第一章　特殊平行四边形课件2024-2025学年 北师大版数学 九年级上册

第一章　特殊平行四边形 小专题(二)　利用矩形的性质巧解折叠问题 类型一　利用矩形的性质巧求折叠中的角及线段问题 1 2 3 (1) ∵ 四边形ABCD是矩形,∴ ∠A=∠C=∠ADC=90°, AD∥BC.∴ ∠DBC=∠ADB=25°.由折叠的性质,可知∠BDC'=∠BDC=90°-∠DBC=65°,∴ ∠ADC'=∠BDC' -∠ADB=40°　 　　解决矩形的折叠问题时,要抓住折叠图形中线段和角的等量关系,在直角三角形中利用勾股定理列方程求线段的长. 1. 如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使点C落在点C'处,BC'交AD于点E. (1) 若∠DBC=25°,求∠ADC'的度数; (2) 若AB=4,AD=8,求△BDE的面积. (2) 由折叠的性质,可知∠CBD=∠EBD.∵ AD∥BC, ∴ ∠CBD=∠EDB.∴ ∠EBD=∠EDB.∴ BE=DE,即 △BDE是等腰三角形.设DE=x,则BE=x,AE=8-x.在 Rt△ABE中,由勾股定理,得AB2+AE2=BE2,即42+(8-x)2 =x2,解得x=5.∴ DE=5.∴ S△BDE=DE·AB=×5×4=10 1 2 3 2. 在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E,F分别在边AD,BC上,将矩形沿直线EF折叠,使点B的对应点B'落在边CD上,点A的对应点为A',连接BB'交EF于点O. (1) 如图①,当点B'与点D重合时,求证:△FEB'是等腰三角形; (1) 由折叠,可知∠B'FE=∠BFE.∵ 四边形ABCD是矩 形,∴ AD∥BC.∴ ∠B'EF=∠BFE.∴ ∠B'EF=∠B'FE. ∴ B'E=B'F.∴ △FEB'是等腰三角形 1 2 3 (2) 如图②,当DB'=2时,求OF的长. (2) ∵ 四边形ABCD是矩形,∴ CD=AB=6,∠C=90°.∵ DB' =2,∴ B'C=CD-DB'=6-2=4.∴ BB'== =4.由折叠,可知B'F=BF,EF垂直平分BB'.设B'F=BF=x,则 CF=8-x.在Rt△B'FC中,由勾股定理,可得CF2+B'C2=B'F2.∴ (8-x)2+42=x2,解得x=5.∴ BF=5.∵ S△BFB'=BB'·OF=BF·B'C,∴ OF=== 1 2 3 类型二　利用矩形的性质巧求折叠中四边形的形状 3. 综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. (1) 操作一:如图①,将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点B落在AD上的点E处,折痕为AF,把纸片展平,连接EF;操作二:如图②,将矩形纸片再次折叠,使点A与点E重合,得到折痕为GH,把纸片展平;操作三:如图③,连接BG,并把BG折到BC上的BG'处,得到折痕BM,把纸片展平,连接MG'.根据以上操作,直接写出图③中的值:　　　.  1 2 3 (2) 请判断图③中四边形BG'MG的形状,并说明理由. (2) 四边形BG'MG是菱形　理由:∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ AD∥BC.∴ ∠GMB=∠MBC.由折叠的性质,得∠GBM =∠MBC,BG=BG'.∴ ∠GBM=∠GMB.∴ GM=BG.∴ GM =BG'.∵ GM∥BG',∴ 四边形BG'MG是平行四边形.∵ GM =BG,∴ 四边形BG'MG是菱形. 1 2 3 $$第一章　特殊平行四边形 1　菱形的性质与判定 第2课时　菱形的判定 1. 下列平行四边形中,根据图中所标出的数据,不能判定是菱形的为 (　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图,在△ABC中,点D,E,F分别在BC,AC,AB上,DE∥AB,DF∥AC.添加下列一个条件,其中,能判定四边形AFDE为菱形的是 (　　) A. AB=AC B. 点D在∠BAC的平分线上 C. ∠A=90° D. D为BC的中点 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. (2023·深圳)如图,在▱ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段FE,要使四边形ECDF为菱形,则a的值为 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. (教材P7习题1.2第3题变式)如图,△ABC是等腰三角形(AB=AC),把它沿底边BC翻折后,得到△DBC,则四边形ABDC的形状为　　 　　,理由是 　　　 　　　　　. B 菱形 四边相等的四边形是菱形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. (2023·齐齐哈尔)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于点O.请添加一个条件:　　　 　,使四边形ABCD为菱形. 答案不唯一,如AD∥BC 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. (2023·沈阳)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是边BC上的中线,点E在DA的延长线上,连接BE,过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F,连接BF,CE.求证:四边形BECF是菱形. ∵ AB=AC,AD是边BC上的中线,∴ AD垂直平分BC,BD =CD.∴ BE=CE,BF=CF.∵ CF∥BE,∴ ∠BED=∠CFD, ∠EBD=∠FCD.∵ BD=CD,∴ △EBD≌△FCD.∴ BE= CF.∴ BE=BF=CF=CE.∴ 四边形BECF是菱形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. (教材P6例2变式)(2023·永州)如图,四边形ABCD是平行四边形,其对角线AC,BD相交于点O,OA=3,BD=8,AB=5. (1) △AOB是直角三角形吗?请说明理由. (2) 求证:四边形ABCD是菱形. (1) △AOB是直角三角形　理由:∵ 四边形ABCD是平 行四边形,BD=8,∴ OB=OD=BD=4.∵ OA=3,OB=4,AB =5,∴ OA2+OB2=AB2.∴ △AOB是直角三角形,且∠AOB=90°.　 (2) 由(1),可知∠AOB=90°,∴ AC⊥BD.又∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ 四边形ABCD是菱形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 在如图①所示的▱ABCD上作一个菱形.甲、乙两人的作法如下:如图②,甲分别以点A,B为圆心,AB长为半径画弧,交AD于点M,交BC于点N,连接MN,则四边形ABNM为菱形;如图③,乙以点A为圆心,AB长为半径画弧,交AD于点E,连接BE,作BE的垂直平分线,交BC于点H,连接EH,则四边形ABHE为菱形.根据两人的作法可判断 (　　) A. 甲正确,乙错误 B. 乙正确,甲错误 C. 甲、乙均正确 D. 甲、乙均错误 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 如图,在△ABC中,D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF.给出下列条件:① BE⊥EC;② BE=BF;③ AB=AC;④ BF∥EC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,这个条件可以是　　 　　(填一个序号即可). ②(或③) 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. (2023·湘西)如图,四边形ABCD是平行四边形,BM∥DN,BM,DN分别交对角线AC于点M,N,连接MD,BN. (1) 求证:∠DMN=∠BNM; (1) 连接BD,交AC于点O.∵ 四边形ABCD是平行四 边形,∴ OB=OD.∵ BM∥DN,∴ ∠MBO=∠NDO. 又∵ ∠BOM=∠DON,∴ △BOM≌△DON.∴ BM =DN.∴ 四边形BMDN是平行四边形.∴ BN∥DM. ∴ ∠DMN=∠BNM　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 若∠BAC=∠DAC,求证:四边形BMDN是菱形. (2) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ BC∥AD. ∴ ∠BCA=∠DAC.∵ ∠BAC=∠DAC,∴ ∠BAC =∠BCA.∴ AB=BC.∴ 四边形ABCD是菱形.∴ AC⊥BD.∴ MN⊥BD.由(1),可知四边形BMDN 是平行四边形,∴ 四边形BMDN是菱形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 如图,在▱ABCD和▱BFDE中,∠A=∠F,AD与BE交于点M,BC与DF交于点N. (1) 求证:四边形BNDM是平行四边形. (1) ∵ 四边形ABCD和四边形BFDE都是平行四边形, ∴ BC∥AD,BE∥DF.∴ 四边形BNDM是平行四边形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 当AB与BF满足什么数量关系时,四边形BNDM是菱形?请说明理由. (2) 当AB=BF时,四边形BNDM是菱形　 理由:∵ 易得∠A+∠ABC=180°,∠EBF+∠F=180°, ∠A=∠F,∴ ∠ABC=∠EBF.∴ ∠ABC-∠EBC=∠EBF -∠EBC,即∠ABM=∠FBN.在△ABM和△FBN中,∵ ∠ABM=∠FBN,AB=FB,∠A=∠F,∴ △ABM≌△FBN. ∴ BM=BN.又∵ 四边形BNDM是平行四边形,∴ 四边 形BNDM是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第一章　特殊平行四边形 2　矩形的性质与判定 第3课时　矩形的性质与判定的应用 1. 如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=55°,则∠OCD的度数为 (　　) A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°　　 2. 如图,O为菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.若AC=6, BD=8,则线段OE的长为 (　　) A. 3 B. C. 5 D. 6 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 3. 如图,在矩形ABCD中,AE=AF,过点E作EH⊥EF,交CD于点H,过点F作FG⊥EF,交BC于点G,连接GH.当AD,AB满足　　　　时,四边形EFGH为矩形.  　 　 4. 如图,在▱ABCD中,AC⊥BC,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,则四边形ACED是　　　　形.连接AE,若AB=5,则AE的长为　　　　.  AD=AB 矩 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 如图,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,DE⊥BC,DB平分∠ADC.有下列结论:① BC=DC;② 四边形ABED是矩形;③ E是BC的中点;④ 若AD= 2,CD=5,则AB=4.其中,正确的有　　　　(填序号). ①②④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. (教材P19习题1.6第2题变式)如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°. (1) 求证:四边形ABCD是矩形. (1) ∵ AO=CO,BO=DO,∴ 四边形ABCD是平行四边形. ∴ ∠ABC=∠ADC.∵ ∠ABC+∠ADC=180°,∴ ∠ABC =∠ADC=90°.∴ 四边形ABCD是矩形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 作DE⊥AC,垂足为E,延长DE交BC于点F.若∠ADF∶∠FDC=2∶1,求∠BDF的度数. (2) 由(1),得∠ADC=90°,四边形ABCD是矩形.∴ AC=BD. ∵ ∠ADF∶∠FDC=2∶1,∴ 易得∠FDC=30°.∵ DE⊥ AC,∴ ∠DEC=90°.∴ ∠DCO=90°-30°=60°.∵ AO= CO,BO=DO,AC=BD,∴ OD=OC.∴ ∠ODC=∠DCO=60°. ∴ ∠BDF=∠ODC-∠FDC=60°-30°=30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. (2023·大庆)如图,在▱ABCD中,E为线段CD的中点,连接AC,AE,延长AE, BC交于点F,连接DF,∠ACF=90°. (1) 求证:四边形ACFD是矩形; (1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC.∴ ∠ADE= ∠FCE,∠DAE=∠CFE.∵ E为线段CD的中点,∴ DE=CE. ∴ △ADE≌△FCE.∴ AE=FE.∴ 四边形ACFD是平行四 边形.∵ ∠ACF=90°,∴ 四边形ACFD是矩形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 若CD=13,CF=5,求四边形ABCE的面积. (2) ∵ 四边形ACFD是矩形,∴ ∠CFD=90°,AD=CF=5,AC= DF.∵ CD=13,CF=5,∴ DF===12.∴ AC =12.∴ 易得△ADE的面积=△CEF的面积=△ACF的面积= ×5×12=15,▱ABCD的面积=AD·AC=5×12=60.∴ 四边 形ABCE的面积=▱ABCD的面积-△ADE的面积=60-15=45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. (2023·丹东)如图,在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,∠ABD=60°,AE ⊥BD,垂足为E,F是OC的中点,连接EF.若EF=2,则矩形ABCD的周长是 (　　) A. 16 B. 8+4 C. 4+8 D. 8+8 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 如图,P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥ BC,分别交AB,CD于点E,F,连接PB,PD.若AE=2,PF=8,则 图中涂色部分的面积为　　　　. 16 解析:如图,过点P作PM⊥AD于点M,延长MP,交BC于点N.易得四边形AEPM、四边形DFPM、四边形CFPN、四边形BEPN都是矩形,∴ AE= MP=DF=2,S△AMP=S△AEP,S△PBE=S△PBN,S△PFD=S△PDM,S△PFC=S△PCN.∵ 四边形ABCD是矩形,∴ S△ADC=S△ABC.∴ 易得S△PFD= S△PBE=×2×8=8.∴ S涂色部分=8+8=16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. (2022·德阳)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2cm,BD与AC交于点O,过点D作BC的垂线,交BC的延长线于点H.点F从点B出发,沿BD方向以2cm/s的速度向点D匀速运动,同时,点E从点H出发,沿HD方向以1cm/s的速度向点D匀速运动.设点E,F的运动时间为ts,且0<t<3,过点F作FG⊥BC于点G,连接EF. (1) 求证:四边形EFGH是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (1) ∵ EH⊥BC,FG⊥BC,∴ ∠EHG=∠FGB=90°,EH∥FG.由题意,知BF=2tcm,EH=tcm.∵ 在菱形ABCD中,∠ABC=60°,∴ ∠CBD=∠ABC =30°.∴ FG=BF=tcm.∴ EH=FG.∴ 四边形EFGH是平行四边形.∵ ∠EHG=90°,∴ 四边形EFGH是矩形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 连接FC,EC,在点F,E运动的过程中,△BFC与△DCE是否能够全等?若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由. (2) △BFC与△DCE能够全等　 ∵ 在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2cm,∴ ∠ADC =∠ABC=60°,BC=CD=AB=2cm,AB∥CD.∴ ∠CBD =∠CDB=30°,∠DCH=∠ABC=60°.∵ ∠CHD=90°, ∴ ∠CDH=90°-60°=30°=∠CBF.∴ 在Rt△CDH中,CH=CD=cm. ∴ DH===3(cm).∵ BF=2tcm,EH=tcm,∴ DE =(3-t)cm.∵ ∠CBF=∠CDE=30°,CB=CD,∴ 易得当△BFC与△DEC全 等时,BF=DE.∴ 2t=3-t,解得t=1.∴ t的值为1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=5,点E,P分别在边AD,BC上,且DE=BP =1,AP,BE交于点H,CE,DP交于点F. (1) 判断△BEC的形状,并说明理由. (1) △BEC是直角三角形　理由:∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ADC=∠ABP=90°,AD=BC=5,AB=CD=2.在Rt△CDE 中,由勾股定理,得CE===.同理,可得BE=2. ∵ CE2+BE2=25,BC2=52=25,∴ CE2+BE2=BC2.∴ △BEC是直角三角形,且∠BEC=90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 四边形EFPH是什么特殊四边形?请给出证明. (2) 四边形EFPH是矩形　∵ 四边形ABCD是矩形,∴ AD =BC,AD∥BC.∵ DE=BP,∴ 四边形DEBP是平行四边形. ∴ BE∥DP.∵ AD=BC,DE=BP,∴ AD-DE=BC-BP,即AE= CP.∴ 四边形AECP是平行四边形.∴ AP∥CE.∴ 四边形EFPH是平行四边形.由(1),知∠BEC=90°,∴ 四边形EFPH是矩形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (3) 求四边形EFPH的面积. (3) ∵ 四边形EFPH是矩形,∴ ∠EFP=90°.∴ ∠CFP= 90°.∵ 四边形ABCD是矩形,∴ ∠DCB=90°.∴ S△CPD =PD·CF=PC·CD.∵ BC=5,BP=1,∴ PC=4.又∵ CD=2, ∴ PD==2.∴ 易得CF=.∴ EF=CE-CF=-=.∵ 在Rt△PFC中,由勾股定理,得PF==,∴ S四边形EFPH=EF·PF = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第一章　特殊平行四边形 小专题(一)　与正方形有关的四个常见模型 模型一　正方形中的“十字架”模型 1. 如图,在正方形ABCD中,E为边BC的中点,F,G分别为边AB,CD上的两个动点,FG⊥AE于点H.求证:FG=AE. 1 2 3 4 5 如图,过点F作FM⊥CD于点M.∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AB∥CD,AB=BC,∠B=∠C=90°.∴ ∠AEB+∠BAE= 90°.∵ FG⊥AE,∴ 易得∠AFH+∠BAE=90°.∴ ∠AFH= ∠AEB.∵ AB∥CD,∴ ∠AFH=∠FGM.∴ ∠FGM=∠AEB. ∵ FM⊥CD,∴ ∠FMG=∠FMC=90°.∵ ∠B=∠C=90°, ∴ 四边形BCMF是矩形.∴ FM=BC.∴ FM=AB.在△FGM和 △AEB中,∴ △FGM≌△AEB.∴ FG =AE 2. 如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,连接DE,过点A作AG⊥DE,交ED于点F,交CD于点G,连接BF.求证: (1) △ADG≌△DCE; (1) ∵ 四边形ABCD是正方形,∴ ∠ADG=∠C=90°,AD =DC.∴ ∠CDE+∠ADF=90°.∵ AG⊥DE,∴ ∠DAG+ ∠ADF=90°.∴ ∠DAG=∠CDE.在△ADG和△DCE中, ∵ ∠ADG=∠C,AD=DC,∠DAG=∠CDE,∴ △ADG≌ △DCE　 1 2 3 4 5 (2) AB=BF. (2) 如图,延长DE交AB的延长线于点H.∵ E是BC的中点, ∴ BE=CE.∵ 四边形ABCD是正方形,∴ AB=CD,∠ABC =∠C=90°.∴ ∠C=90°=∠HBE.又∵ ∠DEC=∠HEB, ∴ △DCE≌△HBE.∴ BH=CD=AB,即B是AH的中点.又 ∵ AG⊥DE,即∠AFH=90°,∴ 在Rt△AFH中,BF=AH= AB,即AB=BF 1 2 3 4 5 模型二　正方形中的三垂线全等模型 3. 如图①,在正方形ABCD中,∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F. (1) 若E是边BC上的中点,求证:AE=EF. (1) 如图①,取AB的中点H,连接EH.∵ 四边形ABCD是 正方形,∠AEF=90°,∴ 易得∠1+∠AEB=∠2+∠AEB =90°.∴ ∠1=∠2.∵ H为AB的中点,E为BC的中点,∴ 易得AH=BH=BE=EC,∠BHE=45°.又∵ 易得∠FCG= 45°,∴ ∠AHE=∠ECF=135°.在△AHE和△ECF中, ∴ △AHE≌△ECF.∴ AE=EF　 1 2 3 4 5 (2) 如图②,若E是BC的延长线上(除点C外)的任意一点,其他条件不变,AE =EF是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由. (2) 成立　如图②,延长BA到点M,使AM=EC,连接EM. ∵ ∠AEF=90°,∴ ∠FEG+∠AEB=90°.∵ ∠BAE+ ∠AEB=90°,∴ ∠BAE=∠FEG.∴ ∠MAE=∠CEF. ∵ AB=BC,∴ AB+AM=BC+CE,即BM=BE.∵ ∠MBE =90°,∴ ∠M=45°.由(1),知∠FCE=45°,∴ ∠M= ∠FCE.在△AME和△ECF中,∴ △AME≌△ECF.∴ AE=EF 1 2 3 4 5 (3) 如图③,若E是边BC上的任意一点,在边AB上是否存在点M,使得四边形DMEF是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由. (3) 存在　如图③,过点D作DM⊥AE,DM与AB交于点M,连 接ME,DF.∵ ∠AEF=90°,∴ EF⊥AE,∴ DM∥EF.∵ 四边 形ABCD是正方形,∴ AD=BA,∠BAD=∠B=90°.∵ 易得∠ADM+∠EAD=∠BAE+∠EAD=90°,∴ ∠ADM=∠BAE. 在△ADM和△BAE中,∴ △ADM≌△BAE. ∴ DM=AE.∵ 易得AE=EF,∴DM=EF.又∵ DM∥EF,∴ 四边 形DMEF是平行四边形 1 2 3 4 5 模型三　正方形中的半角模型 4. 如图,正方形ABCD的边长为3,E,F分别是边AB,BC上的点,且∠EDF= 45°. (1) 求证:EF=AE+CF; 1 2 3 4 5 (1) 如图,延长BC至点H,使CH=AE,连接DH.∵ 四边形ABCD是正方形,∴ AD=CD,∠A=∠DCB=∠ADC=90°.∴ ∠A=90°=∠DCH.∵ AE=CH,∴ △DAE≌△DCH.∴ DE=DH,∠ADE=∠CDH.∵ ∠ADC=90°,∠EDF= 45°,∴ ∠ADE+∠FDC=45°.∴ ∠FDC+∠CDH=45°,即∠HDF=45°. ∴ ∠EDF=∠HDF=45°.在△EDF和△HDF中,∴ △EDF≌△HDF.∴ EF=HF.∵ HF=CF+CH=CF+AE, ∴ EF=AE+CF　 1 2 3 4 5 (2) 当AE=1时,求EF的长. (2) 设EF=x,则FH=x.∵ 正方形ABCD的边长为3,∴ AB= BC=3.∵ AE=1,∴ BE=2,CH=1.∴ FC=x-1.∴ BF=BC-CF =3-(x-1)=4-x.在Rt△BEF中,由勾股定理,得BE2+BF2=EF2, ∴ 22+(4-x)2=x2,解得x=.∴ EF= 1 2 3 4 5 模型四　正方形中的“手拉手”模型 5. 如图①,E为正方形ABCD内的一点,∠AEB=90°,将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°,得到△CBE'(点A的对应点为C),延长AE交CE'于点F,连接DE. (1) 试判断四边形BE'FE的形状,并说明理由; (1) 四边形BE'FE是正方形　理由:∵ △CBE'是由△ABE 绕点B按顺时针方向旋转90°得到的,∴ ∠CE'B=∠AEB= 90°,∠EBE'=90°,BE=BE'.又∵ ∠BEF+∠AEB=180°, ∴ ∠BEF=90°.∴ 四边形BE'FE是矩形.∵ BE=BE',∴ 四 边形BE'FE是正方形. 1 2 3 4 5 (2) 如图②,若AD=DE,试猜想线段CF与FE'的数量关系,并证明. (2) CF=FE'　如图,过点D作DH⊥AE于点H,则∠DHA= 90°,∠DAH+∠ADH=90°.∵ DA=DE,∴ AH=EH=AE. ∵ 四边形ABCD是正方形,∴ AB=DA,∠DAB=90°.∴ ∠DAH+∠BAE=90°.∴ ∠ADH=∠BAE.在△ADH和 △BAE中,∴ △ADH≌△BAE. ∴ AH=BE.由旋转的性质,可知AE=CE'.由(1),可知四边 形BE'FE是正方形,∴ BE=E'F.∴ E'F=AH=AE=CE'. ∴ CF=FE' 1 2 3 4 5 $$第一章　特殊平行四边形 小专题(三)　特殊四边形中的最值、定值问题 类型一　最值问题 1. 如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,E是AD的中点,P是对角线BD上的一个动点,则PA+PE的最小值是 (　　) A. 2 B. 3 C. D. -1 1 2 3 4 5 C 6 2. 如图,在边长为6的正方形ABCD中,M为对角线BD上一动点, ME⊥BC于点E,MF⊥CD于点F,则EF长的最小值为　　　　.  3 解析:如图,连接MC.∵ 四边形ABCD是正方形,∴ ∠BCD= 90°,∠DBC=45°.∵ ME⊥BC于点E,MF⊥CD于点F,∴ 易得四边形MECF为矩形.∴ EF=MC.∴ 当MC⊥BD时,MC的长取得最小值,即EF的长取得最小值.此时易得△BCM是等腰直角三角形.∵ 正方形的边长为6,∴ 易得MC=3.∴ EF长的最小值为3. 1 2 3 4 5 6 3. 如图,在矩形ADBC中,AC=4,BC=2,点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,求点B到原点O的最大距离. 如图,取AC的中点E,连接OE,BE.∵ OB≤OE+BE,∴ 当O, B,E三点共线时,点B到原点O的距离最大.∵ 易得△AOC 是直角三角形,AC=4,E是AC的中点,∴ CE=OE=AC=2. ∵ 四边形ADBC是矩形,∴ ∠BCA=90°.在Rt△BCE中, 由勾股定理,得BE===2.∴ 点B 到原点O的最大距离是OE+BE=2+2 1 2 3 4 5 6 类型二　定值问题 4. 如图,在菱形ABCD中,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥AB于点E, PF⊥BC于点F.若菱形ABCD的周长为24,面积为24,则PE+PF的值为 (　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B 1 2 3 4 5 6 5. 如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥ AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为　　　　. 1 2 3 4 5 6 6. 如图,正方形ABCD的边长为1,E为对角线BD上一点,且BE=BC,P为线段CE上一动点,且PM⊥BE于点M,PN⊥BC于点N,求PM+PN的值. 如图,连接BP,过点E作EF⊥BC于点F,则∠EFB=90°.由 正方形的性质,可知∠EBF=45°,∴ △BEF为等腰直角三 角形.∵ 正方形ABCD的边长为1,∴ BE=BC=1.由勾股定理, 易得BF=EF=.∵ PM⊥BE,PN⊥BC,S△BPE+S△BPC=S△BEC, ∴ BE·PM+BC·PN=BC·EF.∵ BE=BC=1,∴ PM+PN=EF = 1 2 3 4 5 6 $$第一章　特殊平行四边形 2　矩形的性质与判定 第2课时　矩形的判定 1. 如图,建筑公司验收门框时要求是矩形.在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列条件中,不能判定▱ABCD为矩形的是 (　　) A. AD⊥CD B. OA=OB C. AC=BD D. OA=OC D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,点F在边BC的延长线上,添加的下列条件中,不能证明四边形AEFD是矩形的为 (　　) A. EF=AD B. ∠AEB=∠DFC C. BE=CF D. ∠DAE=∠AEF D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,点F,G在边BC上,且DF∥EG.只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形,这个条件可以是 　　 　　　(写出一个即可).  　 　 4. 如图,木工师傅要做一个矩形木框,做好以后测得AB=CD=80cm,AD= BC=60cm,对角线AC的长为1m,则这个木框　　　　(填“合格”或“不合格”),判断的依据是　　　　　　 　　　　　　　　　　. 答案不唯一,如DG=EF 合格 有一个角是直角的平行四边形为矩形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 如图,E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D.当OA与OB满足　　 　　时,四边形OCED是矩形,理由是 　　　　　　　 　　　　　. OA⊥OB 三个角是直角的四边形是矩形 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. (教材P15例2变式)如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,对角线AC, BD相交于点O.若四边形AEBO是菱形,求证:四边形ABCD是矩形. ∵ AB=CD,AB∥CD,∴ 四边形ABCD是平行四边形. ∴ OA=AC,OB=BD.∵ 四边形AEBO是菱形,∴ OA =OB.∴ AC=BD.∴ 四边形ABCD是矩形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. (2023·内江)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF ∥BC交CE的延长线于点F,连接BF. (1) 求证:AF=BD; (2) 若AB=AC,求证:四边形ADBF是矩形. (1) ∵ AF∥BC,∴ ∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE.又∵ E 是AD的中点,∴ AE=DE.∴ △AEF≌△DEC.∴ AF=DC.又 ∵ D是BC的中点,∴ BD=CD.∴ AF=BD　 (2) ∵ AF=BD,AF∥BD,∴ 四边形ADBF是平行四边形.∵ AB=AC,D是BC的中点,∴ AD⊥BC.∴ ∠ADB=90°.∴ 四边形ADBF是矩形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 下列四边形ABCD中,AC和BD是对角线,根据图中提供的信息,四边形ABCD不一定为矩形的是 (　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 将两块全等的含30°角的直角三角尺按如图①所示的方式摆放在一起,设较短直角边的长为1.如图②,将Rt△BCD沿射线BD的方向平移,得到 Rt△B'C'D',连接BC',AD'.在平移的过程中,当点B的移动距离为　　 时, 四边形ABC'D'为矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. (2023·新疆)如图,AD和BC相交于点O,∠ABO=∠DCO=90°,OB=OC, E,F分别是AO,DO的中点. (1) 求证:OE=OF; (1) ∵ ∠ABO=∠DCO=90°,∴ AB∥CD.∴ ∠A=∠D. 在△AOB和△DOC中,∴ △AOB≌ △DOC.∴ AO=DO.∵ E,F分别是AO,DO的中点,∴ OE =OA,OF=OD.∴ OE=OF　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 当∠A=30°时,求证:四边形BECF是矩形. (2) ∵ OB=OC,OE=OF,∴ 四边形BECF是平行四边形. ∵ ∠A=30°,∠ABO=90°,∴ OB=OA=OE.∴ 2OB= 2OE,即BC=EF.∴ 四边形BECF是矩形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 如图,在△ABC中,O是边AC上的一个动点,D是BC的延长线上一点,过点O作直线EF∥BC,分别与∠ACB,∠ACD的平分线交于点E,F,连接AE,AF. (1) 若CE=8,CF=6,求OC的长. (1) ∵ EF与∠ACB的平分线交于点E,与∠ACD的平分线 交于点F,∴ ∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF.∵ EF∥BC, ∴ ∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF.∴ ∠OEC=∠OCE, ∠OFC=∠OCF.∴ OE=OC,OF=OC.∴ OC=OE=OF=EF.∵ ∠OCE+ ∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°,∴ ∠ECF=∠OCE+∠OCF=×180°= 90°.在Rt△CEF中,由勾股定理,得EF==10.∴ OC=EF=5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?请说明理由. (2) 当点O在边AC上运动到边AC的中点处时,四边形 AECF是矩形　理由:当点O在边AC上运动到AC的中 点处时,OA=OC.∵ OE=OF,∴ 四边形AECF是平行四 边形.由(1),知∠ECF=90°,∴ 四边形AECF是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第一章　特殊平行四边形 1　菱形的性质与判定 第1课时　菱形的性质 1. (2022·河池)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.下列结论中,错误的是 (　　) A. AB=AD B. AC⊥BD C. AC=BD D. ∠DAC=∠BAC　　 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,BA=BE,则∠AED的度数为 (　　) A. 95° B. 105° C. 100° D. 110° 3. (2022·河南)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为 (　　) A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点D在x轴上,边BC在y轴上.若点A的坐标为(4,5),则点C的坐标为　　　　.  5. 如图,菱形ABCD的周长为52,对角线AC的长为24,则△AOD的面积为 　　　　. 　　 6. (2023·丽水)如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为　　. (0,-3) 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. (教材P4习题1.1第2题变式)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AB,AO的中点,连接EF.若EF=2,AC=6,求菱形ABCD的周长. ∵ E,F分别是AB,AO的中点,∴ BO=2EF=4.∵ 四边形 ABCD是菱形,∴ AC⊥BD,AO=AC=3.∴ ∠AOB=90°. 在Rt△AOB中,由勾股定理,得AB==5. ∴ 菱形ABCD的周长为4AB=20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. (2023·舟山)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连接EF. (1) 求证:AE=AF; (1) ∵ 四边形ABCD是菱形,∴ AB=AD,∠B=∠D. 又∵ AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,∴ ∠AEB= ∠AFD=90°.在△ABE和△ADF中, ∴ △ABE≌△ADF.∴ AE=AF　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若∠B=60°,求∠AEF的度数. (2) ∵ 四边形ABCD是菱形,∴ ∠B+∠BAD=180°. ∵ ∠B=60°,∴ ∠BAD=120°.又∵ ∠AEB=90°, ∠B=60°,∴ ∠BAE=180°-∠AEB-∠B=180°-90° -60°=30°.由(1),知△ABE≌△ADF,∴ ∠BAE= ∠DAF=30°.∴ ∠EAF=120°-30°-30°=60°. 又∵ AE=AF,∴ △AEF是等边三角形.∴ ∠AEF=60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. (2023·潍坊)如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A的坐标为(-2, 0),∠AOC=60°.将菱形OABC沿x轴先向右平移1个单位长度,再沿y轴向下平移1个单位长度,得到菱形O'A'B'C',其中点B'的坐标为 (　　) A. (-2,-1) B. (-2,1) C. (-,1) D. (-,-1) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. (2023·绍兴)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=40°,连接AC,以点A为圆心, AC长为半径作弧,交直线AD于点E,连接CE,则∠AEC的度数是　 　　 . 10°或80° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图,菱形ABCD的边长为26,对角线AC的长为48,延长AB至点E,BF平分∠CBE,G是BF上任意一点,则△ACG的面积为　　　　. 240 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:如图,连接BD交AC于点O.∵ 四边形ABCD是菱形,∴ BD与AC互相垂直平分,DA∥CB.∵ AC=48,AB=26,∴ OA=OC=24.∴ 易得OB=OD= =10.∵ DA∥CB,∴ ∠DAB=∠CBE.∵ 易知AC平分∠DAB, ∴ ∠CAB=∠DAB.∵ BF平分∠CBE,∴ ∠FBE=∠CBE.∴ ∠CAB= ∠FBE.∴ AC∥FB.∴ S△ACG=S△ABC=AC·OB=×48×10=240. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线,交BA的延长线于点E. (1) 求证:四边形ACDE是平行四边形; (2) 若AC=8,BD=6,求△BDE的周长. (1) ∵ 四边形ABCD是菱形,∴ AB∥CD,AC⊥BD. ∴ AE∥CD.∵ DE⊥BD,∴ DE∥AC.∴ 四边形 ACDE是平行四边形　 (2) ∵ 四边形ACDE是平行四边形,∴ DE=AC=8.∵ DE⊥BD,BD=6,∴ BE ===10.∴ △BDE的周长=BD+BE+DE=6+10+8=24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 如图,在菱形ABCD中,F是线段BC上任意一点,连接AF,交对角线BD于点E,连接CE. (1) 求证:AE=CE. (1) 连接AC.∵ BD,AC是菱形ABCD的对角线,∴ BD垂直平 分AC.∵ 点E在BD上,∴ AE=CE　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 当∠ABC=60°,∠CEF=60°时,点F在线段BC的什么位置?请说明理由. (2) 点F在线段BC的中点处　理由:∵ 四边形ABCD是菱形, ∴ AB=BC.又∵ ∠ABC=60°,∴ △ABC是等边三角形.∴ ∠BAC=60°.∵ AE=CE,∠CEF=60°,∴ ∠EAC=∠CEF= 30°.∴ ∠EAC=∠BAC.∴ AF是△ABC的角平分线.又∵ AF交BC于点F,△ABC是等边三角形,∴ AF是△ABC的边BC上的中线.∴ 点F在线段BC的中点处. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第一章　特殊平行四边形 3　正方形的性质与判定 第2课时　正方形的判定 1. 已知AC和BD是菱形ABCD的对角线,再补充一个条件能使其成为正方形,有下列条件:① AC=BD;② AC⊥BD;③ AB2+AD2=BD2;④ ∠ACD= ∠ADC.其中,符合要求的是 (　　) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 2. (教材P23议一议变式)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形,则四边形ABCD的两条对角线AC,BD一定是 (　　) A. 互相平分 B. 互相垂直 C. 互相平分且相等 D. 互相垂直且相等 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D 3. 有下列条件:a.两组对边分别相等;b.一组对边平行且相等;c.一组邻边相等;d.一个角是直角.如图,一个四边形顺次添加其中的三个条件便得到正方形.给出下列添加顺序:① a→c→d;② b→d→c;③ a→b→c.其中,正确的是　　　　(填序号).  ①② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. (2023·龙东地区)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,试添加一个条件:　 ,使得矩形ABCD为正方形.  　　 5. 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F同时从点O出发,在线段AC上以1cm/s的速度反向运动(点E,F分别到达A,C两点时停止运动),设运动时间为ts.连接DE,DF,BE,BF,已知△ABD是边长为6cm的等边三角形,当t=　　　　时,四边形DEBF为正方形. 答案不唯一,如AB=AD 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 请你只用一个圆规验证如图所示的四边形ABCD是否为正方形,写出验证方案. 第1步:首先利用圆规验证4条边是否相等,若相等,则四边 形ABCD为菱形;第2步:再验证点A,C之间的距离与点B, D之间的距离是否相等,若相等,则四边形ABCD为正方形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. (2023·十堰)如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,分别以点B,C为圆心,AC,BD的长为半径画弧,两弧交于点P,连接BP,CP. (1) 试判断四边形BPCO的形状,并说明理由. (1) 四边形BPCO是平行四边形　理由:∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ OC=OA=AC,OB=OD=BD.∵ 以点B, C为圆心,AC,BD的长为半径画弧,两弧交于点P,∴ OB =CP,BP=OC.∴ 四边形BPCO是平行四边形.　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 当▱ABCD的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形?请说明理由. (2) 当AC⊥BD,AC=BD时,四边形BPCO是正方形　 理由:∵ AC⊥BD,∴ ∠BOC=90°.∵ 由(1),知四边形 BPCO是平行四边形,∴ 四边形BPCO是矩形.∵ AC= BD,OB=BD,OC=AC,∴ OB=OC.∴ 四边形BPCO是 正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. (2022·绍兴)如图,在▱ABCD中,AD=2AB=2,∠ABC=60°,E,F是对角线BD上的动点,且BE=DF,M,N分别是边AD,BC上的动点.有下列说法:① 存在无数个▱MENF;② 存在无数个矩形MENF;③ 存在无数个菱形MENF;④ 存在无数个正方形MENF.其中,正确的个数是 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 如图,在△ABC中,O是AC上一动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F,连接AE, AF.若点O运动到AC的中点处,则当∠ACB的度数为　　　　时,四边形AECF是正方形. 90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 如图,在正方形ABCD和▱ECGF中,点B,C,G在同一条直线上,P是线段AF的中点,连接DP,连接EP并延长,交AD于点Q. (1) 求证:四边形ECGF是矩形; (1) ∵ 四边形ABCD是正方形,∴ ∠BCD=90°.∵ 点B, C,G在同一条直线上,∴ ∠GCE=180°-∠BCD=90°. ∵ 四边形ECGF是平行四边形,∴ 四边形ECGF是矩形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 当∠DPE=90°时,求证:四边形ECGF是正方形. (2) 在正方形ABCD和▱ECGF中,点B,C,G在同一条直线 上,∴ AD∥BG,EF∥BG.∴ AD∥EF.∴ ∠QAP=∠EFP. ∵ P是线段AF的中点,∴ AP=FP.又∵ ∠APQ=∠FPE, ∴ △APQ≌△FPE.∴ AQ=FE,PQ=PE.∵ ∠DPE=90°,∴ ∠DPQ=90°. 在△PDQ和△PDE中,∴ △PDQ≌△PDE.∴ QD=ED. ∵ AD=DC,∴ AD-QD=DC-ED,即AQ=EC.∴ EC=FE.∵ 由(1),知四边形ECGF是矩形,∴ 四边形ECGF是正方形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,E是AD的中点.M是边AB上一动点(不与点A重合),连接ME并延长,交射线CD于点N,连接MD,AN. (1) 求证:四边形AMDN是平行四边形. (1) ∵ 四边形ABCD是菱形,∴ CD∥AB,即ND∥MA. ∴ ∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME.∵ E是AD的中 点,∴ DE=AE.∴ △NDE≌△MAE.∴ ND=MA.又∵ ND∥MA,∴ 四边形AMDN是平行四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) ① 当AM的长为　　　　时,四边形AMDN是矩形.  ② 当AM的长为　　　　时,四边形AMDN是菱形.  ③ 四边形AMDN能为正方形吗?若能,请写出AM的长,并给出证明;若不能,请说明理由. 1 2 ③ 四边形AMDN不能为正方形　理由:∵ 既是矩形又是 菱形的图形是正方形,而AM=1和AM=2不可以同时满足, ∴ 四边形AMDN不能为正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第一章　特殊平行四边形 1　菱形的性质与判定 第3课时　菱形的性质与判定的应用 1. (教材P8做一做变式)如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,重叠部分构成一个四边形ABCD,在其中一张纸条转动的过程中,下列结论一定成立的是 (　　) A. AD=CD B. 四边形ABCD的面积不变 C. AC=BD D. 四边形ABCD的周长不变 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD,连接BD,∠BAD的平分线分别交BD,BC于点O,E.若EC=3,CD=4,则BO的长为 (　　) A. 4 B. 3 C. D. 2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图①,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,要在对角线BD上找到两点M,N,使得四边形AMCN是菱形,现有如图②所示的甲、乙两种方案,则正确的方案为 (　　) A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙都正确 D. 甲、乙都不正确 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 如图,以点A为圆心,5为半径画弧,再以点B为圆心,相同长度为半径画弧,交前弧于M,N两点.若AB=6,则以A,B,M,N为顶点的四边形的面积是　　 . 　　 5. (教材P9习题1.3第3题变式)如图,四边形ABCD是菱形,连接AC,BD交于 点O,过点A作AE⊥BC,交BC于点E.若AC=4,BD=6,则CE的长是　　　　. 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF,连接AC. (1) 求证:四边形ABCD是菱形; (1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ ∠ABC=∠ADC. ∵ AE⊥BC,AF⊥CD,∴ ∠AEB=∠AFD=90°.又∵ BE =DF,∴ △AEB≌△AFD.∴ AB=AD.∴ 四边形ABCD是 菱形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 若AB=5,AC=6,求四边形ABCD的面积. (2) 如图,连接BD交AC于点O.∵ 四边形ABCD是菱形, AC=6,∴ AC⊥BD,AO=OC=AC=×6=3,BD=2BO. ∵ AB=5,AO=3,∴ 在Rt△AOB中,由勾股定理,得BO= ==4.∴ BD=2BO=8.∴ S四边形ABCD AC·BD=24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 如图,在▱ABCD中,AD=BD,过点C作CE∥BD,交AD的延长线于点E. (1) 求证:四边形BDEC是菱形. (2) 连接BE交CD于点O.若AB=4,AD=7,求BE的长. (1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC,AD= BC,AB=CD.∵ AD=BD,∴ BD=BC.∵ CE∥BD,DE∥ BC,∴ 四边形BDEC是平行四边形.又∵ BD=BC,∴ 四边形BDEC是菱形　 (2) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ CD=AB=4.由(1),知四边形BDEC是 菱形,∴ DO=CO=CD=2,BO=BE,CD⊥BE.在Rt△BDO中,BD=AD=7, DO=2,∴ BO===3.∴ BE=2BO=6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 如图,在菱形ABCD中,过对角线BD上任意一点P作EF∥BC,分别交AB, CD于点E,F,作GH∥AB,分别交BC,AD于点G,H.有下列结论:① 图中至少有3个菱形;② △BEP≌△PGB;③ 四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半;④ 四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长.其中,正确的有 (　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 如图,在▱ABCD中,AC与BD交于点O,E是边AB上的中点,连接OE,OE= 2.5,AC=8,BD=6.有下列结论:① △ABD是等边三角形;② ▱ABCD的周长是20;③ ▱ABCD的边BC上的高是4.8;④ ▱ABCD是菱形;⑤ ▱ABCD的面积是48.其中,正确的是　　　　(填序号). ②③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BD=2AB,AE∥BD,OE∥AB. (1) 求证:四边形ABOE是菱形; (1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ OB=OD=BD. ∵ BD=2AB,∴ AB=OB.∵ AE∥BD,OE∥AB,∴ 四边 形ABOE是平行四边形.又∵ AB=OB,∴ 四边形ABOE 是菱形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 若OA=2,S四边形ABOE=8,求BD的长. (2) 连接BE,交OA于点F.∵ 四边形ABOE是菱形,∴ OA⊥BE,AF=OF=OA=1,BF=EF=BE.∵ S四边形ABOE =8=OA·BE=×2·BE,∴ BE=8.∴ BF=4. ∴ OB===7.∴ BD=2OB=2×7=14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,P是AD上任意一点,过点P作EF∥AB,分别交BC,AC于点E,F,作PM∥AC,交AB于点M,连接MF. (1) 求证:四边形PFAM为菱形. (1) ∵ EF∥AB,PM∥AC,∴ 四边形PFAM为平行四边形. ∵ AD是∠BAC的平分线,∴ ∠CAD=∠BAD.∵ EF∥AB, ∴ ∠BAD=∠FPA.∴ ∠CAD=∠FPA.∴ FA=FP.∴ 四边 形PFAM为菱形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 当四边形PFAM的面积为四边形BEFM面积的一半时,AP与AD满足什么数量关系?请证明你的结论. (2) AP=AD　过点F作FH⊥BC于点H,设MF与AD交于 点G.由(1),知四边形PFAM为菱形,∴ AD⊥MF,AP=2GP. ∵ AB=AC,AD是∠BAC的平分线,∴ AD⊥BC.∴ MF∥ BC.又∵ EF∥AB,∴ 四边形BEFM为平行四边形.∴ S四边形PFAM=MF·AP =MF·GP,S四边形BEFM=MF·FH.当S四边形PFAM=S四边形BEFM时,GP=FH.∵ 易得GD=FH,∴ GP=GD.∴ AG=GP=PD.∴ AP=AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第一章　特殊平行四边形 3　正方形的性质与判定 第1课时　正方形的性质 1. 如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O.有下列结论:① AB=BC= CD=AD;② AO=BO=CO=DO;③ AC⊥BD.其中,正确的有 (　　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个　　　　 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. (教材P22习题1.7第1题变式)如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是对角线AC上一点,作EF⊥AD于点F,连接DE.若DF=2,则DE的长为 (　　) A. 3 B. 2 C. 4 D. 2.5 3. 如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB的度数为　　　　. B 22.5° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. (2023·怀化)如图,P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3,则点P到直线AB的距离为　　　　.  5. (2022·常州)如图,将一个边长为20cm的正方形活动框架(边框粗细忽略不计)扭动成四边形ABCD,对角线是两根橡皮筋,其拉伸长度达到36cm时才会断裂.若∠BAD=60°,则橡皮筋AC　　　　断裂(填“会”或“不会”,参考数据:≈1.732). 3 不会 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 如图,E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点,且BE=DF,连接AE,AF, CE,CF. (1) 请判断四边形AECF的形状,并证明; (1) 四边形AECF是菱形　如图,连接AC,交BD于点O.∵ 四 边形ABCD是正方形,∴ AC⊥BD,AO=CO,DO=BO.∵ BE= DF,∴ OB-BE=OD-DF,即OE=OF.∴ 四边形AECF是平行 四边形.∵ AC⊥EF,∴ 四边形AECF是菱形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 若AB=3,BE=2,求四边形AECF的周长. (2) 由(1),知四边形AECF是菱形.∵ 四边形ABCD是正方形, AB=3,∴ 易得AC=BD=6,OA=OB=3.∵ BE=DF=2,∴ EF =BD-BE-DF=2.∴ OE=OF=1.∵ AC⊥EF,∴ ∠AOE=90°. ∴ AE===.∴ 四边形AECF的周 长=4AE=4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 如图,在正方形ABCD中,连接AC,E是边BC上一点,连接AE,DE,DE交AC于点F,连接BF. (1) 求证:∠CBF=∠CDF; (1) ∵ 四边形ABCD是正方形,∴ BC=DC,∠BCF=∠DCF= 45°.∵ CF=CF,∴ △CBF≌△CDF.∴ ∠CBF=∠CDF　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 若E是BC的中点,请判断BF与AE的位置关系,并证明. (2) BF⊥AE　设AE与BF交于点G.∵ 四边形ABCD是正 方形,E是BC的中点,∴ DC=AB,∠DCE=∠ABE=90°,CE =BE.∴ △DCE≌△ABE.∴ ∠DEC=∠AEB.∵ ∠DEC+ ∠CDE=90°,∠CBF=∠CDE,∴ ∠AEB+∠CBF=90°. ∴ ∠BGE=90°.∴ BF⊥AE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 如图,正方形ABCD的边长为15,AG=CH=12,BG=DH=9,连接GH,则线段GH的长为 (　　) A. B. 12-3 C. D. 3　　　 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. (2023·常德)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的点,且EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED的度数为　　　　. 105° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. (1) 如图①,在正方形ABCD中,若CE⊥DF,则线段CE与DF有何数量关系?请说明理由. (1) CE=DF　理由:∵ 四边形ABCD为正方形,∴ BC=CD, ∠B=∠BCD=90°.∴ ∠BCE+∠ECD=90°.∵ CE⊥DF, ∴ 易得∠CDF+∠ECD=90°.∴ ∠BCE=∠CDF.在△BCE 和△CDF中,∴ △BCE≌△CDF.∴ CE=DF.　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 如图②,在正方形ABCD中,若GE⊥HF,则线段GE与HF有何数量关系?请说明理由. (2) GE=HF　理由:如图,过点D作DM∥HF交BC于点M, 过点C作CN∥EG交AB于点N.∵ GE⊥HF,∴ DM⊥CN. 由(1),可知DM=CN.∵ 四边形ABCD为正方形,∴ AD∥ BC,即DH∥FM.又∵ DM∥HF,∴ 四边形DHFM为平 行四边形.∴ HF=DM.同理,可得GE=CN.∴ GE=HF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. (2022·遵义)将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示的方式摆放,顶点D与顶点H重合,菱形EFGH的对角线HF经过点B,点E,G分别在AB,BC上. (1) 求证:△ADE≌△CDG; (1) ∵ 四边形ABCD是正方形,四边形EFGH是菱形, ∴ AD=CD,ED=GD,∠ADB=∠CDB,∠EHB=∠GHB. ∴ ∠ADB-∠EHB=∠CDB-∠GHB,即∠ADE=∠CDG. 在△ADE和△CDG中,∴ △ADE≌△CDG 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 若AE=BE=2,求BF的长. (2) 如图,过点E作EQ⊥DF于点Q,则∠EQB=90°. ∵ 四边形ABCD是正方形,∴ ∠A=90°,AD=AB= AE+BE=2+2=4,∠EBQ=∠CBD=45°.∴ ∠QEB= 45°=∠EBQ.∴ EQ=BQ.∵ BE=2,∴ 2EQ2=22.∴ EQ=BQ=.在Rt△DAE中,由勾股定理,得DE=== 2.∵ 四边形EFGH是菱形,∴ EF=HE=2.∴ QF ===3.∴ BF=QF-BQ= 3-=2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第一章　特殊平行四边形 2　矩形的性质与判定 第1课时　矩形的性质 1. (2023·株洲)某技术人员用一把刻度尺测量某三角形部件的尺寸.如图, ∠ACB=90°,D为边AB的中点,点A,B对应的刻度分别为1,7,则CD的长为 (　　) A. 3.5cm B. 3cm C. 4.5cm D. 6cm B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. (2023·襄阳)如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,下列结论中,一定正确的是 (　　) A. AC平分∠BAD B. AB=BC C. AC=BD D. AC⊥BD 3. 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,若点B的坐标为(1,3),则AC的长是 (　　) A. 3 B. 2 C. D. 4 C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. (2023·湘西)如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,F是AE的中点,AB=8, AD=DE=10,则BF的长为　　　　.  5. (教材P13习题1.4第2题变式)(2023·杭州)如图,矩形ABCD的对角线AC, BD相交于点O.若∠AOB=60°,则=　　　　. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,D是线段AB上任意一点(不与点A,B重合),DE⊥BC于点E,P是线段CD的中点.请判断△PAE的形状,并说明理由. △PAE是等腰三角形　理由:∵ DE⊥BC,∴ ∠CED= ∠CAD=90°.∵ P是线段CD的中点,∴ PA=CD,PE= CD.∴ PA=PE.∴ △PAE是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点C作BD的平行线交AB的延长线于点E. (1) 求证:AC=CE; (1) ∵ 四边形ABCD是矩形,∴ AB∥CD,AC=BD.∵ 点E在 AB的延长线上,∴ BE∥CD.∵ BD∥CE,∴ 四边形BDCE 是平行四边形.∴ BD=CE.∴ AC=CE　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 若∠BOC=120°,CE=4,求AB的长. (2) ∵ 四边形ABCD是矩形,∴ AC=BD,OA=OC=AC,OB =OD=BD,∠ABC=90°.∴ OA=OB=OC=OD.∵ ∠BOC= 120°,∴ ∠AOB=60°.∴ △AOB为等边三角形.∴ ∠OAB =60°.∵ ∠ABC=90°,∴ ∠ACB=30°.∵ CE=4,∴ AC=4. ∴ AB=2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,连接OE.若OB=6,菱形ABCD的面积为54,则OE的长为 (　　) A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 B 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. (2023·滨州)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是线段OB,OA上的点.若AE=BF,AB=5,AF=1,BE=3,则BF的长为　　　　.  　 10. 如图,在△ABC中,AB=AC=16,BC=12,AF⊥BC于点F,BE⊥AC于点E,D为AB的中点,M为EF的中点,则DM的长为　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. (2022·哈尔滨)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是边AD上一点,连接BE,CE,OE,且BE=CE. (1) 求证:△BEO≌△CEO. (1) ∵ 四边形ABCD是矩形,∴ OA=OC=AC,OB=OD= BD,AC=BD.∴ OB=OC=OA=OD.∵ BE=CE,OE=OE, OB=OC,∴ △BEO≌△CEO　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 若BE与AC相交于点F,CE与BD相交于点H,过点D作AC的平行线,交BE的延长线于点G.在不添加任何辅助线的情况下,请写出图中的四个三角形(△AEF除外),使写出的每个三角形的面积都与△AEF的面积相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) ∵ 四边形ABCD是矩形,∴ ∠BAD=∠ADC=90°,AB∥DC,AB=DC.∵ BE=CE,∴ Rt△BAE≌Rt△CDE.∴ ∠AEB=∠DEC,AE=DE.∵ OA=OD, ∴ ∠OEA=∠OED=90°.∴ ∠BAD=∠OED=90°,∠ADC=∠AEO=90°. ∴ AB∥OE,DC∥OE.∴ △AEO的面积=△BEO的面积,△DEO的面积= △COE的面积.∴ △AEO的面积-△EFO的面积=△BEO的面积-△EFO的面积,△DEO的面积-△EHO的面积=△COE的面积-△EHO的面积.∴ △AEF的面积=△BFO的面积,△DEH的面积=△CHO的面积.∵ OA=OD, ∴ ∠DAO=∠ADO.∴ 易证△AEF≌△DEH.∴ △AEF的面积=△DEH的面积=△CHO的面积.∵ DG∥AC,∴ ∠G=∠AFE,∠GDE=∠FAE.∵ DE =AE,∴ △DEG≌△AEF.∴ △DEG的面积=△AEF的面积.∴ △DEH, △CHO,△DEG,△BFO的面积都与△AEF的面积相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图,四边形ABCD是矩形,点E在线段CB的延长线上,连接DE交AB于点F,∠AED=2∠CED,G是DF的中点,连接AG. (1) 若BE=2,AG=4,求AB的长; (1) ∵ 四边形ABCD是矩形,∴ ∠BAD=∠ABC=90°, AD∥BC,AD=BC.∴ ∠ABE=180°-∠ABC=90°, ∠ADE=∠CED.∵ G是DF的中点,∴ AG=DG=GF. ∴ ∠ADE=∠GAD.∴ ∠AGE=∠GAD+∠ADG=2∠ADG.∵ ∠AED= 2∠CED,∴ ∠AED=∠AGE.∴ AE=AG=4.∵ 在Rt△ABE中,BE=2,AE=4, ∴ 由勾股定理,得AB==2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 若BC=2AB,求∠AED的度数. (2) 过点G作GH⊥AB于点H,则∠GHB=90°. ∵ ∠DAB=90°,∴ ∠DAB=∠GHB.∴ GH∥AD. ∵ AG=GF,GH⊥AF,∴ AH=HF,即H是AF的中点. 又∵ G是DF的中点,∴ GH=AD=BC.∵ BC=2AB,∴ GH=AB.∵ AG= AE,∴ GF=AE.在Rt△GHF和Rt△ABE中,∵ GF=AE,GH=AB,∴ Rt△GHF≌Rt△ABE.∴ ∠GFH=∠AEB.∵ ∠AED=2∠CED,∠GFH= ∠EFB,∴ 易得∠EFB=∠AEB=3∠CED.∵ ∠ABE=90°,∴ ∠EFB+ ∠BEF=4∠CED=90°.∴ ∠CED=22.5°.∴ ∠AED=2∠CED=45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$