2.4圆周角 讲义 （暑期自学课）2024-2025学年苏科版数学九年级上册

2024-2025学年苏科版数学九年级上册 2.4圆周角（讲义） （暑期自学课） 知识梳理 【知识点】 1.圆周角定义： 　顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．像图中 ∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们都是圆周角。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.圆周角定理： 　　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点说明： 　(1) 圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　(2) 圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4.圆内接四边形： （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）． 典型例题 【例1】如图，其中圆周角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】同圆中，已知所对的圆心角是80°，则所对的圆周角度数（    ） A． B． C． D． 【例3】如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：AC＝BD； 【例4】如图，在中，． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的垂直平分线，垂足为； ②以为圆心，长为半径作圆，交于（异于），连接； （2） 探究与的位置关系，并证明你的结论． 举一反三 【变式1】如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是（    ） A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC 【变式2】如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝40°，∠APD＝70°，则∠B的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【变式3】如图，是的外接圆，，，则的半径为（  ） A． B．2 C． D．4 【变式4】如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么 ．    【变式5】如图，四边形内接于，求证：是等边三角形． 【变式6】如图，四边形内接于，为的直径，． (1)试判断的形状，并给出证明； (2)若，，求的长度． 小试牛刀 一、选择题（共4题） 1.下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心 2. 如图，四边形内接于⊙O，若，则的度数是（    ） A．75° B．105° C．110° D．115° 3.如图，四边形内接于，连接，，，若，则（    ） A． B． C． D． 4.如图，是的直径，，则（   ）    A． B． C． D． 二、填空题（共4题） 5.如图，点，，，在上，，，，则 ． 6.如图，已知为的直径，，交于点D，交于点E，．则的度数等于 度． 7.用破损量角器按如图方式测量∠ABC的度数，让∠ABC的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为55°，135°，则∠ABC的度数为 　 　． 8.如图，在中，为直径，C为圆上一点，的角平分线与交于点D，若，则 °．    三、解答题（共4题） 9.如图，在中，弦平行于，交于，，求的度数． 10.如图，是的两条直径．    (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若的直径为8，，求四边形的周长和面积． 11.如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3． （1）求AB的长； （2）求⊙O的半径． 12.如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，直径CD平分∠ACE，∠ACE的一边CE与⊙O和直径AB分别交于点E，F，连接BE，且AC＝AF． ​（1）证明：BE∥CD； （2）若CF＝2，求BF的长． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$