第21讲 解直角三角形章末15种经典题型（拔尖）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第21讲 解直角三角形章末15种经典题型（拔尖） 【热考题型】 【题型一】构建直角三角形求锐角三角函数值 1．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图，是等腰直角三角形，，D是AC的中点，的值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，在中，，且点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，则 ．    4．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，点C在线段上，且，分别以为边在线段的同侧作正方形，连接，则 ． 【题型二】用等角转换法求锐角三角函数值 5．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在等腰中，，，点D为的中点，于点E，则的值为 ． 6．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）若，则 ． 7．（2023·海南省直辖县级单位·二模）如图，菱形的对角线交于点，过点作于点，连接.若，，则 . 8．（23-24九年级上·山东枣庄·期末）如图，平面直角坐标系中正方形，已知，，则 ．    【题型三】锐角三角函数与相似三角形综合 9．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在等腰中，，平分，，垂足为点E． (1)试说明：； (2)若，，则的值为 ． 10．（2024·甘肃武威·二模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹． (1)在图中作出边上的高； (2)在图中作出边上的点，使得； (3)在图中作出边上的点，使得． 11．（23-24九年级上·江西萍乡·期末）【课本再现】 （）如图（），在中，为上一点，是否与相似？（填“是”或“不是”） 【类比探究】 （）如图（），在中，为上一点，已知，求证：． 【拓展应用】 （）在Rt，点为上一点，如图（），点分别在上，，垂足为．若，求的值．    12．（23-24九年级上·山东青岛·期末）【初建模型】（1）如图①，和都是等腰三角形，，，连接．求证：．分析：要证明，我们可以通过 （只填序号）的方法证明和全等即可． ①  ②  ③  ④ 【类比探究】（2）如图②，和都是等腰直角三角形，，连接．请你写出与的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（3）如图③，在图②的基础上，延长，交于点F，交的延长线于点G，求的值．    【题型四】锐角三角函数与四角形综合 13．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图 1，在正方形中，点 E、 F分别是 、上的两点，连接、 ，，则的值为 ； 【类比探究】（2）如图 2 ，在矩形 中， ，点 E是 上的一点，连接、 ，且，求的值； 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，，点E为 上一点，连接，过点 C作的垂线交的延长线于点 G，交 的延长线于点 F，求的值； 14．（22-23九年级上·江西九江·期末）初识图形 （1）如图1，E、F分别为正方形的边和边上的点，连接、，且．则 ． （2）如图2，矩形中，点E、F分别在边、上，连接、，且，，，则 ． 类比探究 （3）如图3，中，D、F分别为、边上的点，，，，连接，交于点E．求长．请说明理由． 拓展应用 （4）如图4，在矩形中，E、F分别为和边上的一点，以为折痕，将四边形翻折，交于P和Q，A和B的翻折后的位置分别是H和G．，，，．请直接写出折痕的长． 15．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，于点D，于点E，，连接， ，过点E作，交延长线于点G． (1)求证：四边形是菱形； (2)当，时，求四边形的周长． 16．（22-23九年级上·甘肃天水·期末）如图，平行四边形在平面直角坐标系中，，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)求的值． (2)若E为轴上的点，且，求出点E的坐标，并判断与是否相似？请说明理由． 【题型五】解非直角三角形 17．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 18．（2021·辽宁抚顺·一模）某高铁路段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D处（A、C、D共线）同时施工．测得，，，则的长为 ．（结果保留根号） 19．（20-21九年级上·浙江湖州·期末）如图，已知在中，，，，点在边上，将沿着过点的一条直线翻折，使点落在边上的点处，连结，，若，则的长是 ． 20．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【题型六】巧设辅助未知数解直角三角形 21．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，中，，作，，，．    (1)求证：； (2)求的长． 22．（23-24九年级上·广西崇左·期末）【问题】如图1，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为，求证：． 【解决问题的方法】如图2，在和中，分别作边上的高，利用三角函数表示出，再代入面积公式就可以解决问题． (1)【问题解决】如图2，求证： (2)【拓展应用】如图3，交于点M，点H为的中点，交于点G，且求值． 23．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，已知锐角．    (1)若，，，求的长； (2)求证； (3)若，，直接写出的值． 24．（23-24九年级上·山西运城·期末）阅读与思考 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务 正方形的折叠 正方形是日常生活中常见的一种基本几何图形，具有特殊平行四边形的一切性质，因此，平时做题时经常会遇到正方形的折叠问题，虽然折叠的形式多样，给同学们带来各种困惑，但我们只要把握它的两大特点：①折叠前后折痕两侧图形全等；②折叠前后对应点的连线被折痕所在的直线垂直平分；并且掌握解决折叠问题的两大方法：①利用勾股定理构建方程；②巧用“一线三直角”构建相似三角形解决问题，这类问题一般都能解决． 下面是创新学习小组利用折叠正方形纸片来探究折叠中的锐角三角函数问题： 如图，正方形边长，点E是边上的一个动点，沿着折叠，点B落在点F处．求的值． 【特例探究】 任务一：（1）如图1，创新学习小组发现在点E运动过程中，当点F恰好落在正方形的对角线上时，则______． 任务二： （2）如图2，当点E运动到边的中点时，点B落在点F处，求的值． 下面是该结论的部分解答过程： 在图2中，过点F作于M，延长交于N． 易证四边形为矩形，______， ∴设，则，，， 在中，根据勾股定理得 解得：（舍去），即， ∴在中，______ 仔细阅读上面的证明过程，按照上面的证明思路，请你将横线部分补充完整． 图1图2图3 【方法应用】任务三：（3）如图3，当点E运动到边靠近点C的三等分点时（即），点B落在点F处，请你类比（2）中的方法求的值． 【题型七】构造直角三角形进行线段或角的计算 25．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，正方形的边长为，以为斜边向外作等腰直角，为正方形的对角线，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24九年级上·海南儋州·期末）如图，正方形中，边长为4，为的中点，为正方形内部一点，连结、，若平分且，则的长为（   ） A． B． C． D．2 27．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，正方形的边长为，菱形的边长为，则的长为 ． 28．（2023·上海青浦·一模）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为 ． 【题型八】构造直角三角形解决实际问题 29．（21-22九年级上·河南南阳·期末）为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为， 已知山坡的坡度， 米，米， 求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： ， 30．（22-23九年级上·山东威海·期末）2021年5月7日，“雪龙2”船返回上海国内基地码头，标志着中国第37次南极考察圆满完成．已知“雪龙2”船上午9时在B市的北偏西方向上的点A处，且在C岛的南偏西方向上，已知B市在C岛的南偏西方向上，且距离C岛116km．此时，“雪龙2”船沿着方向以24km/h的速度航行．请你计算“雪龙2”船大约几点钟到达C岛？（参考数据：，，，，，）    31．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，为了测量某校教学楼的高，数学兴趣小组的甲同学在处看到楼顶的仰角为，同时乙同学在斜坡上的处看见楼顶的仰角为，若斜坡的坡比，铅锤高度米（点、、在同一水平线上）．求： (1)________米，________度； (2)教学楼的高（参考数据：，结果精确到个位）． 32．（2022·江西吉安·一模）如图1是某门禁自动识别系统，主要由可旋转摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其示意图，已知摄像机长，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，，与连接，杆，，，点到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为．(参考数据：，，，结果精确到) (1)求显示屏所在部分的宽度； (2)求镜头到地面的距离． 【题型九】直角三角形斜边中线的证明 33．（21-22八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，．    (1)求证：； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 34．（22-23八年级下·北京延庆·期末）下面是证明直角三角形的性质定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，Rt是边上的中线． 求证：． 方法一： 证明：如图，延长到，使得， 连接． 方法二： 证明：如图，取的中点，连接． 35．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，为的中点，，． (1)判断四边形的形状、并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 36．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）在中，，，是内的一条射线，分别过点B和点C作于点D，于点E．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，若点O是的中点，连接，，判断的形状，并证明． 【题型十】利用直角三角形斜边的中线求线段或角度 37．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，点为菱形对角线的交点，于点，连接，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，点E，F分别是菱形边的中点，交的延长线于点G．若，则的度数是（　  　） A． B． C． D． 39．（23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，在正方形中，E，F分别是上一点，，，点M，N分别是和的中点，连接． （Ⅰ）线段的长为 ． （Ⅱ）线段的长为 ．    40．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得交于点， (1)若，求的度数； (2)若． ①求证：； ②设，求的长（用含的代数式表示）． 【题型十一】直角三角形斜边的中线与折叠综合运用 41．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，在矩形中，，，点是的中点，连结，将沿折叠，点落在点处，连结，则的长是（    ） A． B． C． D． 42．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，为等腰直角三角形，为斜边的中点，点在边上，将沿折叠至，与，分别交于，两点．若已知的长，则可求出下列哪个图形的周长（    ）    A． B． C．四边形 D．四边形 43．（22-23八年级上·江苏泰州·期末）如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么折痕的长为 ．    44．（21-22八年级下·河南商丘·期末）实践与探究题 问题：直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？ 丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验： (1)观察发现 ① 观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图（1）所示的Rt△ ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上中线．请根据图（1）证明你的猜想． ② 根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线性质． (2)拓展应用：如图（2），CD是Rt△ ABC的斜边AB上的高，若CD＝5，则Rt△ ABC面积的最小值等于______． 45．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）（1）如图① ，在三角形纸片中，，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的长． （2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值． （3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为． ①求线段的长； ②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围． 【题型十二】利用直角三角形斜边的中线探究线段之间的关系 46．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图（1），是的边上的中线，将沿直线翻折得到，连接，．    (1)求证：是直角三角形． (2)如图（2），若，，求的大小． (3)若是直角三角形，是等边三角形，探究与的数量关系． 47．（2022·吉林长春·模拟预测）问题引入： （1）如图1，，，，E是线段的中点，连接并延长交于点F，连接．则与之间的数量关系是______； 问题延伸： （2）如图2，在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，点G在上，P是线段的中点，连接、． ①判断与之间的数量关系，并说明理由； ②连接，若，，求的长． 48．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）【阅读教材】 苏科版八年级上册第《折纸与证明》．折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢? 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图1（2）），于是，由，，可得． 【类比探究】 如图2（1），在中，，能否证明呢?小军同学提供了一种方法：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、（如图2（2）），再运用三角形三边关系即可证明，请按照小军的方法完成证明． 【方法运用】 在中，，点是边上一点，连接． （1）如图3（1），若平分，则、、之间的数量关系是________； （2）如图3（2），若，写出、、之间的数量关系并说明理由． 【拓展提升】 在中，，，，点是边上一点，连接，将沿所在的直线翻折，点的对应点是点． （1）如图4（1），若，则________； （2）如图4（2），若平分，则________． 49．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）在中，，，，点是的中点．四边形是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），，且，菱形可以绕点顺时针旋转，连接和，设旋转角为． (1)在菱形绕点旋转的过程中，当点在线段上时，如图①，请直接写出与的数量关系； (2)当菱形绕点旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)在菱形（从图①位置开始）绕点D旋转一周的过程中，，当所在的直线经过点时，请直接写出的度数． 【题型十三】与含30°角的直角三角形有关的最值问题 50．（21-22九年级上·北京东城·期末）如图，在中，，，，将绕顶点C顺时针旋转得到，取的中点E，的中点P，则在旋转过程中，线段的最大值为（    ） A．1 B．0.5 C．2 D．1.5 51．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，平行四边形中，，点M，N分别为线段上的动点（含端点），点E，F，G分别为的中点，则长度的最大值为（　　）． A． B． C．3 D．5 52．（22-23九年级上·天津和平·期中）如图，在中，，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，点E为线段中点，点P是线段上的动点，将绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点． （1）如图，线段 ； （2）则线段的最大值为 ，最小值为 ． 53．（2023·河南洛阳·一模）小明同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，，，连接，取的中点F，将三角板绕点A按顺时针方向旋转一周，则在旋转过程中，点F到直线的距离的最大值是 ． 【题型十四】含30°角的直角三角形在坐标系中的运用 54．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 55．（23-24八年级下·河南漯河·期末）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，，对角线与相交于点，轴，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 56．（23-24九年级上·山西大同·期末）如图，在正六边形中，以点为原点建立平面直角坐标系，边落在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 57．（2024·安徽宣城·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，的顶点C在x轴负半轴上，轴，点B在反比例函数的图象上，，若，则的值为 ，k的值为 58．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，点是平面直角坐标系原点，射线与轴重合，已知，过点作交轴于，过点作交直线于点，过作交轴于点，过点作交直线于点，重复操作，依次得到点，则点的坐标为 ，点的坐标为 ．（用含的式子表示）（提示：含角的直角三角形，三边之比为） 【题型十五】含30°角的直角三角形与分类讨论思想综合 59．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，，P 为射线上一点，若是等腰三角形，则的长为 ． 60．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，与都是等边三角形，连接，，，若将绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段的长为 ． 61．（2024·黑龙江佳木斯·三模）在腰长为的等腰三角形纸片中，，，点为上一动点，将纸片沿对折，使点落在点处，当中有一条边垂直于时，的长为 ． 62．（2023·河南·三模）如图，在中，，，点D为边的中点，点E是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到，线段交边于点F．当△DEF为直角三角形时，的长为 ． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21讲 解直角三角形章末15种经典题型（拔尖） 【热考题型】 【题型一】构建直角三角形求锐角三角函数值 1．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切函数的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质和正切的定义是解题关键，过点C作交于点E计算即可． 【详解】解：如图，过点C作交于点E． ∵，， ∴． ∵， ∴设，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图，是等腰直角三角形，，D是AC的中点，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质．过点作于点，则为等腰直角三角形，根据直角三角形斜边等于直角边的倍表示出的长度，再根据中线的定义得到，再次利用直角三角形斜边等于直角边的倍表示出的长度，然后求出的长度，最后根据正切列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点， 是等腰直角三角形， 也是等腰直角三角形， ，， 是的中点， ， 在等腰直角三角形中，， ， 在中，． 故选：D． 3．（23-24九年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，在中，，且点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，求角的正切值，相似三角形的性质与判定，过A、B作轴，轴，根据条件得到：，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：如图所示，过A、B作轴，轴，垂足分别为C、D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，反比例函数、比例函数k的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，利用相似三角形的性质得到两边之比是解答本题的关键． 4．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，点C在线段上，且，分别以为边在线段的同侧作正方形，连接，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，正切．熟练掌握正方形的性质，勾股定理，正切是解题的关键． 如图，连接，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由正方形的性质可知，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【题型二】用等角转换法求锐角三角函数值 5．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在等腰中，，，点D为的中点，于点E，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．连接，根据等腰三角形的性质可得，在中，根据勾股定理可计算出的长度，根据等面积法可计算出的长度，根据勾股定理求出的长，在中，根据余正弦的定义进行求解即可得出答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）若，则 ． 【答案】/ 【分析】 本题主要考查了求角的正切值，勾股定理，先利用勾股定理求出，则由正切的定义可得，再证明，即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2023·海南省直辖县级单位·二模）如图，菱形的对角线交于点，过点作于点，连接.若，，则 . 【答案】/ 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理求得，根据直角三角形斜边中线的性质证得，证得，再利用同角的余角相等证得，利用锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】∵四边形是菱形，且，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 8．（23-24九年级上·山东枣庄·期末）如图，平面直角坐标系中正方形，已知，，则 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，余弦等知识．如图，的延长线于，则轴，证明，则，，由勾股定理求得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，的延长线于，则轴， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 故答案为：． 【题型三】锐角三角函数与相似三角形综合 9．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在等腰中，，平分，，垂足为点E． (1)试说明：； (2)若，，则的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义． （1）利用等腰三角形“三线合一”的性质求得，得到，据此可证明； （2）利用等腰三角形的性质求得，根据相似三角形的性质求得，再利用三角函数的定义即可求解． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2024·甘肃武威·二模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹． (1)在图中作出边上的高； (2)在图中作出边上的点，使得； (3)在图中作出边上的点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（）取格点，连接，与交于点，则即为所求； （2）取格点，，连接，交于点即为所求； （3）取格点，P，Q连接，于点，连接交于点F即为所求 【详解】（1）如图， 根据格点作高的方法即可画出， ∴高即为所求； （2）如图， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求； （3）如图， 根据格点的特征可知：，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴点即为所求． 【点睛】此题考查了作图应用与设计作图、三角形的高、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 11．（23-24九年级上·江西萍乡·期末）【课本再现】 （）如图（），在中，为上一点，是否与相似？（填“是”或“不是”） 【类比探究】 （）如图（），在中，为上一点，已知，求证：． 【拓展应用】 （）在Rt，点为上一点，如图（），点分别在上，，垂足为．若，求的值．    【答案】（）是； （）证明见解析； （）． 【分析】（）根据相似三角形的判定即可求解； （）证明得到，即可求证； （）设，则，同()得，求出，由三角函数得，过作于，则，在中，，由，推出是等腰直角三角形，得到，进而得到，由平行线等分线段定理即可求解． 【详解】（）解：∵，， ∴， 故答案为：是； （）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （）解：∵， ∴设，则， ∵，， 同()得， ∴， 在中，， 过作于，如图所示，    则， 在中，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似形是判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线等分线段定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 12．（23-24九年级上·山东青岛·期末）【初建模型】（1）如图①，和都是等腰三角形，，，连接．求证：．分析：要证明，我们可以通过 （只填序号）的方法证明和全等即可． ①  ②  ③  ④ 【类比探究】（2）如图②，和都是等腰直角三角形，，连接．请你写出与的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（3）如图③，在图②的基础上，延长，交于点F，交的延长线于点G，求的值．    【答案】（1）④（2），见解析（3） 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值．掌握手拉手模型，是解题的关键． （1）利用证明三角形全等即可； （2）证明即可； （3）证明，得到，即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； 故答案为：④； （2），理由如下： 和都是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 即； （3）由（2）可知：， ， ， ， ， ． 【题型四】锐角三角函数与四角形综合 13．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图 1，在正方形中，点 E、 F分别是 、上的两点，连接、 ，，则的值为 ； 【类比探究】（2）如图 2 ，在矩形 中， ，点 E是 上的一点，连接、 ，且，求的值； 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，，点E为 上一点，连接，过点 C作的垂线交的延长线于点 G，交 的延长线于点 F，求的值； 【答案】（1）1；（2）；（3）． 【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，，然后证明出，根据可得，由此可得得到，即可得到； （2）根据矩形的性质可得，再根据同角的余角相等可得.进而可得，由此可以求出的值． （3）过点F作，则可得四边形是矩形，根据“同角的余角相等”和“对顶角相等”可得，由此可证，进幼儿可求出． 【详解】（1）设与的交点为G， ∵四边形是正方形，， ， ， ， ，， ． 在和中 ， ， ， ． 故答案为：1 （2）∵四边形是矩形， ， ， 则， ， ∴． （3）如图，过点F作， 则，， ， ∴四边形是矩形, ， 又， ， 则, ， ， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质等知识．采用类比的数学思想方法是解题的关键． 14．（22-23九年级上·江西九江·期末）初识图形 （1）如图1，E、F分别为正方形的边和边上的点，连接、，且．则 ． （2）如图2，矩形中，点E、F分别在边、上，连接、，且，，，则 ． 类比探究 （3）如图3，中，D、F分别为、边上的点，，，，连接，交于点E．求长．请说明理由． 拓展应用 （4）如图4，在矩形中，E、F分别为和边上的一点，以为折痕，将四边形翻折，交于P和Q，A和B的翻折后的位置分别是H和G．，，，．请直接写出折痕的长． 【答案】（1）1；（2）；（3），理由见解析；（4）折痕EF为 【分析】（1）根据正方形的性质，互余的性质，证明即可； （2）过点E作于点H，根据矩形的性质，互余的性质，证明，结合勾股定理计算即可． （3）过点B作，过点C作，二线交于点H，延长，交于点G，证明，，结合，证明即可． （4）连接，过点H作，交的延长线于点W，交的延长线于点X，作，交于点V，则四边形是矩形，运用三角函数的定义，三角形相似，勾股定理求解即可． 【详解】(1)如图1，∵四边形是正方形， ∴，， ∵于点G， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：1． (2)如图，过点E作于点H， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴，四边形是矩形， ∴， ∵于点G， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． (3)过点B作，过点C作，二线交于点H，延长，交于点G， 则，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． (4)如图，连接，过点H作，交的延长线于点W，交的延长线于点X，作，交于点V，则四边形是矩形，，，， ∴, 根据（2）的结论，得， ∵，，， ∴， 根据折叠的性质，得,， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角函数，熟练掌握三角形的相似，三角函数是解题的关键． 15．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，于点D，于点E，，连接， ，过点E作，交延长线于点G． (1)求证：四边形是菱形； (2)当，时，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质证明是的中点，根据中位线的性质证明，根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，根据直角三角形性质得出，，证明，即可证明结论； （2）在中根据，得出，求出,根据勾股定理求出，根据直角三角形性质得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴是的中点， ∵， ∴F是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴、为直角三角形， ∵F是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∵在中， ∴， ∴, 根据勾股定理得：， ∴， ∴菱形的周长为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法． 16．（22-23九年级上·甘肃天水·期末）如图，平行四边形在平面直角坐标系中，，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)求的值． (2)若E为轴上的点，且，求出点E的坐标，并判断与是否相似？请说明理由． 【答案】(1)； (2)或，与相似，理由见解析过程； 【分析】（1）解方程可得，再用勾股定理求出的长即可求出； （2）由三角形的面积公式可求解；由线段长度可得，且，可证； 【详解】（1）解：解一元二次方程得， ， ， , 中，, , 故答案为：； （2）， ， ， ∵点E在x轴上， ∴E点的坐标为或， 故答案为：或． 与相似，理由如下： ，， 又， ； 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，一元二次方程，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【题型五】解非直角三角形 17．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 18．（2021·辽宁抚顺·一模）某高铁路段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D处（A、C、D共线）同时施工．测得，，，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点B作BE⊥AD，垂足为E，在Rt△ABE中，根据含30°的直角三角形的性质即可得出BE的值，再根据角的和差及等角对等边即可得出BE=DE，最后根据勾股定理即可得出答案. 【详解】如图，过点B作BE⊥AD，垂足为E， ∵，， ∴BE=AB=2km，， ∵， ∴， ∴， ∴BE=DE=2km， ∴BD==, 故答案为：． 【点睛】本题考查了非直角三角形的解法，勾股定理，等腰直角三角形的判定，直角三角形的性质，过最大角的顶点作高构造直角三角形是解题的关键． 19．（20-21九年级上·浙江湖州·期末）如图，已知在中，，，，点在边上，将沿着过点的一条直线翻折，使点落在边上的点处，连结，，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】如图作CH⊥AB于H．由题意EF=BF，设EF=BF=a，则BD=a，只要证明△ECD∽△BCE，可得EC2=CD•CB，延长构建方程即可解决问题； 【详解】解：如图作CF⊥AB于F，垂足为F． 在Rt△ACB中， ∵ ∴ 在Rt△ACB中， ∴ 又 ∴ 在中， ∴ 由题意得， 设 ∵ ∴ 在△中， ∴BD=a ∵∠ ∴∠ ∴∠ 又∵∠ ∴△ ∴ ∴ 在中， ∴ 又由前面知，， ∴ 解得，或0（舍去） ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 20．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 【题型六】巧设辅助未知数解直角三角形 21．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，中，，作，，，．    (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【分析】本题考查的知识点是三角形内角和定理、等量代换、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形． 结合题中条件推出即可证得； 设长为，结合勾股定理解直角三角形可得，列方程即可得解． 【详解】（1）证：， ， 中， ， ， ， ， ． （2）解：设长为，则， ， 中有， ， 解得， ． 22．（23-24九年级上·广西崇左·期末）【问题】如图1，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为，求证：． 【解决问题的方法】如图2，在和中，分别作边上的高，利用三角函数表示出，再代入面积公式就可以解决问题． (1)【问题解决】如图2，求证： (2)【拓展应用】如图3，交于点M，点H为的中点，交于点G，且求值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题是四边形综合题，考查了锐角三角函数的定义、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理、三角形面积的计算等知识；正确作出辅助线构建直角三角形与相似三角形是解题的关键． （1）过点作于，过点作于，求出，，然后由三角形面积公式求解即可； （2）取中点，连接，先证明，得到，设，则，，然后证明，推出，，则，由（1）结论求解即可． 【详解】（1）解：过点D作于点E，过点B作于F， ，， ， ， ， ； ； （2）如图所示，取中点N，连接， ， ∴， 设，则，， ∵H是的中点，N是的中点， 是的中位线， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 由（1）可知． 23．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，已知锐角．    (1)若，，，求的长； (2)求证； (3)若，，直接写出的值． 【答案】(1)15 (2)见解析 (3) 【分析】（1）本题考查解直角三角形，过点B作于H，利用，求出，再利用求出，即可解题． （2）本题考查解直角三角形，过点B作于H，过点A作于D，根据图形分别表示出，，得到，同理得到，即可解题． （3）本题考查解直角三角形，相似三角形性质和判定、角平分线性质，过点C作平分，交于E，根据，设，则，根据角平分线性质和证明，根据相似三角形性质得出，最后根据，即可解题． 【详解】（1）解：如图，过点B作于H，    ，， ， ， ； （2）证明：如图，过点B作于H，过点A作于D，    ，， ， 同理可得：， ； （3）解：如图，过点C作平分，交于E，    ， 设，则， 平分， ， ， ， ， 又， ， ， ， , ,， ， ， ， ． 24．（23-24九年级上·山西运城·期末）阅读与思考 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务 正方形的折叠 正方形是日常生活中常见的一种基本几何图形，具有特殊平行四边形的一切性质，因此，平时做题时经常会遇到正方形的折叠问题，虽然折叠的形式多样，给同学们带来各种困惑，但我们只要把握它的两大特点：①折叠前后折痕两侧图形全等；②折叠前后对应点的连线被折痕所在的直线垂直平分；并且掌握解决折叠问题的两大方法：①利用勾股定理构建方程；②巧用“一线三直角”构建相似三角形解决问题，这类问题一般都能解决． 下面是创新学习小组利用折叠正方形纸片来探究折叠中的锐角三角函数问题： 如图，正方形边长，点E是边上的一个动点，沿着折叠，点B落在点F处．求的值． 【特例探究】 任务一： （1）如图1，创新学习小组发现在点E运动过程中，当点F恰好落在正方形的对角线上时，则______． 任务二： （2）如图2，当点E运动到边的中点时，点B落在点F处，求的值． 下面是该结论的部分解答过程： 在图2中，过点F作于M，延长交于N． 易证四边形为矩形，______， ∴设，则，，， 在中，根据勾股定理得 解得：（舍去）， 即 ∴在中，______ 仔细阅读上面的证明过程，按照上面的证明思路，请你将横线部分补充完整． 图1图2图3 【方法应用】 任务三： （3）如图3，当点E运动到边靠近点C的三等分点时（即），点B落在点F处，请你类比（2）中的方法求的值． 【答案】（1）1；（2）；；（3） 【分析】（1）根据是正方形，得出当点F恰好落在正方形的对角线上时，根据折叠可得，求出即可解答； （2）在图2中，过点F作于M，延长．交于N．证明四边形为矩形，根据折叠性质可得，证明，根据相似三角形的性质可得，设，则，，，在中，根据勾股定理可解得，求出和，在中，即可解答； （3）在图3中，过点F作于M，延长交于N．证明四边形为矩形，根据折叠性质可得，证明，根据相似三角形的性质可得，设，则，，，在中，根据勾股定理可解得，求出和，在中，即可解答； 【详解】（1）是正方形， 当点F恰好落在正方形的对角线上时， 根据折叠可得， 则． （2）下面是该结论的全部解答过程： 在图2中，过点F作于M，延长交于N． 是正方形， 四边形为矩形， 根据折叠可得， ， ， ∴设， 则，， 在中， 根据勾股定理得， 解得：（舍去），， 即， ， ∴在中， 故答案为：；； 图1                     图2                        图3 （3）如图3，当点E运动到边靠近点C的三等分点时（即）， 过点F作于M，延长交于N． 是正方形， 四边形为矩形， 根据折叠可得， ， ， ∴设， 则，，， 在中， 根据勾股定理得， 解得：（舍去），， 即， ， ∴在中， 【点睛】该题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理以及折叠的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 【题型七】构造直角三角形进行线段或角的计算 25．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，正方形的边长为，以为斜边向外作等腰直角，为正方形的对角线，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，交延长线于点，根据正方形的性质可得，再根据等腰直角三角形的性质和三角函数值的应用，可得是等腰直角三角形，和的长，最后由勾股定理可得的长． 【详解】如图，作，交延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角函数值的应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 26．（23-24九年级上·海南儋州·期末）如图，正方形中，边长为4，为的中点，为正方形内部一点，连结、，若平分且，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意可得，从而得出，结合E为中点，即可得出是等腰三角形，过点E作，则有，即可得出，再根据锐角三角函数即可解答． 【详解】解：过点E作，如图： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵E为中点，， ∴， ∴，即， ∴，解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判断和性质，锐角三角形函数，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 27．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，正方形的边长为，菱形的边长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，，首先证明出和共线，然后求出，然后利用勾股定理求出，进而利用菱形的性质求解即可． 【详解】如图所示，连接，， ∵四边形是菱形， ∴，且平分， ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴和共线， ∴是等腰直角三角形， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∵菱形的边长为， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】此题考查了正方形和菱形的性质，勾股定理，三角函数值的简单应用，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 28．（2023·上海青浦·一模）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为 ． 【答案】 【分析】连接，过点A作于点E，过点C作于点F，根据求出和的 长度，进而求出的长度，根据对余四边形的定义得出，则 ，即可求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，最 后根据即可求解． 【详解】解：连接，过点A作于点E，过点C作于点F， ∵，， ∴， 设， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为对余四边形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 设， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤，勾股定理的内容，正确作出辅助线，构建直角三角形． 【题型八】构造直角三角形解决实际问题 29．（21-22九年级上·河南南阳·期末）为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为， 已知山坡的坡度， 米，米， 求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： ， 【答案】广告牌CD的高约为7.4米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰俯角的问题，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键． 在中求出，，进而求出，即，再在中，得出，在中由边角关系求出，最终求出，取近似值得出答案． 【详解】解：如图，过点作，，垂足分别为、， 由题意可知，，，，米，米， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，米， （米， ， 答：广告牌CD的高约为7.4米． 30．（22-23九年级上·山东威海·期末）2021年5月7日，“雪龙2”船返回上海国内基地码头，标志着中国第37次南极考察圆满完成．已知“雪龙2”船上午9时在B市的北偏西方向上的点A处，且在C岛的南偏西方向上，已知B市在C岛的南偏西方向上，且距离C岛116km．此时，“雪龙2”船沿着方向以24km/h的速度航行．请你计算“雪龙2”船大约几点钟到达C岛？（参考数据：，，，，，）    【答案】“雪龙2”船大约13点钟到达C岛 【分析】本题考查解直角三角形，方向角问题．根据题意过点A作，设，，列方程计算出，，继而得到本题答案． 【详解】解：过点A作， ， 由题意知，，，km， ∵， ， ∴设，，则， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴，，， 答：“雪龙2”船大约13点钟到达C岛． 31．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，为了测量某校教学楼的高，数学兴趣小组的甲同学在处看到楼顶的仰角为，同时乙同学在斜坡上的处看见楼顶的仰角为，若斜坡的坡比，铅锤高度米（点、、在同一水平线上）．求： (1)________米，________度； (2)教学楼的高（参考数据：，结果精确到个位）． 【答案】(1)，； (2)米． 【分析】（）利用坡比的定义可求出；先求出和，再利用角的和差关系即可求出； （）设， 则，解直角三角形求出，进而得到，由列出方程，解方程即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，作于点， ∵斜坡的坡比，铅锤高度 米， ∴米， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）解：设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴教学楼的高为米． 32．（2022·江西吉安·一模）如图1是某门禁自动识别系统，主要由可旋转摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其示意图，已知摄像机长，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，，与连接，杆，，，点到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为．(参考数据：，，，结果精确到) (1)求显示屏所在部分的宽度； (2)求镜头到地面的距离． 【答案】(1)显示屏所在部分的宽度约为12.3cm (2)镜头A到地面的距离约为68.2cm 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）过点作，垂足为，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）连接，过点作，交的延长线于点，根据已知可求出从而可证四边形是矩形，进而可得，然后利用平角定义求出，从而求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：，与水平地面所成的角的度数为， 显示屏上沿与水平地面所成的角的度数为． 过点作交点所在铅垂线的垂线，垂足为，则． ， ， （2）如图，连接，作垂直反向延长线于点， 为的中点， ， ， ， ，， 四边形为矩形，， ， ． ． ， 镜头到地面的距离为． 【题型九】直角三角形斜边中线的证明 33．（21-22八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，．    (1)求证：； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）连接，由垂直平分线的性质可求得，在中，由直角三角形的性质可证得，则可证得结论； （2）由垂直平分线的性质可求得，且，可证明为等边三角形． 【详解】（1）证明：连接，   是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ； （2）解：是等边三角形， 理由如下：连接．     垂直平分， 为中点， ， ， ， 是等边三角形． 34．（22-23八年级下·北京延庆·期末）下面是证明直角三角形的性质定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，Rt是边上的中线． 求证：． 方法一： 证明：如图，延长到，使得， 连接． 方法二： 证明：如图，取的中点，连接． 【答案】证明见解析 【分析】利用矩形“对角线相等且互相平分”的性质即可完成法一的证明；利用“垂直平分线的性质”即可完成法二的证明． 【详解】方法一：证明：如图，延长到，使得，连接． 点为的中点， ． 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形． ． ， ． 方法二： 证明：如图，取的中点，连接． 点为的中点， ． ， ． 是边的垂直平分线． ． ， ． 【点睛】本题以“斜中半定理”作为背景，考查了矩形的判定与性质、垂直平分线的性质等相关知识点．根据相应几何条件完成几何推导是解决此题的关键． 35．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，为的中点，，． (1)判断四边形的形状、并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的定义、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得出，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，即可得出四边形是菱形； （2）根据，，得出并计算，根据菱形的性质，得出，根据四边形的面积，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，，为的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵在中，，为的中点，，， ∴，， ∴和等底同高， ∴， ∵由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴四边形的面积． 36．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）在中，，，是内的一条射线，分别过点B和点C作于点D，于点E．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，若点O是的中点，连接，，判断的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形，证明见解析 【分析】（1）根据，可得，再由，可得，证明得出，即可； （2）连接，证明，得出，，根据，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）证明：是等腰直角三角形，证明如下： 连接，如图所示：    ∵是的中点，，， ∴，，， 由（1）得：， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，余角的性质，直角三角形斜边上中线等腰斜边的一半，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【题型十】利用直角三角形斜边的中线求线段或角度 37．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，点为菱形对角线的交点，于点，连接，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据题意求得，再结合菱形的性质可得，，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴． 故选：A． 38．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，点E，F分别是菱形边的中点，交的延长线于点G．若，则的度数是（　  　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．如图，延长交的延长线于．证明，利用直角三角形斜边中线的性质，可得，再求出，证明，即可求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交的延长线于． ∵四边形是菱形，点E是的中点， 在和中， 是的中点， 故选：C． 39．（23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，在正方形中，E，F分别是上一点，，，点M，N分别是和的中点，连接． （Ⅰ）线段的长为 ． （Ⅱ）线段的长为 ．    【答案】 / 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质． （Ⅰ）直接利用斜边中线的性质即可得解； （Ⅱ）延长交于点，连接，利用勾股定理求得正方形的边长，再证明，求得，，证明，求得，然后根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：（Ⅰ）∵正方形， ∴， ∵点M是的中点，， ∴， 故答案为：； （Ⅱ）延长交于点，连接，    ∵正方形，，， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴，，且， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵N是的中点， ∴， 故答案为：． 40．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得交于点， (1)若，求的度数； (2)若． ①求证：； ②设，求的长（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质、勾股定理，全等三角形的判定和性质， （1）根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，即可求解； （2）①过点H作于点M，则，，根据直角三角形的性质，可得，从而得到，，继而得到，可证明，即可；②设交于点K，交于点N，先证得，可得，再根据勾股定理可得，从而得到，即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）①证明：如图，过点H作于点M，则，， 在中，， ∵点是边的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：设交于点K，交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型十一】直角三角形斜边的中线与折叠综合运用 41．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，在矩形中，，，点是的中点，连结，将沿折叠，点落在点处，连结，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质和中点性质可得，所以，由勾股定理可求的长，由面积法可求，的长，进而根据勾股定理可求解． 【详解】解：如图，连接于交于点， 点是的中点， ， 将沿折叠， ， ， ， 是直角三角形， ，，， ， 将沿折叠， ，， ， ， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，求的长是本题的关键． 42．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，为等腰直角三角形，为斜边的中点，点在边上，将沿折叠至，与，分别交于，两点．若已知的长，则可求出下列哪个图形的周长（    ）    A． B． C．四边形 D．四边形 【答案】A 【分析】先作出辅助线，利用等腰直角三角形的性质转化角的数量关系得出即可求解． 【详解】如图，连接，， ∵三角形是等腰直角三角形，且D为斜边的中点，    ∴，， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和折叠，解题关键是掌握等腰三角形的两个底角是和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠前后的对应边相等，对应角相等． 43．（22-23八年级上·江苏泰州·期末）如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么折痕的长为 ．    【答案】 【分析】如图，设交于点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，由翻折的性质可知，再根据，可证明，可得，从而得到是等边三角形，由等边三角形的性质可得结论． 【详解】解：如图，设交于点， ∵，点是边上的中点， ∴， ∴， 由翻折的性质可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴折痕的长为． 故答案为：．    【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质． 44．（21-22八年级下·河南商丘·期末）实践与探究题 问题：直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？ 丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验： (1)观察发现 ① 观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图（1）所示的Rt△ ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上中线．请根据图（1）证明你的猜想． ② 根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线性质． (2)拓展应用：如图（2），CD是Rt△ ABC的斜边AB上的高，若CD＝5，则Rt△ ABC面积的最小值等于______． 【答案】(1)①，证明见解析，②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (2)25 【分析】（1）通过折叠,使点B与点A重合，再展开得到BD=AD,由折叠使点B与点C重合得到BD=CD，从而得到CD=BD=AD=，倍长CD至点E，连接BE，先证，由全等的性质得到，再进一步证明，证得CE=AB,从而证得CD= （2）由垂线段最短知：AB边上中线长，又，所以，所以Rt△ ABC面积的最小等价于AB最小，求得面积的最小值为25 【详解】（1）解：①由折叠知：CD=BD=AD =，下面证明 下图中，倍长CD至点E得CD=DE，连接BE， 在和中， 在和中， ∴CE=AB ∴CD=； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）由垂线段最短知：AB边上中线长 ,当D为AB中点时，即Rt△ ABC为等腰直角三角形时， 面积最小为：． 【点睛】本题考查了图形的翻折变换，通过折叠去猜想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再通过全等三角形去证明，很好的考查了推理论证的能力． 45．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）（1）如图① ，在三角形纸片中，，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的长． （2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值． （3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为． ①求线段的长； ②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】（1）根据勾股定理计算出，利用平行线分线段成比例定理可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （2）利用相似三角形的判定与性质，证明，得出，求出，，计算的值即可； （3）①证明，推出，由此即可解决问题；②证明，推出，，推出即可解决问题． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵折叠，使点与点重合，折痕为， ∴垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由题意得垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①由折叠的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为线段上的一个动点，，， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质、直角三角形斜边上中线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，正确寻找相似三角形是解题的关键． 【题型十二】利用直角三角形斜边的中线探究线段之间的关系 46．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图（1），是的边上的中线，将沿直线翻折得到，连接，．    (1)求证：是直角三角形． (2)如图（2），若，，求的大小． (3)若是直角三角形，是等边三角形，探究与的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或，证明见解析 【分析】（1）根据折叠的性质得，，利用中点求出，进而得，然后根据三角形内角和得出结论； （2）根据含的直角三角形的性质，及中线性质，证为等边三角形，在证，根据折叠得； （3）根据三个角都有可能为直角，分类讨论，利用折叠性质和等边三角形性质得结论． 【详解】（1）沿直线翻折得到， ， 是的边上的中线， ， ， ， ， 是直角三角形． （2），， ， ， 是的边上的中线， ， ， 为等边三角形， 沿直线翻折得到， ，， ， （3）①当时， 是的边上的中线， ， ②如图，当时   ， 是等边三角形， 沿直线翻折得到， ， ， ， ， 是的边上的中线， ， ； ③如图当时，   ， 是等边三角形， 沿直线翻折得到， ， ， 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质及等边三角形的判定与性质；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 47．（2022·吉林长春·模拟预测）问题引入： （1）如图1，，，，E是线段的中点，连接并延长交于点F，连接．则与之间的数量关系是______； 问题延伸： （2）如图2，在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，点G在上，P是线段的中点，连接、． ①判断与之间的数量关系，并说明理由； ②连接，若，，求的长． 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②． 【分析】问题引入：（1）先根据ASA证明，由此可得，即E点是的中点，然后在中，根据“直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半”即可证明． 问题延伸： （2）①延长交于点M，由正方形的性质可得，，先根据ASA证明，由此可得，即P点是的中点．然后在中，根据“直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半”即可证明． ②根据正方形的性质可得，，， 设，则．在中，由，可求出．根据勾股定理列方程求出x的值，即可知的长，然后在中，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：（1），理由如下： ， ， ∵E是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 为斜边上的中线， ， ； 故答案为：； （2）①，理由如下： 如图，延长交于点M， ∵四边形，四边形均为正方形， ∴，， ， ∵P为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 为斜边上的中线， ， ； ②如图，连接， ∵四边形为正方形， ，，， 设， ， ， ， ， ， ，（舍去）， ，， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．熟练掌握以上知识是解题的关键． 48．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）【阅读教材】 苏科版八年级上册第《折纸与证明》．折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢? 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图1（2）），于是，由，，可得． 【类比探究】 如图2（1），在中，，能否证明呢?小军同学提供了一种方法：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、（如图2（2）），再运用三角形三边关系即可证明，请按照小军的方法完成证明． 【方法运用】 在中，，点是边上一点，连接． （1）如图3（1），若平分，则、、之间的数量关系是________； （2）如图3（2），若，写出、、之间的数量关系并说明理由． 【拓展提升】 在中，，，，点是边上一点，连接，将沿所在的直线翻折，点的对应点是点． （1）如图4（1），若，则________； （2）如图4（2），若平分，则________． 【答案】[类比探究]见解析；[方法运用]（1）；（2），理由见解析；[拓展提升]（1）； 【分析】[类比探究]由翻折的性质可知，，由，可得； [方法运用]（1）如图（1），将沿翻折，则在上，，由，可得 ，则，进而可得；（2）如图（2），在上取，使，连接，证明，同理（1）可得，则； [拓展提升]（1）如图（3），由翻折的性质可知，，由勾股定理得，，由，可求，由勾股定理求，进而可求；（2）解：如图（4），延长交于，则，，设，则，由勾股定理得，，即；，即；，求，进而可求． 【详解】[类比探究]证明：由翻折的性质可知，， ∵， ∴，即； [方法运用]（1）解：如图（1），将沿翻折， ∵平分， ∴在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图（2），在上取，使，连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； [拓展提升]（1）解：如图（3），由翻折的性质可知，，    由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图（4），延长交于，则， ∵平分， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即； ，即； ∴， 解得，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，构成三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．熟练掌握折叠的性质，构成三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 49．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）在中，，，，点是的中点．四边形是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），，且，菱形可以绕点顺时针旋转，连接和，设旋转角为． (1)在菱形绕点旋转的过程中，当点在线段上时，如图①，请直接写出与的数量关系； (2)当菱形绕点旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)在菱形（从图①位置开始）绕点D旋转一周的过程中，，当所在的直线经过点时，请直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)（1）中结论成立，证明见解析； (3)的度数为或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、菱形的性质，直角三角形的性质． （1）根据直角三角形的性质得到，根据菱形的性质得到，由，即可得出答案； （2）证明，即可求解； （3）分当B、E、F共线和B、F重合时，两种情况讨论，画出图形，利用菱形的性质即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 在中，， 点D是的中点， ， 则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴； （2）解：（1）的结论成立，理由： 证明：连接，    ， ， ， ， ； （3）解：当B、E、F共线时，如下图，连接， ∵，， ∴均为等边三角形， ∴； 当B、F重合时，也符合题意，如下图： ， ∴； 综上，的度数为或． 【题型十三】与含30°角的直角三角形有关的最值问题 50．（21-22九年级上·北京东城·期末）如图，在中，，，，将绕顶点C顺时针旋转得到，取的中点E，的中点P，则在旋转过程中，线段的最大值为（    ） A．1 B．0.5 C．2 D．1.5 【答案】D 【分析】连接，先由，，，得到，，然后由旋转的性质得到，，，然后利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到的长，最后利用三角形三边关系得到EP的最大值． 【详解】解：∵，，， ∴，， 由旋转得，，，， ∵点P是的中点，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当点E、C、P三点共线时，最大，最大值为， ∵点E是的中点，， ∴， ∴最大值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、含30°角的直角三角形三边关系，解题的关键是熟知任意三角形三边的关系． 51．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，平行四边形中，，点M，N分别为线段上的动点（含端点），点E，F，G分别为的中点，则长度的最大值为（　　）． A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识点，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．如图：连接，根据三角形的中位线得到，由图形可知当N在B点处时，最大，即最大． 【详解】解：如图：连接，过点G作交于点H， ∵平行四边形中,， ∴， ∵G是的中点，， ∴ ∵点E，F分别为的中点， ∴， ∴最大时，最大， ∴N与B重合时最大， 在中，，则， ∴，， ∴ ∴ ∴，即长度的最大值为． 故选：A． 52．（22-23九年级上·天津和平·期中）如图，在中，，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，点E为线段中点，点P是线段上的动点，将绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点． （1）如图，线段 ； （2）则线段的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）过点作于点，根据直角三角形的性质和勾股定理即可得； （2）当在上运动至垂足点，绕点旋转，点的对应点在线段上时，最小；当三点共线，点运动到点时，最大． 【详解】解：（1）如图，过点作于点，连接， ，， 是等腰直角三角形，， ， 设，则， ， ， ， 解得， ， 故答案为：； （2）点为线段中点， ， 由旋转的性质得：， ， 则当三点共线，且在上运动至垂足点时，的值最小，最小值为， 又，， 当三点共线，且运动到点时，的值最大，最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、三角形三边关系的应用等等，熟知相关知识是解题的关键． 53．（2023·河南洛阳·一模）小明同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，，，连接，取的中点F，将三角板绕点A按顺时针方向旋转一周，则在旋转过程中，点F到直线的距离的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】如图，取的中点O，连接，F为的中点，由三角形的中位线定理得出，得出在旋转过程中，点F在以O为圆心为半径的圆上动，再过O点作于R，构造直角三角形，求出长，进而即可得解． 【详解】解：如图，取的中点O，连接，F为的中点， 由三角形的中位线定理得， ∴在旋转过程中，点F在以O为圆心为半径的圆上运动 过O点作于R， 在中， ∴ ∴点F到直线的距离的最大值为 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，中位线定理等知识点，通过作图构造不变的线段是解题的关键． 【题型十四】含30°角的直角三角形在坐标系中的运用 54．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质、含度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作轴，根据菱形的性质得到 ，在中，根据勾股定理求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】解：作轴于点D， 则， ∵四边形是菱形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴ 则点C的坐标为， ∵轴， ∴点的坐标为 故选：D． 55．（23-24八年级下·河南漯河·期末）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，，对角线与相交于点，轴，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，角所对直角边等于斜边一半以及等边三角形的判定与性质，坐标与图形，掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 先根据角所对直角边等于斜边一半求出，再证明是等边三角形即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∵轴， ∴， 而 ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ． 故选：D． 56．（23-24九年级上·山西大同·期末）如图，在正六边形中，以点为原点建立平面直角坐标系，边落在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形，坐标与图形性质，直角三角形的性质，过作轴于，根据正六边形的性质得到，求得，根据含角的直角三角形的性质，勾股定理即可得到结论，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作轴于，如图， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵在正六边形中， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴点， 故选：． 57．（2024·安徽宣城·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，的顶点C在x轴负半轴上，轴，点B在反比例函数的图象上，，若，则的值为 ，k的值为 【答案】 3 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 设，，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，，，则，根据反比例函数图象上点的坐标特征得，再利用得到，所以． 【详解】解：轴，，， ， 设，， ∵和，，， ，，，， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， ，即， ． 故答案为：3，． 58．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，点是平面直角坐标系原点，射线与轴重合，已知，过点作交轴于，过点作交直线于点，过作交轴于点，过点作交直线于点，重复操作，依次得到点，则点的坐标为 ，点的坐标为 ．（用含的式子表示）（提示：含角的直角三角形，三边之比为） 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，含角的直角三角形，解题的关键是根据求出的数据得出规律．过点作轴于点，过点作轴于点，过点作 轴于点，根据含角的直角三角形，三边之比为，，可得，，从而求出点的坐标；根据题意可求出、、等的长度，进而求出，，，，可推出的纵坐标，再根据边的长度关系，可得到的横坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，过点作 轴于点， ， ， 由题意，， ，， ； ， ，， 又，， ， ， ，， 同理求出，，，， 可推出的纵坐标为， ，， 同理可得的横坐标为， 的坐标为； 故答案为：，． 【题型十五】含30°角的直角三角形与分类讨论思想综合 59．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，，P 为射线上一点，若是等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或6或2 【分析】由题意可求得；分三种情况考虑：；；即可． 【详解】解：， ， 由勾股定理得：； 当时，如图，则； 当时，过点C作于E，如图； 则，， 由勾股定理得：， ； 当时，则， ； 而， 即， ， 是等边三角形， ， ； 综上，的长为或6或2． 【点睛】本题考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，注意分类讨论． 60．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，与都是等边三角形，连接，，，若将绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段的长为 ． 【答案】或． 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，构造出直角三角形是解本题的关键． 分两种情况：①当点E在的延长线上时，②当点E在的延长线上时，分别画出图形，利用勾股定理，求解即可． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ①当点E在的延长线上时，如图，过点B作于G，则， 在中，， ∴， 根据勾股定理得，， ∴， 在中， 根据勾股定理得，； ②当点E在的延长线上时，如图，过点B作于H，则， 在中，， ∴， 根据勾股定理得， ∴， 在中， 根据勾股定理得，． ∴或． 故答案为：或． 61．（2024·黑龙江佳木斯·三模）在腰长为的等腰三角形纸片中，，，点为上一动点，将纸片沿对折，使点落在点处，当中有一条边垂直于时，的长为 ． 【答案】或或或 【分析】分种情况考虑，利用对称的性质及解直角三角形等知识即可完成求解． 【详解】解：由折叠的性质得：，； 当时，如图，    ∵，， ∴， ∴； 当，在下方时，过点作于点，则，如图， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； 当，在上方时，过点作于点，则，如图， 由得 ∵， ∴， ∴ ∴ ∴；   当于点时，    由得 ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴    综上，的长为或或或； 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，勾股定理，度直角三角形的性质及解直角三角性质，注意分类讨论是解题的关键． 62．（2023·河南·三模）如图，在中，，，点D为边的中点，点E是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到，线段交边于点F．当△DEF为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，，分两种情况：，，分别画出图形，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，点为边的中点， ∴， 依题意得：， 如图，当时，点重合， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， ∵， ∴，， ∴， 又由折叠可得，， 设，则， ∵，， ∴， 即， 解得， ∴； 综上，的长为为或， 故答案为：或． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$