素养提升04 共点力的动态平衡与临界极值问题 -2024年暑假高一物理弯道超车（人教版2019必修第一册）

素养提升04 共点力的动态平衡与临界极值问题 01 关键能力 【考点1 　共点力动态平衡分析】 1．共点力动态平衡问题 在共点力动态平衡过程中物体始终处于一系列的平衡状态，在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。 2．解决共点力动态平衡问题的常用方法 (1)解析法 确定研究对象并进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。 (2)图解法 此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况。一般按照以下流程解题。 (3)相似三角形法 三力平衡问题中，正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中的线、杆、壁等围成的几何三角形相似，则可用相似三角形对应边成比例求出力的比例关系，进而求解。注意构建三角形时可能需要画辅助线。 三个共点力，其中一个力为恒力，另两个力的方向均发生变化，则通常用相似三角形法分析。 (4)正弦定理法 如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任何一个力的大小分别与另外两个力的夹角的正弦成正比，即＝＝。 (5)外接圆法 三力平衡问题中，一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出外接圆，恒力为圆的一条弦，根据不同状态的矢量三角形边角关系判断各力的大小、方向变化，如图所示。 【考向1 解析法】 【典例1】（多选）（23-24高二下·云南曲靖·期末）一台空调外机用两个三角形支架固定在外墙上，空调外机的重心恰好在支架横梁和斜梁的连接点O的上方，重力大小为。横梁AO水平，斜梁BO跟横梁的夹角为，若横梁对O点的拉力沿OA方向，斜梁对O点的弹力沿BO方向。以下说法正确的是（　　） A．横梁、斜梁对O点的弹力大小分别为、 B．如果把斜梁加长一点，仍保持连接点O的位置不变，这时横梁对O点的作用力大小将变小 C．如果把斜梁变短一点，但依然能连成三角形支架，仍保持连接点O的位置不变，这时横梁对O点的作用力大小将变小 D．如果把斜梁加长一点，仍保持连接点O的位置不变，这时斜梁对O点的作用力大小将变小 【素养提升1】（23-24高二下·江苏南通·期末）如图所示，橡皮筋的一端固定在O点，另一端连接水平地面上的物块，O点正下方处固定一滑轮，为橡皮筋的自然长度。现用水平拉力F使物块缓慢向右运动一段距离x，该过程橡皮筋一直处在弹性限度内且遵循胡克定律。下列关于地面对物块弹力和摩擦力、橡皮筋弹力、水平拉力F与物块移动距离x的关系图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【考向2 图解法】 【典例2】（23-24高一下·广东茂名·期末）如图所示，在一个装饰精美的房间内，有一个质量为m的饰品被两根轻绳OA和OB悬挂在天花板上。其中OA绳与竖直方向的夹角为，OB绳水平。现在保持OA绳不动，将OB绳缓慢沿顺时针绕着O转动至竖直方向，则在此过程中（　　） A．OA绳的拉力逐渐减小 B．OA绳的拉力先减小后增大 C．OB绳的拉力先增大后减小 D．OA绳与OB绳拉力的合力先减小后增大 【素养提升2】（23-24高二下·湖北恩施·期中）如图，小球用细绳系住，绳另一端固定于O点。现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于拉直状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力N以及绳对小球的拉力T的变化情况是（　　） A．N逐渐减小，T先增大后减小 B．N逐渐减小，T先减小后增大 C．N逐渐增大，T先增大后减小 D．N逐渐增大，T先减小后增大 【考向3 相似三角形法】 【典例3】（23-24高二下·浙江·期中）如图所示为一简易起重装置，是上端带有滑轮的固定支架，为质量不计的轻杆，杆的一端用较链固定在支架上，另一端悬挂一个质量为的重物，并用钢丝绳跨过滑轮连接在卷扬机上。开始时，杆与的夹角，现使缓缓变小，直到。在此过程中，（不计一切阻力）（　　） A．钢丝绳上的拉力逐渐增大 B．钢丝绳对滑轮A的作用力变小 C．杆对点的作用力先减小后增大 D．杆对点的作用力变小 【素养提升3】（23-24高一上·浙江·阶段练习）如图所示，四分之一圆柱体P放在水平地面上，圆心O的正上方有一个大小可忽略的定滑轮A，一根轻绳跨过定滑轮，一端和置于圆柱体P上，质量为m的小球连接，另一端系在固定竖直杆上的B点，一质量为钩码挂在间的轻绳上，整个装置处于静止状态。除圆柱体与地面之间的摩擦以外，其它摩擦不计。若在钩码下方再加挂一个钩码，整个装置再次处于静止状态时，小球依然处于圆柱体P上，则此时与先前整个装置处于静止状态时相比（　　）    A．地面对P的摩擦力减小 B．P对小球的弹力增大 C．轻绳的张力增大 D．P对地面的压力减小 【考向4 正弦定理法】 【典例4】（2024·陕西铜川·三模）如图所示，送水工人用推车运桶装水，到达目的地后，工人抬起把手，带动板OA转至水平即可将水桶卸下。若桶与接触面之间的摩擦不计，∠AOB为锐角且保持不变，板OA、OB对水桶的压力大小分别为、，则在OA由竖直缓慢转到水平的过程中（　　） A．、都不断增大 B．不断增大，不断减小 C．不断减小，先增大后减小 D．先增大后减小，不断减小 【考向5 外接圆法】 【典例5】（23-24高二下·浙江宁波·期末）如图，倾角为30°的斜面静置于粗糙水平面。物块A由一轻绳与小球B相连，轻绳跨过光滑定滑轮，O点为轻绳与定滑轮的接触点。初始时小球B受到水平向右的拉力F，轻绳OB段与F的夹角，整个系统处于静止状态。现改变拉力F，将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角θ不变。从初始状态到轻绳OB段水平的过程中，斜面与物块A均保持静止，则在此过程中（　　） A．拉力F先增大后减小 B．轻绳OB段的张力先增大后减小 C．地面对斜面的支持力逐渐增大 D．地面对斜面的摩擦力先增大后减小 【素养提升5】（多选）（23-24高一上·安徽合肥·期末）青少年航空学校的学员会定期开展防眩晕训练， 如图甲所示。若某学员训练时，左右手拉住圆环，处于平衡状态，左手刚好在水平状态，右手与水平方向有一定夹角，不考虑腿部受到的作用力，等效为如图乙模型，在圆环顺时针缓慢旋转90°过程中，保持两手臂伸直状态（夹角AOB保持不变），则（    ） A．左手拉力一直变大 B．两手的拉力都是先变大再变小 C．左手拉力先变大再变小 D．右手拉力一直变小 【考点二 共点力平衡中的临界与极值问题】 1.临界问题 在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，弹力F弹＝0。 2．极值问题 在力的变化过程中存在力的最大值或最小值。 3．解决共点力平衡中的临界问题和极值问题的方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大或极小。 (2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图(力的平行四边形或力的矢量三角形)，通过对物理过程的分析，在力的矢量图上进行动态分析，确定最大值或最小值。 【考向1 极限法】 【典例6】（多选）（23-24高二下·湖北武汉·期末）在室内通过如图所示方式用绿植进行装饰，质量为 的绿植通过光滑的挂钩挂在轻绳上。长L=1m 的光滑轻绳的一端悬挂在水平天花板上Q点，另一端悬挂于竖直墙上的P点，P、Q两点到墙角O的距离分别为 ，轻绳能承受的最大拉力为 20N（重力加速度 ），为确保轻绳不断裂，下列操作可行的是（　　） A．P点向下移动0.3m B．Q点向右移动0.3m C．给绿植浇水0.7kg D．给绿植浇水0.9kg 【素养提升6】（22-23高二下·黑龙江大庆·期末）如图所示，质量为的物体甲通过三段轻绳相连，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平地面上的质量为的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角，物体甲及人均处于静止状态，人的质量，人与水平面之间的动摩擦因数为。已知，，重力加速度，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： （1）轻绳OA、OB受到的拉力是多大？ （2）人对地面的摩擦力是多大？ （3）欲使人在水平面上不滑动，物体甲的质量最大不能超过多少？    【考向2 数学分析法】 【典例7】（多选）（22-23高二下·辽宁沈阳·期末）质量为m的物体放置在倾角的粗糙固定斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数，现用拉力F（与斜面的夹角为）拉动物体沿斜面向上匀速运动，下列说法正确的是（    ） A．拉力最小时，物体受三个力作用 B．时，即拉力沿斜面斜向上时，拉力F最小 C．斜面对物体的作用力的方向随拉力F的变化而变化 D．拉力F的最小值为 【素养提升7】（23-24高一下·安徽·期中）某网红主播举办抓金砖挑战赛，如图为一块质量的棱台形金砖，挑战者须戴上主办方提供的手套，单手抓住金砖的a、b两侧面向上提，保持金砖c面水平朝上，而且手指不能抠底，在空中保持10s，就算挑战成功，可直接带走金砖。已知金砖a、b两侧面与金砖底面的夹角均为，挑战者施加给金砖的单侧压力为F，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度。计算时取，，试解决下列问题： （1）若手与金砖侧面间动摩擦因数，现要徒手抓起金砖，则F至少需要多大? （2）若要求所有戴上特供手套的挑战者绝无挑战成功的可能性，则手套与金砖侧面的动摩擦因数需满足什么条件? 【考向3 物理分析法】 【典例8】（23-24高三上·河北·阶段练习）劳动人民的智慧是无穷的，他们在劳动中摸索、总结着自然的规律，积累着劳动的智慧。人们在向一定高度处运送物料时，为了省力，搭建了一长斜面，其简化图如图所示。将质量为m的物料放在倾角为的粗糙斜面上，用轻绳拉着物料匀速上滑，绳子与斜面之间的夹角为保持不变。则下列说法正确的是（　　） A．物料对斜面的压力可能为零 B．物料所受绳子的拉力越大，所受斜面的摩擦力越小 C．斜面对物料的作用力方向与角无关 D．若适当增大，则物料所受绳子的拉力减小 【素养提升8】（23-24高二下·浙江温州·期末）单手抓球的难易程度和手的大小、手指与球间的动摩擦因素有关。用以下简化模型进行受力分析：假设用两手指对称抓球，手指与球心在同一竖直面，手指接触点连线水平且相距为L，球半径为R，接触点与圆心的连线与水平夹角为θ，手指和球间的动摩擦因数为μ，球质量为m。已知重力加速度为g，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，忽略抓球引起的球变形。下列说法正确的是（    ） A．每个手指对球的摩擦力大小为 B．两手指间距L的取值范围为 C．每个手指手对球的压力最小值为 D．手对球的压力增大2倍时，摩擦力也增大2倍 (1)共点力平衡中的临界与极值问题常与动态平衡问题结合起来考查，应用图解法进行分析，作出力的平行四边形或矢量三角形，常常有助于直观地得到结果。 (2)由静摩擦力变为滑动摩擦力、摩擦力方向改变、弹力有无及方向改变常常是临界与极值问题中要特别注意的。 02 素养提升练 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏淮安·期末）如图所示，轻绳一端固定于O点，另一端与套在光滑竖直杆的圆环P相连，圆环和竖直杆均静止。现将竖直杆从A点水平向右缓慢移到B点，则该过程中圆环受到（　　） A．杆的弹力变大 B．杆的弹力先变大后变小 C．轻绳的拉力变小 D．轻绳的拉力先变小后变大 2．（23-24高一上·贵州安顺·期末）如图甲所示，清洗楼房玻璃外墙时。工人贴墙缓慢下滑的过程，可简化为图乙所示的模型。设绳索对人的拉力大小为 T， 竖直玻璃墙对人的弹力大小为 N。不计人与玻璃的摩擦和绳索的重力，则下滑过程中（　　） A．T增大， N增大 B．T增大， N减小 C．T减小， N减小 D．T减小， N增大 3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）野炊时，三根对称分布的轻质细杆构成烹煮支架静置于水平地面上，细杆与地面夹角为，如图所示。若增大倾角，下列说法正确的是（    ） A．单杆对地面的压力增大 B．单杆对地面的摩擦力减小 C．地面对杆的作用力增大 D．单杆对地面的作用力不变 4．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）如图所示，配有调节倾角的简易支架放在水平桌面上，上语文课时，某同学将一本古汉语字典放在支架的斜面上，若字典与支架斜面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，缓慢地调节倾角θ使得字典与支架始终处于静止状态，则下列说法正确的是（　　） A．倾角θ增大，字典受到的摩擦力减小 B．倾角θ增大，字典受到的支持力增大 C．若字典始终处于静止状态，支架倾角的最大值 D．若字典始终处于静止状态，支架倾角的最大值 5．（23-24高一下·河南·开学考试）如图所示，两根相同的圆柱形木杆AB和CD相互平行，与水平方向的夹角为。将一摞瓦片放置在两木杆之间，瓦片处于静止状态，此时瓦片受到AB杆的摩擦力、支持力大小分别为。若略微增大两杆之间的距离，瓦片仍然静止，则（　　） A．变大 B．变小 C．变大 D．减小 6．（23-24高一下·浙江杭州·开学考试）如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道固定在竖直平面内，端与水平面相切。穿在轨道上的小球在拉力作用下，缓慢地由向运动，始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为。在运动过程中（　　） A．增大，增大 B．减小，减小 C．增大，减小 D．减小，增大 7．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，某款可折叠手机支架，调节支撑杆MN，手机背部支撑平面PQ的倾角随之改变，底部支撑平面ab与PQ始终垂直，忽略一切摩擦，当缓慢逐渐增大时，下列说法正确的是（    ） A．手机对支架的作用力始终不变 B．手机对底部支撑平面ab的弹力逐渐变小 C．支架对手机的作用力逐渐增大 D．背部支撑平面PQ对手机的弹力逐渐变大 8．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，电灯悬挂于两墙壁之间，更换水平绳OA，使连接点A向上移动而保持O点位置和OB绳的位置不变，则在A点向上移动的过程中（　　） A．绳OB的拉力逐渐增大 B．绳OB的拉力逐渐减小 C．绳OA的拉力先增大后减小 D．绳OA的拉力先减小后不变 9．（23-24高三下·湖南·阶段练习）抖空竹是一种传统杂技节目，叫“抖空钟”，南方也叫“扯铃”．表演者用两根短竿系上绳子，将空竹（也有用壶盖或酒瓶）扯动使之旋转，并表演出各种身段．如图所示，表演者保持一只手A不动，另一只手B沿图中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和轻质细线间的摩擦力，且认为细线不可伸长．下列说法正确的是（　　） A．细绳B端沿虚线a向左移动时，细线对空竹的合力增大 B．细绳B端沿虚线b向上移动时，细线的拉力不变 C．细绳B端沿虚线c斜向上移动时，细线的拉力减小 D．细绳B端沿虚线d向右移动时，细线的拉力不变 10．（23-24高一下·广东江门·期末）如图所示，安全出口指示牌通过两条长度相同的链条竖直悬挂在固定于天花板横梁的挂钩上，其中A、C为挂钩与天花板的连接点，B、D为链条与指示牌的连接点，A、C和B、D分别关于指示牌中间对称，两链条的长度不变且始终对称，下列分析正确的是（　　） A．甲图中仅减小BD距离，指示牌静止时，每根链条的拉力变小 B．甲图中仅减小AC距离，指示牌静止时，每根链条的拉力变小 C．甲图中链条AB断开，指示牌重新恢复静止后，指示牌所受合力变大 D．乙图中若适当调整BD、AC之间的距离，指示牌静止时，每根链条的拉力可能都等于指示牌的重力 二、多选题 11．（23-24高一上·陕西西安·期末）如图所示，倾角为的粗糙斜面固定在水平地面上，一根轻绳的一端与斜面上的物块a相连，另一端绕过光滑的定滑轮系在竖直杆上的P点，用光滑轻质挂钩把物块b挂在O点，此时竖直杆与绳OP间的夹角为，a与斜面之间恰好没有摩擦力且保持静止，已知物块a的质量为M，物块b的质量为m，重力加速度为g。下列判断正确的是（    ） A． B．将P端缓慢向上移动一小段距离，a将受到沿着斜面向下的摩擦力 C．将竖直杆缓慢向右移动一小段距离，a将受到沿着斜面向下的摩擦力 D．剪断定滑轮与a之间轻绳的瞬间，a的加速度大小为0.5g 12．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）如图所示，三根等长的光滑杆构成三角架，杆竖直放置。质量均为m的两小球用细线相连后，分别套在两杆上，在图示位置能保持静止。现将三角架绕A端在竖直平面内沿顺时针方向缓慢转动，直到杆竖直。下列说法正确的是（　　） A．杆对小球的弹力先增大后减小 B．杆对小球的弹力一直减小 C．转至杆水平时杆上的弹力大小为 D．转至杆水平时绳上拉力为 13．（23-24高一上·山西晋中·期末）如图所示，粗糙地面上有一上表面光滑的斜面，斜面上有一个重力为70N的小球，被轻绳拴住悬挂在天花板上。已知绳子与竖直方向的夹角为45°，斜面倾角为37°，sin37°=0.6整个装置处于静止状态。现用外力推斜面向右缓慢移动微小距离，则（　　） A．推动前，斜面对小球的支持力大小为50N B．推动前，轻绳对小球的拉力大小为30N C．推动过程中，斜面对小球的支持力逐渐变大 D．推动过程中，轻绳对小球的拉力逐渐变大 14．（23-24高一上·山东临沂·期末）在特高压领域，我国曾经落后西方40年，如今成为我国另一个“国之重器”。如图为架空输电线的示意图，电线杆高度相同，间距相等，相邻的电线杆之间的输电线长度也都相等，受重力影响，电线会自然下垂，电线切线与电线杆之间的夹角称之为切线角α。由于热胀冷缩，夏季两相邻电线杆之间的电线长度会略有伸长，则夏季与冬季相比（　　） A．切线角会减小 B．中间电线杆受到右侧电线的作用力增加 C．中间电线打受到左右两侧电线的合力不变 D．电线最低处的张力增加 15．（23-24高一上·贵州毕节·期末）如图所示，质最为的物体用和两根等长的轻绳悬挂在半圆形的支架上，点位于半圆的圆心上。开始时，与之间的夹角为且A、B关于最高点C对称。现保持B点固定不动，A点由图示位置向点缓慢移动。在此过程中（始终处于紧绷状态）（　　） A．绳的拉力的合力会发生变化 B．绳的拉力逐渐增大 C．绳的拉力逐渐减小 D．A点移动到点时，绳的拉力大小为 16．（23-24高一上·山东烟台·阶段练习）水平地面上有一木箱处于静止状态，现对木箱施加一拉力F，使木箱沿水平地面做匀速直线运动。设F的方向与水平方向的夹角为，如图所示，在角由0逐渐增大到的过程中，木箱的速度保持不变，则下列说法正确的是（　　） A．F先减小后增大 B．F先增大后减小 C．木箱受到的摩擦力一直减小 D．木箱对地面的压力可能先增大后减小 17．（23-24高一上·全国·期末）生活中拉旅行箱的方式可以将其简化为如图甲、乙所示的模型。甲图中旅行箱处于静止状态时水平拉力由零逐渐增大，直到旅行箱沿水平方向运动；乙图中在拉力的作用下旅行箱始终匀速运动，将从逐渐增大到，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．图甲中旅行箱受到的摩擦力大小先增大后不变 B．图甲中旅行箱受到的摩擦力大小先增大后与旅行箱的运动情况有关 C．图乙中旅行箱受地面的作用力先增大后减小 D．图乙中拉力先减小后增大 三、解答题 18．（23-24高一下·江西赣州·开学考试）如图所示，两柱体的截面分别为半径均为的圆甲和半圆乙，甲、乙的质量相等，两柱体的曲面光滑，半圆柱乙与水平面之间的摩擦不能忽略，圆柱体甲的右侧用一光滑挡板挡住，开始两球心连线沿竖直方向，现将挡板缓慢地向右移动，直到圆柱体甲刚要落至地面为止，整个过程半圆柱乙始终保持静止。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： （1）两球心的连线与水平方向分别为和时，挡板所受压力之比； （2）为了保证半圆柱乙始终静止，求半圆柱乙与水平面间动摩擦因数的最小值。 19．（23-24高一上·重庆·阶段练习）如图所示，质量均为m＝2kg的两个半圆柱体A、B放在粗糙水平地面上，质量、外表面光滑的圆柱体C放在A、B之间，A、B、C均处于静止状态，A、B恰好接触且A、B间没有作用力。已知A、B、C的半径相同，A、B与地面间的动摩擦因数均为，取重力加速度大小，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）求C对A的压力大小N； （2）求地面对A的支持力大小F和摩擦力大小f； （3）若其他条件不变，用相同半径的光滑圆柱体D取代C，使A、B、D仍在图示位置处于静止状态，求D的质量M应满足的条件。 20．（22-23高一上·江苏常州·期中）如图所示，两根直木棍AB和CD相互平行，斜靠在竖直墙壁上固定不动。一个半径R=5cm、质量m=20kg的水泥圆筒从木棍的上部恰好能匀速滑下，已知两木棍间距d=8cm，与水平面的夹角α=37°。（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2）。 （1）两根直木棍对水泥圆筒弹力的合力及摩擦力的合力的大小； （2）每根直木棍与水泥桶间的动摩擦因数； （3）将水泥圆筒沿直木棍匀速向上拉动，所需最小拉力?（sin74°=0.96） 03 体验高考 1．（2022·湖南·高考真题）2022年北京冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛场地边，有一根系有飘带的风力指示杆，教练员根据飘带的形态提示运动员现场风力的情况。若飘带可视为粗细一致的匀质长绳，其所处范围内风速水平向右、大小恒定且不随高度改变。当飘带稳定时，飘带实际形态最接近的是（　　） A． B． C． D． 2．（2022·河北·高考真题）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（　　） A．圆柱体对木板的压力逐渐增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳上的拉力均先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 3．（2022·浙江·高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳的合拉力大小为 B．轻绳的合拉力大小为 C．减小夹角，轻绳的合拉力一定减小 D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 素养提升04 共点力的动态平衡与临界极值问题 01 关键能力 【考点1 　共点力动态平衡分析】 1．共点力动态平衡问题 在共点力动态平衡过程中物体始终处于一系列的平衡状态，在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。 2．解决共点力动态平衡问题的常用方法 (1)解析法 确定研究对象并进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。 (2)图解法 此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况。一般按照以下流程解题。 (3)相似三角形法 三力平衡问题中，正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中的线、杆、壁等围成的几何三角形相似，则可用相似三角形对应边成比例求出力的比例关系，进而求解。注意构建三角形时可能需要画辅助线。 三个共点力，其中一个力为恒力，另两个力的方向均发生变化，则通常用相似三角形法分析。 (4)正弦定理法 如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任何一个力的大小分别与另外两个力的夹角的正弦成正比，即＝＝。 (5)外接圆法 三力平衡问题中，一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出外接圆，恒力为圆的一条弦，根据不同状态的矢量三角形边角关系判断各力的大小、方向变化，如图所示。 【考向1 解析法】 【典例1】（多选）（23-24高二下·云南曲靖·期末）一台空调外机用两个三角形支架固定在外墙上，空调外机的重心恰好在支架横梁和斜梁的连接点O的上方，重力大小为。横梁AO水平，斜梁BO跟横梁的夹角为，若横梁对O点的拉力沿OA方向，斜梁对O点的弹力沿BO方向。以下说法正确的是（　　） A．横梁、斜梁对O点的弹力大小分别为、 B．如果把斜梁加长一点，仍保持连接点O的位置不变，这时横梁对O点的作用力大小将变小 C．如果把斜梁变短一点，但依然能连成三角形支架，仍保持连接点O的位置不变，这时横梁对O点的作用力大小将变小 D．如果把斜梁加长一点，仍保持连接点O的位置不变，这时斜梁对O点的作用力大小将变小 【答案】BD 【详解】A．以O点为研究对象，受力如图所示 取斜梁与竖直方向的夹角为，则 由几何关系可得斜梁对O点的弹力与横梁对O点的拉力分别为 故A错误； BD．如果把斜梁加长一点，仍保持连接点O的位置不变，则斜梁B端向下移动，减小，由A选项分析可知，横梁对O点的作用力减小，斜梁对O点的作用力大小将变小，故B正确，D正确； C．如果把斜梁变短一点，仍保持连接点O的位置不变，则斜梁B端向上移动，增大，由A选项分析可知，横梁对O点的作用力增大，故C错误。 故选BD。 【素养提升1】（23-24高二下·江苏南通·期末）如图所示，橡皮筋的一端固定在O点，另一端连接水平地面上的物块，O点正下方处固定一滑轮，为橡皮筋的自然长度。现用水平拉力F使物块缓慢向右运动一段距离x，该过程橡皮筋一直处在弹性限度内且遵循胡克定律。下列关于地面对物块弹力和摩擦力、橡皮筋弹力、水平拉力F与物块移动距离x的关系图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】C．设开始时离地面的高度为L，某一时刻橡皮筋与竖直方向的夹角为，则 则此时橡皮筋的弹力为 所以不成线性关系，故C错误； A．橡皮筋在竖直方向的分力为 对物块在竖直方向有 可得 故地面对物块弹力不随物块移动距离x的变化而变化，故A错误； B．由于为定值，则地面对物块的摩擦力为 也不随物块移动距离x的变化而变化，故B错误； D．对物块在水平方向，有 所以F与x成线性关系，故D正确。 故选D。 【考向2 图解法】 【典例2】（23-24高一下·广东茂名·期末）如图所示，在一个装饰精美的房间内，有一个质量为m的饰品被两根轻绳OA和OB悬挂在天花板上。其中OA绳与竖直方向的夹角为，OB绳水平。现在保持OA绳不动，将OB绳缓慢沿顺时针绕着O转动至竖直方向，则在此过程中（　　） A．OA绳的拉力逐渐减小 B．OA绳的拉力先减小后增大 C．OB绳的拉力先增大后减小 D．OA绳与OB绳拉力的合力先减小后增大 【答案】A 【详解】对结点O与饰品整体进行分析，受到重力、轻绳OA和OB的拉力处于平衡状态，三个力的合力为0，作出动态三角形，如图所示 根据动态三角形可知，当OB绳缓慢沿顺时针绕着O转动至竖直方向过程中，OA绳的拉力逐渐减小，OB绳的拉力先减小后增大。 故选A。 【素养提升2】（23-24高二下·湖北恩施·期中）如图，小球用细绳系住，绳另一端固定于O点。现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于拉直状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力N以及绳对小球的拉力T的变化情况是（　　） A．N逐渐减小，T先增大后减小 B．N逐渐减小，T先减小后增大 C．N逐渐增大，T先增大后减小 D．N逐渐增大，T先减小后增大 【答案】D 【详解】ABCD．先对小球进行受力分析，重力、支持力 、拉力组成—个闭合的矢量三角形，如图所示 由于重力不变、支持力方向不变，斜面向左移动的过程中，拉力与水平方向的夹角减小，当时，拉力和支持力垂直，此时细绳的拉力最小，由图可知，随的减小，斜面的支持力不断增大，先减小后增大。 故选D。 【考向3 相似三角形法】 【典例3】（23-24高二下·浙江·期中）如图所示为一简易起重装置，是上端带有滑轮的固定支架，为质量不计的轻杆，杆的一端用较链固定在支架上，另一端悬挂一个质量为的重物，并用钢丝绳跨过滑轮连接在卷扬机上。开始时，杆与的夹角，现使缓缓变小，直到。在此过程中，（不计一切阻力）（　　） A．钢丝绳上的拉力逐渐增大 B．钢丝绳对滑轮A的作用力变小 C．杆对点的作用力先减小后增大 D．杆对点的作用力变小 【答案】B 【详解】CD．对结点B受力分析，由平衡条件可画出力的示意图 由相似三角形可得 可得杆BC对B点的作用力大小为 在变小的过程中，由于AC、BC长度不变，故N不变，故CD错误； A．同理可得钢丝绳上的拉力大小为 在变小的过程中，由于AC不变，AB缩短，故T减小，故A错误； B．设滑轮两边钢丝绳的夹角为，根据几何关系可知变大，钢丝绳对滑轮A的作用力为 变小，变小，则变小，故B正确。 故选B。 【素养提升3】（23-24高一上·浙江·阶段练习）如图所示，四分之一圆柱体P放在水平地面上，圆心O的正上方有一个大小可忽略的定滑轮A，一根轻绳跨过定滑轮，一端和置于圆柱体P上，质量为m的小球连接，另一端系在固定竖直杆上的B点，一质量为钩码挂在间的轻绳上，整个装置处于静止状态。除圆柱体与地面之间的摩擦以外，其它摩擦不计。若在钩码下方再加挂一个钩码，整个装置再次处于静止状态时，小球依然处于圆柱体P上，则此时与先前整个装置处于静止状态时相比（　　）    A．地面对P的摩擦力减小 B．P对小球的弹力增大 C．轻绳的张力增大 D．P对地面的压力减小 【答案】A 【详解】BC．对小球受力分析如图所示    小球受重力、P对小球的支持力以及绳子对小球的拉力，小球在三个力的作用下始终处于静止状态，由相似三角形可得 式中为定滑轮左侧栓接小球绳子的长度。当在钩码下方再加挂一个钩码时，到小球再次静止的过程中，钩码将下移，小球将沿圆柱体P上移，小球再次静止时，由于AO、mg、R不变，而L减小，则根据相似三角形可知N不变，T减小，即轻绳的张力减小，P对小球的弹力不变，故BC错误； A．将小球与圆柱体P看成一个整体，根据以上分析可知，绳子的拉力T减小，设绳子与竖直方向的夹角为，则可知减小，而绳子拉力T在水平方向的分力大小与地面对P的摩擦力大小相等、方向相反，即有 由此可知地面对P的摩擦力减小，故A正确； D．设圆柱体的质量为，分析可知，小球对圆柱体P的压力在竖直方向的分力（为与竖直方向的夹角）与圆柱体的重力之和大小等于地面对圆柱体的支持力，即有 由于不变，而减小，则可知增大，导致增大，而根据牛顿第三定律可知，圆柱体对地面的压力大小增大，故D错误。 故选A。 【考向4 正弦定理法】 【典例4】（2024·陕西铜川·三模）如图所示，送水工人用推车运桶装水，到达目的地后，工人抬起把手，带动板OA转至水平即可将水桶卸下。若桶与接触面之间的摩擦不计，∠AOB为锐角且保持不变，板OA、OB对水桶的压力大小分别为、，则在OA由竖直缓慢转到水平的过程中（　　） A．、都不断增大 B．不断增大，不断减小 C．不断减小，先增大后减小 D．先增大后减小，不断减小 【答案】D 【详解】在倒出水桶的过程中，两个支持力的夹角是个确定值，受力情况如图所示 根据力的示意图结合平衡条件可得 在转动过程中α从90°增大到180°，则sinα不断减小，F'2将不断减小，根据牛顿第三定律可得F2将不断减小；所以β从钝角减小到锐角，其中跨过了90°，因此sinβ先增大后减小，则F'1将先增大后减小，根据牛顿第三定律可得F1先增大后减小，故D正确、ABC错误。 故选D。 【考向5 外接圆法】 【典例5】（23-24高二下·浙江宁波·期末）如图，倾角为30°的斜面静置于粗糙水平面。物块A由一轻绳与小球B相连，轻绳跨过光滑定滑轮，O点为轻绳与定滑轮的接触点。初始时小球B受到水平向右的拉力F，轻绳OB段与F的夹角，整个系统处于静止状态。现改变拉力F，将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角θ不变。从初始状态到轻绳OB段水平的过程中，斜面与物块A均保持静止，则在此过程中（　　） A．拉力F先增大后减小 B．轻绳OB段的张力先增大后减小 C．地面对斜面的支持力逐渐增大 D．地面对斜面的摩擦力先增大后减小 【答案】D 【详解】AB．小球B受重力mg、轻绳OB的拉力和拉力F，由题意可知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示 在转至水平的过程中，轻绳OB的拉力逐渐减小，拉力F逐渐增大，故AB错误； CD．整体（含斜面体，物块A和小球B）受向下的重力、向上的支持力、向左的摩擦力以及拉力四个力的作用，根据对小球的受力分析可知，拉力F的竖直方向分力逐渐增大，水平方向分力先增大后减小（矢量三角形中力F边在水平方向的分量在力F边逆时针转动过程中，先增大后减小），所以地面对斜面体的支持力逐渐减小，地面对斜面体的摩擦力先增大后减小，故C错误，D正确。 故选D。 【素养提升5】（多选）（23-24高一上·安徽合肥·期末）青少年航空学校的学员会定期开展防眩晕训练， 如图甲所示。若某学员训练时，左右手拉住圆环，处于平衡状态，左手刚好在水平状态，右手与水平方向有一定夹角，不考虑腿部受到的作用力，等效为如图乙模型，在圆环顺时针缓慢旋转90°过程中，保持两手臂伸直状态（夹角AOB保持不变），则（    ） A．左手拉力一直变大 B．两手的拉力都是先变大再变小 C．左手拉力先变大再变小 D．右手拉力一直变小 【答案】CD 【详解】在圆环顺时针缓慢旋转90°过程中，保持两手臂伸直状态，两手拉力夹角不变，由三力平衡推论知三力平移后会组成一闭合三角形，如下图所示：F1表示左手拉力，F2表示右手拉力。 由图可知：左手拉力先变大后变小，右手拉力一直变小。故CD正确，BC错误。 故选CD。 【考点二 共点力平衡中的临界与极值问题】 1.临界问题 在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，弹力F弹＝0。 2．极值问题 在力的变化过程中存在力的最大值或最小值。 3．解决共点力平衡中的临界问题和极值问题的方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大或极小。 (2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图(力的平行四边形或力的矢量三角形)，通过对物理过程的分析，在力的矢量图上进行动态分析，确定最大值或最小值。 【考向1 极限法】 【典例6】（多选）（23-24高二下·湖北武汉·期末）在室内通过如图所示方式用绿植进行装饰，质量为 的绿植通过光滑的挂钩挂在轻绳上。长L=1m 的光滑轻绳的一端悬挂在水平天花板上Q点，另一端悬挂于竖直墙上的P点，P、Q两点到墙角O的距离分别为 ，轻绳能承受的最大拉力为 20N（重力加速度 ），为确保轻绳不断裂，下列操作可行的是（　　） A．P点向下移动0.3m B．Q点向右移动0.3m C．给绿植浇水0.7kg D．给绿植浇水0.9kg 【答案】AC 【详解】A．同一根轻绳上弹力大小相等，根据对称性可知，左右两侧绳与竖直方向夹角相等，令夹角为，绳长为L，根据几何关系有 对绿植进行分析有 当将P点向下移动0.3m过程中，夹角不变，则弹力不变，解得 可知，轻绳不会断裂，故A正确； B．当Q点向右移动后，结合上述，OQ间距增大，则有 解得 可知，此时轻绳断裂，故B错误； C．给绿植浇水0.7kg，此时绿植总重力为31N，结合上述解得 可知，此时轻绳不会断裂，故C正确； D．给绿植浇水0.9kg，此时绿植总重力为33N，结合上述解得 可知，此时轻绳断裂，故D错误。 故选AC。 【素养提升6】（22-23高二下·黑龙江大庆·期末）如图所示，质量为的物体甲通过三段轻绳相连，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平地面上的质量为的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角，物体甲及人均处于静止状态，人的质量，人与水平面之间的动摩擦因数为。已知，，重力加速度，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： （1）轻绳OA、OB受到的拉力是多大？ （2）人对地面的摩擦力是多大？ （3）欲使人在水平面上不滑动，物体甲的质量最大不能超过多少？    【答案】（1）250N，150N；（2）150N；（3）32kg 【详解】（1）以结点O为研究对象，如图所示    建立直角坐标系，将FOA分解，由平衡条件有 解得 （2）人水平方向受到OB绳的拉力和水平面的静摩擦力，受力如图所示    由平衡条件得 方向水平向左； 根据牛顿第三定律可得人对地面的摩擦力大小是150N，方向水平向右； （3）当甲的质量增大到人刚要滑动时，质量达到最大，此时人受到的静摩擦力达到最大值 由平衡条件得 又 解得 所以物体甲的质量最大不能超过32kg。 【考向2 数学分析法】 【典例7】（多选）（22-23高二下·辽宁沈阳·期末）质量为m的物体放置在倾角的粗糙固定斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数，现用拉力F（与斜面的夹角为）拉动物体沿斜面向上匀速运动，下列说法正确的是（    ） A．拉力最小时，物体受三个力作用 B．时，即拉力沿斜面斜向上时，拉力F最小 C．斜面对物体的作用力的方向随拉力F的变化而变化 D．拉力F的最小值为 【答案】BD 【详解】ABD．对物体进行受力分析如图所示。    则有 联立解得 当时，拉力最小，最小值为，此时物体受4个力作用，故A错误，BD正确。 C．斜面对物体的作用力指的是摩擦力和支持力的合力，则有 不变，则不变，即斜面对物体的作用力的方向不随拉力的变化而变化，故C错误。 故选BD。 【素养提升7】（23-24高一下·安徽·期中）某网红主播举办抓金砖挑战赛，如图为一块质量的棱台形金砖，挑战者须戴上主办方提供的手套，单手抓住金砖的a、b两侧面向上提，保持金砖c面水平朝上，而且手指不能抠底，在空中保持10s，就算挑战成功，可直接带走金砖。已知金砖a、b两侧面与金砖底面的夹角均为，挑战者施加给金砖的单侧压力为F，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度。计算时取，，试解决下列问题： （1）若手与金砖侧面间动摩擦因数，现要徒手抓起金砖，则F至少需要多大? （2）若要求所有戴上特供手套的挑战者绝无挑战成功的可能性，则手套与金砖侧面的动摩擦因数需满足什么条件? 【答案】（1）1250N；（2） 【详解】（1）对金块受力分析，如图所示，正交分解得 ， 解得 代入数据可得 （2）由（1）问得 要使F不存在，则 即 【考向3 物理分析法】 【典例8】（23-24高三上·河北·阶段练习）劳动人民的智慧是无穷的，他们在劳动中摸索、总结着自然的规律，积累着劳动的智慧。人们在向一定高度处运送物料时，为了省力，搭建了一长斜面，其简化图如图所示。将质量为m的物料放在倾角为的粗糙斜面上，用轻绳拉着物料匀速上滑，绳子与斜面之间的夹角为保持不变。则下列说法正确的是（　　） A．物料对斜面的压力可能为零 B．物料所受绳子的拉力越大，所受斜面的摩擦力越小 C．斜面对物料的作用力方向与角无关 D．若适当增大，则物料所受绳子的拉力减小 【答案】C 【详解】A．由于物料匀速上滑，则物料受平衡力的作用，对物料受力分析，如图所示 若物料对斜面的压力为零，则摩擦力为零，在拉力F和重力作用下不可能平衡，不能沿斜面匀速上滑。故物料对斜面的压力不可能为零。故A错误； B D．由共点力的平衡条件可知，沿斜面方向 垂直斜面方向 又 整理得 显然当 时，绳子的拉力最小，当拉力变大时，摩擦力可能变大也可能变小，故B、D错误； C．斜面对物料的作用力为支持力与摩擦力的合力，设其合力的方向与斜面的夹角为，则 显然与角无关，故C正确。 故选C。 【素养提升8】（23-24高二下·浙江温州·期末）单手抓球的难易程度和手的大小、手指与球间的动摩擦因素有关。用以下简化模型进行受力分析：假设用两手指对称抓球，手指与球心在同一竖直面，手指接触点连线水平且相距为L，球半径为R，接触点与圆心的连线与水平夹角为θ，手指和球间的动摩擦因数为μ，球质量为m。已知重力加速度为g，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，忽略抓球引起的球变形。下列说法正确的是（    ） A．每个手指对球的摩擦力大小为 B．两手指间距L的取值范围为 C．每个手指手对球的压力最小值为 D．手对球的压力增大2倍时，摩擦力也增大2倍 【答案】B 【详解】A．对篮球受力分析，如图 竖直方向由平衡条件 则 所以每个手指对球的摩擦力大小 故A错误； C．因为 化简可得 即 故每个手指手对球的压力最小值为，故C错误； B．因为 所以 可得 根据几何关系得 由图可知 所以 故两手指间距L的取值范围为 故B正确； D．当篮球受到手的静摩擦力时，，手对球的压力增大2倍时，摩擦力不增大2倍，故D错误。 故选B。 (1)共点力平衡中的临界与极值问题常与动态平衡问题结合起来考查，应用图解法进行分析，作出力的平行四边形或矢量三角形，常常有助于直观地得到结果。 (2)由静摩擦力变为滑动摩擦力、摩擦力方向改变、弹力有无及方向改变常常是临界与极值问题中要特别注意的。 02 素养提升练 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏淮安·期末）如图所示，轻绳一端固定于O点，另一端与套在光滑竖直杆的圆环P相连，圆环和竖直杆均静止。现将竖直杆从A点水平向右缓慢移到B点，则该过程中圆环受到（　　） A．杆的弹力变大 B．杆的弹力先变大后变小 C．轻绳的拉力变小 D．轻绳的拉力先变小后变大 【答案】C 【详解】设轻绳与竖直方向的夹角为，以圆环P为对象，受到重力、杆的弹力和轻绳的拉力，根据受力平衡可得 ， 可得 ， 将竖直杆从A点水平向右缓慢移到B点，由图可知逐渐变小，逐渐变大，逐渐变小，则杆的弹力变小，轻绳的拉力变小。 故选C。 2．（23-24高一上·贵州安顺·期末）如图甲所示，清洗楼房玻璃外墙时。工人贴墙缓慢下滑的过程，可简化为图乙所示的模型。设绳索对人的拉力大小为 T， 竖直玻璃墙对人的弹力大小为 N。不计人与玻璃的摩擦和绳索的重力，则下滑过程中（　　） A．T增大， N增大 B．T增大， N减小 C．T减小， N减小 D．T减小， N增大 【答案】C 【详解】工人受到重力、支持力和拉力，如图所示 根据共点力平衡条件，有水平方向 FTsinα=FN 竖直方向 FTcosα=G 解得 FN=Gtanα 当人缓慢下滑时，悬绳的长度缓慢增加，α变小，重力不变，FT与FN同时减少。 故选C。 3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）野炊时，三根对称分布的轻质细杆构成烹煮支架静置于水平地面上，细杆与地面夹角为，如图所示。若增大倾角，下列说法正确的是（    ） A．单杆对地面的压力增大 B．单杆对地面的摩擦力减小 C．地面对杆的作用力增大 D．单杆对地面的作用力不变 【答案】C 【详解】A．在竖直方向上，根据共点力平衡 根据牛顿第三定律，单杆对地面的压力等于地面对单杆的支持力 若增大倾角，则单杆对地面的压力不变，故A错误； CD．根据共点力平衡有 可得 若增大倾角，则地面对单杆的作用力F增大，根据牛顿第三定律，单杆对地面的作用力也增大，故C正确，D错误； B．单杆对地面的摩擦力，根据共点力平衡，在水平方向 解得 若增大倾角，则单杆对地面的摩擦力增大，故B错误。 故选C。 4．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）如图所示，配有调节倾角的简易支架放在水平桌面上，上语文课时，某同学将一本古汉语字典放在支架的斜面上，若字典与支架斜面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，缓慢地调节倾角θ使得字典与支架始终处于静止状态，则下列说法正确的是（　　） A．倾角θ增大，字典受到的摩擦力减小 B．倾角θ增大，字典受到的支持力增大 C．若字典始终处于静止状态，支架倾角的最大值 D．若字典始终处于静止状态，支架倾角的最大值 【答案】C 【详解】A．字典的受力情况如图所示 字典受到沿接触面向上的静摩擦力，静摩擦力等于重力沿接触面向下的分力，即 随倾角增大，摩擦力增大，故A错误； B．支持力 随倾角增大，支持力减小，故B错误； CD．当字典受到静摩擦力达到最大时，根据受力平衡可知 解得 即 故C正确，D错误。 故选C。 5．（23-24高一下·河南·开学考试）如图所示，两根相同的圆柱形木杆AB和CD相互平行，与水平方向的夹角为。将一摞瓦片放置在两木杆之间，瓦片处于静止状态，此时瓦片受到AB杆的摩擦力、支持力大小分别为。若略微增大两杆之间的距离，瓦片仍然静止，则（　　） A．变大 B．变小 C．变大 D．减小 【答案】C 【详解】AB．根据题意，对瓦片进行受力分析，受力如图所示 由平衡条件可得 ， 增大两杆的距离，杆与水平面倾角不变，则静摩擦力也不变，故AB错误； CD．瓦片垂直杆方向，受力分如图所示 设两杆对瓦片弹力夹角为，由平衡条件可得 当增大杆之间的距离，两杆对瓦片弹力夹角增大，则变大，故C正确，D错误。 故选C。 6．（23-24高一下·浙江杭州·开学考试）如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道固定在竖直平面内，端与水平面相切。穿在轨道上的小球在拉力作用下，缓慢地由向运动，始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为。在运动过程中（　　） A．增大，增大 B．减小，减小 C．增大，减小 D．减小，增大 【答案】C 【详解】对小球进行受力分析，它受到重力、支持力和拉力的作用，如图所示： 根据共点力平衡条件有 其中θ为支持力FN与竖直方向的夹角，当小球向上移动时，θ变大，故FN减小，F增大。 故选C。 7．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，某款可折叠手机支架，调节支撑杆MN，手机背部支撑平面PQ的倾角随之改变，底部支撑平面ab与PQ始终垂直，忽略一切摩擦，当缓慢逐渐增大时，下列说法正确的是（    ） A．手机对支架的作用力始终不变 B．手机对底部支撑平面ab的弹力逐渐变小 C．支架对手机的作用力逐渐增大 D．背部支撑平面PQ对手机的弹力逐渐变大 【答案】A 【详解】AC．支架对手机的作用力大小始终等于手机自身的重力，根据牛顿第三定律可知，手机对支架的作用力等于支架对手机的作用力，则手机对支架的作用力始终不变，A正确；C错误； B．根据手机的受力情况可知，手机的重力大小等于手机对底部支撑平面ab弹力与手机对PQ的弹力的合力，当角逐渐增大时，手机对底部支撑平面ab的弹力逐渐增大，B错误； D．当角逐渐增大时，手机对背部支撑平面PQ的弹力逐渐减小，根据牛顿第三定律可知，背部支撑平面PQ对手机的弹力逐渐变小，D错误 故选A。 8．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，电灯悬挂于两墙壁之间，更换水平绳OA，使连接点A向上移动而保持O点位置和OB绳的位置不变，则在A点向上移动的过程中（　　） A．绳OB的拉力逐渐增大 B．绳OB的拉力逐渐减小 C．绳OA的拉力先增大后减小 D．绳OA的拉力先减小后不变 【答案】B 【详解】以O点为研究对象，O处于平衡状态，根据受力平衡，则AO上的力与BO上的力的合力与重力大小相等，方向相反，如图 由图可知，在A点向上移动的过程中，绳子OB上的拉力逐渐减小，OA上的拉力先减小后增大，故ACD错误，B正确。 故选B。 9．（23-24高三下·湖南·阶段练习）抖空竹是一种传统杂技节目，叫“抖空钟”，南方也叫“扯铃”．表演者用两根短竿系上绳子，将空竹（也有用壶盖或酒瓶）扯动使之旋转，并表演出各种身段．如图所示，表演者保持一只手A不动，另一只手B沿图中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和轻质细线间的摩擦力，且认为细线不可伸长．下列说法正确的是（　　） A．细绳B端沿虚线a向左移动时，细线对空竹的合力增大 B．细绳B端沿虚线b向上移动时，细线的拉力不变 C．细绳B端沿虚线c斜向上移动时，细线的拉力减小 D．细绳B端沿虚线d向右移动时，细线的拉力不变 【答案】B 【详解】A．沿虚线a向左移动时，细线对空竹的合力与重力等大反向，可知合力不变，A错误； B．沿虚线b向上移动时，AB两点水平间距不变，绳长不变，可知细线与竖直方向的夹角不变，则细线的拉力不变，B正确； C．沿虚线c斜向上移动时，细绳与竖直方向的夹角增大，则细线的拉力将增大，C错误； D．沿虚线d向右移动时，细绳与竖直方向的角增大，则细线的拉力将增大，D错误。 故选B。 10．（23-24高一下·广东江门·期末）如图所示，安全出口指示牌通过两条长度相同的链条竖直悬挂在固定于天花板横梁的挂钩上，其中A、C为挂钩与天花板的连接点，B、D为链条与指示牌的连接点，A、C和B、D分别关于指示牌中间对称，两链条的长度不变且始终对称，下列分析正确的是（　　） A．甲图中仅减小BD距离，指示牌静止时，每根链条的拉力变小 B．甲图中仅减小AC距离，指示牌静止时，每根链条的拉力变小 C．甲图中链条AB断开，指示牌重新恢复静止后，指示牌所受合力变大 D．乙图中若适当调整BD、AC之间的距离，指示牌静止时，每根链条的拉力可能都等于指示牌的重力 【答案】D 【详解】AB．根据图示可知当前状态间距小于间距。根据链条的受力分析可知，静止时，两根链条在竖直方向的合力与指示牌的重力平衡，设链条与竖直方向夹角为，每根链条上的拉力为，则 解得 可知当链条与竖直方向夹角越小，链条上拉力越小，则仅减小AC距离，每根链条的拉力变大；仅减小BD距离时，链条处于竖直状态时拉力最小，但再继续减小BD距离时，拉力又会变大，故AB错误； C．指示牌断开前的静止状态以及断开后恢复的静止状态，均处于平衡状态，合力为0且不变，故C错误； D．乙图中若适当调整BD、AC之间的距离，若链条BD、AC之间夹角为120°，且指示牌静止时，每根链条的拉力都等于指示牌的重力，故D正确。 故选D。 二、多选题 11．（23-24高一上·陕西西安·期末）如图所示，倾角为的粗糙斜面固定在水平地面上，一根轻绳的一端与斜面上的物块a相连，另一端绕过光滑的定滑轮系在竖直杆上的P点，用光滑轻质挂钩把物块b挂在O点，此时竖直杆与绳OP间的夹角为，a与斜面之间恰好没有摩擦力且保持静止，已知物块a的质量为M，物块b的质量为m，重力加速度为g。下列判断正确的是（    ） A． B．将P端缓慢向上移动一小段距离，a将受到沿着斜面向下的摩擦力 C．将竖直杆缓慢向右移动一小段距离，a将受到沿着斜面向下的摩擦力 D．剪断定滑轮与a之间轻绳的瞬间，a的加速度大小为0.5g 【答案】AC 【详解】A．对a分析可知 对节点O分析可知 解得 选项A正确； B．设滑轮与竖直杆间距离为d，绳长L则 则将P端缓慢向上移动一小段距离，则绳子与竖直方向的夹角θ不变，仍为60°，则细线的拉力不变，a与斜面仍无摩擦力，选项B错误； C．将竖直杆缓慢向右移动一小段距离，则滑轮与竖直杆间距离d变大，则θ变大，T变大，此时 则a将受到沿着斜面向下的摩擦力，选项C正确； D．剪断定滑轮与a之间轻绳的瞬间，对a 则a的加速度大小小于0.5g，选项D错误。 故选AC。 12．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）如图所示，三根等长的光滑杆构成三角架，杆竖直放置。质量均为m的两小球用细线相连后，分别套在两杆上，在图示位置能保持静止。现将三角架绕A端在竖直平面内沿顺时针方向缓慢转动，直到杆竖直。下列说法正确的是（　　） A．杆对小球的弹力先增大后减小 B．杆对小球的弹力一直减小 C．转至杆水平时杆上的弹力大小为 D．转至杆水平时绳上拉力为 【答案】BC 【详解】AB．将两小球看成一个整体，构建整体受力的矢量三角形，如图所示，两弹力间的夹角大小不变，整体重力大小方向均不变，可构造该矢量三角形的外接圆，在OA杆对小球的弹力方向由水平变化的过程中，OA杆对小球的弹力一直增大，OB杆对小球的弹力一直减小。故A错误B正确； C．末状态时，两弹力的夹角为120°，与竖直方向的夹角均为60°，根据合成规律可知末态时两杆对球的弹力大小相等 解得 故C正确； D．以OB杆上的小球为研究对象，根据平衡可知 解得 故D错误。 故选BC。 13．（23-24高一上·山西晋中·期末）如图所示，粗糙地面上有一上表面光滑的斜面，斜面上有一个重力为70N的小球，被轻绳拴住悬挂在天花板上。已知绳子与竖直方向的夹角为45°，斜面倾角为37°，sin37°=0.6整个装置处于静止状态。现用外力推斜面向右缓慢移动微小距离，则（　　） A．推动前，斜面对小球的支持力大小为50N B．推动前，轻绳对小球的拉力大小为30N C．推动过程中，斜面对小球的支持力逐渐变大 D．推动过程中，轻绳对小球的拉力逐渐变大 【答案】AC 【详解】AB．推动前，对小球受力分析，如图    由平衡条件可得 ， 联立，解得 故A正确；B错误； CD．外力推斜面向右缓慢移动微小距离,则轻绳与竖直方向夹角变大，三力平衡的动态图如图    由图可知，斜面对小球的支持力逐渐变大，轻绳对小球的拉力逐渐变小。故C正确；D错误。 故选AC。 14．（23-24高一上·山东临沂·期末）在特高压领域，我国曾经落后西方40年，如今成为我国另一个“国之重器”。如图为架空输电线的示意图，电线杆高度相同，间距相等，相邻的电线杆之间的输电线长度也都相等，受重力影响，电线会自然下垂，电线切线与电线杆之间的夹角称之为切线角α。由于热胀冷缩，夏季两相邻电线杆之间的电线长度会略有伸长，则夏季与冬季相比（　　） A．切线角会减小 B．中间电线杆受到右侧电线的作用力增加 C．中间电线打受到左右两侧电线的合力不变 D．电线最低处的张力增加 【答案】AC 【详解】ABD．以整条电线为研究对象，受力分析如图所示 由共点力的平衡条件知，两电线杆对电线的弹力的合力与其重力平衡，电线杆上的电线的质量一定重力保持不变，由几何关系得 可得 由于夏天气温较高，电线的体积会膨胀，两杆正中部位电线下坠的距离h变大，则电线在杆上固定处的切线方向与竖直方向的夹角θ变小，拉力变小，所以两电线杆处的电线拉力冬天与夏天相比是变大，故A正确，BD错误； C．电线杆上的电线的质量一定，根据受力平衡，电线杆两侧电线对线杆拉力的合力不变，故C正确； 故选AC。 15．（23-24高一上·贵州毕节·期末）如图所示，质最为的物体用和两根等长的轻绳悬挂在半圆形的支架上，点位于半圆的圆心上。开始时，与之间的夹角为且A、B关于最高点C对称。现保持B点固定不动，A点由图示位置向点缓慢移动。在此过程中（始终处于紧绷状态）（　　） A．绳的拉力的合力会发生变化 B．绳的拉力逐渐增大 C．绳的拉力逐渐减小 D．A点移动到点时，绳的拉力大小为 【答案】BD 【详解】A．和两拉力的合力竖直向上，始终等于；故A正确； BC．OB绳拉力方向不变，根据平行四边形定则得，如图 开始时，与之间的夹角为，当A点向移动时，绳的拉力均逐渐增大；故B正确，C错误； D．A点移动到点时，绳处于水平，绳与竖直方向的夹角为，有 解得 故D正确。 故选BD。 16．（23-24高一上·山东烟台·阶段练习）水平地面上有一木箱处于静止状态，现对木箱施加一拉力F，使木箱沿水平地面做匀速直线运动。设F的方向与水平方向的夹角为，如图所示，在角由0逐渐增大到的过程中，木箱的速度保持不变，则下列说法正确的是（　　） A．F先减小后增大 B．F先增大后减小 C．木箱受到的摩擦力一直减小 D．木箱对地面的压力可能先增大后减小 【答案】AC 【详解】AB．对木箱受力分析如图： 因为木箱匀速运动，水平竖直方向均受力平衡，可得 ， 又有 可得 令 ， 代入上式可得 在角由0逐渐增大到的过程中，在前：逐渐变大，所以F逐渐减小；在后：逐渐变小，所以F逐渐增大；即F先减小后增大，故A正确，B错误； CD．木箱做匀速直线运动 整理可得 可知随着逐渐增大，增大，则在减小； 摩擦力的大小为 由于在减小，则也减小，故C正确，D错误。 故选AC。 17．（23-24高一上·全国·期末）生活中拉旅行箱的方式可以将其简化为如图甲、乙所示的模型。甲图中旅行箱处于静止状态时水平拉力由零逐渐增大，直到旅行箱沿水平方向运动；乙图中在拉力的作用下旅行箱始终匀速运动，将从逐渐增大到，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．图甲中旅行箱受到的摩擦力大小先增大后不变 B．图甲中旅行箱受到的摩擦力大小先增大后与旅行箱的运动情况有关 C．图乙中旅行箱受地面的作用力先增大后减小 D．图乙中拉力先减小后增大 【答案】AD 【详解】A．在水平拉力达到最大静摩擦力之前，旅行箱静止，有向右的运动趋势，受到的是地面对它的静摩擦力，静摩擦力的大小等于施加的拉力的大小，当水平拉力大于最大静摩擦力后，旅行箱开始滑动，此时受到的是滑动摩擦力，等于最大静摩擦力，因此图甲中旅行箱受到的摩擦力大小先增大后不变，故A正确； B．根据，图甲中旅行箱受到的摩擦力大小先增大后与旅行箱的运动情况无关，只与接触面的粗糙程度和对地面的正压力有关，故B错误； CD．在拉力的作用下旅行箱始终匀速运动，受力分析如图所示 旅行箱受到重力，拉力，地面的支持力和滑动摩擦力作用，由，支持力和滑动摩擦力的合力方向不变，可用替代，将、、三个力合成，如图所示的三角形中，将从逐渐增大到，一直减小，旅行箱受地面的作用力为 旅行箱受地面的作用力一直减小，拉力先减小后增大，故C错误，D正确。 故选AD。 三、解答题 18．（23-24高一下·江西赣州·开学考试）如图所示，两柱体的截面分别为半径均为的圆甲和半圆乙，甲、乙的质量相等，两柱体的曲面光滑，半圆柱乙与水平面之间的摩擦不能忽略，圆柱体甲的右侧用一光滑挡板挡住，开始两球心连线沿竖直方向，现将挡板缓慢地向右移动，直到圆柱体甲刚要落至地面为止，整个过程半圆柱乙始终保持静止。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： （1）两球心的连线与水平方向分别为和时，挡板所受压力之比； （2）为了保证半圆柱乙始终静止，求半圆柱乙与水平面间动摩擦因数的最小值。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设两圆心连线与水平方向的夹角为，对圆柱体甲进行受力分析，如图所示 根据平衡条件有 ， 可知，当时，挡板对圆柱体甲的支持力为 当时，挡板对圆柱体甲的支持力为 由牛顿第三定律可知分别为和时，圆柱体甲对挡板的压力分别为 ， 则两球心的连线与水平方向分别为和时，挡板所受压力之比 （2）当圆柱体甲恰好降到地面时（甲对地面无压力），乙受甲的压力在水平方向的分力最大，根据几何关系，结合上述，对甲进行受力分析可知 对乙有 解得 此时乙受地面的摩擦力 对甲、乙整体受力分析可知，地面对乙的支持力 根据题意，乙保持静止，则有 解得 故乙与地面间动摩擦因数的最小值为。 19．（23-24高一上·重庆·阶段练习）如图所示，质量均为m＝2kg的两个半圆柱体A、B放在粗糙水平地面上，质量、外表面光滑的圆柱体C放在A、B之间，A、B、C均处于静止状态，A、B恰好接触且A、B间没有作用力。已知A、B、C的半径相同，A、B与地面间的动摩擦因数均为，取重力加速度大小，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）求C对A的压力大小N； （2）求地面对A的支持力大小F和摩擦力大小f； （3）若其他条件不变，用相同半径的光滑圆柱体D取代C，使A、B、D仍在图示位置处于静止状态，求D的质量M应满足的条件。 【答案】（1）；（2），；（3） 【详解】（1）C的受力情况如图所示 设A对C的支持力大小为，有 其中 解得 根据牛顿第三定律可知，C对A的压力大小为 （2）对A受力分析，根据物体的平衡条件，在竖直方向有 解得 在水平方向有 解得 （3）设当地面对A的静摩擦力最大时，D的质量为，有 解得 D的质量M应满足的条件为 20．（22-23高一上·江苏常州·期中）如图所示，两根直木棍AB和CD相互平行，斜靠在竖直墙壁上固定不动。一个半径R=5cm、质量m=20kg的水泥圆筒从木棍的上部恰好能匀速滑下，已知两木棍间距d=8cm，与水平面的夹角α=37°。（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2）。 （1）两根直木棍对水泥圆筒弹力的合力及摩擦力的合力的大小； （2）每根直木棍与水泥桶间的动摩擦因数； （3）将水泥圆筒沿直木棍匀速向上拉动，所需最小拉力?（sin74°=0.96） 【答案】（1）160N，120N；（2）0.45；（3）192N 【详解】（1）从右侧视角分析，在沿斜坡方向根据平衡条件 垂直于斜坡方向有 （2）由底部沿木棍向上看，受力关系如图所示 图中θ角满足 解得；根据平衡条件有 解得 又因为每根木棍的摩擦力 所以动摩擦因数 （3）从右侧视角受力分析，如图所示 因木棍提供的支持力合成为，摩擦力合成为 故这两个力的合力方向固定，图中β角满足 故 现问题变为“物体受重力、木棍提供的力和拉力三力平衡，拉力最小值为多少”，根据力学平衡的矢量三角形得 解得 03 体验高考 1．（2022·湖南·高考真题）2022年北京冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛场地边，有一根系有飘带的风力指示杆，教练员根据飘带的形态提示运动员现场风力的情况。若飘带可视为粗细一致的匀质长绳，其所处范围内风速水平向右、大小恒定且不随高度改变。当飘带稳定时，飘带实际形态最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于风速水平向右、大小恒定且不随高度改变，可认为单位长度飘带受到的风力相同，假设飘带总长为，质量为，由飘带自由端向上选取任意一段，该部分飘带的重力和所受风力分别为 该部分飘带稳定时受力平衡，受力分析如图所示 重力与风力的合力与剩余部分间的张力是平衡力，设竖直方向的夹角为，则满足 可知飘带与竖直方向的角度与所选取的飘带长度无关，在风速一定时，飘带与竖直方向的角度正切值恒定，则飘带为一条倾斜的直线。 故选A。 2．（2022·河北·高考真题）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（　　） A．圆柱体对木板的压力逐渐增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳上的拉力均先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 【答案】B 【详解】设两绳子对圆柱体的拉力的合力为，木板对圆柱体的支持力为，绳子与木板夹角为，从右向左看如图所示 在矢量三角形中，根据正弦定理 在木板以直线为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，不变，从逐渐减小到0，又 且 可知 则 可知从锐角逐渐增大到钝角，根据 由于不断减小，可知不断减小，先增大后减小，可知先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小，设两绳子之间的夹角为，绳子拉力为，则 可得 不变，逐渐减小，可知绳子拉力不断减小，故B正确，ACD错误。 故选B。 3．（2022·浙江·高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳的合拉力大小为 B．轻绳的合拉力大小为 C．减小夹角，轻绳的合拉力一定减小 D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 【答案】B 【详解】AB．对石墩受力分析，由平衡条件可知 联立解得 故A错误，B正确； C．拉力的大小为 其中，可知当时，拉力有最小值，即减小夹角，轻绳的合拉力不一定减小，故C错误； D．摩擦力大小为 可知增大夹角，摩擦力一直减小，当趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，故D错误； 故选B。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$