【即学即练1】 计算的结果（    ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的减法，根据有理数的减法法则直接计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 知识点04有理数的加减混合运算 引人相反数后,加减混合运算可以统一为加法运算:a+b-c=a+b+(-c). 【即学即练1】 计算：； 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加减运算，按照同分母的结合法则，运用加法的交换律和结合律计算是解本题的关键． 【详解】解： ． 题型01 有理数的加法运算 【典例1】根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同”成为解题的关键． 根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答． 【详解】解：．故选D． 【变式1】计算：的结果是（    ） A．1 B． C． D．4047 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法，负数加正数的计算规则是：符号取绝对值较大的加数的符号，数值取“用较大的绝对值减去较小的绝对值”的所得值． 【详解】解：， 故选B． 【变式2】已知数轴上的点，分别表示数，，其中，，并且，若，数在数轴上用点表示，则点，，在数轴上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上的点表示数，解题的关键是掌握绝对值的几何意义求解即可． 【详解】∵，，， ∴ ∴B符合题意．故选：B． 【变式3】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则______0．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了通过数轴判断式子的正负，有理数的加法，通过数轴得出且，即可得出结果． 【详解】解：由此图可知，且， ，故答案为：． 题型02 有理数加法的应用 【典例1】某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 本周五天后这种小麦库存_________吨． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，根据有理数的加法运算，可得答案，利用有理数的加法运算是解题的关键． 【详解】解：（吨， 故本周五天后这种小麦库存吨，故答案为：． 【变式1】已知室外温度为，室内温度比室外温度高，则室内温度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，用室外温度加上温度差即可得出室内温度． 【详解】解：由题意得： 室内温度为，选：C． 【变式2】甲地的平均海拔为，乙地的平均海拔比甲地高，乙地的平均海拔为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，理解题意，正确列出式子是解答本题的关键． 根据题意，甲地的平均海拔为，乙地平均海拔比甲地高，则乙地的平均海拔为，由此得到答案． 【详解】解：∵甲地的平均海拔为，乙地平均海拔比甲地高， ∴乙地的平均海拔为．故选：B． 【变式3】在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图1表示的是的计算过程，则下图2表示的算式是_________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算．由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算． 【详解】解：由题意得白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数， 图中表示的计算过程为． 故答案为：． 题型03 加法运算律 【典例1】下列变形，运用加法运算律错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握交换律，结合律是解题的关键． 【详解】A. ，符合交换律，不符合题意；     B. ，符合交换律，不符合题意； C. ，不符合结合律，符合题意；     D. ，符合结合律，不符合题意； 故选C． 【变式1】在计算时通常转化成：，这个变形的依据是（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，由变形可知与3交换位置，所以在计算时通常转化成，这个变形的依据是：加法交换律． 【详解】解：在计算时通常转化成， 这个变形的依据是：加法交换律． 故选：A． 【变式2】下列变形中正确使用加法交换律的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据加法运算律逐一判断即可． 【详解】解：，利用的加括号法则，故选项A不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，利用的是加法的交换律，故选项C符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 【变式3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法； 根据有理数的加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解：原式 . 题型04有理数的减法运算 【典例1】计算的结果是（     ） A． B．5 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的减法，根据减去一个数等于加上这个数的相反数，进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【变式1】点A、B在数轴上，且A与B的距离是5，如果点A对应的数为，那么点B所对应的数为______． 【答案】或3 【分析】此题考查了数轴，弄清题意是解本题的关键．根据题意，结合数轴，求出B对应的数即可． 【详解】解：如图，点A，B在数轴上，且A与B的距离是5，点A对应的数为，则点B所对应的数为或， 即点B对应的数为或3 故答案为：或3 【变式2】如图所示， (1)数轴上的点A、B、C、D表示的数分别是______、______、______、______； (2)A、B两点间的距离是______个单位长度； (3)A、D两点间的距离是______个单位长度． 【答案】(1)1；2.5；；；(2)1.5；(3)4 【分析】此题考查数轴上点与数的一一对应关系，以及在数轴上求两点之间的距离的方法． （1）根据在数轴上点与数的对应写出即可； （2）在数轴上，求两点之间的距离，用右边的点表示的数减去左边的点表示得数即可； （3）在数轴上，求两点之间的距离，用右边的点表示的数减去左边的点表示得数即可． 【详解】（1）解：由图可知：数轴上的点，，，表示的数分别是：1，2.5，，， 故答案为：1，2.5，，； （2）， 所以，两点间的距离是1.5个单位长度； 故答案为： 1.5； （3）， 所以，两点间的距离是4个单位长度． 故答案为：4． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12；(2) 【分析】本题考查了有理数的减法．先根据有理数的减法法则，将减法转化为加法，再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型05有理数减法的应用 【典例1】某地2023年元旦这天的最高气温是8℃，最低气温是，则这天的最高气温比最低气温高（    ） A．10℃ B． C．6℃ D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数减法的应用，用最高气温减去最低气温列式并求解是解答的关键． 【详解】解：这天的最高气温比最低气温高， 故选A． 【变式1】在体育课的立定跳远测试中，以2.00m为标准，若小明跳出了2.35m，可记作，则小亮跳出了1.65m，应记作（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正负数的应用，有理数减法，根据题意得，由可得结论 【详解】解，根据题意得， 故选：C 【变式2】“会当凌绝顶，一览众山小．”泰山，世界文化与自然双重遗产，有“五岳之首”和“天下第一山”之称．1月份的泰山，山顶的平均气温是，山脚的平均气温是，则山脚的平均气温与山顶的平均气温的温差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的减法，能够根据题意列出式子是解题的关键．根据题意列出式子再进行计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 【变式3】某天某港口最高水位为1m，最低水位为m，该天最高水位与最低水位的差是（    ） A．1m B．m C．3m D．m 【答案】C 【分析】本题考查有理数的减法运算．根据最高水位为1m，最低水位为m即可求出差值． 【详解】解：最高水位为1m，最低水位为m 该天最高水位与最低水位的差是m． 故选：C． 题型06 有理数的加减混合运算 【典例1】计算下列各式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握相关运算法则及运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加法法则及运算律进行计算即可； （2）利用有理数的加法法则及运算律进行计算即可； （3）利用有理数的加法法则及运算律进行计算即可； （4）利用有理数的加法法则及运算律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 题型07 有理数加减混合运算的实际应用 【典例1】某销售教辅材料的商家记录了6天以来每天的盈亏情况，并用“”表示盈利，“”表示亏损，他记录的表格如下： 天数/天 盈亏情况/元 1 2 3 4 5 6 下列关于盈亏说法正确的是（    ） A．6天以来亏损了4元 B．6天以来亏损了2元 C．6天以来盈利了12元 D．6天以来盈利了6元 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减的运用，根据题意列式计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意得： ， 故6天以来亏损了4元， 故选：A． 【变式1】小明在一条东西向的跑道上先向东走了米，又向西走了米，规定向东为正，向西为负．这一过程在数轴上如图所示，则小明现在的位置A表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反意义的量，在数轴上表示有理数，有理数的加减运算等知识．熟练掌握相反意义的量，在数轴上表示有理数，有理数的加减运算是解题的关键． 由题意知，，进而可得A表示的数为． 【详解】解：由题意知，， ∴A表示的数为， 故选：B． 【变式2】一辆公交车上原有13人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为正，下车人数记为负，单位：人）；，；，；，．此时公交车上有________人． 【答案】10 【分析】本题考查正、负数的实际应用，有理数加减混合运算的实际应用，求出13人与所有上车下车人数的和，即可求解． 【详解】解： （人）， 故答案为：10． 【变式3】某校六年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 0 1 2 回答下面问题： (1)这10筐白萝卜，第8筐白萝卜实际质量为多少千克． (2)以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ (3)若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？ 【答案】(1)千克；(2)不足千克；(3)元 【分析】本题考查了有理数在实际中的应用，有理数的混合运算．解题的关键在于熟练掌握负数的含义并正确的运算． （1）根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解，然后作答即可； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：千克， 答：第8筐白萝卜实际质量为千克． （2）解：千克， 答：10筐白萝卜总计不足千克． （3）元， 答：售出这筐白萝卜可得元． 1．下列计算正确的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，绝对值的意义，根据有理数的混合运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意． 故选∶D． 2．上海某天的最高气温为，最低气温为，则这一天的最高气温与最低气温的差为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的减法运算．用最高气温减去最低气温即可得出结果． 【详解】解：； 故选：C． 3．某一天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算．熟练掌握上升下降意义，加法运算法则是解题关键． 根据题意，中午气温升高，使用加法计算即可． 【详解】∵中午气温比早晨的气温上升了， ∴， ∴中午的气温是． 故选：A． 4．如图，数轴上三个不同的点A，B，P分别表示实数a，b，，则下列关于数轴原点位置的描述正确的是（    ）    A．原点在点A的左侧 B．原点在A，B两点之间 C．原点在B，P两点之间 D．原点在点P的右侧 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的特征，有理数的加减法，熟练掌握“正数在原点右侧，负数在原点左侧”是解题的关键． 【详解】解：A、原点在点A的左侧时，，符合题意； B、原点在A，B两点之间时，则，不符合题意； C、 原点在B，P两点之间，则，不符合题意； D、 原点在点P的右侧，则，不符合题意； 故选A． 5．有一只蜗牛从数轴的原点出发，先向左（负方向）爬行9个单位长度，再向右爬行3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，有理数与数轴，根据向左移动为减，向右移动为加可知上述过程为，再根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，用算式表示上述过程与结果为， 故选：A． 6．某次数学测试的平均成绩是75分，小王得了80分，记作分，小李的成绩记作分，表示得了（　　 ）分． A．63 B．67 C．72 D．83 【答案】B 【分析】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义．由正负数的概念可计算． 【详解】解：平均成绩是75分，小王得了80分，记作分，小李的成绩记作分， 则 即小李得了67分， 故选：B． 7．2024年，第33届夏季奥林匹克运动会将在法国巴黎举行．如图，将5个城市的国际标准时间(单位：时)在数轴上表示，那么开幕式的巴黎时间7月26日19时30分对应的是（　 ） A．纽约时间7月26日14时30分 B．伦敦时间7月26日18时30分 C．北京时间7月27日3时30分 D．汉城时间7月26日3时30分 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，以及有理数的加法和减法，根据数轴可以求得每个地方与巴黎的时间差，据此求得每个地方的时间，从而进行判断．正确理解数轴表示的时间差是关键． 【详解】解： A、纽约时间为：7月26日19时30分时7月26日13时30分，选项错误，不符合题意； B、伦敦时间为：7月26日19时30分时7月26日18时30分，选项正确，符合题意； C、北京时间为：7月26日19时30分时7月27日2时30分，选项错误，不符合题意； D、汉城时间为：7月26日19时30分时7月27日3时30分，选项错误，不符合题意． 故选：B． 8．下列运算错误的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减法，掌握相关的运算性质是解题的关键． 根据有理数的加减法则对各选项依次计算判断即可． 【详解】A．，原式计算错误，故此选项符合题意； B．，原式计算正确，故此选项不符合题意； C．，原式计算正确，故此选项的计算正确； D．，故此选项不符合题意； 故选：A． 9．水位下降4厘米，又上升8厘米，那么现在的水位比原水位（    ）. A．上升3厘米 B．下降3厘米 C．上升4厘米 D．下降4厘米 【答案】C 【分析】本题考查了正负数表示相反意义的量，有理数的加法，上升为正，则下降为负，由题意列出式子，计算即可． 【详解】解：上升为正，则下降为负， 由题意得：， 故那么现在的水位比原水位上升4厘米， 故选：C． 10．将写成省略加号后的形式是(　　 ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对式子进行化简，关键是正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反． 注意：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即可把减法统一成加法．省略加号时，注意符号变化法则：得得得得． 【详解】解：原式 故选：A． 11．如果，，，则下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的大小比较，先根据a，b的正负，结合判断出b比a的绝对值大，进而在数轴上表示出各数，利用数轴比较大小即可． 【详解】解：，， a为正数，b为负数， ， b比a的绝对值大， a，b，，在数轴上的位置如图所示： 由数轴可知，， 故选D． 12．下列语句叙述正确的是（    ） A．对于任意有理数，若，则 B．对于任意有理数，若，则 C．对于任意有理数，若，则 D．两个有理数的和为正数，这两个数一定为正数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法法则，解题关键是熟记法则，逐项判断即可． 【详解】解：A. 对于任意有理数，若，则，符合题意； B. 对于任意有理数，若，则或，不符合题意； C. 对于任意有理数，若，若，则，不符合题意； D. 两个有理数的和为正数，这两个数可能都为正数也可能一正一负，且正数的绝对值较大，不符合题意； 故选：A． 13．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握加法法则是解题关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14．点在数轴上表示的数是，从点出发，沿数轴向右平移7个单位长度到达点，则点表示的数是________． 【答案】4 【分析】本题考查的是数轴，有理数加法，熟练掌握数轴上各点的分布特点是解题的关键．根据题意可知，点在数轴上表示的数是，从点出发，沿数轴向右平移7个单位长度到达点，因此点表示的数是：． 【详解】解：点在数轴上表示的数是，从点出发，沿数轴向右平移7个单位长度到达点， 点表示的数是：， 故答案为：4． 15．若a是最小的正整数，b是最大的负整数，c的绝对值为3，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，先确定字母的值，再运算即可． 【详解】因为a是最小的正整数，b是最大的负整数，c的绝对值为3， 所以，， ， 故答案为：． 16．在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动．若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，第30秒时，点在数轴上所对应的数是________． 【答案】2 【分析】本题考查的是有理数的加减运算应用，理解题意，先列式，再计算即可． 【详解】解：∵， 由题意得：第30秒对应的数为： ， 故答案为：2． 17．小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品．已知每份订单的配送费为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元．如果小宇在购买下表中的所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐的总费用最低可为________元． 菜品 单价（含包装费） 数量 水煮牛肉（小） 30元 1 醋溜土豆丝（小） 12元 1 豉汁排骨（小） 30元 1 手撕包菜（小） 12元 1 米饭 3元 2 【答案】54 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据满3元减元，满元减元，满元减元，即可得到结论． 【详解】解：小宇应采取的订单方式是一份，一份， 所以点餐总费用最低可为元， 答：他点餐总费用最低可为元． 故答案为：． 18．（1）； （2） ； （3） ； （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用绝对值的性质及有理数的加减法则计算即可； （3）利用有理数的加减法则计算即可； （4）利用有理数的加减法则计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 19．计算题 (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握加法交换律和加法结合律进行计算是解答本题的关键． （1）利用加法交换律和加法结合律进行计算； （2）化简绝对值，然后利用加法交换律和加法结合律进行计算； （3）利用加法交换律和加法结合律进行计算； （4）利用加法交换律和加法结合律进行计算． 【详解】（1）解： = = =； （2）解： = = = =； （3）解： = = =； （4）解： = = = 20．有理数a、b、c在数轴上的位置如图，    (1)比较a，b，，的大小，用“<”连接为_____； (2)判断正负，用“>”或“<”填空：______0；______0；______0． (3)化简：． 【答案】(1)；(2)>；<；<；(3)． 【分析】本题考查了相反数的概念，数轴上点的大小关系，有理数的加减运算，绝对值的化简； （1）根据，与原点的距离判断其相反数在数轴上的位置即可； （2）根据数轴上右边的数比左边的数大；同号两数相加，取相同的符号，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号， 计算求值即可； （3）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，结合（2）结论化简即可； 【详解】（1）解：∵离原点的距离要大于离原点的距离， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵，，， ∴的符号为负， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 综上可得：，，； （3）解：∵，，， ∴，，， ∴ ； 21．某商场9月24日销售衬衫100件，下表是该商场9月25日至9月30日六天的销售变化情况（注：正号表示销售量比前一天上升，负号表示销售量比前一天下降）： 日期 9月25日 9月26日 9月27日 9月28日 9月29日 9月30日 销售量/件 (1)这六天中哪一天销售衬衫的数量最多？哪一天最少？ (2)若每件衬衫的价格是80元，该商场这六天销售衬衫的总收入是多少元？ 【答案】(1)这六天中9月27日销售衬衫的数量最多，9月26日销售衬衫的数量最少． (2)该商场这六天销售衬衫的总收入是56480元． 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算法则，弄清有理数的加减混合运算的实质就是加法运算是解本题关键． （1）计算出每天的销售衬衫的数量，通过比较，就可以得出结果； （2）计算出6天的销售衬衫的总数量，然后与单价相乘，即可得出销售衬衫的总收入． 【详解】（1）解：9月25日：（件），9月26日：（件）， 9月27日：（件），9月28日：（件）， 9月29日：（件），9月30日：（件）， 答：这六天中9月27日销售衬衫的数量最多，9月26日销售衬衫的数量最少． （2） （元）， 答：该商场这六天销售衬衫的总收入是56480元． 22．列式计算： (1)的相反数与的绝对值的差． (2)某市一天上午的气温是，下午上升，半夜又下降，问半夜的气温是多少？ 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查的是相反数和绝对值以及有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． （1）根据相反数的概念、绝对值的性质计算； （2）根据题意列出算式，利用有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： 答：半夜的气温为． 23．台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响，一突击队乘汽车抢修供电线路，南记为正，则北记为负．某天自A地出发，所走路程（单位：千米）为：+8，﹣6，﹣2，+4，﹣5，+2 问：①最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么位置？ ②若每千米耗油1.5升，则今天共耗油多少升？ 【答案】①最后他们没有回到出发点，在A地的正南方向，距A地1千米；②40.5 【分析】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． （2）先算出总路程，再与每千米耗油1.5升相乘，即可作答． 【详解】解：①根据题意可得：南记为正，北记为负， 则距的距离为． 最后他们没有回到出发点，在地的正南方向，距地1千米． ②从地出发，汽车共走了； 故从地出发到收工时耗油量为（升． 24．我国某次军事演习中，一艘核潜艇的初始位置在海平面下，规定核潜艇上升记为“＋”，下降记为“－”，下面是这艘核潜艇在某段时间内的运动情况：．（单位：） (1)最后这艘核潜艇停留的位置在海平面下多少米？ (2)如果这艘核潜艇每上升或下降，核动力装置所提供的能量相当于汽油燃烧所产生的能量，那么在这艘核潜艇运动的这段时间内，核潜艇动力装置提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？ 【答案】(1)615；(2)5325 【分析】本题考查正负数的意义和有理数加法的实际应用．熟练掌握正负数的意义和有理数加法法则，是解题的关键． （1）将所有数据相加，根据最终结果确定核潜艇处在什么位置； （2）将所有数据的绝对值相加，再即可得解． 【详解】（1）解： ； 答：核潜艇处在海平面下米位置； （2）解： (升)； 答：在这一时段内核动力装置所提供的能量相当于升汽油燃烧所产生的能量． 25．十一国庆期间，俄罗斯特技飞行队在黄山湖公园特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如下表．请解答下列问题：（写出计算过程） 高度变化 记作 上升千米 千米 下降千米 千米 上升千米 千米 下降千米 千米 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下∶上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【答案】(1)此时这架飞机比起飞点高了千米；(2)第四个动作是下降，下降千米 【分析】本题考查了正负数的实际应用，以及有理数的运算在实际问题中的应用．注意计算的准确性． （１）计算即可求解； （２）计算第四个动作是下降，下降千米即可求解； 【详解】（1）解： ∴此时这架飞机比起飞点高了千米 （2）解： ∴第四个动作是下降，下降千米 26．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点用数表示，则 ①若，那么的值是_________． ②有最小值，最小值是_________； ③求的最小值． 【答案】(1)，；(2)①或；②；③ 【分析】本题考查绝对值的性质、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）①利用绝对值的定义可得或，即可求解；②由表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到的距离之和，根据两点间线段最短即可求解；③该式子表示数轴上点到、、、、的 距 离 之 和，根据两点之间线段最短和绝对值的意义可知：当时，原式有最小值，然后去取绝对值，利用求和公式计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：， 数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：， 故答案为：，； （2）①若，那么或， 解得：或， 故答案为：或； ②表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到的距离之和， 由两点间线段最短可知：当时，有最小值，最小值是， 故答案为：； ③的中间一项是， 当时，原式有最小值， 的最小值是． 27．数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析 【分析】本题考查的是加法运算的新定义，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据题干运算中的实例总结运算法则即可； （2）利用新定义先计算括号内的运算，再进一步的计算即可； （3）分三种情况归纳交换律，再举例说明即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 归纳（星加）运算的运算法则：两数进行（星加）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行（星加）运算，或任何数和0进行（星加）运算，都等于这个数的绝对值； （2）； （3）当同号时，，， ∴， 当异号时，， ∴， 当有1个为0，或两个都为0也满足， ∴新运算“”具有交换律； 如，． 28．阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】原式 ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 29．食堂要购进筐青萝卜，以每筐千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示，记录如表： 与标准质量的差（千克） 0 2 筐数 1 4 2 3 5 5 (1)筐萝卜中，最轻的一筐比最重的要轻多少？ (2)这筐青萝卜的实际重量与标准重量相比，是多了还是少了？差值是多少？ (3)这批青萝卜每千克售价为元，买进这筐青萝卜的实际总价钱需要多少元？ 【答案】(1)最轻的一筐比最重的要轻千克；(2)这筐青萝卜的实际重量与标准重量相比多了，多了千克；(3)买进这筐青萝卜的实际总价钱为元； 【分析】本题考查正负数及正负意义的应用： （1）根据表格中与标准质量差的最大值最小值之差即可得到答案； （2）利用正负数之和与0比较即可得到答案； （3）先求出总数量，乘以单价即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， （千克）， ∴最轻的一筐比最重的要轻千克； （2）解：由题意可得， （千克）， ∵， ∴这筐青萝卜的实际重量与标准重量相比多了，多了千克； （3）解：由（2）得， 这筐青萝卜的实际重量为： （千克）， ∵这批青萝卜每千克售价为元， ∴买进这筐青萝卜的实际总价钱为：（元）， ∴买进这筐青萝卜的实际总价钱为元． 30．某天下午，出租车司机小王的营运全是在东西走向的国庆大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午载客行车里程（单位：公里）如下：，，，，，，，，，，． (1)最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地多远？ (2)若汽车的耗油量为0.2L/km，则这天下午小王的车共耗油多少升？ (3)该市出租车按里程计费标准为：不超过3公里，收费9元，超过3公里的部分，按每公里2元收费，则这天下午小王前三次营运收入共多少元？ 【答案】(1)；(2)17升；(3)45元 【分析】此题考查了正数和负数，以及有理数加减法的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）把所有行车里程相加，再根据正负数的意义解答； （2）用0.2乘行车里程的绝对值的和，计算即可得解； （3）分别计算前三次的每一次收入，再相加即可． 【详解】（1）解：， 答：最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地； （2）解：（升） （3）解：第一次3公里，不超过3公里，收费为9元； 第二次10公里，超过3公里，收费为元； 第三次5公里，超过3公里，收费为元， ∴ 总共收入为：元， 答：这天下午小王前三次营运收入45元． ( 28 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$